СЕДЬМОЙ КЛАСС

Измерение отрезков

1. Даны п прямых. Известно, что имеется 5 точек, каждая из которых является общей хотя бы для двух прямых из числа данных. Определите наименьшее возможное значение п.
2. Решите задачу 1, сопровождая решение рисунком, для числа точек 7, 9,
13.
3. Пять прямых расположены на плоскости так что имеется 8 точек, через каждую из которых проходит не менее двух прямых из числа названных. Сколько отрезков определяют эти точки на названных прямых?
4. На прямой отмечены точки А, В, С (В между А и С). Известно, что АВ ==3- см, ВС == 5 см. Пользуясь только циркулем, разделите отрезок АВ на части длиной по 1 см.
5. Точка В находится между точкам» А и С, причем АВ = Т см, ВС == 17 см.
Пользуясь только циркулем, достройте на прямой АВ отрезок длиной 1 см.
6. М — середина отрезка АВ, Найдите на прямой АВ все такие точки X, которые отвечают условию: 2ХА = 3 (ХВ + ХМ).
7. От А до Р по прямолинейной дороге 35 км, остановки автобуса расположены в точках В, С, В, Е. Зная, что АС ==12 км, ВО = 11 км, СЕ= 12 км, ВР == 16 км, найдите АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР.
8. Пункты А, В, С, D, Е, F, G, Н последовательно расположены вдоль прямолинейного шоссе. Найдите расстояния между каждыми двумя соседними пунктами из числа названных, зная, что АВ = 19 км, ВЕ = 21 км, СР = 19 км,
ВО = 29 км, АР = 32 км, СН = 30 км, ЕН = 14 км.
9. На прямой последовательно отмечены точки Л.1, -Аз, -Аз, А^, ... так, что ААч== I» -Аг-Аа == 2, АзА^ == 3, .... Назовите отрезки с концами в указанных точках, имеющие длину 45.
10. По условию предыдущей задачи укажите два отрезка, расстояние между серединами которых равно 20.

Измерение углов

11. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют развернутый угол?
12. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют прямой угол?

13. Стрелки циферблата часов не совпадают, однако если поменять их местами, то они займут согласованное положение. Возможно ли это? Сколько раз в сутки может возникать такое положение стрелок?

14. Можно ли без помощи транспортира или других угломерных инструментов
(приборов) построить угол в 1°, имея шаблон угла в 13°?

15. Решите задачу 14 при условии, что имеется шаблон угла в 17°.

16. Из точки О выходят 9 лучей, образующих углы по 40° (рис. 3). Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?

17. Точка О — начало восьми лучей, образующих углы в 10°, 20°, 30°, 40°,
50°, 60°, 70°, 80°. Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?

18. Решите задачу 17 при условии, что лучи, исходящие из точки О, образуют последовательно углы в 8°, 16°, 24°, 32°, 40°, 48°, 56°, 64°, 72°.

19. По условию задачи 17 определите наличие развернутых углов.

20. В одной полуплоскости с границей АВ построены углы:
/- ВАС = 38°, ^ САВ == 68°, /- ВАЕ == 85°, ^ ЕАК == 99°. Определите градусную меру угла КАС.

21. В одной полуплоскости с границей АВ построены неперекрывающиеся треугольники с общей вершиной А. У всех треугольников углы при этой вершине по 24°. Сколько таких треугольников можно построить?

Смежные и вертикальные углы

22. Треть одного и три пятых другого из смежных углов дают в сумме прямой угол. Найдите эти смежные углы.

23. Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите градусные меры этих углов.

24. Два угла имеют общую вершину, их соответственные стороны взаимно перпендикулярны. Могут ли эти углы оказаться вертикальными?

25. По условию задачи 17 определите, есть ли на рисунке вертикальные углы. Если да, то сколько пар таких углов?

26. Можно ли градусные меры двух смежных углов записать только нечетными цифрами; только четными цифрами?

