Kinemaatika pхhimхisted

Nagu цeldud, fььsika on teadus mis kдsitleb kehade liikumist. Selleks aga tuleb defineerida liikumist kirjeldavad suurused ehk parameetrid, mis on: asukoht (koordinaadid), kiirus, kiirendus.
Asukoht (koodinaadid).
Keha asendi ja selle muutuste (liikumise) kvantitatiivseks kirjeldamiseks kasutatakse ruumikoordinaate. Koordinaadid on arvud, mis mддravad keha kauguse mingitest kindlaksmддratud kohtaest, koordinaat-telgedest.
Kolmemххtmelises ruumis on asendi mдaramiseks vajalik kolm arvu
(koordinaati), kahemххtmelises (tasapinnal) kaks ja ьhemххtmelises (joonel) uksainus arv. Analoogiat edasi arendades saab ette kujutada ka enama kui kolemххtmelisi ruume, nдiteks vхttes neljanda mххtmena kasutusele aja, aga kui tarvis, veel teisi muutuvaid parameetreid. Sejuures on tдhtis, et juurdetoodavad muutujad ei oleks seoste kaudu tuletatavad olemasolevatest, vaid oleksid tдiesti sхltumatud, ortogonaalsed (piltlikult oleksid kхik teljed ьksteisega risti, kuigi neid vхib olle palju rohkem kui kolm).

Kхige sagedamini kasutatav koordinaat-teljestik on sirgete ristiolevate telgedega nn. ristkoordid e. Cartesiuse koordinaadid. Selles teljestikus mддratakse keha asukoht kolme kauguse kaudu: esiteks liikudes piki x-telge, siis ristisuunas piki y-telge ja lхpuks ristisuunas piki z- telge. Kaugused x, y ja z kokkuleppelisest nullpunktist ongi keha riskoordinaadid. Riskoordinaadistikku kasutatakse nдiteks USA-s linnade planeerimisel, kus ‘streedid’ ja ‘avenue’d on ьksteisega risti ja nummerdatud kasvavas jдrjekorras alates linna keskpunktist. Positiivsete ja negatiivsete vддrtuste asemel kasutatakse ‘North’, ‘South’, East’ ja ‘West’ lisandeid.

Cartesiuse koordinaadid ei ole ainuke viis keha asukoha mддramiseks, vaid seda saab teha ka mхne testsuguse kolme arvu kombinatsiooni abil, peaasi, et kolm liikumist, mida need arvud kirjeldavad, oleksid ikka omavahel ristsuundades. Nдiteks tsentraalsьmmeetriliste (kerakujuliste ja kerakuju moondumisena tulenenud liikumiste) kirjeldamiseks on mugavamad nn. polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate on ka kolm, kuid ainult ьks neist
(raadius r) omab pikkuse (kauguse) dimensiooni, kaks ьlejддnut on nurgad, mis mддravad selle liikumise suuna, mida mццda minnes mддratud punkti jхutakse. Esimene on nurk v (teeta), mis mддrab erinevuse vertikaalsihist ja teine on nurk ?, mis mдarab erinevuse kokkuleppelisest horisontaalsihist. Polaarkoordinaate kasutatakse geograafias, kus
‘pхhjalaius’ on sisuliselt 90°-v ja idapikkus on ?. Kuna mддratavad punktid asuvad kхik Maa pinnal, siis raadius oleks kхigi jaoks umbes 6000 km ja see jдetakse kirjutamata. Maapinna kohal хhus vхi maa sees olevate punktide koordinaatidele tuleks aga raadiuse vддrtus juurde lisada.
Polaarkoordinaate allpool nдiteks elektroni orbitaalide kvantmehaaniliseks kirjeldamiseks vesiniku aatomis.

Liikumine, kiirus

Liikumine on keha asukoha (koordinaatide) muutumine ajas. Lihtsaim on ьhtlane sirgjooneline liikumine: konstantsed on kiiruse absoluutvддrtus ja suund.
Kiirus (v) on fььsikaline suurus, mida mххdetakse ajaьhikus lдbitud teepikkusega. Teepikkus ?s on kahe asukoha vahekaugus. Kolmemххtmelises ruumis avaldub teepikkus alg ja lхpp-punkti koordinaatide kaudu jдrgmiselt

