МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИИ

АРХАНГЕЛЬСКИЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

К а ф е д р а т е п л о т е х н и к и

РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕОДНОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ С

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНСЕРВАТИВНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

А Р Х А Н Г Е Л Ь С К

1 9 9 3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

О Г Л А В Л Е Н И Е

Введение ................................………………………………….......

1.Основные положения методики построения консервативно- разностной схемы при решении неодномерных задач стационарной теплопроводности ...........…………………...........

2. Методика подготовки и решения задачи на ЭВМ ....…………...

2.1. Постановка задачи, разработка математической модели ...................................………………………………….....

2.2. Выбор метода численного решения .......…………………......

2.3. Разработка алгоритма и структуры .........…………………......

2.4. Написание программы и подготовка ее к вводу в ЭВМ .....................………………………………...............

2.5. Тестирование, отладка программы и решение на ЭВМ

Литература .......................…………………………………................

В В Е Д Е Н И Е

Базовый уровень подготовки инженера-энергетика в области информатики и вычислительной техники определяется необходимым набором знаний, умений и навыков в применении ЭВМ для решения различных технических задач.

Специалисты этой категории, помимо умения использовать прикладное программное обеспечение, должны быть программирующими пользователями, т.к. их профессиональная деятельность связана с выполнением большого количества теплотехнических расчетов.

Для соблюдения принципа фундаментальности высшего образования работа построена на базе рассмотрения вопросов применения ЭВМ для решения основных задач теории теплообмена. К одной из таких задач относится задача, связанная с определением температурного поля не одномерных тел численными методами.

Рассмотрим методику подготовки и решения указанной задачи на персональном компьютере.

1. О С Н О В Н Ы Е П О Л О Ж Е Н И Я М Е Т О Д И К И
П О С Т Р О Е Н И Я К О Н С Е Р В А Т И В Н О-Р А З Н О С Т Н О Й С Х Е
М Ы ПРИ Р Е Ш Е Н И И Н Е О Д Н О М Е Р Н Ы Х З А Д А Ч С Т А Ц И О Н
А Р Н О Й Т Е П Л О П Р О В О Д Н О С Т И

Определение температурного поля в любой момент времени является основной задачей теории теплопроводности. Для изотропного тела {с постоянным по различным направлениям коэффициентом теплопроводности (} она может быть описана дифференциальным уравнением теплопроводности

? T + Qv/( = 1/a*( dT/d(()),

(1)

где Т - температура; а - коэффициент температуропроводности, а=(/((*c);
( - плотность материала, с - удельная теплоемкость при постоянном давлении, ? -обозначение оператора Лапласа {?= d /dx + d /dy + d /dz - в декартовых координатах x, y, z }; ( - время, Qv - объемная плотность теплового потока.

Уравнение теплопроводности является математическим выражением закона сохранения энергии в твердом теле.

При решении задачи к дифференциальному уравнению теплопроводности необходимо добавить краевые условия. В описание краевых условий входят: поле температур для какого-нибудь предшествующего момента времени
{начальные условия}, геометрия тела {геометрические условия}, теплофизические характеристики тела {физические условия} и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой {граничные условия}.

Если процесс теплопроводности не только стационарный
{dT/d(tay)=0}, но и происходит без тепловыделения внутри материала (Qv =
0), то уравнение принимает вид

?(Т) = 0 .

(2)

Ввиду сложности и трудоемкости решения неодномерных задач теплопроводности аналитическими методами в инженерной практике наиболее часто используют приближенные. Один из них – метод конечных разностей, непосредственно базирующийся на дифференциальном уравнении теплопроводности и граничных условиях, представляет наибольший интерес.

В настоящее время значительное распространение получили конечно- разностные методы, построенные с использованием известных законов сохранения. В этом случае разностные схемы получили название консервативные. Такой подход к построению схемы, сохраняющий физическую сущность задачи, предпочтительнее чисто аналитического подхода, заключающегося в непосредственной записи дифференциальных уравнений конечно-разностными аналогами.

Следует заметить, что теория конечно-разностных численных методов является самостоятельным разделом вычислительной математики и широко представлена в специальной литературе[1,2,]. С основными методами построения конечно-разностных схем, алгоритмами расчета, программным обеспечением применительно к задачам теплообмена можно ознакомиться в учебной литературе [3,4,5].

При изложении указанного метода особое внимание уделено физическому смыслу построения консервативной разностной схемы и ее реализации на
ПЭВМ в задачах теплопроводности.

При использовании численного метода с консервативной разностной схемой твердое тело разбивают на элементарные объемы. Предполагается, что масса такого элементарного объема сосредотачивается в его центре, называемом узлом. Для каждого узла на основе закона сохранения энергии составляется уравнение теплового баланса, которое включает значения всех тепловых потоков на границах объемов (ячеек). Если ячейка прилегает к поверхности тела, то выражения для определения тепловых потоков должны описывать теплообмен между телом и окружающей средой, то есть учитывать граничные условия. После выполнения преобразований с уравнениями теплового баланса получают алгебраические уравнения для температуры в каждом узле. Поскольку число узлов и число ячеек совпадают, то образованная система алгебраических уравнений является конечно- разностным аналогом дифференциального уравнения теплопроводности и заменяет его с соответствующими граничными условиями. Такой подход к составлению конечно-разностного аналога, увязанного с тепловым балансом, позволяет получать правдоподобные решения даже при грубом выборе расстояния между узлами (размера ячейки сетки).

