Государственный университет управления

Институт заочного обучения

Специальность – менеджмент

Кафедра статистики

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ по дисциплине: «Статистика»

Выполнил студент 2-го курса
Группа № УП4
Студенческий билет №

Содержание

1. Статистический формуляр исходных данных задания 3

2. Качественный анализ исходных данных 3

3. Изучение концентрации банковского капитала 4

4. Проверка однородности и нормальности распределения 6

5. Построение ряда распределения 8

6. Определение характеристик генеральной совокупности 13

7. Установка наличия и характера связи 16

8. Определение тесноты и существенности связи 18

9. Уравнение парной регрессии 20

10. Анализ динамики прибыли 22

11. Прогнозирование значения прибыли 25

Статистический формуляр исходных данных задания

|Таблица №1 |
|№ |Капитал, |Прибыль, млн. руб. |
|банка|млн. руб.| |
| | | |
|п/п | | |
| |IV |IV |Отчетный год |
| |квартал |квартал | |
| |отчетного|предыдуще| |
| | |го года | |
| |года | | |
| | | |I квартал|II |III |IV |
| | | | |квартал |квартал |квартал |
| | | | | | | |
|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |
|1 |982 |25,4 |28,4 |27,6 |34,3 |35,1 |
|2 |971 |19,3 |21,3 |18,4 |20,1 |22,6 |
|3 |965 |17,1 |18,1 |19,6 |18,6 |20,1 |
|4 |1045 |18,4 |18,2 |20,3 |19,1 |20,8 |
|5 |1004 |17,3 |19,8 |21,6 |22,3 |23,8 |
|6 |958 |20,3 |17,6 |18,1 |17,8 |19,3 |
|7 |932 |15,6 |16,2 |18,3 |17,4 |21,3 |
|8 |931 |16,8 |17,2 |15,6 |20,0 |18,4 |
|9 |928 |17,1 |15,6 |16,3 |18,4 |20,2 |
|10 |924 |15,1 |14,8 |17,3 |16,5 |19,4 |
|11 |921 |16,8 |15,6 |18,3 |17,4 |20,6 |
|12 |901 |15,1 |14,3 |17,6 |16,2 |15,6 |
|13 |880 |17,4 |18,3 |15,6 |19,0 |21,3 |
|14 |873 |15,5 |16,5 |16,0 |17,3 |18,1 |
|15 |864 |18,8 |19,6 |17,3 |18,4 |21,2 |
|16 |859 |13,6 |15,8 |17,1 |14,2 |18,4 |
|17 |804 |13,8 |14,7 |18,3 |17,1 |16,5 |
|18 |821 |11,6 |15,3 |13,2 |15,5 |17,2 |
|19 |801 |15,2 |14,3 |15,6 |17,0 |18,0 |
|20 |801 |13,3 |15,4 |16,2 |17,3 |19,4 |
|21 |800 |12,7 |14,6 |13,4 |17,1 |15,3 |
|22 |785 |13,6 |13,2 |14,1 |13,7 |14,4 |
|23 |794 |12,6 |11,8 |13,1 |13,0 |12,5 |
|24 |795 |15,8 |13,6 |12,1 |17,3 |16,2 |
|25 |770 |11,6 |11,3 |13,2 |12,4 |11,5 |
|26 |778 |10,2 |13,1 |14,3 |11,6 |13,8 |

Качественный анализ исходных данных

Целью качественного (теоретического) анализа исходных данных является установление факторного [pic] и результативного [pic] показателей. Из таблицы №1 видно, что величина капитала в значительной степени определяет прибыль банка. Следовательно, капитал банка является факторным показателем
[pic], а прибыль банка является результативным показателем [pic].

Изучение концентрации банковского капитала

Для изучения концентрации банковского капитала необходимо выполнить группировку по величине капитала, выделив мелкие, средние и крупные банки.

Для определения величины интервала, можно воспользоваться следующей формулой:

[pic]
|где |[pic]|максимальное значение факторного признака |
| |[pic]|минимальное значение факторного признака |
| |[pic]|число групп |

По данным графы 2 таблицы №1 величина интервала:

[pic]

Для заполнения таблицы №2 на основании данных из таблицы №1, нижнюю границу первого интервала принимаем равной минимальному значению факторного признака, а верхнюю границу каждого интервала получаем прибавлением к нижней границе величины интервала:
|Таблица №2 |
|№ |Группы по |Капитал, млн. руб. |Прибыль, млн. руб. |
|п/п|величине |(IV квартал отчетного|(IV квартал отчетного |
| |капитала, млн. |года) |года) |
| |руб. | | |
|1 |2 |3 |4 |
|I |770 – 862 |859; 804; 821; 801; |18,4; 16,5; 17,2; |
| | |801; 800; 785; 794; |18,0; 19,4; 15,3; |
| | |795; 770; 778 |14,4; 12,5; 16,2; |
| | | |11,5; 13,8 |
|II |862 – 954 |932; 931; 928; 924; |21,3; 18,4; 20,2; |
| | |921; 901; 880; 873; |19,4; 20,6; 15,6; |
| | |864 |21,3; 18,1; 21,2 |
|III|954 – 1046 |982; 971; 965; 1045; |35,1; 22,6; 20,1; |
| | |1004; 958 |20,8; 23,8; 19,3 |

Результаты группировки приведены в групповой таблице №3, где значения показателей капитала и прибыли по каждой группе и по совокупности в целом получены суммированием соответствующих значений таблицы №2 по каждому банку.

