С О Д Е Р Ж А Н И Е

стр.

1. Общая постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 3

2. Постановка тестовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 4

3. Методика решения тестовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 6

4. Результаты вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .9

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .10

Приложения

Приложение 1: Описание программы

Приложение 2: Текст программы

1. О Б Щ А Я П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И

Перенос тепла (или вещества) теплопроводностью (для вещества соответственно диффузией) и конвекцией описывается дифференциальным уравнением параболического типа:

[pic] ( 1 ) где [pic] температура (или концентрация). Пусть [pic] являются некоторыми константами и [pic]. Уравнение (1) при указанных выше предположениях называется модельным уравнением диссипации, конвекции и кинетики. Слагаемые правой части имеют следующий физический смысл:

[pic] - соответствует переносу тепла теплопроводностью (или вещест- ва диффузией);

[pic] - соответствует конвективному переносу;

[pic] - "кинетический член", соответствует источнику, пропорционально-

му температуре или концентрации;

[pic] - интенсивность внешних источников или стоков.
В дальнейшем будем рассматривать только тепловую интерпретацию уравнения (1).

Численное решение уравнения (1) будем искать в области [pic]:

[pic] ( 2 ) при заданных начальных значениях температуры: [pic]

( 3 ) и граничных условиях.

Граничные условия описывают режимы теплообмена с внешней средой:

[pic] при [pic];

[pic] при [pic].

- 3 -

2. П О С Т А Н О В К А Т Е С Т О В Ы Х З А Д А Ч

В качестве тестовых задач для температуры [pic] мною были выбраны следующие пять функций:

[pic]

( 9 )

[pic] ( 10 )

[pic] ( 11 )

[pic] ( 12 )

[pic] ( 13 )

Для функции (9) имеем: [pic]

[pic] [pic]

[pic]

Для функции (10):

[pic]

[pic] [pic]

[pic]

Для функции (11):
[pic]

[pic] [pic]

[pic]

Для функции (12): [pic]

[pic] [pic]

[pic]

Для функции (13): [pic]

- 4 -

[pic] [pic]

[pic]

Данные функции тестировались на отрезке по X: [0, 1], по времени: [0,
1], с количеством разбиений по этим отрезкам - 30.

- 5 -

3. М Е Т О Д И К А Р Е Ш Е Н И Я Т Е С Т О В Ы Х

З А Д А Ч

Данная задача решается с помощью двухслойной неявно конечно-разностной схемы.

Схема реализуется в три этапа.
1 этап: находятся предварительные значения [pic] с помощью 4-х точечной неявной схемы:

[pic] ( 5 )
2 этап: используется за два шага. Сначала находятся [pic] на полученном слое ([pic]) с шагом [pic], а затем [pic] через [pic]. В этом случае используется 4-х точечная неявная разностная схема:

[pic] ( 6 )

[pic] ( 7 )
3 этап: окончательные значения [pic] находятся в виде линейной комбинации двух предварительных значений:

[pic] ( 8 )

Для решения (1) воспользуемся формулами (5) - (8). Данные уравнения представляют трех диагональные матрицы, решаемые методом скалярной прогонки.

В начале нужно преобразовать (5) – (7) к виду:

[pic] ( 14 )

Тогда (5) примет вид:

[pic]

[pic]

[pic]

Т.е. [pic];

[pic];

[pic];

[pic].

- 6 -

Формула (6) преобразуется в:
[pic] Т.е. [pic];

[pic];

[pic];

[pic].

Формула (7) преобразуется в:

[pic]

Т.е. [pic];

[pic];

[pic];

[pic].

Далее решаем по формулам скалярной прогонки:

[pic] [pic] ( 15 )

[pic] ( 16 )

Для определения [pic], [pic] и [pic] воспользуемся данными граничными условиями, т.е. формулой (4) и функцией [pic]. Так если мы берём [pic] из формулы (9), то имеем:

[pic]

[pic]

Приведём это выражение к виду: [pic].

