Лицей информационных технологий
Реферат
Производная и ее приложения
Выполнил: ученик 11А класса
Новиков А.
Проверила: Шекера Г.В.
г.Хабаровск
2004
Содержание
Введение……………………………………………………………………………………….…3
1. Понятие производной……………………………………………………....………………....4
2. Геометрический смысл производной…………………….………………….......……..4
3. Физический смысл производной……………………………………………………….…….5
4. Правила дифференцирования………………………………………………………….……..6
5. Производные высших порядков……………………………………………………….……..7
6. Изучение функции с помощью производной
6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции……………………………..8
6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции.
Достаточные условия экстремума функции………………..…………………...…….11
6.3 .Правило нахождения экстремума………………………………………………….....12
6.4.Точка перегиба графика функции………………………………………………...…...12
6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика……………………..15
6.5. Касательная и нормаль к плоской кривой…………………………..………………..15
7.Экономическое приложение производной.
7.1.Экономическая интерпретация производной………………………………...……….16
7.2. Применение производной в экономической теории...………………………..……..19
7.3. Использование производной для решения задач по экономической теории….…...21
8. Применение производной в физике…………………………………………………….…..23
9. Применение производной в алгебре
9.1. Применение производной к доказательству неравенств…………………………....25
9.2. Применение производной в доказательстве тождеств………………………….…...28
9.3. Применение производной для упрощения алгебраических
и тригонометрических выражений……………………………………………….……29
9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной…………………...30
9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений………....31
Заключение……………………………………………………………………………………...32
Список литературы……………………………………………………………………………..33
Введение
Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной зависимости осознавалась интуитивно.
Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы, отличные от методов элементарной математики.
Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий
математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он
не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией
изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким
образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В современных
терминах это определение связано с понятием множества и звучит так:
«Функция есть произвольный способ отображения множества А = {а} во
множество В = {в}, по которому каждому элементу а[pic]А поставлен в
соответствие определенный элемент в[pic]В. Уже в этом определении не
накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может
быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Главное в
этом определении: [pic]а[pic]А[pic]!b[pic]B. Под элементами множеств А и В
понимаются при этом элементы произвольной природы.
В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.
Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в
1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых
излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала,
объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.
Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику, превратив ее в математику переменных величин.
Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными.
В своей же работе я хочу подробнее остановится на приложениях производной.
1. Понятие производной
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом
[pic]
Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую
функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех
шагов:
1) даем аргументу x приращение ? x и определяем соответствующее приращение функции ? y = f(x+? x) -f(x);
2) составляем отношение[pic]
3) считая x постоянным, а ? x (0, находим[pic], который обозначаем через
f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь
от того значения x, при котором мы переходим к пределу.
Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.
Таким образом, [pic], или [pic]
Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение
[pic]при ? x(0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят,
что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не
дифференцируема в точке x=a.
2. Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки
x0
[pic]
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции -
точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)).
Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x; ВС =?у;
tg?=?y/?x .
Так как АС || Ox, то (ALO = (BAC = ? (как соответственные при
параллельных). Но (ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному
направлению оси Ох. Значит, tg? = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х> 0. При этом точка В будет
приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.
Предельным положением секущей АВ при ?х> 0 будет прямая (a), называемая
касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве tg? =?y/?x, то получим[pic]
или tg( =f '(x0), так как [pic] (-угол наклона касательной к положительному
направлению оси Ох [pic], по определению производной. Но tg( = k - угловой
коэффициент касательной, значит, k = tg( = f '(x0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
3. Физический смысл производной.
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в
любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость
за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния, пройденного
за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t > 0.
lim Vср (t) = ((t0) - мгновенная скорость в момент времени t0, ?t > 0.
а lim = ?x/?t = x'(t0) (по определению производной).
Итак, ((t) =x'(t).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции
y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной
функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от
времени.
((t) = x'(t) - скорость,
a(f) = ('(t) - ускорение, или
a(t) = x"(t).
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно
найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
? = ?(t) - изменение угла от времени,
? = ?'(t) - угловая скорость,
? = ?'(t) - угловое ускорение, или ? = ?"(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно
найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса,
x ( [0; l], l - длина стержня,
р = m'(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических
колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины.