Показатели капитала и прибыли в среднем на один банк по каждой группе и по совокупности в целом получены делением соответствующей суммарной величины на число банков по группе и по совокупности в целом.

Показатели удельного веса (долей) получены делением соответствующего показателя по группе на итог по совокупности в целом.
|Таблица №3 |
|№ |Капитал|Числ|Капитал, |Прибыль, |Удельный вес, % |
|п/п|, |о |млн. руб. |млн. руб. | |
| |млн. |банк| | | |
| |руб. |ов | | | |
| | | |Всего |В |Всего|В |по |по |по |
| | | | |средне| |средне|числ|величи|величи|
| | | | |м | |м |у |не |не |
| | | | |на | |на |банк|капита|прибыл|
| | | | |один | |один |ов |ла |и |
| | | | |банк | |банк | | | |
|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|I |770 – |11 |8 808,| 800,7| | 15,7| | 38,5| |
| |862 | |0 | |173,2| |42,3| |35,27 |
|II |862 – |9 |8 154,| 906,0| | 19,6| | 35,6| |
| |954 | |0 | |176,1| |34,6| |35,87 |
|III|954 – |6 |5 925,| 987,5| | 23,6| | 25,9| |
| |1046 | |0 | |141,7| |23,1| |28,86 |
|Итого: |26 |22 887| 880,3| | 18,9| | 100,0| |
| | |,0 | |491,0| |100,| |100,00|
| | | | | | |0 | | |

По результатам группировки, приведенной в таблице №3 можно сделать следующие выводы:

Основная часть банков принадлежит к группе мелких банков, их доля составляет 42,3%. В этой группе сосредоточена наибольшая часть капитала, составляющая 38,5% от общего объема капитала и ими получено 35,27% общей прибыли.

Наименьшее число относится к группе крупных банков, их доля составляет
23,1%. В этой группе сосредоточена наименьшая доля капитала, составляющая
25,9% от общего объема капитала, но ими получена прибыль, составляющая
28,86% от общего объема прибыли, что свидетельствует о более высокой эффективности их деятельности.

Значения капитала и прибыли в среднем на один банк существенно различаются по группам:
. в первой группе капитал составляет 800,7 млн. руб., прибыль

15,7 млн. руб.;
. во второй группе значение капитала в среднем на один банк составляет

906 млн. руб., что в 1,13 раза выше, чем в первой группе, прибыль составляет 19,6 млн. руб., что в 1,25 раза выше, чем в первой группе;
. в третьей группе показатели в среднем на один банк капитала и прибыли составляют 987,5 млн. руб. и 23,6 млн. руб. соответственно, что по капиталу превосходит аналогичный показатель первой группы в 1,23 раза и второй группы в 1,09 раза, по прибыли превосходит аналогичный показатель первой группы в 1,5 раза, а второй группы в 1,2 раза.
Таким образом, сопоставление роста прибыли по группам и роста величины капитала, также свидетельствует о наибольшей эффективности банков третьей группы.

Проверка однородности и нормальности распределения

Необходимой предпосылкой корректного использования статистических методов анализа является однородность совокупности. Неоднородность совокупности возникает вследствие значительной вариации значений признака или попадания в совокупность резко выделяющихся, так называемых
«аномальных» наблюдений. Для их выявления используем правило трех сигм, которое состоит в том, что «аномальными» будут те банки, у которых значения анализируемого признака будут выходить за пределы интервала, т.е.:

[pic]
|где |[pic]|среднее значение факторного показателя |
| |[pic]|среднее квадратическое отклонение по факторному |
| | |показателю |
| |[pic]|значение факторного показателя |

Выделив и исключив «аномальные» банки, оценку однородности проведем по коэффициенту вариации, который должен быть не более 33,3%:

[pic]
|где |[pic]|коэффициент вариации |
| |[pic]|среднее значение факторного показателя |
| |[pic]|среднее квадратическое отклонение по факторному |
| | |показателю |

Для выявления «аномальных» наблюдений по первичным данным о величине капитала вычислим его среднюю величину и среднее квадратическое отклонение
(См. таблицу №4):

[pic] [pic]
|где |[pic]|среднее значение факторного показателя |
| |[pic]|среднее квадратическое отклонение по факторному |
| | |показателю |
| |[pic]|значение факторного показателя |
| |[pic]|число единиц в совокупности |