27. А 0В и СОВ — углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Верно ли, что биссектрисы углов АОВ и ВОС лежат на одной прямой?

28. На листе бумаги изображен угол, но в пределах листа находятся его вершина и столь малые части сторон, что для его измерения нельзя воспользоваться транспортиром. Как определить градусную меру этого угла?
Перпендикуляр к прямой

29. Можно ли с помощью шаблона угла в 27° построить две взаимно перпендикулярные прямые?
30. Биссектрисы двух углов, имеющих общую сторону, взаимно перпендикулярны. Являются ли эти углы смежными?
31. Прямые а и Ь содержат биссектрисы углов, образовавшихся при пересечении прямых о и Ь. Содержат ли прямые а и Ь биссектрисы углов, образовавшихся при пересечении прямых СИ И &1?
32. Через точку О прямой АВ в одной полуплоскости построены лучи ОС и 0В так, что /- АОС = /- ВОВ. Докажите, что биссектриса угла СОВ перпендикулярна АВ.

Первый признак равенства треугольников

33. Докажите, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся пополам.
34. В концах отрезка АВ в полуплоскости с границей АВ построены АС и ВВ — равные перпендикуляры к АВ. Докажите, что перпендикуляр к АВ, проходящий через его середину, перпендикулярен к отрезку СВ. Делит ли он пополам отрезок СВ.
35. На рисунке 4 отмечены равные отрезки и равные углы. Выясните, делит ли прямая I пополам отрезок ЕР. Перпендикулярны ли I и ЕР
36. Вершина А — общее начало двух лучей, соответственно перпендикулярах сторонам АВ и АС треугольника АВС и лежащих в одной полуплоскости с границей АС. На них отложены отрезки АВ и АЕ, равные названным сторонам
(рис. 5). Докажите, что ВС == ВЕ.
37. Точка В находится между А и С. В одной полуплоскости построены перпендикуляры к АС: АВ == ВС и СЕ === АВ. Точка О — середина ВВ, точка М — середина ВЕ (рис. 6). Докажите, что АО = СМ.

Второй признак равенства треугольников
38. На сторонах угла А взяты такие точки В и С, что АВ == = АС. Прямые ВВ
-1_ АВ и СЕ А- АС пересекаются в точке О. Лежит ли она на биссектрисе угла
А7
39. Как с помощью шаблона прямоугольного треугольника АВС построить биссектрису данного угла: а) острого, б) прямого?
40. Как с помощью шаблона остроугольного треугольника •АВС построить биссектрису данного угла?
41. Решите задачу 37, считая, что точки О и М не середины отрезков, а лежат на биссектрисах углов ВАВ и ВСЕ.
42. На сторонах угла А отмечены точки В, С и В, Е так, что АВ = АВ, ВС ==
ВЕ. Докажите, что точка О пересечения ВЕ и СВ лежит на биссектрисе угла А.
Как использовать это при построении на местности биссектрисы угла без помощи угломерных инструментов?
Равнобедренный треугольник

43. Стороны. АВ и ВС треугольника АВС равны. Биссектрисы углов, смежных с углами. ВАС и ВСА, пересеклись в точке О. Докажите, - что она лежит на биссектрисе угла В.

44. С помощью шаблона острого угла разделите данный отрезок на 2n равных частей (n — натуральное число, большее 1).

45. Докажите, что серединный перпендикуляр основания равнобедренного треугольника проходит через вершину треугольника.

46. Серединные перпендикуляры боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС пересекли - АС в точках М и N. Докажите, что ВМ == ВN.

47. Точки А, В, С, D, Е расположены так, что АВ == ВС = СD = DЕ = ЕА, ^
ВАЕ == /- ВЕА. Равыыли ухдыАВСи ВВС?

48. Через середину отрезка ВС вострое» к нему перпендикуляр- ОМ; тупые углы АВС и ВСВ равны- Зная,, что АВ == = ВС и ^. ВАА == А. СВВ ( ( риc.
7), докажите, что лучи АА и ВВ пересекаются на ОМ.

