Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра электронной техники

УТВЕРЖДАЮ проректор по учебной работе

“ИССЛЕДОВАНИЕ СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА”

Методические указания к проведению лабораторных работ

Москва

1998г.
Цель работы - ознакомление с принципом действия согласованного фильтра и исследование его помехоустойчивости.

Задание по работе

Проработать теоретический материал по источникам [1,2] и данным методическим указаниям.
Изучить функциональную схему лабораторной установки.
Выполнить работу.
Ответить на контрольные вопросы.

Основные теоретические положения

Из теории оптимальных методов радиоприема известно, что в условиях действия гауссовской помехи типа белого шума оптимальный приемник должен вычислять интеграл вида

[pic]

(1)

где N0 - односторонняя спектральная плотность шума ; Т - длительность сигнала; u(t) - принятый сигнал; s(t) - полезный сигнал;
Интеграл (1) можно рассматривать как меру взаимной корреляции принятого сигнала u(t) и полезного сигнала s(t) сигналов. Чтобы осуществить реализацию выражения (1), используют корреляционный приемник. С другой стороны, интеграл (1) можно рассматривать как свертку сигнала u(t) с импульсной характеристикой некоторого фильтра. В этом случае необходимо использовать согласованный фильтр.
Рассмотрим задачу синтеза оптимального фильтра в условиях действия аддитивной помехи.
Пусть принятый сигнал имеет вид

[pic]

(2)

где s(t) - полезный сигнал известной формы со спектральной плотностью
Fs(j(); n(t)стационарный случайный процесс со спектральной плотностью мощности Fn(().
Будем отыскивать оптимальный фильтр в классе линейных фильтров. Тогда сигнал на входе фильтра с учетом принципа суперпозиции можно представить как

[pic]

(3)

Найдем отношение р мощности полезного сигнала к мощности помехи на выходе фильтра в некоторый момент времени t0.

[pic]

(4)

где K(j() - комплексно-частная характеристика фильтра.

Соответственно в момент времени t0

[pic]

(5)

Мощность помехи на выходе фильтра
[pic]

(6)

В формулах (4) и (6) через Fs,вых(j() и Fn,вых(() обозначены спектральная плотность полезного сигнала и спектральная плотность мощности помехи на выходе фильтра.
С учетом (5) и (6) выражение для р в момент времени t0 запишется как
[pic]

(7)

Понятно, что чем больше величина р, тем выше помехоустойчивость приема.
Поэтому определим фильтр, который обеспечивал бы на выходе максимальное соотношение сигнал/помеха.
Воспользуемся неравенством Буняковского - Шварца
[pic]

(8)

справедливым для любых функций А(() и В((), для которых интегралы в (8) имеют смысл. Заметим, что неравенство (8) превращается в строгое равенство, если

[pic]

(9)

где а- постоянная; В* (() - функция, комплексно-сопряженная с функцией
В((). С учетом (8) можно записать

(10)
[pic]

и, соответственно,
[pic]

(11)

С учетом (9) находим, что максимальное отношение сигнал/помеха

[pic]

достигается при

[pic]

(12)

где Fs*(j() - комплексно-сопряженный сигнал.
Таким образом фильтр с комплексно - частотной характеристикой, определяемой формулой (12), является наилучшим в классе линейных фильтров, а при гауссовских помехах также наилучшим образцом и в классе нелинейных фильтров.
Из выражения (12) следует, что коэффициент передачи фильтра зависит от отношения спектральной плотности сигнала к спектральной плотности мощности помехи: коэффициент передачи тем больше, чем больше это отношение. Таким образом, оптимальный фильтр избирательно пропускает те или иные частотные составляющие. Очевидно, что отношение сигнал/помеха будет тем больше, чем сильнее отличается спектр сигнала от спектра помехи.
Рассмотрим случай, когда помеха представляет собой белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2. В этом случае комплексно - частотная характеристика оптимального фильтра

[pic]

(13)

[pic] а соотношение сигнал/помеха

(14)