[pic]
[pic]
| |
|Таблица №4 |
|№ |Капитал|[pic] |[pic] |Прибыль|[pic] |[pic] |[pic] |
|банк|, | | |, | | | |
|а |млн. | | |млн. | | | |
|п/п |руб. | | |руб. | | | |
| |[pic] | | |[pic] | | | |
|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |
|1 |982 | 102 |10 404 |35,1 | 16,2 | 262,44|1 652,4|
|2 |971 | 91 |8 281 |22,6 | 3,7 | 13,69| 336,7 |
|3 |965 | 85 |7 225 |20,1 | 1,2 | 1,44| 102,0 |
|4 |1045 | 165 |27 225 |20,8 | 1,9 | 3,61| 313,5 |
|5 |1004 | 124 |15 376 |23,8 | 4,9 | 24,01| 607,6 |
|6 |958 | 78 |6 084 |19,3 | 0,4 | 0,16| 31,2 |
|7 |932 | 52 |2 704 |21,3 | 2,4 | 5,76| 124,8 |
|8 |931 | 51 |2 601 |18,4 |- 0,5| 0,25|- 25,5|
|9 |928 | 48 |2 304 |20,2 | 1,3 | 1,69| 62,4 |
|10 |924 | 44 |1 936 |19,4 | 0,5 | 0,25| 22,0 |
|11 |921 | 41 |1 681 |20,6 | 1,7 | 2,89| 69,7 |
|12 |901 | 21 | 441 |15,6 |- 3,3| 10,89|- 69,3|
|13 |880 | 0 | 0 |21,3 | 2,4 | 5,76| 0,0 |
|14 |873 |- 7 | 49 |18,1 |- 0,8| 0,64| 5,6 |
|15 |864 |- 16 | 256 |21,2 | 2,3 | 5,29|- 36,8|
|16 |859 |- 21 | 441 |18,4 |- 0,5| 0,25| 10,5 |
|17 |804 |- 76 |5 776 |16,5 |- 2,4| 5,76| 182,4 |
|18 |821 |- 59 |3 481 |17,2 |- 1,7| 2,89| 100,3 |
|19 |801 |- 79 |6 241 |18,0 |- 0,9| 0,81| 71,1 |
|20 |801 |- 79 |6 241 |19,4 | 0,5 | 0,25|- 39,5|
|21 |800 |- 80 |6 400 |15,3 |- 3,6| 12,96| 288,0 |
|22 |785 |- 95 |9 025 |14,4 |- 4,5| 20,25| 427,5 |
|23 |794 |- 86 |7 396 |12,5 |- 6,4| 40,96| 550,4 |
|24 |795 |- 85 |7 225 |16,2 |- 2,7| 7,29| 229,5 |
|25 |770 |- 110 |12 100 |11,5 |- 7,4| 54,76| 814,0 |
|26 |778 |- 102 |10 404 |13,8 |- 5,1| 26,01| 520,2 |
|Итого:|22 887 | |161 297| 491,0 | | 510,96|6 350,7|

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Поскольку минимальное значение капитала (770 млн. руб.) больше нижней границы интервала (643 млн. руб.), а максимальное значение (1045 млн. руб.) меньше верхней границы (1117 млн. руб.), то можно считать, что в данной совокупности «аномальных» наблюдений нет.

Проверка однородности осуществляется по коэффициенту вариации:
[pic]
Т.к. [pic], следовательно, данная совокупность однородна.

Построение ряда распределения

Для построения ряда распределения необходимо определить число групп и величину интервала. Для определения числа групп воспользуемся формулой
Стерджесса:

[pic]
|где |[pic]|число групп (всегда целое) |
| |[pic]|число единиц в совокупности |

Величину интервала определим по формуле:

[pic]
|где |[pic]|максимальное значение факторного признака |
| |[pic]|минимальное значение факторного признака |
| |[pic]|число групп |

[pic]

Нижнюю границу первого интервала принимаем равной минимальному значению факторного признака, а верхнюю границу каждого интервала получаем прибавлением к нижней границе величины интервала. По каждой группе подсчитываем число банков, за [pic] принимаем середину интервала, условно считая, что она будет равной средней по интервалу, и результаты заносим в таблицу №5:

|Таблица №5 |
|№ |Капитал|Числ|[pic]|[pic]|[p|[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |
|п/п|, |о | | |ic| | | | |
| |млн. |банк| | |] | | | | |
| |руб. |ов | | | | | | | |
|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|I |770 – |10 | |7 975|10|- | 785,0 |6 162,2|61 622,5|
| |825 | |797,5|,0 | |78,5 | |5 |0 |
|II |825 – |3 | |2 557|13|- | 70,5 | 552,25|1 656,75|
| |880 | |852,5|,5 | |23,5 | | | |
|III|880 – |7 | |6 352|20| | 220,5 | 992,25|6 945,75|
| |935 | |907,5|,5 | |31,5 | | | |
|IV |935 – |4 | |3 850|24| | 346,0 |7 482,2|29 929,0|
| |990 | |962,5|,0 | |86,5 | |5 |0 |
|V |990 – |2 |1 017|2 035|26| | 283,0 |20 022,|40 044,5|
| |1045 | |,5 |,0 | |141,5| |25 |0 |
|Итого: |26 | |22 77| | |1 705,0| |140 198,|
| | | |0 | | | | |50 |

