МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАДИ (ТУ)

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Выполнил: Белоногов М.В.

Группа 4ВЭДС3

Проверил: Беляков Г.С.

Москва 1999-2000

Раздел 1.

Выбор оптимального маршрута поездки.

Постановка задачи:

Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты
Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк
(пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.

Порядок решения задачи:

1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.

А 1 Б

4 В 2

Д 3 Г

Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.

|пункт |А |Б |В |Д |1 |4 |
|i | | | | | | |
|yi |0 |( |( |( |( |( |
| | |28 |13 |17 |8,32 |9 |
| | |16,64 | | | | |

Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.
Затем пересчитываем величины yi используя правило:
Если yj + lij ( yi , то величина yi = yj + lij , в противном случае yi оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.

yA + l4A=0+9=9 ( y4=( ( y4=9 yA + lBA=0+13=13 ( yB=( ( yB=13 yA + l1A=0+8,32=8,32 ( y1=( ( y1=8,32

Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.

y4 + lB4=9+7=16 ( yB=13 y4 + lД4=9+8=17 ( уД=( ( yД=17

yВ + lДВ=13+12=25 ( yД=17 yВ + lБВ=13+15=28 ( уБ=( ( yБ=28 yВ + l1В=13+9=22 ( у1=8,32

y1 + lВ1=8,32+10=18,32 ( yВ=13 y1 + lБ1=8,32+8,32=16,64 ( уБ=28 ( yБ=16,64

yД + l4Д=8,32+17=25,32 ( y4=9 yД + lВД=17+12,32=29,32 ( yВ=13

yБ + lВБ=16,64+15,32=31 ( yВ=13 yБ + l1Б=16,64+8=24,64 ( y1=8,32

Теперь проверим условие lij ( yi - yj для всех дуг сети.

l4A = у4 - уА 9=9-0 l4Д ( у4 – уД 8,32(9-17 lД4 = уД – у4 8=17-9 lДВ ( уД – уВ 12(17-13 lBA = yB - yA 13=13-0 lBД ( yB – yД 12,32(13-17 lBБ ( yB – yБ 15,32(13-16,64 lB4 ( yB – y4 7(13-9 lB1 ( yB – y1 10(13-8,32 lБВ ( уБ - уВ 15(16,64-13 lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32 l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0 l1В ( у1 – уВ 9(8,32-13 l1Б ( у1 – уБ 8(8,32-16,64

Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие: lij = yi - yj

Таковыми являются: l4A = у4 - уА 9=9-0 lД4 = уД – у4 8=17-9 lBA = yB - yA 13=13-0 lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32 l1А = у1 – уА 8,32=8,32-0

Кратчайшие расстояния до пункта А равны:

| пункт |4 |Д |Б |1 |В |
|расстояние до А |9 |17 |16,64 |8,32 |13 |

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.

2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.

| |А |Б |В |Г |Д |
|А |--- |16 |13,32 |--- |17,64 |
|Б |16,64 |--- |15 |21 |--- |
|В |13 |15,32 |--- |15 |12,32 |
|Г |--- |21,64 |15,32 |--- |16 |
|Д |17 |--- |12 |16,32 |--- |

3. Математическая модель задачи коммивояжера:

Найти минимальное значение целевой функции z

n+1 n+1 min z = ( ( lij * xij i=1 j=1

при следующих ограничениях:

. из каждого города i нужно уехать только один раз

n+1

( xij = 1 i=1, ......, n+1 j=1

. в каждый город j нужно приехать только один раз:

n+1

( xij = 1 j=1, ......, n+1 i=1

. переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае

. решение есть простой цикл

4. Решение задачи:

| |А |Б |В |Г |Д |
|А |--- |16 |13,32 |--- |17,64 |
|Б |16,64 |--- |15 |21 |--- |
|В |13 |15,32 |--- |15 |12,32 |
|Г |--- |21,64 |15,32 |--- |16 |
|Д |17 |--- |12 |16,32 |--- |

Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок.
(2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3),
(4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.
В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

А – Б – Г – Д – В – А

min z = 16+21+16+12+13 = 78

Раздел 2.
Определение рационального варианта размещения производственных предприятий

(на примере АБЗ).

