Содержание работы:
1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.
2. Применение теоремы Штольца: a) [pic]; b) нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений варианты [pic]; c) [pic]; d) [pic].
3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.
4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы
Штольца.
Для определения пределов неопределенных выражений [pic] типа [pic]
часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
Пусть варианта [pic], причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с
возрастанием n и [pic] возрастает: [pic]. Тогда [pic]=[pic],
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
Допустим, что этот предел равен конечному числу [pic]:
[pic].
Тогда по любому заданному [pic] найдется такой номер N, что для n>N будет
[pic] или
[pic].
Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби [pic], [pic], …, [pic],
[pic]лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду
возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же
границами содержится и дробь [pic], числитель которой есть сумма всех
числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех
знаменателей. Итак, при n>N
[pic].
Напишем теперь тождество:
[pic],
откуда
[pic].
Второе слагаемое справа при n>N становится N, то для n>N’, очевидно, [pic], что и доказывает наше
утверждение.
Примеры:
1. Пусть, например, [pic]. Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) [pic], следовательно, вместе с yn и xn[pic], причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению [pic]
[pic]
(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что [pic], что и
требовалось доказать.
2. При а>1
[pic]
Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:[pic]
[pic]
3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:
Если варианта an[pic]имеет предел (конечный или бесконечный), то этот
же предел имеет и варианта
[pic]
(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).
Действительно, полагая в теореме Штольца
Xn=a1+a2+…+an, yn=n,
Имеем:
[pic]
Например, если мы знаем, что [pic], то и [pic]
4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)
[pic],
которая представляет неопределённость вида [pic].
Полагая в теореме Штольца xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,
будем иметь
[pic].
Но
(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… , так что nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+… и
[pic].
5. Определим предел варианты
[pic] ,
представляющей в первой форме неопределенность вида [pic], а во второй –
вида [pic]. Произведя вычитание дробей, получим на этот раз
неопределенное выражение вида [pic]:
[pic].
Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще
раз ту же теорему. Получим
[pic].
Но [pic],
а [pic],
так что, окончательно,
[pic].
Пример 1.
[pic]=[pic]=[pic]=[pic]=[pic]=[pic]= [pic]=[pic][pic]=[pic]=[pic].
Пример 2.
[pic]=
=[pic]=
=[pic]=
=[pic]=
=[pic]=
=[pic]=
=[pic].
Пример 3.
[pic]
=[pic]
=[pic].
Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.
Теорема.
Пусть функция [pic], причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk),
т.е. функция возрастающая.
Тогда [pic], если только существует предел справа конечный или бесконечный.
Доказательство:
Допустим, что этот предел равен конечному числу k
[pic].
Тогда, по определению предела [pic]
[pic] или
[pic].
Значит, какой бы [pic] ни взять, все дроби
[pic], [pic], …, [pic] лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь [pic], числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при [pic]
[pic].
Напишем тождество(которое легко проверить):
[pic],
Откуда
[pic].
Второе слагаемое справа при [pic] становится [pic]; первое же
слагаемое, ввиду того, что [pic], так же будет [pic], скажем, для [pic].
Если при этом взять [pic], то для [pic], очевидно [pic], что и доказывает
теорему.
Примеры:
Найти следующие пределы:
1. [pic] очевидна неопределенность [pic]
[pic]=[pic]=[pic]=2
2. [pic] неопределенность [pic]
[pic]=[pic]=[pic]=[pic]=0
3. [pic] неопределенность [pic]
[pic]=[pic]=[pic]=[pic]
Литература:
“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией
Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.
Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления”
Физматгиз 1962г. Москва.