Бекмуратов К.А.

Рассматривается один из возможных принципов усложнения решающего правила непрерывного пространства признаков, порождаемого опорными объектами конкретного образа. Предложена процедура нахождения предельного значения размерности признакового пространства, в котором возможно кусочно-линейное разделение образов и гарантированы требуемые качество и надежность распознавания, необходимые в системах управления.

В работе [1] описан метод формирования пространства непрерывных признаков, приводящий к безошибочному разделению образов. Введено понятие непрерывного признака и показано, что если набирать пространство только из определенных в [1] признаков, то можно достичь безошибочного разделения  образов.

В данной работе так же, как и в [2], рассмотрим случай, когда в пространстве непрерывных признаков размерности n безошибочное разделение обучающей последовательности невозможно.

Пусть на некотором множестве  мощности  объектов  определены подмножества  при , представляющие собой образы на обучающей выборке    

Допустим, что  - подмножество на  , соответствующее конкретному образу , а  - подмножество на  , соответствующее остальным   образом

Требуется с использованием обучающую выборки  найти решающее правило , указывающее принадлежность  любого объекта из  одному   

из заданных образов  или  с вероятностью ошибки,  не превышающей ,  достигаемой с надежностью (1-), и определить целесообразности усложнения решающих правил при синтезе непрерывных признаковых пространств.

Если обучающая последовательность не может быть безошибочно разделима выбранным решающим правилом, то в общем случае справедлива теорема Вапника - Червоненкиса [3], смысл которой состоит в том, что если в n-мерном пространстве признаков решающее правило совершает  ошибок при классификации обучающей последовательности длины   , то с вероятностью можно утверждать, что вероятность ошибочной классификации составит величину, меньшую ,

,

где N- число всевозможных правил заданного класса, которое можно построить в пространстве заданной размерности.

Предположим, что в процессе обучения из последовательно поступивших непрерывных свойств относительно  опорных объектов  синтезирована подсистема непрерывных признаков. В зависимости от состава случайной и независимой выборки процесс обучения может остановиться при любом значении n, но если разделение конкретной обучающей выборки наступило в n-мерном пространстве, то число N всевозможных решающих правил в классе не должно превышать числа всех подмножеств множества, состоящего из элементов, т.е.

,                                                      

где                                                   

.

Логарифмируя получим

                                       (1)

Если учесть    , то  (1) принимает вид

,                                 (2)

где  можно оценить в виде

                                       (3)

Подставляя (3) в (2), получаем

                                                   (4)

Используя теорему Вапника-Червоненкиса [3], можно вычислить предельную размерность пространства

,                                                    (5)

которая при заданных  гарантирует требуемые e и h.

Пусть вычислено максимально допустимое значение размерности пространства  в виде (5) и в этом пространстве фиксирована линейная решающая функция

                                                               (6)

Далее, для того чтобы в процессе обучения синтезировать пространство, в котором линейное решающее правило (6) безошибочно разделило бы обучающую выборку  длины , и при этом размерность пространства не превышала бы , необходимо на признаки  наложить дополнительные требования.  Зная предельную размерность простанства  (8), можно оценить минимально допустимую разделяющую силу каждого выбираемого признака  в виде

Минимально допустимая разделяющая сила признака позволяет при синтезе непрерывного пространства использовать не все признаки, а выбирать только те, разделяющая сила которых удовлетворяет неравенству

Допустим, что в синтезированном пространстве непрерывных признаков размерности n линейная решающая функция (9) совершает ошибки с частотой . Тогда рассмотрим соотношение

,                                       (7)

где N* - соответствует решающему правилу, работающему с частотой ошибки , N**- безошибочно разделяющая обучающая последовательность длины .

С использованием этого  соотношения, можно установить целесообразность усложнения решающего правила в случае, если в пространстве размерности n ещё не достигнуто безошибочное разделение обучающей выборки.

Известно [3], что если вместо линейного правила используется кусочно-линейное и оно безошибочно разделяет обучающую выборку длины l, то в соответствии (7) вместо n следует выбирать величину

                          n=nk+k ,                                                                    (8)

где k - число линейных решающих правил, составляющих искомое кусочно - линейное правило. Используя соотношения (7) и (8), ответим на вопрос: стоит ли усложнять решение, если линейное правило в пространстве размерности n не обеспечивает безошибочного разделения обучающей выборки. Для этого нужно сделать подстановку:

,                                       (9)

В этом случае усложнение решающего правила, определяемое числом k, не приведёт к снижению вероятности ошибки, если будет выполнено соотношение (7) после подстановки (8). Из этого условия можно найти такое значение k, выше которого теряет всякий смысл усложнение решающего правила, действующего в пространстве непрерывных признаков размерности n:

.                      (10)

Таким образом, если выбирать n и k согласно (5) и (10), то процедура позволяет, при синтезе пространства, использовать не все признаки, а выбирать только те, разделяющая сила которых позволяет при заданных  обеспечить требуемые значения ε и  η.

Список литературы

1. Бекмуратов. К.А. Процедура формирования непрерывных признаковых пространств при последовательном обучении. Узб. Журнал // «Проблемы информатики и энергетики».- 1994.-№4.-С.17-20.

2. К.А. Бекмуратов. Пошаговая проверка целесообразности усложнения решающего правила при последовательном обучении задаче распознавания. Узб. Журнал // «Проблемы информатики и энергетики». -2000. -№1. – С. 16-19.

3. Вапник В.Н., Червоненкис А.Я. Теория распознавания образов.(Статистические проблемы обучения). – М.: Наука, 1974. –С. 415.