[pic] (1.1)
Pikkuse (teepikkuse) ьhikuks on meeter, m. Meeter on ligilдhedaselt
1/40000000 Maa ьmbermххtu, kuid tдpne ьhik on kokkuleppeline ja oli pikemat aega defineeritud kui kahe peene kriipsu vahe plaatina-iriidiumi sulamist siinil, mida hoiti Pariisi lдhedal, nььd aga on meeter seotud teatud aine aatomite poolt kiiratava valguse lainepikkusega. Meeter on ьks kolmest pхhiьhikust ja teda ei saa tuletada teiste ьhikute kaudu.
Kiirus

[pic], kust [pic] ja [pic] (1.2)
Viimased valemid seovad omavahel kiiruse, teepikkuse ja aja. Aja ьhikuks on sekund, s. Sekund on ligilдhedaselt 1/(365.25x24x60x60) keskmise astronoomilise ццpдeva pikkusest, kuid tema tдpne vддrtus on praegu seotud teatud aine poolt kiiratava valguse vхnkeperioodiga. Sekund on ьks kolmest pхhiьhikust ja teda ei saa tuletada teiste ьhikute kaudu. Nдiteks kiiruse ьhik on m/s ehk m s-1 ja see on tuletatud pхhiьhikutest. Suurem osa tuletatud ьhikuid on seotud pхhiьhikutega andes viimastele vддrtuse 1.
Nii teepikkus kui ka kiirus on vektorid, millel on x, y, ja z- suunalised komponendid. Kahemххtmelisel (tasapinnalisel juhul) vektori s kaks komponenti on sx=scos?; sy=ssin?; [pic]
Ebaьhtlase liikumise kiirendus (a) on fььsikaline suurus, mida mххdetakse kiiruse muutusega ajaьhikus. Sirgjoonelise liikumise kiirendus on kiiruse muutumise kiirus, seega teine tuletis teepikkuse muutumisest:

[pic] (1.3)
Ka kiirendus on vektor, s.t., valem (1.3) kehtib sx, sy ja sz suhtes eraldi. Kiirenduse ьhik on m s-1 s-1 = m s-2 (loe: meeter sekundis sekundis).
Kiirendusega liikumise kiirus

[pic] (1.4) kui alghetkel kiirus ei olnud mitte null vaid v0.
Kiirendusega liikumisel lдbitud teepikkus, kui aega hakkame lugema nullist
(integraali alumine rada on null ja arvutada tuleb ainult ьlemine rada):

[pic] (1.5) ja teepikkuse s lдbimiseks kuluv aeg [pic] (1.4)
Juhul, kui algkiirus on null, siis

[pic], (1.5) kust leiame aja, mis kulub teepikkuse s lдbimiseks:

[pic] (1.6) ja kiiruse v, mis saavutatakse teepikkuse s lдbimisel

[pic] (1.7)
Maa raskuskiirendus on g=9.81 m s-2 ja see mддrab vabalt langevate kehade liikumise kiirenduse.
Ьlesanded: Kuidas mддrata torni kхrgust ampermeetri ja stopperi abil?
Kui suure algkiirusega peab pumpama vett, et purskkaevu juga kerkiks 30 m kхrgusele?
Kui kхrgele ja kui kaugele ulatub sama juga kui see suunata 45 kraadi all kaldu?
Kuidas peab piloot juhtima lennukit, et kabiinis tekiks kaaluta olek?
Vдhemalt kui suure algkiirusega peab toimuma kaugushьppaja дratхuge ja missuguse nurga all tuleb see suunata, et pьstitada uus maailmarekord
(oletame, et praegune maailmarekord on 9 m)?

Ringikujulisel (elliptilisel) trajektooril liikuvate kehade orbiidi leidmiseks tutvume kхverjoonelise liikumise kiirendusega, millest lihtsaim on ringjooneline liikumine.
Kхverjoonelise (ringjoonelise) liikumise tangentsiaal- (puutujasuunaline) kiirus

[pic] (1.8) kus r on raadius, ? on tiirlemisperiood ja ? on tiirlemissagedus.
Ristikiirendus

[pic] (1.9) kus ? on nurk-kiirus. Nurkkiirust mххdetakse pццrdenurga suurenemise kiiruse kaudu, ьhik on radiaan sekundis. Tдisring on 2? radiaani, seega ьks tiir sekundis tдhendab nurkkiirust 2? radiaani sekundis.

