Многочленом (полиномом) от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а
АІ+а А+а А
Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х), а многочлен р(Х) аннулирующим многочленом от матрицы А.
Правило Сариуса знаков для 3-его порядка.
Минором наз. определитель, полученый вычёркиванием той строки и того столбца на которых стоит данный элемент.
Алг. дополнением эл. Аik наз. минор, взятый со знаком Аik=(-1) Mik .
Разложение ? 3-его порядка по элементам первой строки :
?=а11А11+а12А12+а13А13 .
Матрицей обратной кв. матрице А наз. кв. матрица АЇ№ удовл. рав. А АЇ№= АЇ№
А=Е.
Кв. матрица наз. невыражденой, если её det?0.
Теор. Всяк. невыражд. матр. А имеет невыражд. ей обр. матр.: АЇ№=A/detA.
Произвольную невыражд. матр. можно привести к еденичной (А(Е) - метод
Жордано.
Нахождение обр. матр. с помащю эл. преобр. Теор. Если к ед. матрице порядка n применить те же эл. преобр.,только над строками и в том же порядке с пом. котор. невыражд. кв. матр. А приводится к ед., то полученная при этом матрица будет обратной матрице А. (А|E)((E|AЇ№).

Ах=В уА=В х=АЇ№В у=ВАЇ№

Ранг матрицы

В матр. m*n выберем произв. S-строк, S-столб. (1?S?min(m,n)). Элем., стоящ. на пересечен. выбр. стр. столб. обр. матр. порядка S. Определитель этой матрицы наз. минорм порядка S матр А.
Этот определитель наз.минорм второго порядка исходн. матр. Аналог. получ. др. миноры втор. порь.,а также трет. порь., нек. из них мог. = 0.
Рангом матр. наз. наиб. из порядков её миноров,?0.
Если все миноры =0, то ранг =0.

Свойства ранга

1. R транспонир. матр. = R исходн.
2. R М. не завис. От отсутствия или присутствия в ней нулевых строк.
3. При эл. преобр. R матр. не мен. С их пом. матр. можно привести к квазитреуголной форме,R котор. = r, т.к. её минор с гл. диог. равен произведен. и ?0, а все миноры более высокого порядка =0, как содержащие нулевые строки.

Матричная запись линейной ситемы

А=(Кооф.), Х=(неизв.), В=(св. чл.), ?=(кооф и св. члены)

Невыражд. сист.

|a11 a12 .. b1 .. a1m|
?=|кооф.| , ?k=| a21 a22 .. b2 .. a2m|

|………………………………..|

| am1 am2 .. bm ..amm|
Теорема Крамера. Невыражн. лин. сит. имеет ед. решение х1=?1/? , х2=?2/?………

Метод Гаусса-Жордано (и наобарот)
Заключ. в эл. преобраз. матр.

ВЕКТОЫ

Коллинеарн. вект. – лежащ. на || прямых или на одой прямой.
Равные вект. – коллин. и имеющ. одинак. направление и длину.
Протиположными наз. векторы (( и имеющие равные длины.
Св. векторы – т. приложения котрых может быть выбрана произвольно.
Радиус-вектором т. наз. вектор т. приложения которого является нач. коорд., а конец находится в т.
Направляющими косинусами векторов наз. косинусы углов ?, ?, ? образованных ими с коорд. осями.
|r|=?(xІ+yІ+zІ) x=|r|cos? y=|r|cos? … … => cos?=x/?( xІ+yІ+zІ)
Единичный вектор e=(cos(,cos(,cos?)

Коорд. лин. комбинации векторов

Даны n векторов. Лин. комб. a=?1*a1+?2*a2+…+?n*an x=
?1*x1+?2*x2+…+?n*xn y=…

Деление отрезка в данном отношении

X=(x1+?x2)/(1+?) – в отношении ?.

Скалярн. произведение векторов

ab=|a||b|cos(ab) Т.к. |b|cos ?=пр a b , |a|cos?=пр b a , ab=|a|пр a b = |b|пр b a
Свойства: 1.Переместит(коммуникативности) аb=ba

2.Сочетательности(ассоциативности) относительно числ. множ. (?a)b=?(ab)

3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов a(b+c)=ab+ac

Правило лев. и прав. тройки В.
3 не комплан. вект. a,b,c взятых взятых в указанном порядке и приложенных к одной точке наз. тройкой векторов abc.
Будем см. с конца c на плоск. образ. вект.а и b ,если кратчайший поворот от а к b совершим против часовой стрелки то тройка наз. правой…
Векторным произведением 2-х векторов a и b наз. вектор [a*b] и удовл. след. усл.:1)|[a*b]|=|a||b|sin? ;2)[a*b]+a и b;3)тройка a b [a*b] имеет ту же ориентацию,что и i jk.
Из усл. 1) следует что | | векторное произведение = площади параллелограмма.
[a*b]=0 < = > a комплан. b
Свойства: 1.Антиперестановочности [a*b]=-[a*b]

2.Сочетательности относительно скалярн. множ.

