Лекции по общей алгебре

Лекция 1

Понятие бинарной алгебраической операции

Говорят, что на множестве S определена (бинарная) алгебраическая операция
(АО) « *», если для всяких двух его элементов x и y однозначно определен элемент z=x*y называемый композицией или произведением элементов x и y.
Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения, вычитания или умножения на множестве всех действительных (или комплексных ) чисел, операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка
,операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов, операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного пространства.
Само по себе понятие АО является слишком общим, чтобы допускать сколько ни будь глубокое изучение. В алгебраических теориях обычно рассматривают операции, обладающие рядом дополнительных свойств. Перечислим некоторые из них.
Свойство ассоциативности
[pic]

(1)
Во всех перечисленных выше примерах АО это свойство выполняется, за исключением операции вычитания и операции векторного произведения.
Из свойства (1) вытекает, что произведение любого числа сомножителей однозначно определено, так как не зависит от того, как в этом произведении расставлены скобки, например
[pic]
Разумеется, при этом нельзя нарушать порядок сомножителей.
Наличие свойства ассоциативности позволяет определить степень любого элемента с натуральным показателем. А именно:
[pic] (n сомножителей).
При этом выполняются обычные правила действий со степенями:
[pic] , [pic]
Свойство коммутативности
[pic] [pic]

(2)
Это свойство выполняется для сложения и умножения чисел, но нарушается для умножения матриц и композиции перестановок.
Разумеется, из (2) вытекает, что в случае ассоциативной и коммутативной АО мы имеем право переставлять любым способом сомножители в произведении любого их числа.
Кроме того, в этом случае [pic]
Наличие нейтрального элемента

[pic] [pic]

(3)
Элемент n в этом случае называется нейтральным для АО (*).
Для операции сложения чисел нейтральным является число ноль, для операции умножения - число единица. Для умножения матриц нейтральным элементом будет единичная матрица, для композиции перестановок - тождественная перестановка. В случае векторного перемножения векторов нейтральный элемент отсутствует.
Отметим, что в (3) квантор существования предшествует квантору всеобщности, то есть элемент n не зависит от выбора x.
В случае существования единственного нейтрального элемента и ассоциативности операции можно определить степень с нулевым показателем:
[pic] для всякого элемента x. Упомянутые выше свойства степеней при этом сохраняются.
Наличие обратного элемента
Это понятие имеет смысл в случае наличия нейтрального элемента для операции
(*).
Элемент [pic] называется обратным для элемента x, если
[pic]

(4)
Для сложения чисел обратный элемент существует для любого числа и равен противоположному числу. Для умножения обратный элемент так и называется и существует у любого числа, кроме 0. В случае умножения матриц обратный элемент равен обратной матрице и существует в том случае, если эта матрица невырождена, то есть ее определитель не равен нулю.
Элементы для которых существует обратный называются обратимыми. Из условия
(4) сразу вытекает, что элемент [pic] всегда обратим и обратным для него будет исходный элемент x. Кроме того в случае ассоциативной операции произведение двух обратимых элементов снова будет обратимым элементом и при этом [pic]. В самом деле: [pic] и аналогично
[pic]
Если элемент [pic] определен однозначно, можно определить степени x с отрицательным целым показателем, а именно:
[pic] , где m=1,2,... . При этом сохраняются обычные правила действий со степенями.
Замечание
В конкретных алгебраических системах алгебраическая операция чаще всего обозначается либо знаком (+) и называется сложением , либо знаком (.) и называется умножением. В первом случае говорят об аддитивном, а во втором о мультипликативном способе записи операции. Операция записанная аддитивно как правило считается коммутативной. В этом случае вместо термина
«обратный» используется термин «противоположный элемент», который, естественно, обозначается (-x), а вместо степени элемента говорят о его кратных (nx).

Понятие группы

Определение
Множество G на котором определена бинарная операция (*) называется группой
(G,*), если выполняются условия:
1. Операция (*) ассоциативна.
2. Для операции существует нейтральный элемент.
3. Все элементы G обратимы.
Примеры групп
1. R - группа действительных чисел с операцией сложения. ( аддитивная группа действительных чисел)
2. C - аддитивная группа комплексных чисел.
3. [pic]- группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения ( мультипликативная группа действительных чисел)
4. [pic]- мультипликативная группа комплексных чисел.
5. [pic] - группа невырожденных матриц порядка n с действительными элементами. (Аналогично, [pic])
6. [pic]- группа перестановок множества 1,2, ..., n.
Во всех этих примерах наличие свойств 1- 3 не вызывает сомнений.
Прежде чем приводить другие примеры групп укажем некоторые простейшие свойства этих алгебраических систем. Во всех последующих формулировках считается, что x, y, z, ... - элементы некоторой группы G.
1. Закон сокращения
[pic] (левое сокращение)
[pic] (правое сокращение)
Докажем, например, первый закон. Используем существование обратного элемента [pic]и свойство ассоциативности операции.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] y=z.
2. Единственность нейтрального элемента
В любой группе нейтральный элемент определен однозначно. В самом деле, если
[pic]и [pic] оба являются нейтральными, то по определению
[pic] и в то же время [pic], откуда [pic]. Единственный нейтральный элемент группы G будет в дальнейшем обозначаться [pic] или просто e.
3. Единственность обратного элемента
Для каждого элемента x обратный элемент [pic] определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z.
4. Признак нейтрального элемента

[pic]
Действительно, поскольку [pic], имеем [pic] , откуда по закону сокращения получаем [pic].
5. Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной операции)
[pic] . Элемент z определен однозначно. (Его можно назвать «частным» от деления y на x).
Имеем: [pic] и значит можно взять [pic]. Однозначность следует из закона сокращения: [pic].
Понятие подгруппы
Определение
Группа [pic] называется подгруппой группы [pic], если, во первых
[pic] (как подмножество) и, во-вторых,
[pic] (то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем множестве G.)
Тот факт, что [pic] является подгруппой в [pic] обозначается с помощью символа включения: [pic] или просто [pic].
Примеры подгрупп.
1. Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R, которая, в свою очередь является подгруппой группы C.
2. Четные перестановки образуют подгруппу [pic] в группе [pic] всех перестановок.
3. Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу [pic] в группе [pic] всех невырожденных матриц.
Чтобы проверить, будет ли данное подмножество H в G подгруппой надо, очевидно, проверить следующие условия :
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic].
Оказывается, что вместо трех этих условий достаточно проверить только одно.
Признак подгруппы
Непустое подмножество H в группе G будет подгруппой этой группы тогда и только тогда, когда:
[pic]. (5)
Доказательство.
Условие (4) очевидно следует из 1 -3. Проверим обратное утверждение. Взяв в (5) y=x, получим: [pic], то есть выполнено второе условие. Теперь возьмем [pic], тогда получим: [pic] и таким образом условие 3. также выполнено. Наконец, взяв в условии (5) [pic], получим [pic], то есть условие 1.