Среднюю по ряду распределения рассчитываем по средней арифметической взвешенной:

[pic]
|где |[pic]|средняя по ряду распределения |
| |[pic]|средняя по i-му интервалу |
| |[pic]|частота i-го интервала (число банков в интервале) |

[pic]

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака. Для интервального ряда мода определяется по формуле:

[pic]
|где |[pic]|значение моды |
| |[pic]|нижняя граница модального интервала |
| |[pic]|величина модального интервала |
| |[pic]|частота модального интервала |
| |[pic]|частота интервала, предшествующего модальному |
| |[pic]|частота послемодального интервала |

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Для данного ряда наибольшее значение частоты равно 10, т.е. это будет интервал 770 – 825, тогда значение моды:
[pic]

Медиана – значение признака, лежащее в середине ранжированного
(упорядоченного) ряда распределения.

Номер медианы определяется по формуле:

[pic]
|где |[pic]|номер медианы |
| |[pic]|число единиц в совокупности |

[pic] т.к. медианы с дробным номером не бывает, то полученный результат указывает, что медиана находится посередине между 13-й и 14-й величинами совокупности.

Значение медианы можно определить по формуле:

[pic]
|где |[pic]|значение медианы |
| |[pic]|нижняя граница медианного интервала |
| |[pic]|величина медиального интервала |
| |[pic]|номер медианы |
| |[pic]|накопленная частота интервала, предшествующего |
| | |медианному |
| |[pic]|частота медианного интервала |

По накопленной частоте [pic] определяем, что медиана будет находиться в интервале 880 – 935, тогда значение медианы:
[pic]

Наряду со средними величинами большое значение имеет изучение отклонений от средних, при этом представляет интерес совокупность всех отклонений, т.к. от их размера и распределения зависит типичность и надежность средних характеристик. Наиболее простым из этих показателей является показатель размаха вариации, который рассчитывается по формуле:

[pic]
|где |[pic]|размах вариации |
| |[pic]|максимальное значение признака |
| |[pic]|минимальное значение признака |

[pic]

Размах вариации характеризует разброс только крайних значений, поэтому он не может быть достоверной характеристикой вариации признака.
Распределение отклонений можно уловить, определив все отклонения от средней, для этого можно определить среднее арифметическое (линейное) отклонение, которое рассчитывается по формуле:

[pic]
|где |[pic]|среднее линейное отклонение |
| |[pic]|средняя по ряду распределения |
| |[pic]|средняя по i-му интервалу |
| |[pic]|частота i-го интервала (число банков в интервале) |

[pic]

Среднее линейное отклонение, как меру вариации признака применяют крайне редко. Чаще отклонения от средней возводят в квадрат и из квадратов отклонений вычисляют среднюю величину. Полученная мера вариации называется дисперсией, а корень квадратный из дисперсии, есть среднее квадратическое отклонение, которое выражает абсолютную меру вариации и вычисляется по формуле:

[pic]
|где |[pic]|среднее квадратическое отклонение |
| |[pic]|дисперсия |
| |[pic]|средняя по ряду распределения |
| |[pic]|средняя по i-му интервалу |
| |[pic]|частота i-го интервала (число банков в интервале) |

[pic]

По рассчитанным показателям достаточно трудно судить о степени вариации признака в совокупности, т.к. их величина зависит от размера значений признака, поэтому более объективной характеристикой будет коэффициент вариации, который рассчитывается по формуле:

[pic]
|где |[pic]|коэффициент вариации |
| |[pic]|среднее квадратическое отклонение |
| |[pic]|средняя по ряду распределения |

[pic]

Т.к. [pic], следовательно, данное значение коэффициента вариации свидетельствует об однородности совокупности и надежности средней.

Для характеристики дифференциации банков по величине капитала, рассчитаем коэффициент фондовой дифференциации по формуле:

[pic]
|где |[pic] |коэффициент фондовой дифференциации |
| |[pic] |средняя из 10% максимальных значений признака |
| |[pic] |средняя из 10% минимальных значений признака |

Т.к. 10% от 26 будет 2,6, то можно взять значения трех банков, имеющих самые большие и самые меньшие значения капитала:
|[pic]: 770; 778; 785 |[pic]: 1045; 1004; 982 |

Тогда:
|[pic] |[pic] |

[pic]

Следовательно, средняя из 10% максимальных значений в 1,3 раза превышает среднюю из 10% минимальных значений.

Определение характеристик генеральной совокупности

По условию задания предполагается, что исходные данные по 26 банкам являются 5% выборкой из некоторой генеральной совокупности. Для определения характеристик генеральной совокупности необходимо:

. определить характеристики выборочной совокупности: среднюю величину; дисперсию; долю единиц, обладающих значением изучаемого признака; дисперсию доли;

. рассчитать ошибки выборки;

. распространить результаты выборки на генеральную совокупность путем определения доверительных интервалов, в которых с определенной вероятностью можно гарантировать нахождение характеристик генеральной совокупности.