[pic]

[pic]

[pic]

- 7 -

Т.е. теперь мы имеем [pic] и [pic]: [pic]

[pic]

Далее найдем конечное [pic]: [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] ( 18 )

Проведя аналогичные расчёты для [pic] заданных формулами (10) – (13), мы получим соответствующие [pic], [pic] и [pic]. Далее мы можем решить системы методом прогонки и получить требуемый результат.

- 8 -

4. Р Е З У Л Ь Т А Т Ы В Ы Ч И С Л Е Н И Й

В результате проведённых испытаний программа показала свою высокую надёжность. Были получены следующие данные.

При расчёте с использованием функции [pic] и входных данных [pic];
[pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic] на отрезке по X и по времени [0,1] с шагом 0,033 был получен результат с ошибкой равной 0,0675.

Для функции [pic] при [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic];
[pic], на том же промежутке, ошибка составляет 0,055.

С функцией [pic] и [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic] ошибка примет значение 0,0435.

При [pic] и условиях [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic];
[pic] в результате возникает ошибка равная 0,0055.

И, наконец, если выбрана функция [pic] и [pic]; [pic]; [pic]; [pic];
[pic]; [pic]; [pic], то ошибка составит 0,00255.

Т.е. можно сказать, что мы имеем результат с первым порядком точности. Столь малую точность можно объяснить тем, что производная, найденная при граничных условиях, так же имеет первый порядок точности.

- 9 -

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. А. Епанешников, В. Епанешников Программирование в среде Turbo-Pascal

7.0. - М.: Диалог - Мифи, 1996. - 288 с.

2. Петухова Т. П., Сибирцев В. В. Пакет прикладных программ для численного моделирования процессов тепло- и массопереноса. – Караганда:

Изд-во КарГУ. 1993

3. Фигурнов В. Э. IBM PC для пользователя. - М.: Инфра - М, 1995. - 432 с.

Приложение 1

О П И С А Н И Е П Р О Г Р А М М Ы

Поставленная задача была программно реализована на языке программирования Turbo-Pascal 7.0.

В состав программы входят следующие файлы: basis.pas - PAS-файл основной части программы

(решение системы уравнений методом скалярной прогонки); basis.v&v - EXE-файл основной части программы (вызывается из
START.PAS); fun.bmp - BMP-фаил с изображением функций; inform.v&v - TXT-фаил с информацией о программе (вызывается из
START.PAS); music.v&v - музыкальный EXE-фаил (вызывается из START.PAS); my_menu.pas - UNIT для создания меню; sea.exe - программа для просмотра графических файлов; start.pas - файл для запуска всей программы; u - файл с результатами работы; zastavka.v&v - EXE-фаил с заставкой к основной программе

(вызывается из START.PAS).

Файл START является, как бы оболочкой программы, из которой вызываются другие файлы. Сам процесс решения содержится в файле BASIS.

BASIS содержит следующие процедуры и функции:

Function Fun_U (Xm,t:real):real;
Вход: значение по X и значение по времени t, а также глобальная переменная выбранной функции SelectFunction.
Действие: вычисляет точное значение функции U при заданных X и t.
Выход: Fun_U – значение функции.

Function Fun_F (Xm,t,a,b,v:real):real;
Вход: значение по X, по времени t, коэффициенты [pic], [pic], [pic] и номер выбранной функции

SelectFunction.
Действие: вычисляет значение функции F при заданных X, t, [pic], [pic],
[pic].
Выход: Fun_F – значение функции F.

Function Betta_Zero (time:real): real;
Вход: значение времени t и глобальные коэффициенты [pic], [pic],
[pic], номер выбранной функции SelectFunction.
Действие: вычисляет [pic], используемое в методе скалярной прогонки.
Выход: Betta_Zero – значение [pic].

Function U_End (time,Alf,Bet:real): real;
Вход: значение времени t, [pic], [pic] и глобальные коэффициенты [pic],
[pic], [pic], номер выбран- ной функции SelectFunction.
Действие: вычисляет [pic] используемое в методе скалярной прогонки.
Выход: U_End – значение [pic].