где Е - энергия сигнала.
Фильтр с характеристикой (13), оптимальный для помехи типа белого шума называется согласованным.
Максимальное отношение сигнал/помеха (14) на выходе такого фильтра определяется только энергией сигнала и спектральной плотностью мощности помехи и не зависит от формы сигнала. По значению это отношение совпадает с максимальным отношением сигнал/ помеха на выходе корреляционного приемника.
Отсюда, в частности, следует, что в условиях действия помехи типа белого шума помехоустойчивость корреляционного приемника и согласованного фильтра одинаковы.
Рассмотрим более подробно комплексно - частотную спектральную плотность полезного сигнала в виде

[pic]

где |Fs(j()| и ((() - амплитудный и фазовый спектр сигнала соответственно.
Тогда
(15)

[pic]

С другой стороны,
[pic]

(16)

где |K(j()| - амплитудно-частотная характеристика фильтра; ((() - фазовая характеристика фильтра.
Сравнивая (15) и (16) находим
[pic]

(17)

(18)

Из (17) следует, что амплитудно частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянной совпадает с амплитудным спектром сигнала.
Фазовая характеристика согласованного фильтра определяется двумя слагаемыми. Первое из них - ((() равно фазовому спектру сигнала, взятому с противоположным знаком. Назначение его в том чтобы компенсировать фазовые сдвиги различных составляющих сигнала. В результате в некоторый момент времени t=t0 все составляющие выходного сигнала будут совпадать по фазе и, складываясь, давать максимум выходного сигнала. Если бы фазовая характеристика фильтра не компенсировала фазовые сдвиги составляющих сигнала, то максимумы гармонических составляющих сигнала не совпадали бы во времени, а это привело бы к уменьшению выходного напряжения.
Второе слагаемое - (t0 обеспечивает задержку момента совпадения фаз составляющих сигнала на величину t0. Понятно, что значение t0 не может быть меньше длительности обрабатываемого сигнала.
Напряжение на выходе согласованного фильтра

(19)

[pic]

Из (19) следует, что выходное напряжение определяется только амплитудным спектром сигнала и не зависит от фазового спектра. Это объясняется тем, что взаимные фазовые сдвиги составляющего сигнала скомпенсированы фазовой характеристикой фильтра.
Максимальное значение uвых(t) принимает в момент времени t=t0.. Еще раз подчеркнем, что значение t0 должно быть больше или равно длительности сигнала, т.е. максимум uвых(t) достигается только после обработки всего принятого сигнала.
Рассмотрим импульсную характеристику h(t) согласованного фильтра.
Учитывая, что h(t) любого фильтра связано K(j() преобразованием Фурье, находим

[pic]

(20)

Из выражения (20) следует, что импульсная характеристика согласованного фильтра является зеркальным отображением сигнала ts(t) относительно прямой t=t0/2 (рис.1).

[pic]

Рисунок 1

Учитывая условие физической реализуемости фильтра h(t)=0 при t0 числу целых положительных чисел, меньших L и взаимно простых с L, включая и единицу.
В качестве примера приведем все примитивные многочлены для n=5: f1(x)=x5(x3(1, f2(x)=x5(x2(1, f3(x)=x5(x4(x3(x2(1, f4(x)=x5(x4(x3(1, f5(x)=x5(x4(x2(1, f6(x)=x5(x3(x2(1.
Любой из них может быть использован для получения М-последовательности.
Так, для многочлена f(x)=x5(x3(1 правило кодирования xi=xi-3(xi-5.
Заметим, что чем больше членов содержится в многочлене f(x), тем сложнее генератор.
Учитывая, что М-последовательности нашли наиболее широкое применение в технике связи, укажем их основные свойства.
М-последовательность с периодом 2n-1 содержит все возможные комбинации n - значных двоичных чисел, за исключением нулевой.
Число единиц в последовательности на единицу больше числа нулей, причем появление единицы и нуля для постороннего наблюдателя, не знающего закон формирования последовательностей, случайно во времени. В частности, этому свойству М-последовательности обязаны и другим названиям - псевдослучайные последовательности.
Результат почленного суммирования М-последовательности с этой же последовательностью, но сдвинутой на i символов, где i=1,2,...L-2, представляет собой исходную последовательность, но сдвинутую на некоторое другое число символов,