Положив ?2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника
х"(t) + ?2x(t) = 0,
где ? = ?k/?m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ?2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний
(механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений
является функция
у = Asin(?t + ?0) или у = Acos(?t + ?0), где
А - амплитуда колебаний, ? - циклическая частота,
?0 - начальная фаза.
4. Правила дифференцирования
|(C)’= 0 С=const |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|(cos x)'=-sin x |[pic] |
|(sin x)'=cos x |[pic] |
|(tg x)'=[pic] |(ах)'=аx ln a |
|(ctg x)'=-[pic] |(ех)'=ex |
|[pic] | |
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Производная степенно-показательной функции
[pic], где [pic].
[pic].
Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция [pic]. При этом
предполагается, что функция [pic] не обращается в нуль в точке [pic].
Покажем один из способов нахождения производной функции [pic], если [pic]
очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти
производную затруднительно.
Так как по первоначальному предположению [pic] не равна нулю в точке, где
ищется ее производная, то найдем новую функцию [pic] и вычислим ее
производную
[pic] (1)
Отношение [pic] называется логарифмической производной функции [pic]. Из
формулы (1) получаем
[pic]. Или [pic]
Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции [pic].
5. Производные высших порядков
Ясно, что производная[pic]функции y =f (x) есть также функция от x: [pic]
Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается
символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или
производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением [pic]можем
написать [pic]
Очень удобно пользоваться также обозначением [pic], указывающим, что
функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется
третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего
порядка и обозначается символами [pic].
Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x)
обозначается символами [pic]
Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную
второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную
третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших
порядков можно получить в случае произвольной функции.
Например:
1) [pic]; [pic]; [pic]; ...;
[pic]; [pic].
Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании.
Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие –
переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное
количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.
Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков
выполняются для производных высших порядков.
6. Изучение функции с помощью производной
6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.
Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b),
если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения
функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
|[pic] |
|Рис.1 (а) |
|[pic] |
|Рис.1 (б) |
Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b)
функции f(x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют
одинаковые знаки.
График возрастающей функции показан на рисунке1(а).
Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) ? f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C
Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b )
если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения
функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b )
функции f (x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют разные
знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).
Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) ? f(x1),
то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример
такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1 ] она
сохраняет постоянное значение C.
Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале
( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.
Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале
( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.
Пусть данная непрерывная функция убывает при возрастании x от x0 до x1, затем при возрастании x от x1 до x2 - возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2 до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую функцию колеблющейся.
График колеблющейся функции показан на рисунке 3.
Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция переходит от убывания к возрастанию, называются точками поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их абциссы - критическими значениями аргумента x
В той точке, где функция переходит от возрастания к убыванию, ордината больше соседних с ней по ту и другую сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат, соседних с ней справа и слева и достаточно к ней близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса которой равна x0, больше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно близки к x0 : f (x0) > f
(x0+?x).
На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она возрастает, на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале
[ x1 , b ) - убывает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)?f (x).
Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто
максимумом.
Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .
Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2) .
В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината
меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и
слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и
достаточно близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке,
абсцисса которой равна x1 , меньше значений функции в точках, абсциссы
которых достаточно мало отличаются от x1 : f (x1) < f (x1+?x).
На рисунке 4(б) изображена функция f (x), непрерывная в интервале
( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она убывает, на интервале [ x0 , x1 ] -
сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b )
- возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения
функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)?f (x).
Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто
минимумом.
Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .
Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x1) и f (x3) .
По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ]
является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала
[ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f (x), а наименьшим значением
функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для
которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f
(x).
Из этих определений следует, что функция может достигать своего наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой окрестности точки x0 .
Если в точке x0 функция f (x) достигает максимума или минимума, то говорят, что функция f (x) в точке x0 достигает экстремума (или экстремального значения).
Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала
[ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше
какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x)
на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого
интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.
Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это
наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из
значений функции на концах интервала.
Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего
значения f (x) в точке x2 , наименьшего - в точке x1 интервала [ x0, x3 ].
На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и
максимумов.
Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в точке x0 экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не существует.
Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x0, в которых ее
производная не существует. Например функция y = | x | в точке x0 = 0 не
дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют
угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.
|[pic] |
|Рис. 6 |
На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0 производной
[f' (x0) = ?] и достигающая в этой точке максимума. При x > x0 и x < x0 f' (x) > +?, при x > x0 и x > x0 f' (x) > -?. Значит касательная
кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки
называются точками возврата кривой y=f(x).
Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0 экстремума функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x0 производная f' (x) или равна нулю, или не существует.
Этот признак не является достаточным условием существования экстремума функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций, удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих экстремума при x = x0.
Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако эта функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения.
6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия экстремума функции.
Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале.
Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале.
Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+").
Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума
функции). Если в точке x0 первая производная f '(x) функции f(x) обращается
в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0
функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума,
если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x0 и ее
окрестности.
6.3 .Правило нахождения экстремума
1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:
1) найти производную данной функции;
2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из
полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства)
по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни
оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;
3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных
стационарными точками ( стационарными точками называют точки в которых
производная равна 0);
4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной
стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то
данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна
слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка
есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как
слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни
максимума, ни минимума, функции;
5) заменить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает
максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или
минимума функции.
Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в
число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых
определяется знак производной.
6.4.Точка перегиба графика функции.
Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью
вверх, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой,
соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой,
проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1а).
|Рисунок 1 |
Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вниз, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1б).
Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x0 следует, что для любой точки x из интервала (x0 - h, x0 + h), не совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство f(x) - y < 0 ( f(x) - y > 0) где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x), y - ордината точки N касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).
Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x0 - h, x0 + h), не совпадающей с x0, выполняется неравенство f(x) - y < 0 (f(x) - y > 0), то кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх (вниз).
Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b), если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.
Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то с
увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в
точке с абсциссой x будет уменьшаться.
|[pic] |
|Рисунок 2. |
В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B (рис.
2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в точках A и B к кривой
y = f(x). Пусть a и j - углы наклона касательных t1 и t2. Тогда из рис. 2
видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a.
Следовательно tg? > tg? или f '(x1 ) > f '(x2 ).
Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x)
обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x)
убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная
убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале
(a, b): f ''(x)?0.
|[pic] |
|Рисунок 3. |
Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tg? > tg? т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)?0.
Докажем, что и наоборот, если f ''(x)?0 в некотором интервале (a, b), то в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если f ''(x)?0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз.
Запишем уравнение касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к кривой
y = f (x) в точке x0, где a < x0 b, в виде y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ).
Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому последнее уравнение можно записать в виде y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ). (1)
Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:
[pic] (2)
Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение
(1), получим:[pic] (3)
Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, где 0 < ? < 1, то имеем f(x) - y ? 0 откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.
Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, то имеем f(x) - y ? 0 откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.
Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то
высказанное выше утверждение доказано.
|[pic] |
|Рисунок 4. |
Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.4). (В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная).
Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда f ''(x0 ) = 0 или не существует.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая
y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в
выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 - h, x0 ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале
(x0, x0 +h) - больше нуля.
Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных
значений к положительным, она при x = x0 обращается в нуль: f ''(x0 ) = 0.
|[pic] |
|Рисунок 5. |
На рис.5 изображен график функции [pic]. Хотя при x0 = 0 имеется
касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна
нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем [pic]
Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой
перегиба, так как при x < 0 f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при
x > 0 f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.
Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.
Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при x = x0, то точка A[x0 ; f(x0 )] является точкой перегиба кривой y = f(x) при условии, конечно, что в точке A существует касательная.
Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x0 - h < x < x0 и f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h. Тогда в интервале (x0 - h; x0 ) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x0 ; x0 + h) - выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0 ; f(x0 )] есть точка перегиба кривой, что и требовалось доказать.
6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика.
1. Находим область определения функции f(x)
2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим их на чертеж.
3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей координат и начала координат.
4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже.
5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.
6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами.
7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.
8. Вычерчиваем кривую y = f(x).
6.6. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).
Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1)
Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен [pic], а уравнение записывается в виде [pic]
7.Экономическое приложение производной.
7.1.Экономическая интерпретация производной
В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем.
Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин.
Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.
Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.
Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда (x- прирост продукции, а (y - приращение издержек производства.