Для определения характеристик выборочной совокупности, воспользуемся результатами расчетов п.5 задания, в котором определили, что: средняя величина капитала составляет: [pic] дисперсия равна: [pic]

Доля банков, у которых капитал превышает среднюю величину, для выборочной совокупности определяется по первичным данным таблицы №1. Число таких банков равно 13, тогда их доля [pic] в выборочной совокупности составляет:
[pic]

Дисперсия доли рассчитывается, как произведение значения доли на дополнение ее до единицы, т.е.: [pic]. Тогда, дисперсия доли составляет:
[pic]

Для расчета ошибок выборки можно воспользоваться формулами для бесповторного отбора, т.к. из условия задания можно определить численность генеральной совокупности. Тогда, средняя ошибка выборки для средней величины:

[pic]
|где |[pic]|дисперсия выборочной совокупности |
| |[pic]|численность единиц выборочной совокупности |
| |[pic]|численность единиц генеральной совокупности |

Т.к. [pic], что по условию составляет 5% от численности генеральной совокупности, то [pic], тогда средняя ошибка выборки для средней величины:
[pic]

Предельная ошибка для средней величины рассчитывается по формуле:

[pic]
|где |[pic]|средняя ошибка выборки для средней величины |
| |[pic]|коэффициент доверия |

Коэффициент доверия [pic] принимается в зависимости от уровня доверительной вероятности и числа степеней свободы. Для малой выборки
(меньше 30 единиц) определяется по таблице Стьюдента.

При заданной вероятности [pic] и числа степеней свободы [pic] [pic], табличное значение [pic]. Тогда, предельная ошибка для средней величины:
[pic]

Доверительный интервал для средней величины генеральной совокупности:

[pic]
|где |[pic]|средняя величина факторного признака выборочной |
| | |совокупности |
| |[pic]|средняя величина факторного признака генеральной |
| | |совокупности |
| |[pic]|предельная ошибка средней величины факторного признака |

[pic]

[pic]

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно гарантировать, что средняя величина капитала в расчете на один банк по генеральной совокупности будет находиться в пределах от [pic] до [pic]

Средняя ошибка выборки доли банков, у которых капитал превышает среднюю величину, для бесповторного отбора:

[pic]
|где |[pic] |дисперсия доли банков выборочной совокупности |
| |[pic] |численность единиц выборочной совокупности |
| |[pic] |численность единиц генеральной совокупности |

[pic]

Предельная ошибка доли банков рассчитывается по формуле:

[pic]
|где |[pic]|средняя ошибка выборки доли банков |
| |[pic]|коэффициент доверия |

Коэффициент доверия [pic] при вероятности [pic] по таблице Стьюдента уже был определен, и он составляет [pic]. Тогда, предельная ошибка доли:
[pic]

Доверительный интервал для доли банков в генеральной совокупности:

[pic]
|где |[pic]|доля банков по выборочной совокупности |
| |[pic]|доля банков по генеральной совокупности |
| |[pic]|предельная ошибка доли |

[pic]

[pic]

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно гарантировать, что доля банков, у которых величина капитала больше среднего значения, по генеральной совокупности будет находиться в пределах от [pic] до [pic].

Установка наличия и характера связи

Связь между факторными и результативными показателями может быть одной из двух видов: функциональной или корреляционной.

Функциональной, называется такая взаимосвязь, которая проявляется с одинаковой силой у всех единиц совокупности, независимо от изменения других признаков данного явления. Функциональные связи обычно выражаются формулами.

Корреляционной называется взаимосвязь между факторным и результативным показателем, которая проявляется только «в общем и среднем» при массовом наблюдении фактических данных.

Содержательный анализ исходных данных выполнен ранее и установлено, что капитал – факторный признак [pic], прибыль – результативный [pic], поэтому на основании проведенных ранее вычислений можно сделать однозначный вывод, что связь между факторным и результативным признаком не полная, а проявляется лишь в общем, среднем, т.е. речь может идти только о корреляционном виде связи.

Непременными условиями корректного использования корреляционного метода являются достаточно большое число единиц совокупности, однородность совокупности и отсутствие выделяющихся, «аномальных» наблюдений, проверка которых уже выполнена в п.4 данного задания.

Для установки факта наличия связи, заполним групповую таблицу №5а, по данным таблицы №5; на рисунке №1 построим поле корреляции, по исходным данным таблицы №1, и эмпирическую линию регрессии, по данным таблицы №5а, принимая середину интервала за [pic], за [pic] – прибыль в среднем на один банк:
|Таблица №5а |
|№ |Капитал, |Число |Середина |Прибыль в среднем на|
|п/п |млн. руб. |Банков|интервала, |один банк, |
| | | |млн. руб. [pic] |млн. руб.[pic] |
|1 |2 |3 |4 |5 |
|I |770 – 825 |10 |797,5 |15,48 |
|II |825 – 880 |3 |852,5 |19,23 |
|III |880 – 935 |7 |907,5 |19,54 |
|IV |935 – 990 |4 |962,5 |24,27 |
|V |990 – 1045 |2 |1017,5 |22,30 |

Анализ таблицы №5а свидетельствует, что существует зависимость между капиталом и прибылью банков.