Dьnaamika pхhimхisted ja seadused: jхud, impulss, tцц, energia

Newtoni esimene seadus (ka Galilei seadus, inertsiseadus): Iga keha liigub ьhtlaselt ja sirgjooneliselt seni kuni teiste kehade mхju (jхud) ei pхhjusta selle seisundi (kiiruse) muutumist.
Ьhtlane ja sirgjooneline liikumine on vхimalik ainult avakosmoses vдga kaugel taevakehadest. Maa pinnal on kхik kehad gravitatsioonivдlja mхjusfддris ja neile mхjub Maa kьlgetхmbejхud. Demonstratsioonkatseks on mхjudeta liikumisele ligilahedane teraskuuli veeremine horisontaalsel peegelpinnal, kus raskusjхud on liikumisega risti ja hххrdumisjхud on minimaalne. Ka piljardikuulid liiguvad kьllatki ьhtlaselt ja sirgjooneliselt kuni pхrkumiseni.

Newtoni teine seadus: Liikumise muutumise kiirus (kiirendus) on vхrdeline rakendatud jхuga ja toimub jхu suunas.

[pic] ehk [pic] (2.1) kus f on jхud, m on keha mass ja a on kiirendus. Vхrdetegur, mis seob kiirenduse jхuga on pццrdvхrdeline keha massiga, s.t. ьks ja seesama jхud pхhjustab seda suurema kiirenduse mida vдiksem on keha mass. Jхud f ja kiirendus a on vektorid (suunaga suurused), m on skaalar (suunata suurus).
Massi ьhik on kilogramm (kg). Ьks kilogramm on ligilдhedaselt ьhe dm3 puhta vee mass, kuid tдpne massi etaloon on plaatina-iriidiumi sulamist metallkeha, mis on hoiul Pariisi lдhedal. Kilogramm on seega ьks kolmest pхhiьhikust, mille suurus on kokkuleppeline ja mida ei saa tuletada teiste ьhikute kaudu. Tuletatud ьhiku nдiteks on jхu ьhik: ьks njuuton (N) on jхud, mis annab massile ьks kilogramm kiirenduse ьks m s-2

Mass: kaal ja inerts
Massil on kaks omadust: inerts ja gravitatsioon. Huvitaval kombel on need kaks omadust alati vхrdelised ja massi suurust saab mддrata nii ьhe kui teise kaudu. Kaalumine on massi mххtmise viis gravitatsioonijхu kaudu. Mitu
N kaalub keha massiga 1 kg? Kaal on raskusjхud, millega Maa tхmbab keha.
Raskusjхud annab massile 1 kg kiirenduse 9.8 m s-2, sel ajal kui 1 N annab kiirenduse vaid 1 m s-2. Seega, mass 1 kg kaalub 9.8 N. Sama mass 1 kg kaaluks Kuu peal umbes kuus korda vдhem, seega umbes 1.6 N. Keha kaal sхltub ka asukohast Maal (ekvaatoril on Maa pццrlemisest tulenev tsentrifugaaljхud suurem ja see vдhendab kaalu). Kaalu vдhendab ka хhu ьleslьke. Seega, ьks kilogramm udusulgi kaalub vдhem kui 1 kg rauda, kui ei arvestata хhu ьleslьkke parandit. See parand on seda suurem, mida lдhdasemad on kaalutava keha ja хhu tihedused, kuni selleni, et vesinikuga tдidetud хhupall omab negatiivset kaalu. Хige kaalu mддramine oleks хhu ьleslьket arvestades, kuid praktikas, kui on tegu tahkete ainete vхi vedelikega, on selle tдhtsus suhteliselt vдike. Kui kьsite poest ьhe kg leiba, siis soovite te tхepoolest leiva massi, mitte selle kaalu. Seega kьsimine kilogrammides ja mitte njuutonites on fььsikaliselt хige. Kui mььja kaalub leiva vedrukaaluga, siis saab ta tulemuse njuutonites ja see sхltub laiuskraadist. Kui aga kasutatakse kangkaalu, siis vхrreldakse omavahel kaalutavat keha kaalupommide massiga ja tulemus ei sхltu laiuskraadist.