В этом случае производная [pic] выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции [pic],где MC – предельные издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.
Геометрическая интерпретация предельных издержек - это тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.).
Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.
Другой пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue) —
это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к
(n+1)-ой единице продукта.
Она представляет собой первую производную от выручки: [pic].
При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price).
Таким образом [pic], ( MR= P.
Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния на цену.
Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.
Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает
равное влияние величин полезности товара и затрат на его производства на
формирование цены. В основе рассматриваемого подхода - исследования А.
Маршалла.
Ординалистский (Порядковый) подход к теории цен разрабатывался И.
Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит в том, что потребители,
имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и
полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем
наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную
полезность для конкретного потребителя.
В соответствии с первой, суммарную полезность U для любого субъекта, если в экономике существует n потребительских благ в объемах х1, x2,… хn, можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:
U= U(х1, x2,… xn).
Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных
производных: [pic]. Они показывают, на сколько изменяется полезность всей
массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении
количества блага i (i=1,2…n)
В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен сопоставить полезности наборов товаров.
Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось прогрессирующее вытеснение понятия "предельная полезность" категорией предельной нормы замещения (MRS – marginal rate of substitution).
Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении
сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y
товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы
компенсировать потребительскую утрату единицы товара y.
Они определяются так: [pic].
Т.к. dy отрицательно, знак "-" вводится, чтобы MRS была больше нуля.
Итак, предельная норма замещения геометрически есть касательная к кривой
безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения по
абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой
безразличия.
Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который имеет аналог и на макроуровне.
Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на
потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как
правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения
равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и
больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими
исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:
Y= C(Y) + S(Y).
Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией склонности к потреблению или функцией потребления.
Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода: [pic].
По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя
сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к
сбережению или функцию сбережения. Долю прироста сбережений в приросте
дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS(marginal
propensity to save): [pic].
С увеличением доходов MPS увеличивается.
Еще одним примером использования производной в экономике является
анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов
принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от
факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент
исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда
увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию -
предельный продукт труда MPL(marginal product of labor) – это
дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений
труда (L – labor) при неизменной величине капитала:[pic].
Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то [pic], т.к. dY
- результат, dL - затраты, то MPL – предельная производительность труда.
Аналогично, MPk - предельный продукт капитала - дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:[pic].
Если вложения осуществляются малыми порциями, то [pic].
MPk - характеризует предельную производительность капитала.
Для исследования экономических процессов и решения других прикладных
задач часто используется понятие эластичности функции.
Определение: Эластичностью функции Еx(y) называется предел отношения
относительного приращения функции y к относительному приращению переменной
x при (x(0:
[pic].
Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится
функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.
Приведем несколько конкретных иллюстраций такой зависимости. Прямой
коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько процентов
увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении (увеличении)
его цены P на 1%: [pic].
Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене [pic] показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных колебаниях цены товара j (j = 1,2,…n): [pic].
Количественную сторону взаимодействия дохода и спроса отражает коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на сколько процентов изменится спрос на i-тый товар Qi если доход, предназначенный на текущее потребление, изменится на 1%: [pic].
Можно привести и другие примеры использования производной при фокусировке различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие экономического смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической интерпретации математических теорем.
7.2. Применение производной в экономической теории.
Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.
Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если
дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или
наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то
производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x0) = 0.
Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для
производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных
издержек и предельного дохода".
То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если
MC(Qo)=MR(Qo), где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.
Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие издержки производства.
Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором
прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция
П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0.
Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда следует, что MR(Qo)
= MC(Qo).
Другое важное понятие теории производства - это уровень наиболее
экономичного производства, при котором средние издержки по производству
товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный
объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.
Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы. Средние издержки AC(Q) определяются как [pic], т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии [pic], откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или [pic], т.е. MC(Q)=AC(Q).
Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории.
Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей
доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства
дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса
(трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".
Иными словами, величина [pic], где (y - приращение выпуска продукции, а
(x - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон
убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая
зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией,
выпуклой вверх.
Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности
U= U(x), где х - товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень
субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная
для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом:
с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его
единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно
переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой
вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной
точкой для математического исследования теории спроса и предложения.