Procedure PrintArray;
Вход: использует глобальный массив данных U_m.
Действие: выдает содержимое U_m на экран и в файл.
Выход: вывод U_m.

Приложение 2

Т Е К С Т П Р О Г Р А М М Ы

Основная часть программы выглядит так:
Program Basis;
Uses Crt; { Подключение библиотек }
Label Metka1,Metka2; { Метки }
Var a, b, v : real; { Коэффициенты, задаются пользователем } h, tau : real; { Шаг по X и по времени соответственно }
X,x0 : real; { Конечное и начальное значение X } m,n,k : word; { Переменные используемые в циклах для расчета }
T,t0 : real; { Конечное и начальное значение времени }
Kol_voX, Kol_voT : word; { Количество разбиений по X и по времени }
U_m,U_,_U_1_2,_U_1 : array [0..200] of real; { Массивы результатов } z : array [0..200] of real; { Массив точных решений }
Xm : real; { Промежуточный X }
Alfa,Betta : array [0..200] of real; { Массив коэффициентов используемых при скалярной прогонке } a_progonka, b_progonka, c_progonka, d_progonka : real; { Коэффициенты для скалярной прогонки }
Error : real; { Значение ошибки } time : real; { Переменная времени } ch : char; { Код нажатой клавиши }
SelectFunction:word; { Номер выбранной функции }
U : text; { Переменная для вывода результата в файл }
Alfa_1,Alfa_2,Betta_1,Betta_2 : real; { Коэффициенты граничных условий
}
Data : word; { Переменная режима ввода начальных данных }

Function Fun_U (Xm,t:real):real; { Функция U (точное решение) } begin

If SelectFunction=1 then Fun_U:=SQR(Xm)*Xm+SQR(t);

If SelectFunction=2 then
Fun_U:=SQR(Xm)*SQR(t)*t+10*Xm*t+SQR(SQR(t))*Xm;

If SelectFunction=3 then Fun_U:=Xm*SIN(Xm*t)-4*SQR(Xm)*COS(t);

If SelectFunction=4 then Fun_U:=t*EXP(Xm);

If SelectFunction=5 then Fun_U:=SIN(Xm)+EXP(t); end;
Function Fun_F (Xm,t,a,b,v:real):real; { Функция F } begin if SelectFunction=1 then Fun_F:=2*t-v*6*Xm+a*3*SQR(Xm)- b*(SQR(Xm)*Xm+SQR(t)); if SelectFunction=2 then Fun_F:=3*SQR(Xm)*SQR(t)+10*Xm+4*SQR(t)*t*Xm- v*2*SQR(t)*t+ a*(2*Xm*SQR(t)*t+10*t+SQR(SQR(t)))- b*(SQR(Xm)*SQR(t)*t+10*Xm*t+Xm*SQR(SQR(t))); if SelectFunction=3 then Fun_F:=SQR(Xm)*COS(Xm*t)+4*SQR(Xm)*SIN(t)- v*(2*COS(Xm*t)*t-

Xm*SIN(Xm*t)*SQR(t)-8*COS(t))+a*(SIN(Xm*t)+Xm*t*COS(Xm*t)-
8*COS(t)*Xm)- b*(Xm*SIN(Xm*t)-4*SQR(Xm)*COS(t)); if SelectFunction=4 then Fun_F:=EXP(Xm)-v*(t*EXP(Xm))+a*(t*EXP(Xm))- b*(t*EXP(Xm)); if SelectFunction=5 then Fun_F:=EXP(t)-v*(-SIN(Xm))+a*(COS(Xm))- b*(SIN(Xm)+EXP(t)); end;
Function Betta_Zero (time:real): real; { Функция Betta[0] для прогонки } begin

If SelectFunction=1 then Betta_Zero:=(h/(Betta_1*h-
Alfa_1))*(Alfa_1*3*SQR(x0)+

Betta_1*(SQR(x0)*x0+SQR(time)));

If SelectFunction=2 then Betta_Zero:=(h/(Betta_1*h-
Alfa_1))*(Alfa_1*(2*x0*SQR(time)*time+

