МГТУ им Н.Э.Баумана гр. ФН2-41
Котов В.Э.

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории
Максвелла.
(по материалам лекций Толмачева В.В.)

Постановка задачи

Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с электрической и магнитной проницаемостью [pic] и [pic] соответственно. Из среды 1 в 2 падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать плоской).При переходе через границу раздела волна разделится на две части : отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2)
, необходимо выяснить соотношения между углами [pic] и [pic], а также между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).
[pic] рис.1
Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений
Максвелла : [pic] и [pic] (1) (учитывая , что среда диэлектрическая
, т.е. [pic]) для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет
(если оси Х направить в сторону распространения волны):
[pic] и [pic] ([pic]=[pic]=0) (2) где A и B , [pic] и [pic], [pic]- постоянные (не зависят от времени и координаты) ,

[pic] и[pic] - характеристики среды , в которой распространяется волна ,

[pic] , t - рассматриваемый момент времени x - рассматриваемая координата на оси Х

V - скорость распространения волны в данной среде

(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких волн будет также их точным решением )

Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : [pic]и
[pic] не терпят разрыва на поверхности раздела , [pic] и [pic] также не терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет поверхностной плотности заряда:

[pic] (3)
(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 - ко второй)

Таким образом , необходимо построить точное решение уравнений (1)
, удовлетворяющих условиям (3). Для этого рассмотрим два случая : случай ТМ -волны (р-волны ) - вектор [pic]перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)- вектор [pic] перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть представлена как линейная комбинация двух таких волн.

Случай ТМ -волны (p - волны)
[pic] рис.2
Из рисунка видео , что [pic] , запишем условия равенства [pic] на границе раздела :
[pic] ( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн) подставляем значения[pic]:
[pic] подставляем [pic] из (2) :
[pic]
Аналогично , поскольку [pic] получаем для вектора [pic]на границе раздела:
[pic] ( c учетом (2) )
[pic] для выполнения равенств для [pic]и [pic] потребуем равенства аргументов косинусов :
[pic] потребуем также равенства начальных фаз: [pic] из рисунка видно , что : [pic] [pic], [pic] (4)
([pic],[pic]и [pic] - соответственно : угол падения , угол отражения и угол преломления ) , тогда имеем :
[pic]
[pic]
[pic] из равенства аргументов получаем :
[pic]

(т.к. [pic] , [pic] )
[pic]т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и преломления света разделим теперь выражения для[pic]и [pic]на [pic] , получим (c учетом
(4) ) следующую систему :
[pic] (5) здесь неизвестными являются [pic]и [pic] , а [pic] - заданно.
Умножим первое уравнение на [pic] а второе на [pic] и вычтем из первого второе , тогда члены с[pic] сократятся и получим:
[pic] поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость[pic] незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого класса сред можно считать [pic], тогда:
[pic].
( разделим числитель и знаменатель на [pic], и учтя , что[pic] ) применив закон преломления , получим (6):

из второго уравнения системы (5) получаем для [pic]:
[pic] (поскольку полагаем [pic],) , тогда:
[pic][pic] (7) проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые мы не учли -[pic] и [pic]. Второе равенство выполняется заведомо , поскольку [pic], проверим первое равенство [pic] : из рисунка видно , что [pic] , а [pic] подставим значения
[pic],[pic] и [pic]( из 2) , сократив сразу на [pic] , и учитывая (4)
:
[pic](выражая [pic]через второе уравнение системы (5) )
[pic]

Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы
Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):
[pic] и [pic]

Случай ТЕ -волны ( s - волны)
[pic] рис.3
Из рисунка видно , что [pic]
Условия (3) для [pic] и [pic]:
[pic] подставляя значения [pic]и [pic] из (2) получим :
[pic]как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон отражения и преломления света , сокращая на [pic]и с учетом (4) получим систему :
[pic] (8) умножим первое уравнение на [pic] а второе на [pic] и вычтем из первого второе :
[pic]
[pic] поскольку мы полагаем [pic] (см. выше) то [pic]
[pic] (9) из второго уравнения системы (8) получаем:
[pic] (10) проверим теперь неучтенные условия на границе раздела : [pic] и
[pic] .
Второе условие выполняется , поскольку [pic] , проверим выполнение равенства : [pic] из рисунка видно , что [pic] , а [pic] подставим значения [pic],[pic] и [pic]( из 2) , сократив сразу на [pic] , и учитывая (4) получим : [pic] подставляем [pic] из второго уравнения системы (8) :
[pic] таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))

[pic] и [pic]

Анализ формул Френеля

Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости от угла падения [pic]. Для этого рассмотрим отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга [pic] падающей и отраженной ([pic] и
[pic] в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей
([pic] и [pic]) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и преломления , с учетом (2) будем иметь:
[pic]
[pic]
[pic]

[pic]

А. Отражение

Исследуем сначала поведение [pic]и [pic] на границах отрезка [pic]: при [pic] (просто положить [pic] равным нулю нельзя , потому что будет неопределенность ):
[pic]
[pic]
[pic] для случая падения из воздуха в стекло ([pic]) : [pic] т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в воздух , то это значение не изменится)
В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную при[pic]:
[pic] [pic]

Действительно, преломленной волны при скользящем падении не образуется и интенсивность падающей волны не меняется.

В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения , когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от поверхности раздела. Это происходит при значениях [pic] больших , чем [pic], вычисляемого следующим образом:
[pic][1]
Для падения из стекла в воздух [pic]
Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение , поэтому [pic] в случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную изменяется до [pic], в этом случае:
[pic] [pic]

Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками , для этого исследуем на монотонность функции: [pic] и [pic]
Нам понадобится производная [pic], найдем ее как производную функции , заданной неявно :

[pic]

[pic]Знак этой производной ( поскольку [pic] , [pic]) зависит только от знака выражения [pic] , это выражение > 0 , когда [pic] (то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и
0 при [pic] и 0 , но эта функция проходит через нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения
[pic] в 0 обращаться не может[2] это происходит тогда , когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.:
[pic]
Это есть угол Брюстера ([pic]) , при котором [pic] обращается в 0 , то есть отраженная волна отсутствует . Для случая падения из воздуха в стекло [pic], для обратного случая (из стекла в воздух) [pic]При переходе через этот угол [pic] меняет знак на минус , следовательно
[pic] как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля) , а затем возрастает (до 1).
При [pic] для небольших[pic][pic]1 больше 0 при [pic] и меньше 0 при [pic], при n