Постановка задачи:
В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:
B1 = 50.000 т
B2 = 60.000 т
B3 = 45.000 т
B4 = 70.000 т

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.
Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

Затраты на приготовление аб, руб

|мощность АБЗ |Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, |
| |располож-м в пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд |
|т/час |тыс. т/год|1 |2 |3 |4 |
|10 |18 |484 |489 |495 |481 |
|25 |45 |423 |428 |435 |420 |
|50 |90 |405 |410 |416 |401 |

Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб

|Пункт |Зона-потребитель |
|размещения | |
|1 |28,3 |60,3 |45,3 |90,3 |
|2 |61,3 |30,3 |93,3 |48,3 |
|3 |50,3 |95,3 |33,3 |62,3 |
|4 |99,3 |54,3 |65,3 |36,3 |

Математическая модель транспортной задачи:

m n min z = ( ( Cij * xij i=1 j=1

Ограничения:

n
. ( xij = ai i=1, ......, m j=1

весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.

m
. ( xij = bj j=1, ......, n i=1

спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен

. xij ( 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю

Транспортная таблица:

|Мощность|Спрос зон-потребителей, тыс.т/год |
|АБЗ | |
|тыс.т/го|B1=50 |B2=60 |B3=45 |B4=70 |Bф=135 |Ui |Ki |
|д | | | | | | | |
| |433,3 |440,3 ( |449,3 ( |437,3 ( |0 | | |
| | |465,3 |450,3 |495,3 | | | |
|X1=90 |50 | | | |40 |0 |5/9 |
| |433,3 ( |440,3 |449,3 ( |437,3 ( |0 | | |
| |471,3 | |503,3 |458,3 | | | |
|X2=90 | |60 | | |30 |0 |6/9 |
| |433,3 ( |440,3 ( |449,3 |437,3 ( |0 | | |
| |466,3 |511,3 | |478,3 | | | |
|X3=90 | | |45 | |45 |0 |Ѕ |
| |433,3 ( |440,3 ( |449,3 ( |437,3 |0 | | |
| |500,3 |455,3 |466,3 | | | | |
|X4=90 | | | |70 |20 |0 |7/9 |
|Vj |433,3 |440,3 |449,3 |437,3 |0 | | |

Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:
Вф=( аi - ( bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год

В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сpi + E*Kpi + Cij

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij.

Проверяем план на вырожденность: m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательно план является невырожденным.

Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (Ui + Vj = Сpi + E*Kpi +
Cij).

Проверяем план на оптимальность:
. число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1
. для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.
. для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

Ui + Vj ( Сpi + E*Kpi + Cij

Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.

Определяем значения коэффициентов интенсивности.

Ki = ( xij / xi

( xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям xi – мощность i-го АБЗ

Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.

Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.

Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сpi + E*Kpi + Cij для клеток третьей строки.

|Мощность|Спрос зон-потребителей, тыс.т/год |
|АБЗ | |
|тыс.т/го|B1=50 |B2=60 |B3=45 |B4=70 |Bф=90 |Ui |Ki |
|д | | | | | | | |
| |433,3 |424,3 ( |450,3 |421,3 ( |-16( 0 | | |
| | |465,3 | |495,3 | | | |
|X1=90 |50 | |40 | | |-16 |1 |
| |449,3 ( |440,3 |466,3 ( |437,3 ( |0 | | |
| |471,3 | |503,3 |458,3 | | | |
|X2=90 | |60 | | |30 |0 |6/9 |
| |449,3 ( |440,3 ( |466,3 ( |437,3 ( |0 | | |
| |485,3 |530,3 |468,3 |497,3 | | | |
|X3=45 | | | | |45 |0 |0 |
| |449,3 ( |440,3 ( | 466,3 |437,3 |0 | | |
| |500,3 |455,3 | | | | | |
|X4=90 | | |5 |70 |15 |0 |15/18|
|Vj |449,3 |440,3 |466,3 |437,3 |0 | | |

Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.