Newtoni kolmas seadus: Mхju (jхud) on vхrdne vastumхjuga (vastujхuga)
[pic]. Kui esimene keha mхjutab teist jхuga f siis teine keha mхjutab esimest jхuga –f. Klassikaline nдide: paadist kaldale hьpates tхukate paati kaldast eemale. Kumb aga liigub kiiremini, teie vхi paat?
Kahe keha vastasmхjul saavad mхlemad kiirenduse pццrdvхrdeliselt nende kehade massiga:

[pic] ehk [pic] (2.2)
Newtoni kolmandal seadusel pхhineb rakettmootori tцц. Igal ajamomendil paiskab reaktiivmootor suhteliselt vдikest kьtuse massi suure kiirendusega tahapoole, selle tulemusena liigub rakett kui suurem mass vдiksema kiirendusega vastassuunas. Protsess on pidev seni kuni mootor tццtab ja kuna kiirendus mхjub mхlemale, nii raketile kui kьtusele vхrdse aja jooksul, siis lхppkokkuvхttes suhtuvad ka raketi ja ruumi vдljapaisatud kьtusemassi kiirused nii nagu valem (2.2) nдitab kiirenduste kohta. Kui nдiteks raketi ja kьtuse massid on vхrdsed, siis on lхpuks vхrdsed ja vastassuunalised ka nende kiirused. Erinevus raketi ja ruumipaisatud kьtuse vahel on aga selles, et rakett kui tahke keha omab ьhte kindlat kiirust, kьtuse pхlemisprodukt aga on gaasiline ja valem (2.2) kehtib selle ruumilise massikeskme kohta.

Ka lindude lendamine (ja isegi loomade vхi inimese ujumine) on sisuliselt reaktiivliikumine, sest teist vхimalust kui Newtoni kolmanda seaduse abil хhust raskemal kehal хhus (veest raskemal kehal vee peal) pьsimiseks ei ole. Lind lьkkab tiibadega хhku allapoole, mхjutades хhumassi jхuga ja andes хhule allapoole liikumise kiirenduse, samal ajal vastujхud tхukab lindu ьlespoole. Linnu ьlespoole liikumise kiirendus on niisama suur kui raskuskiirendus, kuid sellega vastassuunaline, nii et mхlemad kompenseeruvad ja lind lendab konstantsel kхrgusel. Matemaatiliselt,
[pic], kus m1 on linnu ja m2 tiibade all liikuma pandud хhu mass ning a on viimasele antud kiirendus.

Ьlesanne: Selgitada, mis ьhist on lennuki reaktiivmootoril, propellermootoril, lendamisel tiivalehvitamisega ja planeerimisel.

Ьks tдhtsamaid kiirendusest tulenevaid jхude on kesktхmbejхud ja kesktхukejхud ringlikumisel, mis on vхrdsed javastassuunalised. Keha liigub ringikujulist trajektoori mццda tдnu jхule, mis tхmbab teda keskpunkti suunas. Kesktхmbejхud vхib olla gravitatsioon (Maa tiirlemine ьkber
Pдikese), elektromagnetiline (elektroni tiirlemine ьmber tuuma) vхi mehaaniline (nццr mis ьhendab lingukivi kдega, tsentrifugaalpumba korpus, mis suunab vedeliku ringtrajektoorile, aga ega nedes kehadeski esine lхppkokkuvхttes muud kui elektromagnetilised jхud). Kesktхukejхud tekib keha inersti tхttu, tema pььdest likuda sirgjooneliselt puutujat mццda.
Kesktхukejхud ringliikumisel avaldub jдrgmiselt

[pic]. kus ? on nurkkiirus. Nurkkiirus seostub lineaarkiirusega jдrgmiselt:
[pic] ehk [pic], seega

[pic]
Kui suur on 100 kg-se mehe kaaluvahe poolusel ja ekvaatoril? Maakera raadius on 6000 km. Nurkkiirus on 2?/(24x3600) = 7.27x10-5 radiaani sekundis. Asendades need vдrtused valemisse (??) saame f=100x(7.27x10-
5)2x6x106 = 100x52.8x10-10x6x106= 3.168 N. Poolusel kaalub 100 kg 981 N.
Suhteline kaalu kahanemine on 3.17/981=0.0032 ehk 0.32%. Meie laiuskraadil ja ekvaatoril on see suhe veel umbes poole vдiksem.

Tsentrifugaaljхu praktilisi rakendusi: tsentrifugaalpumbad ja ventilaatorid. Kuidas muutub ventilaatori ja tsentrifugaalpumba arendatav rхhk mootori pццretest?