7.3. Использование производной для решения задач по экономической теории.
Задача 1.
Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен
ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента.
Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может
превышать 90 т. в день.
Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут
наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:
К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции
У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].
Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на
концах промежутках и в критической точке.
f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.
Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.
Задача 2.
Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.
Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.
Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема
производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем
накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства
приводит к сокращению финансовых накоплений.
Задача 3.
Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара,
которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за
определенный период времени и при прочих равных условиях.
Зависимость спроса от цены описывается функцией [pic],
Данная функция исследуется с помощью производной: [pic]
Производная меньше нуля, если P>=0.
Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6), т.е. при P1/2 спрос убывает все быстрее.
[pic]
Задача 4.
Выручка от реализации товара по цене p составляет: [pic]
(Денежных единиц), где [pic]. Исследуем эту функцию с помощью производной.
Производная этой функции: [pic] положительна, если p1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается (
несмотря на падение спроса) и p=1/2 достигает максимального значения
[pic], дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к
сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.
[pic]
[pic] темп положительный [pic]темп отрицательный
На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее
повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом
для [pic], а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9
выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном
увеличении цены.
Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим
график.
|p |(0, 1/2) |1/2 |[pic] |[pic] |[pic] |
|U'(p) |+ |0 |- |-0,47 |- |
|U''(p) |- | |- |0 |+ |
|U (p) |возрастает |0,3 |убывает |0,2 точка |убывает |
| |выпукла |max |выпукла |перегиба |вогнута |
Вывод:
На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.
Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее
повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным
темпом[pic], а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р >
0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном
увеличении цены. На промежутке [pic]функция U(p) вогнута. В точке
[pic] график перегибается (см. на рисунке):
[pic]
8. Применение производной в физике
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или
наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.
Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец
находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает
падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с
постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены
нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте
2м?
[pic]
Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)=
4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.
Высота y(t) описывается формулой: [pic],так как движение равноускоренное.
В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 - t2, из которого [pic];
В этот момент [pic] по т. Пифагора, т.е. [pic]
Скорость его изменения [pic]
Ответ:[pic]
Задача 2
Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так,
что ее масса m изменяется по закону m(t) = 1 - 2/3t. (m изменяется в
граммах, t - в секундах). Через сколько времени после начала падения
кинематическая энергия капли будет наибольшей?
Скорость капли [pic] , её кинетическая энергия в момент t равна [pic]
Исследуем функцию [pic] на наибольшее с помощью поизводной: [pic]
[pic]=0 t1=0 t2=1 (t>0)
При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек.
Задача 3
Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была наибольшей?
По закону Ома сила тока в цепи есть [pic] [pic]
выделяемая в потребителе мощность P=I2R, то есть [pic]
Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной: [pic] P’(R) =
0 : r - R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P(R) принимает наибольшее
значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при
сопротивлении R =50 Ом.
Ответ: 50 Ом
9. Применение производной в алгебре
9.1. Применение производной к доказательству неравенств.
Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств
основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и
знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:
Теорема 1. Если функция [pic]на некотором интервале [pic]имеет
производную [pic]всюду на [pic], то [pic]на [pic]монотонно возрастает; если
же [pic] всюду на [pic], то [pic]на [pic]монотонно убывает.
Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:
Теорема 2. Если на промежутке [pic] выполняется неравенство [pic],
функция [pic]и [pic]непрерывны в точке [pic] и [pic], то на [pic]
выполняется неравенство [pic].
Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием
этих теорем.
Задача 1. Пусть [pic].Докажите истинность неравенства [pic]. (1)[pic]
Решение: Рассмотрим на [pic] функцию [pic]. Найдем ее производную: [pic].
Видим, что [pic]при [pic]. Следовательно, [pic] на [pic] убывает так, что
при [pic] [pic]. Но [pic] [pic] Следовательно неравенство (1) [pic]
верно.
Задача 2. Пусть [pic] и [pic]положительные числа, [pic] Тогда очевидно,
что [pic], [pic]. Можно ли гарантировать, что неравенство [pic] (2) верно а) при [pic]; б) при [pic]?