10*time+SQR(SQR(time)))+Betta_1*(SQR(x0)*SQR(time)*time+10*x0*time+SQR(SQR(t ime))*x0));

If SelectFunction=3 then Betta_Zero:=(h/(Betta_1*h-
Alfa_1))*(Alfa_1*(SIN(x0*time)+ x0*time*COS(x0*time)-8*x0*COS(time))+Betta_1*(x0*SIN(x0*time)-
4*SQR(x0)*COS(time)));

If SelectFunction=4 then Betta_Zero:=(h/(Betta_1*h-
Alfa_1))*(Alfa_1*(time*EXP(x0))+

Betta_1*(time*EXP(x0)));

If SelectFunction=5 then Betta_Zero:=(h/(Betta_1*h-
Alfa_1))*(Alfa_1*(COS(x0))+

Betta_1*(SIN(x0)+EXP(time))); end;
Function U_End (time,Alf,Bet:real): real; { Функция Um для прогонки } begin

If SelectFunction=1 then
U_End:=(Alfa_2*h*3*SQR(X)+Betta_2*h*(SQR(X)*X+SQR(time))

+ Bet*Alfa_2)/(Alfa_2-Alf*Alfa_2+h*Betta_2);

If SelectFunction=2 then
U_End:=(Alfa_2*h*(2*X*SQR(time)*time+10*time+SQR(SQR(time)))+

Betta_2*h*(SQR(X)*SQR(time)*time+10*X*time+SQR(SQR(time))*X)

+Bet*Alfa_2)/(Alfa_2-Alf*Alfa_2+h*Betta_2);

If SelectFunction=3 then
U_End:=(Alfa_2*h*(SIN(X*time)+X*time*COS(X*time)-8*X*COS(time))+

Betta_2*h*(X*SIN(X*time)-
4*SQR(X)*COS(time))+Bet*Alfa_2)/(Alfa_2-Alf*Alfa_2+h*Betta_2);

If SelectFunction=4 then
U_End:=(Alfa_2*h*(time*EXP(X))+Betta_2*h*(time*EXP(X))+Bet*Alfa_2)/

(Alfa_2-Alf*Alfa_2+h*Betta_2);

If SelectFunction=5 then
U_End:=(Alfa_2*h*(COS(X))+Betta_2*h*(SIN(X)+EXP(time))+Bet*Alfa_2)/

(Alfa_2-Alf*Alfa_2+h*Betta_2); end;
Procedure PrintArray; { Процедура печати массива U } begin

WriteLn; For m:=0 to Kol_voX do begin Write(U_m[m]:15:4);
Write(U,U_m[m]:15:4); end;

WriteLn; WriteLn(U); end;

{ Основная программа }
Begin
Assign(U,'u'); { Файл для записи значений функции }
Rewrite(U); { Открытие файла для записи }
TextBackGround(0); { Выбор функции для работы }
ClrScr; TextColor(10); GoToXY(20,8); Write('Введите номер выбранной функции (1-5):');
Metka1: ch:=ReadKey;

If ch='1' then SelectFunction:=1 else If ch='2' then SelectFunction:=2 else If ch='3' then SelectFunction:=3 else If ch='4' then SelectFunction:=4 else If ch='5' then SelectFunction:=5 else begin

Sound(400); Delay(100);
NoSound; GoTo Metka1; end;
GoToXY(59,8);TextColor(12);WriteLn(SelectFunction); TextColor(11);
GoToXY(11,12);
Write('Вы будете работать со стандартными параметрами (цифра ~1~)');
GoToXY(22,13); Write('или введете свои данные (цифра ~2~) ?');
Metka2: ch:=ReadKey;

If ch='1' then Data:=1 else If ch='2' then Data:=2 else begin

Sound(400); Delay(100); NoSound; GoTo Metka2; end;
TextBackGround(9); TextColor(10); ClrScr;
{ Ввод начальных данных }
WriteLn; WriteLn('-------------------------------- Ввод данных -----------
----------------------¬');
For k:=1 do 21 do WriteLn('¦

