5. вариант

Задача 1

1. Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг – страхование на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке из 10 случаев пожаров анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром от расстояния до ближайшей пожарной станции:

| № п/п | | | | | | | | | | |
|Общая сумма |26,2|17,8|31,3|23,1|27,5|36,0|14,1|22,3|19,6|31,3|
|ущерба, | | | | | | | | | | |
|млн.руб. | | | | | | | | | | |
|Расстояние до|3,4 |1,8 |4,6 |2,3 |3,1 |5,5 |0,7 |3,0 |2,6 |4,3 |
|ближайшей | | | | | | | | | | |
|станции, км | | | | | | | | | | |

Построить поле корреляции результата и фактора

Поле корреляции результата (общая сумма ущерба) и фактора (расстояние до ближайшей пожарной станции).

На основании поля корреляции можно сделать вывод , что между факторным (Х) и результативным (Y) признаками существует прямая зависимость.

2. Определить параметры а и b уравнения парной линейной регрессии:

где n число наблюдений в совокупности ( в нашем случае 10) a и b искомые параметры x и y фактические значения факторного и результативного признаков.

Для определения сумм составим расчетную таблицу из пяти граф, в графе 6 дадим выравненное значение y (?).

В графах 7,8,9 рассчитаем суммы, которые использованы в формулах пунктов 4,5 данной задачи.

|№ |X |Y |XІ |x·y |yІ |? |(y-?|(x-x)|(?-y)І|
| | | | | | | |) | | |
| |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |
| |3,4 |26,2|11,5|686,44|89,0|26,2|0,00|0,072|1,6384|
| | | |6 | |8 |0 | |9 | |
| |1,8 |17,8|3,24|316,84|32,0|18,7|0,81|1,768|36,688|
| | | | | |4 |0 | |9 |4 |
| |4,6 |31,3|21,1|979,69|143,|31,8|0,25|2,160|47,334|
| | | |6 | |98 |0 | |9 |4 |
| |2,3 |23,1|5,29|533,61|53,1|21,0|4,41|0,688|15,366|
| | | | | |3 |0 | |9 |4 |
| |3,1 |27,5|9,61|756,25|85,2|24,8|7,29|0,000|0,0144|
| | | | | |5 |0 | |9 | |
| |5,5 |36 |30,2|1296 |198 |36,0|0,00|5,616|122,76|
| | | |5 | | |0 | |9 |64 |
| |0,7 |14,1|0,49|198,81|9,87|13,5|0,36|5,904|130,41|
| | | | | | |0 | |9 |64 |
| |3 |22,3|9 |497,29|66,9|24,3|4,00|0,016|0,3844|
| | | | | | |0 | |9 | |
| |2,6 |19,6|6,76|384,16|50,9|22,4|7,84|0,280|6,3504|
| | | | | |6 |0 | |9 | |
| |4,3 |31,3|18,4|979,69|134,|30,4|0,81|1,368|30,030|
| | | |9 | |59 |0 | |9 |4 |
|S |31,3|249,|115,|6628,7|863,|249,|25,7|17,88|390,99|
| | |2 |85 |8 |8 |1 |7 |1 |00 |

Коэффициент регрессии (b) показывает абсолютную силу связи между вариацией x и вариацией y. Применительно к данной задаче можно сказать, что при применении расстояния до ближайшей пожарной станции на 1 км общая сумма ущерба изменяется в среднем на 4,686 млн.руб.

Таким образом, управление регрессии имеет следующий вид:

3. Линейный коэффициент корреляции определяется по формуле:

В соответствии со шкалой Чеддока можно говорить о высокой тесноте связи между y и x, r = 0.957.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации

Это означает, что доля вариации y объясненная вариацией фактора x включенного в уравнение регрессии равна 91,6%, а остальные 8,4% вариации приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении регрессии
4. Статистическую значимость коэффициента регрессии «b» проверяем с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого сначала определяем остаточную сумму квадратов: и ее среднее квадратическое отклонение:

Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле:

Фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии «b» рассчитывается как

Полученное фактическое значение tb сравнивается с критическим tk , который получается по талблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости L=0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы

Полученный коэффициент регрессии признается типичным, т.к.

Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера

Фактическое значение критерия для уравнения определяется как

Fфакт сравнивается с критическим значением Fк, которое определяется по таблице F-критерия с учетом принятого уровня значимости L=0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы:

Следовательно, при Fфакт>Fк уравнении регрессии в целом признается существенным.

5. По исходным данным полагают, что расстояние до ближайшей пожарной станции

уменьшится на 5% от своего среднего уровня

Следовательно, значения факторного признака для точечного прогноза:

а точечный прогноз :
Строим доверительный интервал прогноза ущерба с вероятностью 0,95 (L=0,05) по формуле

Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости L=0,05 и числа степеней свободы п-2=10-2=8,
Стандартная ошибка точечного прогноза рассчитываемая по формуле

Отсюда доверительный интервал составляет:

Из полученных результатов видно, что интервал от 19,8 до 28,6 млн. руб. ожидаемой величины ущерба довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, это видно из формулы связана прежде всего с малым объемом выборки (n=10), а также тем, что по мере удаления xk от ширина доверительного интервала увеличивается.

Задача 2
Имеются следующие данные о ценах и дивидендах по обыкновенным акциям, также о доходности компании.
|№ |цена |доходн|уровен|
| |акции |ость |ь |
| |лоллар|капита|дивиде|
| |США |ла % |ндов %|
|1 |25 |15,2 |2,6 |
|2 |20 |13,9 |2,1 |
|3 |15 |15,8 |1,5 |
|4 |34 |12,8 |3,1 |
|5 |20 |6,9 |2,5 |
|6 |33 |14,6 |3,1 |
|7 |28 |15,4 |2,9 |
|8 |30 |17,3 |2,8 |
|9 |23 |13,7 |2,4 |
|10 |24 |12,7 |2,4 |
|11 |25 |15,3 |2,6 |
|12 |26 |15,2 |2,8 |
|13 |26 |12 |2,7 |
|14 |20 |15,3 |1,9 |
|15 |20 |13,7 |1,9 |
|16 |13 |13,3 |1,6 |
|17 |21 |15,1 |2,4 |
|18 |31 |15 |3 |
|19 |26 |11,2 |3,1 |
|20 |11 |12,1 |2 |

1) построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров

Составим расчетную таблицу

|№ |y |X1 |X2 |X2*X2 |X1*X1 |y*X1 |y*x2 |X1*X2 |
|1 |25 |15,2 |2,6 |6,76 |231,04|380 |65 |39,52 |
|2 |20 |13,9 |2,1 |4,41 |193,21|278 |42 |29,19 |
|3 |15 |15,8 |1,5 |2,25 |249,64|237 |22,5 |23,7 |
|4 |34 |12,8 |3,1 |9,61 |163,84|435,2 |105,4 |39,68 |
|5 |20 |6,9 |2,5 |6,25 |47,61 |138 |50 |17,25 |
|6 |33 |14,6 |3,1 |9,61 |213,16|481,8 |102,3 |45,26 |
|7 |28 |15,4 |2,9 |8,41 |237,16|431,2 |81,2 |44,66 |
|8 |30 |17,3 |2,8 |7,84 |299,29|519 |84 |48,44 |
|9 |23 |13,7 |2,4 |5,76 |187,69|315,1 |55,2 |32,88 |
|10 |24 |12,7 |2,4 |5,76 |161,29|304,8 |57,6 |30,48 |
|11 |25 |15,3 |2,6 |6,76 |234,09|382,5 |65 |39,78 |
|12 |26 |15,2 |2,8 |7,84 |231,04|395,2 |72,8 |42,56 |
|13 |26 |12 |2,7 |7,29 |144 |312 |70,2 |32,4 |
|14 |20 |15,3 |1,9 |3,61 |234,09|306 |38 |29,07 |
|15 |20 |13,7 |1,9 |3,61 |187,69|274 |38 |26,03 |
|16 |13 |13,3 |1,6 |2,56 |176,89|172,9 |20,8 |21,28 |
|17 |21 |15,1 |2,4 |5,76 |228,01|317,1 |50,4 |36,24 |
|18 |31 |15 |3 |9 |225 |465 |93 |45 |
|19 |26 |11,2 |3,1 |9,61 |125,44|291,2 |80,6 |34,72 |
|20 |11 |12,1 |2 |4 |146,41|133,1 |22 |24,2 |
|итого |471 |276,5 |49,4 |126,7 |3916,5|6569,1|1216 |682,34|
| | | | | |9 | | | |