Решение: а) Рассмотрим функцию [pic]. Имеем: [pic]
Отсюда видно, что при [pic]функция [pic]возрастает. В частности, она
возрастает на интервале [pic] Поэтому при [pic] неравенство (2)
справедливо. б) на интервале [pic] [pic], т.е. [pic] убывает. Поэтому при любых [pic] и
[pic], для которых [pic], неравенство (2) неверно, а верно неравенство
противоположного смысла: [pic]
Задача 3. Доказать неравенство: [pic] при [pic] (3).
Воспользуемся теоремой 2. [pic] и [pic], верно неравенство [pic]: [pic]
на промежутке [pic]и выполнимо условие [pic] где [pic], в данном случае
равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.
Задача 4. Доказать неравенство: [pic] [pic] (4).
Решение: [pic], [pic]; [pic]
Неравенство [pic] при любых [pic] верно. Значит неравенство (4) верно.
Задача 5. Доказать, что если [pic], то [pic] (5).
Решение: Пусть [pic] Тогда
[pic]
Чтобы найти, при каких значениях [pic] функция [pic]положительная,
исследуем ее производную [pic]. Так как при [pic] [pic] то [pic]
Следовательно, функция [pic]возрастает при [pic]. Учитывая, что [pic] и
[pic] непрерывна, получаем [pic], при [pic].
Поэтому [pic] возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку [pic]
непрерывна и [pic] то [pic] при [pic]. Неравенство (5) верно.
Задача 6. Выясним, что больше при [pic]: [pic] или [pic].
Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь [pic].
Рассмотрим на [pic] вспомогательную функцию [pic].
Выясним, будет ли она монотонна на отрезке [pic]. Для этого найдем ее
производную (по правилу дифференцирования дроби):
[pic]
[pic] при [pic].
В силу теоремы 1 функция [pic] вырастает на отрезке [pic]. Поэтому, при
[pic] [pic] т.е. [pic]
[pic] при [pic].
При решении задачи (6) встретился полезный методический прием, если нежно
доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто
целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква [pic]) считать
применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой
[pic], а значение остальных букв (в данном случае значение буквы [pic])
считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи
применить указанный прием несколько раз.
Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных [pic]
неравенство: [pic] (6).
Решение: Пусть [pic] Рассмотрим функцию
[pic].
При [pic] имеем [pic].
Отсюда видно (теорема 1), что [pic] убывает на [pic] Поэтому при
[pic]имеем [pic] т.е. мы получили неравенство:
[pic] (7).
Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию [pic]. При [pic]
имеем: [pic]
Следовательно, [pic]убывает на [pic], т.е. [pic] при [pic] значит, [pic]
(8),
Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности
неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое
непосредственно вытекает из теоремы 1:
Теорема 3: Пусть функция [pic] непрерывна на [pic]и пусть имеется такая
точка с из [pic], что [pic]на [pic] и [pic]на [pic]. Тогда при любом х из
[pic] справедливо неравенство [pic] причем равенство имеет место лишь при
[pic].
Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее
неравенство: [pic][pic]
Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем
производную:
[pic].
Видно, что [pic] на [pic] и [pic] на [pic]. Следовательно, в силу теоремы
3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при
[pic].
9.2. Применение производной в доказательстве тождеств.
Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться
одним очевидным замечанием:
Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее
производная на этом интервале постоянно равна нулю:
[pic] на [pic] на [pic].
Задача 1. Проверить тождество:
[pic] (1)
Доказательство: Рассмотрим функцию
[pic]
Вычислим ее производную (по х):
[pic]
Поэтому (замечание) [pic]. Следовательно, [pic] что равносильно тождеству
(1).
Задача 2. Проверить тождество:
[pic] (2)
Доказательство: Рассмотрим функцию
[pic]
Докажем, что [pic]
Найдем ее производную:
[pic]
[pic][pic][pic]
Значит[pic]. При х=0 [pic],следовательно,тождество (2) верно.
В связи с рассмотренными примерами можно отметить, что при нахождении
постоянной, интегрирования С полезно фиксировать значения переменной, по
которой производится дифференцирование, таким образом, чтобы получить
возможно более простые выкладки.
9.3. Применение производной для упрощения алгебраических и тригонометрических выражений.