Поле корреляции, имеет форму вытянутого эллипса и ясно показывает, что имеется тенденция к росту из левого нижнего угла в правый верхний. Значит, имеется прямая корреляционная зависимость между капиталом и прибылью банков.

Эмпирическая линия регрессии также имеет некоторую тенденцию к росту, что также свидетельствует о наличии прямой корреляционной зависимости между капиталом и прибылью банков.

Определение тесноты и существенности связи

Эмпирическая линия регрессии (рисунок №1) – ломаная линия. Изломы этой линии свидетельствуют о влиянии на признак [pic] прочих факторов, помимо признака [pic]. Чтобы абстрагироваться от влияния прочих факторов, нужно прибегнуть к выравниванию полученной ломаной линии регрессии. Для этого сначала необходимо установить теоретическую форму связи, т.е. выбрать определенный вид функции, наилучшим образом отображающий характер изучаемой связи.

Выбор формы связи имеет решающее значение в корреляционно-регрессионном анализе, но этот выбор всегда связан с некоторой условностью, вызванный тем, что нужно находить форму функциональной зависимости, в то время как зависимость лишь в той или иной степени приближается к функциональной. Но если зависимость довольно высокая, т.е. довольно близко приближается к функциональной, тогда именно теоретическая линия регрессии и ее параметры приобретают практическое значение.

На основании качественного анализа исходных данных (таблица №1) и эмпирической линии регрессии (рисунок №1) можно предположить, что между капиталом и прибылью банков существует линейная зависимость. Для определения тесноты этой зависимости воспользуемся линейным коэффициентом корреляции:

[pic]
|где |[pic]|значение факторного показателя |
| |[pic]|среднее значение факторного показателя |
| |[pic]|значение результативного показателя |
| |[pic]|среднее значение результативного показателя |
| |[pic]|число единиц в совокупности |
| |[pic]|среднее квадратическое отклонение по факторному |
| | |показателю |
| |[pic]|среднее квадратическое отклонение по результативному |
| | |показателю |

Для вычисления линейного коэффициента корреляции воспользуемся расчетами, выполненными в таблице №4, тогда
[pic]
[pic]
Среднее значение и среднее квадратическое отклонение результативного показателя рассчитывается аналогично факторному:

[pic] [pic]
|где |[pic]|среднее значение результативного показателя |
| |[pic]|среднее квадратическое отклонение по результативному |
| | |показателю |
| |[pic]|значение результативного показателя |
| |[pic]|число единиц в совокупности |

[pic] [pic]
[pic]

Коэффициент корреляции показывает не только тесноту, но и направление связи. Его значение изменяется от [pic] до [pic]. Если коэффициент имеет знак минус, значит, связь обратная, если имеет знак плюс, то связь прямая.
Близость к единице в том и в другом случае характеризует близость к функциональной зависимости.

Таким образом, значение [pic] свидетельствует о прямой и достаточно тесной связи между величиной капитала и прибылью банка.

Однако, чтобы это утверждать, необходимо дать оценку существенности линейного коэффициента корреляции, что можно выполнить на основании расчета t-критерия Стьюдента:

[pic]
|где |[pic]|линейный коэффициент корреляции |
| |[pic]|число единиц в совокупности |

[pic]

Для числа степеней свободы [pic] и уровня значимости 1% табличное значение [pic], т.е. [pic]. Следовательно, с вероятностью [pic] можно утверждать, что в генеральной совокупности существует достаточно тесная прямо пропорциональная линейная зависимость между величиной капитала и прибылью банка.

Уравнение парной регрессии

Для выравнивания эмпирической линии регрессии (рисунок №1) необходимо найти теоретическое уравнение связи. На основании вычислений, произведенных в п.8, выравнивание можно производить по прямой, т.е. теоретическое уравнение связи, имеющее линейный характер, в общем виде будет иметь вид:

[pic]

Найти теоретическое уравнение связи – значит, в данном случае, определить параметры прямой. Это можно сделать способом наименьших квадратов, который дает систему нормальных уравнений для нахождения параметров прямой:

[pic]
|где |[pic]|значение факторного показателя |
| |[pic]|значение результативного показателя |
| |[pic]|число единиц в совокупности |

|Тогда: |[pic] |[pic] |

|где |[pic]|коэффициент корреляции |
| |[pic]|среднее квадратическое отклонение по факторному |
| | |показателю |
| |[pic]|среднее квадратическое отклонение по результативному |
| | |показателю |
| |[pic]|среднее значение результативного показателя |
| |[pic]|среднее значение факторного показателя |

[pic]
[pic]

Следовательно, теоретическое уравнение связи имеет вид (см. рисунок №1):

[pic]

С экономической точки зрения коэффициент регрессии [pic] говорит о том, что при увеличении капитала на [pic] прибыль возрастает на [pic] или на
[pic]
По коэффициенту регрессии можно вычислить коэффициент эластичности и [pic]- коэффициент.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов увеличится результативный показатель при увеличении факторного признака на 1%:

[pic]
|где |[pic]|среднее значение результативного показателя |
| |[pic]|среднее значение факторного показателя |

[pic]

Следовательно, при увеличении капитала на 1%, прибыль увеличивается на 1,82%.