¦');
WriteLn('L----------------------------------------------------------------
--------------');
TextColor(15); Window(3,3,77,23); Write(' Введите область рассчета по X от: ');
If Data=1 then begin x0:=0; Write(x0:1:0); WriteLn; end else ReadLn(x0);
Write(' до: ');
If Data=1 then begin

X:=1; Write(X:1:0); WriteLn; end else ReadLn(X);
WriteLn; Write(' Введите количество разбиений по направлению X: ');
If Data=1 then begin Kol_voX:=30; Write(Kol_voX:2); WriteLn; end else
ReadLn(Kol_voX);
WriteLn;WriteLn; Write(' Введите область рассчета по времени от: ');
If Data=1 then begin t0:=0; Write(t0:1:0); WriteLn; end else
ReadLn(t0);
Write(' до: ');
If Data=1 then begin T:=1; Write(T:1:0); WriteLn; end else
ReadLn(T);
WriteLn; Write(' Введите количество разбиений по времени: ');
If Data=1 then begin Kol_voT:=30; Write(Kol_voT:2); WriteLn; end else
ReadLn(Kol_voT);
WriteLn;WriteLn; WriteLn(' Введите коэффициенты'); Write(' a=');
If Data=1 then begin a:=1; Write(a:1:0); WriteLn; end else ReadLn(a);
Write(' b=');
If Data=1 then begin b:=1; Write(b:1:0); WriteLn; end else ReadLn(b);
Write(' v=');
If Data=1 then begin v:=0.001; Write(v:1:3); WriteLn; end else
ReadLn(v);
Write(' Alfa-1=');
If Data=1 then begin Alfa_1:=1; Write(Alfa_1:1:0); WriteLn; end else
ReadLn(Alfa_1);
Write(' Betta-1=');
If Data=1 then begin Betta_1:=1; Write(Betta_1:1:0); WriteLn; end else ReadLn(Betta_1);
Write(' Alfa-2=');
If Data=1 then begin Alfa_2:=1; Write(Alfa_2:1:0); WriteLn; end else
ReadLn(Alfa_2);
Write(' Betta-2=');
If Data=1 then begin Betta_2:=1; Write(Betta_2:1:0);
WriteLn;TextColor(14);

Write(' Нажмите любую клавишу'); ReadKey; end else
ReadLn(Betta_2);
{ Интерфейс экрана при выдаче результата }
TextBackGround(3); TextColor(1); Window(1,1,80,25); ClrScr; WriteLn;
WriteLn('г===================== Результат ==========================¬');
For k:=1 to 21 do
WriteLn('¦

¦');
WriteLn('==================================================================
=-');
TextColor(0); TextBackGround(7); GoToXY(2,23);
WriteLn(' Для продолжения нажмите любую клавишу'); TextBackGround(3);
Window(3,4,77,22);
TextColor(15); ClrScr;

{ Вычесление шага сетки } tau:=(T-t0)/Kol_voT; h:=(X-x0)/Kol_voX;
{ Ввод данных при time=t0 }
For m:=0 to Kol_voX do begin

Xm:=x0+h*m; U_m[m]:=Fun_U(Xm,t0); end;
TextColor(14); WriteLn('Время равно ',time:3:3); TextColor(15);
WriteLn(U,'Время равно ',time:3:3);
PrintArray;
{ Начало рассчета } time:=t0;
Repeat time:=time+tau;

WriteLn; TextColor(14); WriteLn('Время равно ',time:3:3);
TextColor(15);

WriteLn(U,'Время равно ',time:3:3);
{ 1 этап. Решается методом скалярной прогонки } a_progonka:=(-2*v-a*h)/(2*SQR(h)); b_progonka:=(SQR(h)+2*v*tau- b*tau*SQR(h))/(SQR(h)*tau); c_progonka:=(a*h-2*v)/(2*SQR(h));
Alfa[0]:=Alfa_1/(Alfa_1-Betta_1*h); Betta[0]:=Betta_Zero(time);
For m:=1 to Kol_voX-1 do begin

Alfa[m]:=-c_progonka/(a_progonka*Alfa[m-1]+b_progonka);