Прием использования производной для преобразования алгебраических и
тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет
значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она
легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного
выражения:
Задача 1 Упростить выражение: [pic]
Решение: Обозначив данное выражение [pic] будем иметь:
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
Таким образом, заданное выражение (1) равно [pic].
Задача 2. Упростить выражение:
[pic]
Решение: Обозначив это выражение через [pic], будем иметь:
[pic]
отсюда [pic].
и при [pic]получаем: [pic]
Так что [pic]
Задача 3. Упростить запись функции:
[pic] (2)
Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к
относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться
производной:
[pic]
Отсюда [pic]
Найдём [pic]: [pic]
Таким образом функция (2) равна [pic]
Задача 4. Упростить запись многочлена:
[pic] (3)
Решение: Обозначим многочлен (3) через [pic] и найдём последовательно
первую и вторую производные этой функции:
[pic]
[pic]
Ясно, что [pic] Поэтому [pic], где [pic], найдём [pic]: при [pic] [pic],
[pic].
9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной.
Задача 1. Разложить на множители выражение:
[pic] (1)
Решение: Считая [pic]переменной, а [pic] и [pic] постоянными
фиксированными (параметрами) и обозначая заданное выражение через [pic],
будем иметь:
[pic]
Поэтому [pic] (2) где [pic]- постоянная, т.е. в данном случае - выражение, зависящее от
параметров [pic] и [pic]. Для нахождения [pic] в равенстве [pic] положим
[pic] тогда [pic].
Получим [pic]
Задача 2. Разложить на множители выражение:
[pic] (3)
Решение: Поскольку переменная [pic] входит в данное выражение в наименьшей
степени, рассмотрим его, как функцию [pic] и будем иметь:
[pic]
[pic] получим:
[pic]
Таким образом, исходное выражение (3) равно [pic]
Задача 3. Разложить на множители выражение:
[pic]
Решение: Обозначив данное выражение через [pic] и считая [pic] и [pic]
постоянными, получим:
[pic]откуда [pic], где [pic] зависит только от [pic] и [pic]. Положив в
этом тождестве [pic], получим [pic] и
[pic]
Для разложения на множители второго множителя используем тот же приём, но
в качестве переменной рассмотрим [pic], поскольку эта переменная входит в
меньшей степени, чем [pic]. Обозначая его через [pic] и считая [pic] и
[pic]постоянными, будем иметь:
[pic] отсюда: [pic]
[pic]
[pic]
Таким образом исходное выражение (4) равно
[pic]
9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений.
С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение.
Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение
её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных
функций:
Задача 1. Если функция [pic] возрастает или убывает на некотором
промежутке, то на этом промежутке уравнение [pic] имеет не более одного
корня.
[pic] (1)
Решение: Область определения данного уравнения - промежуток [pic]
определение на этом промежутке функцию [pic], положив
[pic]
Тогда, на [pic]
[pic]
[pic] [pic] [pic] ( [pic], и таким образом функция [pic]- возрастающая, так что данное уравнение (1)
не может иметь более одного решения.
Задача 2. При каких значениях [pic] имеет решения уравнение
[pic] (2)
Решение: область определения уравнения - отрезок [pic], рассмотрим функцию
[pic], положив [pic]
Тогда на открытом промежутке [pic]
[pic]
[pic], так что [pic]- единственная критическая точка функции [pic],
являющаяся, очевидно, точкой максимума. Поскольку [pic] [pic] то [pic]
примет наибольшее значение при [pic], а наименьшее значение - при [pic].
Так как функция [pic] непрерывна, то её область значений представляет
собой отрезок [pic], между её наименьшим и наибольшим значением. Другими
словами, исходное уравнение (2) имеет решения при [pic].
Заключение
Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера для учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и повысит интерес к производной.
Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке x0
- это скорость изменения функции f (х) в точке x0
Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.
Производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин.
Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.
Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).
Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем
Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.
[pic]
-----------------------
[pic]
Рис.5
Рис.2 (а)
+
–
50
Е’
E
[pic]
[pic]
+
–
1
E’
E
[pic]
Рис.4 (б)
Рис.4 (а)
Рис. 3
Рис.2 (б)
f(x)
[pic]
а
б
[pic]
[pic]
С
С
B
Q
C(t)
E
A