[pic]- коэффициент показывает, на сколько своих среднеквадратических отклонений измениться результативный показатель при изменении факторного признака на одно свое среднеквадратическое отклонение:

[pic]
|где |[pic]|среднеквадратическое отклонение по факторному показателю|
| |[pic]|среднеквадратическое отклонение по результативному |
| | |показателю |

[pic]

Следовательно, при увеличении капитала на одно свое среднеквадратическое отклонение прибыль увеличивается на 0,7 своих среднеквадратических отклонений.

Анализ динамики прибыли

Анализ динамики выполняется путем расчета:

1. показателей, характеризующих изменение анализируемого показателя по периодам;

2. средних показателей динамики.

Показатели, характеризующие изменение анализируемого показателя по периодам, могут быть рассчитаны ценным и базисным методом. Ценные показатели динамики характеризуют изменение каждого последующего показателя по сравнению с предыдущим, а базисные по сравнению с уровнем, принятым за базу сравнения. К таким показателям относятся:

. Абсолютный прирост:
|[pic] |[pic] |

|где |[pic]|уровень сравниваемого периода |
| |[pic]|уровень предыдущего периода |
| |[pic]|уровень базисного периода |

. Темп роста:
|[pic] |[pic] |

|где |[pic]|уровень сравниваемого периода |
| |[pic]|уровень предыдущего периода |
| |[pic]|уровень базисного периода |

. Темп прироста:
|[pic] |[pic] |

|где |[pic]|ценной темп роста сравниваемого периода |
| |[pic]|базисный темп роста сравниваемого периода |

. Абсолютное значение одного процента прироста:

[pic]
|где |[pic]|ценной абсолютный прирост сравниваемого периода |
| |[pic]|ценной темп прироста сравниваемого периода |
| |[pic]|уровень предыдущего периода |

. Пункты роста:

[pic]
|где |[pic]|базисный темп роста сравниваемого периода |
| |[pic]|базисный темп роста предыдущего периода |

К средним показателям динамики относятся:

. Средний уровень ряда:

[pic]
|где |[pic]|уровень периода |
| |[pic]|число уровней ряда динамики в изучаемом периоде |

. Средний абсолютный прирост:

[pic]
|где |[pic]|ценной абсолютный прирост периода |
| |[pic]|число годовых абсолютных приростов |

. Средний коэффициент роста:

[pic]
|где |[pic]|последний уровень ряда динамики в изучаемом периоде |
| |[pic]|уровень базисного периода |
| |[pic]|число уровней ряда динамики в изучаемом периоде |

. Средний темп роста:

[pic]
|где |[pic]|средний коэффициент роста |

. Средний темп прироста:

[pic]
|где |[pic]|средний коэффициент роста |

Для выполнения анализа динамики, из таблицы №1 по данным о прибыли банка №1 за отчетный год (4 квартала), рассчитаем все приведенные выше показатели динамики, при этом за уровень базисного периода примем показатель прибыли за IV квартал предыдущего года. Результаты вычислений показателей, характеризующих изменение прибыли банка по периодам отражены в таблице №6:
|Таблица №6 |
|Период|Прибыл|Абсолютный|Темп |Темп |Абсолютн|Пункт|
|времен|ь, |прирост, |роста, % |прироста, |ое |ы |
|и |млн. |млн. руб. | |% |значение|роста|
| |руб. | | | |1% |, % |
| | | | | |прироста| |
| | |Ценн|Бази|Ценн|Бази|Ценн|Бази| | |
| | |ой |сный|ой |сный|ой |сный| | |
|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|IV кв.|25,4 |— |— |— |— |— |— |— |— |
| | | | | | | | | | |
|предыд| | | | | | | | | |
|ущего | | | | | | | | | |
|года | | | | | | | | | |
|I кв. |28,4 | | | | | | | 0,254|— |
| | |3,0 |3,0 |111,|111,|11,8|11,8| | |
| | | | |8 |8 | | | | |
|II кв.|27,6 |- | | | |- | | 0,284|- |
| | |0,8 |2,2 |97,2|108,|2,8 |8,7 | |3,1 |
| | | | | |7 | | | | |
|III |34,3 | | | | | | | 0,276| |
|кв. | |6,7 |8,9 |124,|135,|24,3|35,0| |26,3 |
| | | | |3 |0 | | | | |
|IV кв.|35,1 | | | | | | | 0,343| |
| | |0,8 |9,7 |102,|138,|2,3 |38,2| |3,2 |
| | | | |3 |2 | | | | |

Т.к. изучаемым периодом является отчетный год, то средний уровень ряда:
[pic]

Средний абсолютный прирост за отчетный год:
[pic]

Средний темп роста прибыли за отчетный год:
[pic]

Средний темп прироста прибыли за отчетный год:
[pic]

Таким образом, средняя квартальная величина прибыли банка за отчетный год составила [pic], а ее среднеквартальный абсолютный прирост составил
[pic], что соответствует среднеквартальному темпу роста [pic], и среднеквартальному темпу прироста [pic].