|Мощность|Спрос зон-потребителей, тыс.т/год |
|АБЗ | |
|тыс.т/го|B1=50 |B2=60 |B3=45 |B4=70 |Bф=45 |Ui |Ki |
|д | | | | | | | |
| |433,3 | |450,3 |421,3 ( |-18( 0 | | |
| | |439,3 ( | |495,3 | | | |
| | |465,3 | | | | | |
|X1=90 |50 | |40 | | |-16 | |
| |452,3 ( | 458,3 | 469,3( |440,3 ( |1 ( 0 | | |
| |489,3 | |521,3 |476,3 | | | |
|X2=45 | | 45 _| | | + |3 | |
| |451,3 ( | 457,3 (| 468,3 |439,3 ( |0 | | |
| |485,3 |530,3 | |497,3 | | | |
|X3=45 | | | 0 | | _ |2 | |
| | | |+ | |45 | | |
| |449,3 ( | 455,3 | 466,3 |437,3 | -2 ( 0 | | |
| |500,3 | | | | | | |
|X4=90 | | 15 | 5 |70 | |0 | |
| | |+ |_ | | | | |
|Vj |449,3 |455,3 |466,3 |437,3 |-2 | | |

Для одной свободной клетки не выполняется условие

Ui + Vj ( Сpi + E*Kpi + Cij поэтому план необходимо улучшить.
Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.

|Мощность|Спрос зон-потребителей, тыс.т/год |
|АБЗ | |
|тыс.т/го|B1=50 |B2=60 |B3=45 |B4=70 |Bф=45 |Ui |Ki |
|д | | | | | | | |
| |433,3 | |450,3 |422,3 ( |-18 ( 0| | |
| | |440,3 ( | |495,3 | | | |
| | |465,3 | | | | | |
|X1=90 |50 | |40 | | |-18 |1 |
| | 451,3 (| 458,3 | 468,3 |440,3 ( | 0 | | |
| |489,3 | |( 521,3 |476,3 | | | |
|X2=45 | |40 | | |5 |0 |8/9 |
| | 451,3 | 458,3 (| 468,3 | 440,3 (|0 | | |
| |( 485,3 |530,3 | |497,3 | | | |
|X3=45 | | |5 | |40 |0 |1/9 |
| | 448,3 (| 455,3 |465,3 ( |437,3 |-3 ( 0 | | |
| |500,3 | |466,3 | | | | |
|X4=90 | |20 | |70 | |-3 |1 |
|Vj |451,3 |458,3 |468,3 |440,3 |0 | | |

План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности.
Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.

|Мощность|Спрос зон-потребителей, тыс.т/год |
|АБЗ | |
|тыс.т/го|B1=50 |B2=60 |B3=45 |B4=70 |Bф=18 |Ui |Ki |
|д | | | | | | | |
| |433,3 | |450,3 |421,3 ( |-78 ( 0 | | |
| | |439,3 ( | |495,3 | | | |
| | |465,3 | | | | | |
|X1=90 |50 | |40 | | |-16 |1 |
| | 452,3 (| 458,3 | 469,3 (|440,3 ( |-59 ( 0 | | |
| |489,3 | |521,3 |476,3 | | | |
|X2=45 | |45 | | | |3 |1 |
| | 511,3 | 517,3 (| 528,3 | 499,3 |0 | | |
| |( 545,3 |590,3 | |( 557,3 | | | |
|X3=18 | | |0 | |18 |62 |0 |
| | 449,3 (| 455,3 | 466,3 |437,3 | -62 ( 0| | |
| |500,3 | | | | | | |
|X4=90 | |15 |5 |70 | |0 |1 |
|Vj |449,3 |455,3 |466,3 |437,3 |-62 | | |

План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.

Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.

|Вариант |Мощность АБЗ, расположенного в пункте, |Значение целевой|
|размещения|тыс.т/год |функции, zi, |
| | |тыс.руб. |
| |М1 |М2 |М3 |М4 | |
|1 |50 |60 |45 |70 |98912,5 |
|2 |90 |60 |0 |75 |99037,5 |
|3 |90 |40 |5 |90 |100067,5 |
|4 |90 |45 |0 |90 |100072,5 |
|-наилучший| | | | | |