Опрелеляем

По Данным таблицы составим систему нормальных уравнений с тремя неизвестными:

Разделим каждое уравнение на коэффициент при a.
Вычтем первое уравнение из второго и третьего

Разделим каждое уравнение на коэффициент при

Сложим оба уравнения и найдем

Таким образом, уравнение множественной регрессии имеет вид

Экономический смысл коэффициентов [pic] и [pic] в том, что это показатели силы связи, характеризующие изменение цены акции при изменении какого-либо факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии другого фактора. Так, при изменении доходности капитала на один процентный пункт, цена акции измениться в том же направлении на 0,686 долларов; при изменении уровня дивидендов на один процентный пункт цена акции изменится в том же направлении на 11,331 доллара.

Рассчитать частные коэффициенты эластичности.

Будем рассчитывать частные коэффициенты эластичности для среднего значения фактора и результата:
Э[pic]- эластичность цены акции по доходности капитала
Э[pic]- эластичность цены акции по уровню дивидендов

Определить стандартизованные коэффициенты регрессии формулы определения:

[pic]где j- порядковый номер фактора
[pic]- среднее квадратическое отклонение j-го фактора (вычислено раньше)
[pic]=2,168 [pic]= ,0484
[pic]- среднее квадратическое отклонение результативного признака
[pic]=6,07

сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов.

Коэффициенты эластичности факторов [pic] говорят о том, что при отклонении величины соответствующего фактора от его средней величины на 1%
(% как относительная величина) и при отвлечении от сопутствующего отклонения другого фактора входящего в уравнение множественной регрессии, цена акции отклонится от своего среднего значения на 0,403% при действии фактора [pic] (доходность капитала) и на 1,188% при действии фактора
[pic](уровень дивидендов).

Таким образом сила влияния фактора [pic] на результат (цену акции) больше, чем фактора [pic], а сами факторы действуют в одном и том же положительном направлениии.

Количественно фактор [pic] приблизительно в три раза сильнее влияет на результат чем фактор [pic]. ([pic])

Анализ уравнения регрессии по стандартизованным коэффициентам [pic] показывает, что второй фактор влияет сильнее на результат, чем фактор [pic]
([pic]), т.е. при учете вариации факторов их влияние более точно.

6. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции.

Парные коэффициенты корреляции определяются по формулам:

Частные коэффициенты корреляции определяются по ф-ле:

Множественный коэффициент корреляции определяется по формуле:

Матрица парных коэффициентов корреляции

[pic]

Из таблицы видно, что в соответствии со шкалой Чеддока связь между
[pic]и [pic] можно оценить как слабую, между [pic]и [pic]- как высокую, между [pic] и [pic] связь практически отсутствует.

Таким образом, по построенной модели можно сделать вывод об отсутствии в ней мультиколлениарности факторов.

Частные коэффициенты корреляции рассчитывались как оценки вклада во множественной коэффициент корреляции каждого из факторов ([pic] и [pic]).
Они характеризуют связи между результативными признаками (ценой акции) и соответствующим фактором x при

Причина различий между значениями частных и парных коэффициентов корреляции состоит в том, что частный коэффициент отражает долю вариации результативного прихнака (цены акции), дополнительно объясняемой при включении фактора [pic] (или [pic]) после другого фактора [pic] (или [pic]) в уравнение регрессии, не объяснимой ранее включенным фактором [pic](или
[pic]).

6.

-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]