Нестандартный анализ возник в 1960 году, когда Абрахам Робинсон, специалист по теории моделей, понял, каким образом методы математической логики позволяют оправдать классиков математического анализа XVII и XVIII вв., поставив на строгую основу их рассуждения, использующие “бесконечно большие” и бесконечно малые величины. Таким образом, речь шла не о каких-то новых “нестандартных” методах, не имеющих ничего общего с традиционной математикой, а о развитии новых средств внутри стандартной (теоретико- множественной) математики.

Нестандартный анализ остался бы любопытным курьезом, если бы единственным его приложением было обоснование рассуждений классиков математического анализа. Он оказался полезным и при развитии новых математических теорий. Нестандартный анализ можно сравнить с мостом, переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.

Однако, быть может, главное значение нестандартного анализа состоит в другом. Язык нестандартного анализа оказался удобным средством построения математических моделей физических явлений. Идеи и методы нестандартного анализа могут стать важной частью будущей физической картины мира. Во всяком случае уже сейчас многие специалисты по математической физике активно используют нестандартный анализ в своей работе.

Несколько примеров нестандартного анализа:

Пример 1. Вычислим производную функции [pic]. Дадим аргументу x приращение dx, перейдя от точки x к точке x+dx. Выясним, насколько при этом изменилось значение функции[pic]. В точке х оно равнялось [pic] . В точке [pic] оно равняется [pic][pic][pic]. Таким образом, оно изменилось на [pic] . Отношение приращения[pic] [pic] функции [pic] к приращению
[pic]аргумента[pic] равно

[pic][pic]

Если [pic][pic]бесконечно мало, то членом [pic] в сумме [pic] можно пренебречь, и искомая производная равна [pic].

Пример 2. Вычислим аналогичным способом производную функции
[pic][pic]. Приращение [pic]равно [pic][pic]; частное [pic][pic]равно[pic]

[pic].

[pic]Взяв [pic]бесконечно малым, получаем, что производная равна

[pic].

Пример 5. Построение неизмеримого множества. Каждое действительное число [pic], удовлетворяющее неравенству [pic],разлагаем в бесконечную двоичную дробь; для обеспечения однозначности запрещаем разложения с бесконечным числом идущих подряд единиц. Фиксируем произвольное бесконечно большое натуральное число[pic] и отбираем те действительные числа , у которых [pic]-й член разложения равен единице; множество всех отобранных таким образом действительных чисел неизмеримо по Лебегу.

Если примеры 1 и 2 хотя и могут шокировать нас наивной нестрогостью, но всё же в известной мере соответствуют интуиции, то пример 5 представляется просто-напросто абракадаброй.

Нестандартный анализ, однако, почти сплошь состоит из подобной абракадабры, имеющей в нём точный математический смысл. Он позволяет, в частности, с новой точки зрения посмотреть на многие рассуждения классиков математического анализа, кажущиеся нестрогими, но приводящие к успеху, и путём относительно небольших уточнений сделать их удовлетворяющими современным критериям строгости.

ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ?

Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины, а как величины постоянные. Достаточно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные, а просто как очень маленькие, почти равные нулю.

Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое число следует называть бесконечно малым? Предположим, что это положительное число[pic], если оно меньше всех положительных чисел. Легко понять , что такого не бывает: если [pic] больше нуля , то оно является одним из положительных чисел , поэтому наше определение требует , чтобы число [pic] было меньше самого себя. Поэтому потребуем, чтобы [pic] было наименьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое [pic] должно изобразиться самой левой точкой множества [pic]. К сожалению числа [pic] с указанными свойствами тоже нет и быть не может: число [pic] будет положительным числом, меньшим [pic] .

Более точное определение бесконечной малости числа [pic]>0 [pic], которое мы будем использовать в[pic]дальнейшем таково. Будем складывать число [pic] с самим собой, получая числа [pic]+[pic] и т. д. Если все полученные числа окажутся меньше 1, то число [pic]и будет называться бесконечно малым. Другими словами, если [pic] бесконечно мало, то сколько раз не откладывай отрезок длины [pic] вдоль отрезка длины 1, до конца не дойдёшь. Наше требование к бесконечно малому [pic] можно переписать в такой форме[pic]

1