Рассмотрим некоторые конкретные примеры составления конечно- разностных схем для узлов двумерной задачи теплопроводности. В этом случае уравнение (2) принимает вид dT/dx + dT/dy = 0 .

(3)

Внутренняя область типичного двумерного тела показана на рис.1.

Рис.1. Расположение узла внутри двумерного тела толщиной б.

Каждый элементарный прямоугольник (ячейка сетки) имеет длину -х и высоту -у в направлениях осей х и у. Внутренний узел, обозначенный символом 0, окружен четырьмя соседними узлами: 1,2,3,4. Кондуктивный перенос теплоты, который в действительности происходит в твердом теле через поверхности y*б и x*б (б -толщина тела) будем считать как перенос теплоты от соответствующих узлов к центральному. В установившихся условиях уравнение баланса тепловых потоков для узла 0 при отсутствии внутреннего тепловыделения будет иметь вид

Q(1-0) + Q(2-0) + Q(3-0) + Q(4-0)
= 0 , (4)

где Q(I-0) - тепловой поток; индекс (I-0) указывает направление переноса в узлах.

Для определения кондуктивного теплового потока может быть применен закон Фурье

Q = - lamda * F * dT/dn, (5)

где Т - температура, n - направление переноса теплового потока, F - поверхность, через которую переносится тепловой поток.

Для построения расчетной схемы градиент температуры в выражении (5) заменим разностью температур в соседних узлах. В этом случае первый член выражения (4) примет вид

Q(1-0) = y*б*(T[1] -
T[0])/x. (6)

Здесь градиент температуры определяется на границе двух узлов 1 и 0, имеющих температуры соответственно Т[1] и Т[0].

Аналогичные уравнения могут быть получены и для остальных трех членов уравнения (1):

Q(2-0) = x*б*(T[2] - T[0])/y,

(7)

Q(3-0) = y*б*(T[3] - T[0])/x,

(8)

Q(4-0) = x*б*(T[4] - T[0])/y .

(9)

Точность аппроксимации градиента зависит от размера ячейки. Если ячейка имеет квадратную форму, то уравнение теплового потока становится независимым от формы тела.

Подставляя зависимости (6)...(9) в выражение (4), можно увидеть, что при постоянном коэффициенте теплопроводности для квадратной сетки
(x = y) оно сводится к соотношению между температурами в рассматриваемом узле и близлежащих:

T[1]+ T[2] + T[3] + T[4] - 4*T[0] = 0.

(10)

Выражение (10) применимо ко всем внутренним узлам.

Рассмотрим узел, расположенный на поверхности твердого тела, толщиной б в двухмерной задаче (рис.2).

Рис.2.Расположение узлов на поверхности двумерного тела, омываемого жидкостью

Пусть узел 0, расположенный на границе твердого тела, контактирует с окружающей средой, имеющей температуру Тc. Интенсивность теплообмена с окружающей средой характеризуется коэффициентом теплоотдачи alfa. Узел 0 может также обмениваться кондуктивным потоком теплоты с тремя соседними узлами: 1,2,3. В этом случае тепловой баланс для узла 0 запишется следующим образом:

Q(1-0) + Q(2-0) + Q(3-0) + Q(c-0) = 0,

(11)

где Q(c 0)-тепловой поток, передаваемый от среды узлу 0 конвекцией.

По закону Ньютона - Рихмана

Q(c-0) = alfa*F*(T[c] - T[0]) .

(12)

В результате преобразований выражения (11), по аналогии с ранее выполненными, для внутреннего узла, получим

y*б*(T[1] -T[0])/ x + (x/2)*б*(T[2] -T[0])/ y
+ ( x/2)*

*б*(T[3] -T[0])/ y + alfa* y*б*(Tc -T[0]) = 0 . (13)

Соотношение (13) значительно упрощается при выборе квадратной сетки. В этом случае при постоянном коэффициенте теплопроводности оно приводится к виду

T[1] + 0,5*(T[2] + T[3]) + Bi*Tc - (2+Bi)*T[0] =
0, (14)

где Bi =alfa* x/lamda - число Био.

Ниже приведены уравнения теплового баланса при других граничных условиях для двухмерных тел (x=y):

Узел Схема

Расчетное

уравнение

.....|/ Т

. 2 */ Е

. |/ П

Плоская поверх- -+--.---- + - |/ Л ность с тепло- | . |/ О изолированной x . * --?- *|/ И границей | . 1 0 |/ З

0,5(T[2] + T[3]) +

-+--.---- +- -?/ О

+ T[1] -2*T[0] = 0

. |/ Л

. ->+ x++---? x +