[(?a)*b]=?[a*b]

3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов [(a+b)c]=[a*c]+[b*c]

|i j k |
[a*b]=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+… …

|x2 y2 z2| |y2 z2|

Смешанное произведение векторов

Даны 3 вект. a,b,c . Умножим векторно a на b и скалярно на с. В рез. получ. число, котор наз. векторно-скалярным произведением или смешаным.
V параллелипипеда=смеш. произвед. вект. и «+», если тр. abc прав. abc=[ab]c=a[bc]

|x1 y1 …| abc=|x2 … …| < = > abc-комплан.

|x3 … …| |x2-x1 y2-y1 … |
V 3-ох угольн. Пирамиды=mod|x3-x1 … … |

|x4-x1 … … |

Линейная завис. Векторов

a1,a2,…an – наз. лин. завис. векторов, если сущ. ?1,?2 …?n, таких что:
?1*a1+?2*a2+…+?n*an=0
Теорема 1. a1,a2,…,an, n>1 лин зависима < = > по меньшей мере, один из них явл. лин. комб. остальных.
Теорема 2. а и b лин. завис < = > они коллин.
Теорема 3. Если е1 и е2 – не колинеарные векторы нек. плоск., то любой третий вектор а, принадлежащий той же плоскости ед. образом раскл. по ним а=х*е1+у*е2.
Теорема 4. a,b,c – лин. завис. < = > они коллинеарны.
Теорема 5. Если е1,е2,е3 не комплан., то любой любой а можно ед. обр. разложить по ним а=?1*е1+?2*е2+?3*е3
Теорема 6. Всяк. 4-е вектора лин. завис.
Базис – любая упорядоченая система 3-ох лин. независ.,т.е. не компланарных векторов d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) в базисе е1е2е3

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ…

F(x,y)=0 – ур-е линии в общем виде
F(?,?)=0 – … в полярных координатах. Если это уравнение разрешимо относительно ?, то ?= ?(?). x=f(t) y= ? (t) / - параметрические уравнения линии.
Если дан. линии заданы ур-ем ?= ?(?), параметрически ур-я записываются x=
?(?)*cos ? y= ?(?)*sin ?
Упрощ. ур-е второй степени не содержащее члена с произведением координат
AxІ+CyІ+Dx+Ey+F=0 (1)
Перейдём к нов. сист. коорд. оху путём параллельного переноса.
Ур-е (1) путём выделения полных квадратов преведено к одному из следующих канонических уравнений: хІ/aІ+yІ/bІ=1 – эллипс – геом. место точек плоскости, для котор. сумма раст. до двух данных т. (фокусов) =const,F1(-c,0), F2(c,0),c=?(aІ+bІ)

Эпсиктриситетом эл. наз. ?=?(1-
(b/a)І) Директрисами эл. наз. прямые x=a/? и x=--a/? хІ/aІ+yІ/bІ=0 – удовл. коорд. ед. т. (0,0) хІ/aІ+yІ/bІ=-1 – неудовл. коорд. ни одной т. в сл. А*С>0 линии элипсического типа хІ/aІ -- yІ/bІ=1 или --хІ/aІ + yІ/bІ=1 – гиперболы – геом. место т. плоскости для которых | | разности расстояний до двух данных т.(фокусов)=const

F1(-c,0),
F2(c,0), c=?(aІ+bІ) , ?=c/a, Ассимптоты : у=х*b/a и y=-- х*b/a , Директрисы
: x=-a/? и x=a/? |

Равносторонние
Г. – с равными полуосями.

/ хІ/aІ -- yІ/bІ=0 – пара пересекающихся прямых

/ - линии гиперболического типа уІ=2px – парабола - геом. место т. плоскости равноудалённых от фокуса и директрисы

Симметрин. относит. ох : уІ=2px , Директриса x=-p/2 ,F(p/2,0)
, r=x+p/2 | oy : xІ=2qy , Директриса y=- q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2 | yІ=bІ - пара || прямых

> - линии параболического типа yІ=0 – пара совпавших прямых

/ yІ=--bІ - неудовл. коорд. ни одной т.

Если С=0, А?0, то (1) приводится хІ=2qy

Прямая на плоскости. Общий вид: х=а или y=b k=(y2-y1)/(x2-x1) , где х1,у1,…,… -координаты двух любых т. плоскости.
| tg(угла м/у 2-я ? прямыми)=(k2-k1)/(1+k1k2)
Уравнение касательной: y-y0=k(x-x0)

| Если прямые заданы общими уравнениями
(Ах+Ву+С=0):
Ур-е нормали : y-y0=-1/k*(x-x0)

| tg(угла м/у 2-я ? прямыми)=(A1*B2-
A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)
Ур-е прямой (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2?x1,y2?y1)

| || < = >A1/A2=B1/B2 , + A1/B1=--B2/A2
Ур-е прямой в отрезках x=x1+(x2—x1)*t y=y1=(y2—y1)*t , t € R
Расстояние от т. М0(х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0 : d=(A*x0+B*y0+C)/?(AІ+BІ)
Ур-е окружности : (x-a)І+(y-b)І=RІ
Упрощ. общее ур-е второй степени: AxІ+2Bxy+CyІ+Dx+Ey+F=0

При повароте коорд осей на ? для которого ctg2?=(A— C)/2B x=x’ cos ? –y’ sin ? y=x’ sin ? +x’ cos ?
Предел ф-ии. Постоянная b наз. lim y=f(x) при x>a , если для любого ?>0 сущ. ?>0, что при всех x удовл. усл. 0