Показатели динамики свидетельствуют о ежеквартальном росте прибыли, кроме II квартала отчетного года, когда было допущено снижение на [pic], что составило [pic]. В целом за отчетный год прибыль банка возросла на [pic], что составило [pic].

Прогнозирование значения прибыли

Найти прогнозное значение прибыли на следующий период, т.е. I квартал следующего года, можно использовать метод аналитического выравнивания по прямой. Для этого необходимо найти уравнение тренда, вида:

[pic]
|где |[pic]|порядковый номер периодов времени |

Чтобы найти уравнение тренда, нужно определить параметры [pic] и [pic].
Это можно сделать способом наименьших квадратов, который дает систему нормальных уравнений прямой:

[pic]
|где |[pic]|значение прибыли банка за период |
| |[pic]|номер периода |
| |[pic]|число периодов |

Нахождение параметров упрощается при использовании метода отсчета от условного нуля, тогда [pic] и система уравнений принимает вид:

[pic]
|Тогда: |[pic] |[pic] |

Для нахождения прогнозного значения прибыли банка №1 из таблицы №1, рассчитаем параметры уравнения тренда по результатам вычислений, произведенных в таблице №7:
|[pic] |[pic] |

Тогда, уравнение тренда, для расчета теоретического значения прибыли, имеет вид:

[pic]
|Таблица №7 |
|Период|Прибыль|Условное |[pic] |[pic|Теоретическ|[pic]|[pic] |
|времен|, млн. |обозначен| |] |ие | | |
|и |руб. |ие | | |(расчетные)| | |
| |[pic] |периодов,| | |значения | | |
| | |[pic] | | |прибыли, | | |
| | | | | |млн. руб. | | |
| | | | | |[pic] | | |
|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |
|IV кв.|25,4 |-2 |- | 4| 25,10 | | |
| | | |50,8 | | |0,30 |0,0900 |
|предыд| | | | | | | |
|ущего | | | | | | | |
|года | | | | | | | |
|I кв. |28,4 |-1 |- | 1| 27,63 | | |
| | | |28,4 | | |0,77 |0,5929 |
|II кв.|27,6 |0 | 0,0| 0| 30,16 |- | |
| | | | | | |2,56 |6,5536 |
|III |34,3 |1 | 34,3| 1| 32,69 | | |
|кв. | | | | | |1,61 |2,5921 |
|IV кв.|35,1 |2 | 70,2| 4| 35,22 |- | |
| | | | | | |0,12 |0,0144 |
|Итого | 150,8 | | 25,3| 10| 150,80 | | |
| | | | | | | |9,8430 |

Для нахождения прогнозного значения прибыли на I квартал следующего года, необходимо в уравнение тренда подставить соответствующее значение
[pic]:
[pic]

Этот прогноз называется точечным, и фактическое значение всегда будет сколько-нибудь отличаться от этой величины, поэтому необходимо найти доверительные интервалы прогноза:

[pic]
|где |[pic|значение точечного прогноза |
| |] | |
| |[pic|табличное значение [pic]-критерия Стьюдента при уровне |
| |] |значимости [pic] |
| |[pic|среднее квадратическое отклонение от тренда |
| |] | |
| |[pic|число уровней ряда |
| |] | |

Среднее квадратическое отклонение от тренда рассчитывается по формуле:

[pic]
|где |[pic|фактическое значение уровня динамического ряда |
| |] | |
| |[pic|расчетное значение уровня динамического ряда |
| |] | |
| |[pic|число уровней ряда |
| |] | |
| |[pic|число параметров в уравнении тренда (для прямой [pic]) |
| |] | |

[pic]

Определить относительную ошибку уравнения можно как коэффициент вариации по формуле:

[pic]
|где |[pic|среднее квадратическое отклонение от тренда |
| |] | |
| |[pic|среднее значение динамического ряда |
| |] | |

[pic]

Следовательно, ошибка невелика и составляет [pic].

По таблице Стьюдента, при уровне значимости 5% и числе степеней свободы
[pic], значение [pic]. Тогда доверительный интервал:

[pic]

[pic]

[pic]

С вероятностью [pic] можно утверждать, что прибыль банка №1 в
I квартале следующего года будет находиться в пределах от [pic] до [pic]
-----------------------

[pic]

Рисунок №1