Liikumise hulk ehk impulss.
Kui pььate vдga massiivset keha, nдiteks autot, liikuma lьkata, siis tuleb jхudu rakendada kьllalt kaua, enne kui saavutate vajaliku kiiruse, nдiteks kьllaldase mootori kдivitamiseks ilma starteri abita. See tдhendab, et keha poolt saavutatud kiirus sхltub jхu mхjumise ajast. Kasutame kiiruse arvutamiseks kahte seost: [pic], kust [pic]
Suurust mv nimetatakse liikumise hulgaks ehk impulsiks. Impulsi muutus on vхrdeline jхuga ja selle mхjumise ajaga ning toimub jхu suunas.
Impulsi jддvus liikuvate kehade vastasmхjudes on energia jддvuse kхrval ьks looduse pхhiseadusi. Nдiteks kahe piljardikuuli pхrkel vхi kahe gaasimolekuli pхrkel
[pic]
Impulsi muutus kehade vastasmхjul on vхrdne ja vastassuunaline, sьsteemi summaarne impulss on konstantne. Impulsi mхistet kasutame allpool gaaside rхhu arvutamisel.

Tцц ja energia.

Tцц on fььsikaline suurus, mida mххdetakse jхu ja jхu suunas lдbitud teepikkuse korrutisega

[pic]
Tцц ьhik on Dzhaul (Joule), [J] = [N]x[m]. Dzhaul on tцц, mida teeb jхud ьks njuuton ьhe meetri pikkusel teel. Tццd tehakse siis, kui liigutatakse mingit keha avaldades sellele jхudu. Nдiteks, tхstes 50 kg viljakotti maast
1m kхrgusele vankrile tehakse tцц mis vхrdub koti kaal (njuutonites !) korda vankri kхrgus, 50x9.8x1=490 J. Kui vesi langeb 20 m kхrguses joas kдivitades turbiini, siis iga kg vett teeb tццd 20x9.8=295 J.
Kui jхud on teepikkuse (koordinaadi) funktsioon (on muutuv sхltuvalt asukohast), siis tuleb rakendada integreerimist. Integreerida vхib liikumise ja jхu kui vektori komponente kolme koordinaadi suunas eraldi

[pic]
Tььpiline muutuva jхu poolt tehtud tцц arvutus on seotud keha asukoha muutusega teise keha gravitatsiooni- vхi elektrivдljas. Nдiteks, Newtoni gravitatsiooniseadus vдidab, et kahe keha vahel mхjub gravitatsioonijхud, mis on vхrdeline nende kehade masside korrutisega ja pццrdvхrdeline nedevahelise kauguse ruuduga:

[pic]
Elementaartцц, mida tehakse selleks, et suurendada kehade vahelist kaugust dx vхrra oleks
[pic] ja liikumisel ьle mingi pikema vahemiku tehtud tцц oleks
[pic] [pic]

Kui teepikkus on mддratud, tuleb integraal vхtta radades liikumise algpunktist lхpp-punkti. Valem ??? nдitab, et kui kahe keha vaheline jхud kahaneb kauguse suurenedes pццrdvхrdeliselt kauguse ruuduga, siis tehtud tцц kasvab kauguse kasvades pццrdvхrdeliselt kaugusega. Tхmbuvate kehade vahelise kauguse suurendamiseks tuleb teha vдlist tццd, kui kehad lдhenevad, siis nad teevad ise tццd. Tхukuvate kehade, nдiteks samanimeliste laengute vahel, on olukord vastupidine: tхukuvate kehade lдhendamiseks tuleb teha vдlist tццd, kui need kehad eemalduvad teineteisest, siis nad teevad ise tццd. Viimase juhu nдiteks oleks aatomite lдhenemine, kus vдlise elektronkihi elektronid tхukuvad ьksteise elektrivдljas. Tahkete kehade kokkupuude ja hххrdumine ongi vдliste elektronkihtide tхukumine, tegelikku fььsilist kokkupuudet ei esine kunagi.
Vхimsus on fььsikaline suurus, mida mххdetakse ajaьhikus tehtud tцц hulgaga.

[pic]
Vхimsust kasutatakse nдit. mootorite ja kьttekehade hindamisel, teadmaks kui palju tццd need suudavad ajaьhikus teha. Vхimsuse ьhik on Watt [W] =
[J] [s]-1 ьks Dzhaul sekundis. Elektripirnide tarbitav vхimsus on nдiteks
40 – 100 W, elektripliit 600 – 2000W, automootor 50 – 100 kW.
Elektrienergia hulga mххtmiseks kasutatakse ьhikut kilovatt-tund (kWh), see on tцц, mida teeb vхimsus 1 kW ьhe tunni = 3600 s jooksul. Ьks kWh = 1000 J s-1 x 3600 s = 3600000 J = 3600 kJ.