Betta[m]:=(Fun_F(x0+m*h,time+tau,a,b,v)+U_m[m]/tau-a_progonka*Betta[m-
1])/

(a_progonka*Alfa[m-1]+b_progonka); end;
U_[Kol_voX]:=U_End(time,Alfa[Kol_voX-1],Betta[Kol_voX-1]);
For m:=Kol_voX-1 downto 1 do
U_[m]:=Alfa[m]*U_[m+1]+Betta[m];U_[0]:=Alfa[0]*U_[1]+Betta[0];
{ 2 этап, часть первая. Решается методом скалярной прогонки } a_progonka:=(-2*v-a*h)/(2*SQR(h)); b_progonka:=(2*SQR(h)+2*v*tau- b*tau*SQR(h))/(SQR(h)*tau); c_progonka:=(a*h-2*v)/(2*SQR(h));
Alfa[0]:=Alfa_1/(Alfa_1-Betta_1*h); Betta[0]:=Betta_Zero(time);
For m:=1 to Kol_voX-1 do begin

Alfa[m]:=-c_progonka/(a_progonka*Alfa[m-1]+b_progonka);

Betta[m]:=(Fun_F(x0+m*h,time+tau/2,a,b,v)+2*U_m[m]/tau- a_progonka*Betta[m-1])/

(a_progonka*Alfa[m-1]+b_progonka); end;
_U_1_2[Kol_voX]:=U_End(time,Alfa[Kol_voX-1],Betta[Kol_voX-1]);
For m:=Kol_voX-1 downto 1 do _U_1_2[m]:=Alfa[m]*_U_1_2[m+1]+Betta[m];

_U_1_2[0]:=Alfa[0]*_U_1_2[1]+Betta[0];
{ 2 этап, часть вторая. Решается методом скалярной прогонки } a_progonka:=(-2*v-a*h)/(2*SQR(h)); b_progonka:=(2*SQR(h)+2*v*tau- b*tau*SQR(h))/(SQR(h)*tau); c_progonka:=(a*h-2*v)/(2*SQR(h));
Alfa[0]:=Alfa_1/(Alfa_1-Betta_1*h); Betta[0]:=Betta_Zero(time);
For m:=1 to Kol_voX-1 do begin

Alfa[m]:=-c_progonka/(a_progonka*Alfa[m-1]+b_progonka);

Betta[m]:=(Fun_F(x0+m*h,time+tau,a,b,v)+2*_U_1_2[m]/tau- a_progonka*Betta[m-1])/

(a_progonka*Alfa[m-1]+b_progonka); end;
_U_1[Kol_voX]:=U_End(time,Alfa[Kol_voX-1],Betta[Kol_voX-1]);
For m:=Kol_voX-1 downto 1 do _U_1[m]:=Alfa[m]*_U_1[m+1]+Betta[m];

_U_1[0]:=Alfa[0]*_U_1[1]+Betta[0];
{ 3 этап. Окончательное значение }
For m:=0 to Kol_voX do

U_m[m]:=2*_U_1[m]-U_[m];
PrintArray; { Вывод результата на экран и его запись в файл }
For m:=0 to Kol_voX do { Рассчет точного значения функции } begin z[m]:=Fun_U(x0+m*h,time); end;
{ Вывод ошибки расчета на экран и в файл }
Error:=0;
For m:=0 to Kol_voX do begin a:=Abs(U_m[m]-z[m]); If ErrorT;

Close(U); { Закрытие файла с результатами }
End.

Министерство общего и профессионального образования РФ

Оренбургский государственный университет

Институт энергетики и информатики

кафедра: Информатики

Р А С Ч Е Т Н О – Г Р А Ф И Ч Е С К О Е

З А Д А Н И Е

« Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики »

Выполнил : студент гр. 97 ИДМБ

Волков В. В
.

Distributed by BRS Corporation http://www.osu.ru/~BRS

E-mail: brs-99@mail.ru

Проверил : Петухова Т. П.

Оренбург - 1999

-----------------------
[pic]

[pic]