Описание лабораторной установки

Функциональная схема установки приведена на рис. 3

[pic]

Рисунок 3

Она состоит из генераторов ГМП, вырабатывающего М-последовательность
111100010011010, 111..., смесителя СМ, согласованного фильтра СФ и решающего устройства РУ.
Согласованный фильтр (рис. 4) состоит из линии задержки с отводами, совокупности инверторов, суммирующего устройства и фильтра, согласованного с одиночным видеоимпульсом (ОВИ) длительностью, равной длительности (0 элементарного импулься М - сигнала.

[pic]

Рисунок 4

Шаг задержки между двумя соседними отводами рамен (0. Инверторы подключены таким образом, что при появлении последующего импульса М - сигнала на входе согласованного фильтра все импульсы на входе суммирующего устройства оказываются положительными.
При этом напряжение на выходе фильтра достигает максимального значения, а импульсная характеристика описанного фильтра является зеркальным отображением сигнала.
Решающее устройство представляет собой спусковую схему, которая в момент отсчета может принимать одно из двух состояний.
В лабораторной установке предусмотрена подача на вход согласованного фильтра двух полезных сигналов (противоположных по знаку), подключение генератора шума и генераторов помеховых сигналов, имеющих структуру, подобно структуре полезного сигнала.

Порядок выполнения работы

Включить необходимые приборы и источники питания.
Просмотреть и зарисовать осциллограммы полезных сигналом.
Просмотреть и зарисовать импульсную характеристику фильтра.
Просмотреть и зарисовать осциллограммы напряжений на выходе фильтра в отсутствие шума.
Просмотреть и зарисовать осциллограммы полезных сигналов при наличии шума.
Просмотреть и зарисовать осциллограммы напряжений на выходе фильтра при различной мощности шума на входе согласованного фильтра.
Снять зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал/помеха на входе фильтра.
Посмотреть и зарисовать осциллограммы посторонних сигналов.
Посмотреть и зарисовать осциллограммы напряжений на выходе фильтра при подаче посторонних сигналов.

Домашнее задание

Рассчитать и построить корреляционные функции: одиночного полезного сигнала; переодического полезного сигнала.
Рассчитать и построить взаимные корреляционные функции: одиночного полезного и одиночного “чужого” сигнала; периодического полезного и периодического ”чужого” сигналов.

В качестве “чужого” сигнала используется полезный сигнал с реверсивным порядком следования сигналов.

Отчет о работе

1. Структурная схема лабораторной установки (включая схему согласованного фильтра).
2. Наблюдаемые осциллограммы напряжений, экспериментальные зависимости и результаты измерений.
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

Что такое согласованный фильтр?
От чего зависит отношение сигнал/помеха на выходе согласованного фильтра?
Какова комплексно - частотная характеристика частотного фильтра?
Поясните механизм работы согласованного фильтра.
Какова форма напряжения на выходе согласованного фильтра?
Какова импульсная характеристика согласованного фильтра?
Поясните, почему значение t0 должно быть больше или равно длительности сигнала.
Покажите, что импульсная характеристика рассматриваемого согласованного фильтра является зеркальным отображением сигнала.

Литература

Акимов П. С., Дядюнов Н. Г., Сенин А. И. Теория связи. Ч. 2. М.: МВТУ,
1973. 142 с.
Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1983. 320 с.

-----------------------
[1] Функция f(S1,...Sn), принимающая только два значения (0 или 1) и определенная на всех двоичных n - значениях набора, называется булевой.
[2] Многочлен f(x) степени n называется примитивным, если он делит двучлен x2n-1(1 и не делит никакой двучлен xN(1 при N