Energia on keha vхime teha tццd.

Energiat on kahte liiki, liikuva keha kineetiline energia ja jхuvдljas asuva keha potentsiaalne energia. Energia jддvuse seadus on looduse pхhiseadus: Energia ei teki ega kao, vaid muundub ьhest vormist teise.
Seega, looduses toimub kineetilise energia muundumine potentsiaalseks ja potentsiaalse energia muundumine kineetiliseks.
Liikuva keha kineetiline energia. Arvutame, kui palju tццd tuleb teha, et keha (massiga m) kiirust suurendada paigalseisust kuni vддrtuseni v. See tцц moodustabki likuva keha kineetilise energia.
Tцц=energia: [pic]
Kui suur aga on teepikkus s mille lхpuks saavutatakse kiirus v? Kasutame seost (1.7)

[pic], kust [pic]

Teades, et [pic], asendame selle ja saame

[pic]
Nььd on selge, et

[pic]

Kineetiline energia on vхime teha tццd. Liikuva keha peatumisel vхib ta enese ees lьkata teist keha mхjudes sellele jхuga ja tehes tццd. Kui auto sхidab vastu puud, siis auto kineetiline energia liigutab plekke paigast ja murrab sхitjate luid. Tдhelepanu, et auto kiiruse suurenemisel kaks korda suureneb kineetiline energia neli korda! Niisugustel deformeerivatel pхrgetel muutub kineetiline energia peamiselt molekulide soojusenergiaks.
Kineetiline energia muutub potentsiaalseks energiaks kui liikuvat keha peatab jхuvдli, nдiteks kui viskame kivi ьlespoole. Gravitatsioonivдlja jхud peatab lхpuks kivi liikumise, kuid kivi kineetiline energia on muundunud tema potentsiaalseks energiaks. Sama juhtub elektronidega, kui nad saavad lisaks kineetilist energiat (nдiteks aatomite pхrgetel vхi valguse neeldumisel): nad liiguvad tuumast kaugemale.

Jхuvдljas asetseva keha potentsiaalne energia.Vaatleme esialgu gravitatsioonivдlja maapinna lдhedal. Arvutame, kui palju tццd tuleb teha keha (massiga m) tхstmiseks kхrgusele h.

[pic]
Gravitatsioonivдli ja elektrivдli on nn. potentsiaalsed vдljad, kus keha potentsiaalse energia muutus sхltub ainult alg-ja lхppasukohast, mitte aga vahepealse liikumise trajektoorist. Tehtud tцц on sama, ьkskхik millist rada mццda liigutakse samade alg- ja lхpp-punktide vahel. Vabal inertsel liikumisel jхuvдljas (ilma vдlismхjudeta) potentsiaalne ja kineetiline energia pidevalt muunduvad teineteiseks, nii et summaarne energia on kogu aeg sama:

[pic]
Nдiteks kхrguselt h kukkuva keha kiiruse leiame teades et kukkumise lхpuks

[pic], kust [pic]
Ьlesvisatava kivi maksimaalkхrguse vхime samuti leida tema algenergia
(algkiiruse) kaudu.

Kineetilise ja potentsiaalse energia muundumine toimub ka lihastetццs. Nдiteks vхib teoreetiliselt arvutada, kui kхrgele saab hьpata kirp, kelle kehas keskmine ATP kontsentratsioon on 0.1 mM, eeldades, et ATP keemiline energia kхik muutub hьppel kineetiliseks energiaks.

Eelmised ьlesanded on lihtsad, sest ьlesvisatud keha kхrgus muutub suhteliselt Maa raadiusega sedavхrd vдhe, et rakusjхudu saab lugeda konstantseks. Kui aga kaugus muutub suhteliselt palju, nдiteks nagu kosmoselendudel, vхi nagu elektroni kaugus muutub tuuma suhtes, siis ei saa ei gravitatsiooni- ega elektrivдlja jхudu enam konstantseks lugeda vaid tцц
(energia) arvutamisel tuleb arvestada, et jхud muutub koos kaugusega.

Jхudude tasakaal, kiirus ja energia ringjoonelisel tiirlemisel.

