Лекция№8

Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля.

Пусть на множестве R определены две алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать соответственно + и *. Говорят, что умножение обладает свойством (правой) дистрибутивности относительно сложения, если
[pic]. (1)
Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности. Разумеется, если операция умножения коммутативна, эти свойства равнозначны. В общем случае говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю дистрибутивность. Предположим, что операция ’+’ на R имеет нейтральный элемент, обозначаемый 0. Положив в равенстве (1) y = z = 0, получим: x*0
= x*0 + x*0, откуда, при наличии свойства сокращения для операции ’+’ , получаем, что x*0 = 0. Если для элемента y имеется противоположный элемент
(-y), то взяв в том же равенстве z = -y, получим: 0 = x*0 = x*y + x*(-y) и, значит, x*(-y) = -x*y.
Определение.
Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом, если
1. (R,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R).
2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.
Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности. Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо.
Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей ( этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают [pic]или просто e ); При этом дополнительно предполагается, что кроме свойств 1 и 2 выполнено
3. [pic][pic]0.
Элементы такого кольца R, имеющие обратные относительно операции умножения, называются обратимыми , а их множество обозначается через
[pic]. Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество
[pic]является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R. Поскольку в кольце R с единицей [pic] x*0 = 0[pic]e , элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент y[pic]0, для которого можно найти такое z[pic]0, что y*z = 0.
Такой элемент y называется (левым) делителем нуля.
Определение.
Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: [pic].
Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.
Примеры колец и полей.
1. Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R,Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел . Отметим, что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e. Этот
«минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом ( отметим только, что e+e=0). Построенное поле из двух элементов обозначается GF(2) (по причинам, которые будут ясны в дальнейшем). Напомним также, что если p - простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения.
Значит, рассматривая группу [pic] с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF(p).
2. Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа.
Мультипликативная группа [pic] содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому изоморфна [pic]. Элементы, не входящие в [pic] необратимы, хотя и не являются делителями нуля.
3. Пусть R - любое ассоциативное коммутативное кольцо. Множество[pic]- квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит единицу [pic], то матрица Е = diag([pic],[pic],...,[pic]) ,будет единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы [pic][pic] имеет смысл понятие определителя det(A) [pic] R, причем det(AB)=det(A)det(B).
Если det(A) обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: [pic], где [pic]- присоединенная к А матрица (то есть транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом,
[pic]= [pic]- группа матриц порядка n с обратимым определителем. В случае поля R это означает, что det(A) [pic]0, то есть матрица невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В самом деле, из det(A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: [pic], причем не все коэффициенты нулевые. Построим ненулевую матрицу В, взяв [pic] в качестве ее первого столбца и считая прочие элементы В нулевыми. Тогда А*В = 0 и значит А - делитель нуля.
4. Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p= [pic], где [pic] называется многочленом над кольцом R. Если [pic] , то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg(p). Нулевой многочлен не имеет степени.
Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они образуют кольцо R[x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p=e будет единицей кольца R[x]. Если R не имеет делителей нуля, то deg(pq)=deg(p)+ deg(q) и потому R[x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени.
Отметим, что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных: по определению, R[x,y] =R[x][y] (=R[y][x]).
Определение.
Подмножество [pic] называется подкольцом, если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.
Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: [pic]. Отметим, что если R обладает свойством ассоциативности , коммутативности или отсутствием делителей нуля, то и К обладает теми же свойствами. В то же время, подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2Z [pic]Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу. Так будет, например, для подкольца [pic], состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом;
[pic]=diag(1,1,...,1,0) [pic] [pic]=diag(1,1,...,1).
Определение.
Гомоморфизмом колец [pic] называется отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: [pic] и [pic]. Изоморфизм - это взаимно однозначный гомоморфизм.
Ядро гомоморфизма [pic] - это ядро группового гомоморфизма аддитивных групп [pic], то есть множество всех элементов из R, которые отображаются в
[pic].
Пусть снова [pic]- некоторое подкольцо. Поскольку (К,+) - подгруппа коммутативной группы (R,+), можно образовать факторгруппу R/K, элементами которой являются смежные классы r+K. Поскольку К*К [pic]К, для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r+K)*(s+K)
[pic]r*s+r*K+K*s+K.
Определение.
Подкольцо К называется идеалом кольца R, если [pic]: x*K [pic]K и
K*y[pic]K.
Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов
(r+K)*(s+K) содержится в смежном классе r*s+K. Значит в факторгруппе R/K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.
Примеры.
1. Подкольцо nZ является идеалом кольца Z, поскольку для любого целого m m(nZ) [pic]nZ. Факторкольцо Z/nZ - это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Отметим, что если число n не является простым, то Z/nZ имеет делители нуля.
2. Пусть I[pic]R[x] - множество всех многочленов [pic], у которых [pic]=0.
Удобно записать: I = xR[x]. Поскольку p*I =(p*x)R[x] [pic]I, мы имеем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q+I содержит элемент
[pic]. Значит, (q+I)*(s+I) = ([pic]+I)*([pic]+I) =[pic]*[pic]+I.
В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное кольцо S. Если [pic] любой его элемент, то множество I=x*S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x. Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x)=S.
Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем. В самом деле, если [pic], x [pic]0, то для всякого [pic]имеем:
[pic], откуда [pic].
1. Пусть I идеал кольца R. Сопоставляя каждому элементу [pic] смежный класс r+I, получаем сюръективный гомоморфизм [pic]. Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.
Замечание.
Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см. пример 1).
Теорема об ядре.
Ядро гомоморфизма колец является идеалом.
Доказательство.
Пусть [pic]- гомоморфизм колец, I =Ker[pic], [pic]- любой элемент. Тогда,
[pic](x*I) =[pic](x)* [pic](I) =[pic](x)*0 =0. Значит, x*I [pic]Ker[pic]
=I. Аналогично проверяется, что I*x[pic]I.
Теорема о гомоморфизме для колец.
Пусть [pic]- сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу
R/Ker[pic]. Если эти изоморфные кольца отождествить, то [pic] отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для групп и мы его опускаем.
Пример.
Пусть K - кольцо многочленов R[x], [pic]: K[pic]C - гомоморфизм, сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i : [pic](p)
=p(i). Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены, представимые в виде:
([pic]+1)*q(x), где q - любой многочлен. Можно записать: Ker[pic]
=([pic]+1). По теореме о гомоморфизме [pic].