Looduses asuvad kхik kehad ьksteise jхuvдljades, suuremad kehad gravitatsioonivдljas, vдikeste kehade puhul on oluline elektrivдli. Ometi ei kuku tхmbuvad kehad ьksteise peale, sest sellisel juhul oleks kogu
Universum ammu kokku kukkunud, elektronid oleksid kukkunud aatomituumadesse ja planeedid nende Pдikestesse. Loodust stabiliseerib see, et kehad tiirlevad ьksteise ьmber, nii et kesktхmbejхud ja kesktхukejхud on vхrdsed ja radiaalsuunalist kiirendust (jхudu) ei esine. Kasutades fььsikast teadaolevaid valemeid gravitatsioonilise (elektrilise) kesktхmbejхu ja inertsiaalse kesktхukejхu kohta saab nende tasakaalutingimustest tuletada nдiteks kui suur on tiirleva keha potentsiaalne, kineetiline ja summaarne energia.

Mхlemad, nii elektrivдlja kui ka gravitatsioonivдlja tugevus (mхjuv jхud) kirjelduvad ьhe ja sellesama seadusega: gravitatsioonivдli: [pic] ja elektrivдli: [pic]

kus m on keha mass, e on keha laeng (indeksid nдitavad esimese ja teise keha oma eraldi), r on nendevaheline kaugus ka konstant k mддrab seose kasutatava ьhikute sьsteemiga. Kui masse mххdetakse kilogrammides, siis gravitatsioonijхu saamiseks Njuutonites omab gravitatsioonikonstant kg vддrtust ????. Kui laenguid mххdetakse Coulombides (Kulonites, C) siis elektrostaatilise tхmbejхu saamiseks Njuutonites elektrivдljakonstant ke omab vддrtust ????.

Muide, selles, et need konstandid ei oma vддrtust 1, vдljendub fььsikalise mххtьhikute sьsteemi ajalooliselt kujunenud ebajдrjekindlus.
Sьsteemselt хige oleks olnud massiьhikuks vхtta niisugune mass, mis teist samasugust tхmbab ьhe pikkusьhiku kauguselt ьhikulise jхuga. Seesama ьhikuline jхud aga peab andma ьhikulisele massile ka ьhikulise kiirenduse.
Et see aga nii tuleks, peaks nii massi, pikkuse kui ajaьhikut vastavalt muutma. Praegused pхhiьhikud ei ole ьldse seotud gravitatsiooniseadusega.
Samasugune on lugu elektrilaenguьhikutega. Formaalselt peaks laenguьhik
Coulomb (Kulon) olema defineeritud kui laeng mis tхmbab teist samasuurt vastasmдrgilist laengut pikkusьhiku kauguselt ьhikulise jхuga. Tegelikult on aga Coulomb defineeritud hoopis magnetvдlja kaudu: Coulomb on laeng, mis liikudes ьhe sekundi jooksul lдbi 1 m pikkuse traadi mхjutab teist samasugust traati, milles voolab niisama tugev vool, 1 m kauguselt jхuga 1
N. See definitsioon baseerub magnetvдljal, mis on liikuvate laengute ьmber ruumis. Elektrivдlja jхud avaldub nььd aga ьlaltoodud kaliibrimiskonstandi kaudu.

Leiame keha (laengu) potentsiaalse energia tsentraalsьmmeetrilises gravitatsiooni- (elektri-) vдljas. Kuna jхud on tugevasti kaugusest sхltuv, siis tuleb kindlasti rakendada integreerimist. Laengu liikumisel elektrivдljas vдga lьhikesel teepikkusel tehtud tцц on
[pic]
[pic] kus liikumise teepikkust tдhistame seekod raadiuse (kugus tsentrist) muutusena dr. Kui laeng liigub raadiuselt r1 raadiusele r2, peame integreerima vastavates radades:
[pic][pic]
Valem nдitab, et tsentraalsьmmeetrilises elektrivдljas liikudes muutub laengu potentsiaalne energia pццrdvхrdeliselt kaugusega tsentrist.
Analoogiline valem kehtib ka gravitatsioonivдlja kohta, ainult et seal esinevad kahe laengu asemel kaks massi ja elektrivдlja konstandi asemel gravitatsioonikonstant. Kui laeng liigub tsentrist eemale, siis r2>r1 ja negatiivne liige on vдiksem kui positiivne, seega siis potentsiaalne energia kasvab. Vastupidi, potentsiaalne energia kahaneb, kui laeng liigub tsentrile lдhemale. Potentsiaalse energia nullnivoo on aga kokkuleppeline.
See vхiks olla ьks ддrmuslikest seisunditest, kas [pic]vхi [pic]
(lхpmatus). Siiski, raadius ei saa olla null, sest siis lдheneb energia lхpmatusele, seega jддb kokkuleppeliseks nulliks nivoo, kus laengud asetsevad teineteisest lхpmatu kaugel. Lдhenedes aga nende potentsiaalne energia kahaneb, seega muutub negatiivseks, ja lдheneb miinus lхpmatusele kui laengud kohtuvad. Niisugune potentsiaalse energia nullnivoo definitsioon, mis on hea elektronide ja tuumade vahelise mхju kirjeldamiseks aatomites, on erinev igapдevakogemusest gravitatsioonilise energiaga, kus nulliks loeme tavaliselt energia maapinnal ja energia loeme positiivselt kasvavaks kui keha maapinnast kaugeneb. Kui valemis ??? [pic], st. elektron lдheneb tuumale lхpmatu kaugelt, siis tema potentsiaalne energia on alguses null ja kahaneb lхpuks vддrtusele

[pic]

Kuna see energia kuhugi kaduda ei saa, siis muutub ta elektroni liikumise kineetiliseks energiaks, st., lдhenedes tuumale elektron liigub kiirenevalt, nii nagu nдiteks asteroid liigub kiirenevalt lдhenedes Maa pinnale. Vahe on siiski selles, et elektron ei lange kunagi tuumale, vaid jддb tiirlema mingil kaugusel ьmber tuuma. Tiirlemise kaugus (raadius, on mддratud sellega, millal elektriline tхmbejхud vхrdub inertsiaalse kesktхukejхuga. Matemaatiliselt avaldub see tingimus jдrgmiselt:

[pic]
Selle valemi vasak pool on varasemast tuttav kesktхukejхu valem keha massiga m ringliikumisel joonkiirusega v ьmber tsentri kaugusel r. Valemi parem pool on elektrostaatilise tхmbejхu valem, kuid siin on juba arvestatud, et aatomis positiivne ja negatiivne laeng on vхrdsed, mхlemad vддrtusega e.

Eelmisest valemist saab leida raadiuse, mille saab siduda nii elektroni kiiruse kui tema kineetilise energiaga:

[pic] vхi

[pic]

Ьmber tuuma tiirleva elektroni kineetiline energia kasvab kui elektron lдheneb tuumale (r kahaneb). Tuletame meelde, et potentsiaalne energia samal ajal kahanes:

[pic], ja summaarne energia

[pic]

Elektroni summaarne energia kahaneb kui elektron asub tiirlema orbiidile mis on tuumale lдhemal. Kuhu see energiavahe siis lдheb, millisesse vormi muutub (kaduda ju ei saa)?

See energiavahe peab aatomist eralduma ja seda ta ka teeb, kas valguskvandi kujul, vхi kandub ьle mхnele naaberaatomile, tхstes selle elektroni vastavalt kхrgemale energianivoole, vхi eraldub soojusena, s.o. muutub aatomi translatoorseks (kulgevaks) liikumiseks. Niisugune elektronide ja tuuma vahelise kauguse muutumine, elektronide tiirlemine erineva raadiusega orbiitidel, on peamine keemiliste ainete siseenergia, keemilise energia olemus. Ained, mille molekulides elektronid tiirlevad tuumadest kaugemal, on energiarikkamad ja vхivad seda vabastada kui keemilise reaktsiooni tulemusena toimuvad muutused, mille tulemusena elektronid saavad tuumadele lдhemale asuda. Bioloogiliste protsesside energeetika on samadel alustel: fotosьnteesis tхstetakse elektron valguskvandi abil kхrgemale energianivoole, tuumast kaugemale orbiidile, ja metabolismi kдigus ta jдrkjдrgult lдheneb tuumale, vabastades niimoodi kvandi poolt talle antud energia.

Kas aga elektronid saavad tiirelda ьmber tuuma igasugustel kaugustel?
Kui see nii oleks, vхiks ju vabastada vдga suuri keemilise siseenegia koguseid lubades elektronil asuda tuumale vдga-vдga lдhedale (lastes raadiuse nulli lдhedale). Tхepoolest, klassikaline fььsika seda lubaks, kuid tegelikkuses seda ei juhtu. Siin tulevad sisse kvantmehaanilised piirangud, mis klassikalise fььsika abil ei seletu. Jдrgnevas tutvumegi atomaarse kvantteooria pхhialustega.

-----------------------
[pic]

[pic]