49. На рисунке 8 АС == 5Р, ^- САВ == ^ ДЯ4 = 90°, АМ и ДМ — биссектрисы углов САВ и ОВ-4. Лучи СМ и .ОМ пересекают прямую АВ в точках Я" и 2, СгСа,
СзСа,,..., С.пВ. Зависит ли сумма длин сторон треугольников, лежащих вне отрезка АВ, от количества отмеченных точек я их размещения на АВ (рис.
10),?
59. Периметр треугольника больше его сторон на 32, 29 и 23 см. Определите периметр треугольника.
60. Длины сторон треугольника АВС а, Ь, с. Известно, что периметр больше а + Ь в — раза, больше а + с в -^- раза. Во сколько раз
>он больше Ь -4- с?

Простейшие построения

61. Постройте угол, который на 25 % меньше данного угла.

62. Постройте угол, который вдвое меньше разности двух данных углов.
63. Опустите из данной точки перпендикуляр на данную прямую с помощью шаблона острого угла.
64. Разделите данный отрезок пополам с помощью линейки и циркуля постоянного раствора, меньшего половины длины отрезка.
65. Разделите данный отрезок на 8 равных частей с помощью шаблона острого угла.

Построения с помощью циркуля и линейки

66. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне .и медиане, проведенной к этой стороне.
67. Постройте треугольник по основанию, углу при основании я сумме боковых сторон.
68. Постройте треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию, и высоте, проведенной к боковой стороне.
69. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности двух других
.'сторон.
70. Ввв 'отрезка АВ построены такие точки С и О, что АС == == ВС и АВ ==
ВВ. Верно ли, что прямая СВ перпендикуляр на АВ? Как воспользоваться этой задачей при построении серединного перпендикуляра отрезка, выполняя построение в одной полуплоскости?

71. Точки А и В находятся на сторонах угла. Построить отрезок, перпендикулярный АВ и имеющий середину на А1, а концы на сторонах угла.

72. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к боковой стороне.

73. Постройте треугольник по основанию, углу при основании и разности боковых сторон.

74. Как опустить из точки М перпендикуляр на прямую I, если обычное построение невозможно, так как перпендикуляр проходит близко к краю доступной части плоскости?

75. Точки А и В находятся по разные стороны прямой I. Найдите такую точку М, чтобы биссектриса угла АМВ находилась | на I.

76. Постройте треугольник АВС по вершине А и прямым ! 1 и 1г, на которых лежат биссектрисы углов В и С треугольника.

Признаки параллельности прямых

77. При пересечении прямых АВтя. СВ прямой I образовались 8 углов, из которых 4 — равные тупые углы. Параллельны ли прямые АВ и СО?

78. Докажите, что два перпендикуляра к сторонам угла, который меньше развернутого, пересекаются.

79. На рисунке 11 даны величины углов В, С, О, Е. Параллельны ли прямые
АВ и ЕР?

80. Две прямые параллельны. Две другие параллельные прямые пересекают их в точках А та В, С та О. Равны ли треугольники АВС и ОСВ?

81. Прямые АВ и СО параллельны. Прямая пересекает их в точках Е и К.
Общий перпендикуляр параллельных прямых делит пополам угол между ЕК и биссектрисой угла ВЕК. Найдите /- СКЕ.

82. Как с помощью шаблона прямого угла разделить пополам данный отрезок?

83. Как с помощью шаблона острого угла построить перпендикуляр к данной прямой в данной точке?

84. Края линейки параллельны, ее ширина меньше отрезка АВ. Как с помощью этой линейки разделить пополам отрезок АВ?

85. Как с помощью линейки с параллельными краями построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку этой прямой?

86. Даны три параллельные прямые и точка М. Постройте прямую, проходящую через точку М так, чтобы разность длин отрезков, отсекаемых на этой прямой данными параллельными прямыми, была равна а.

Сумма углов треугольника

87. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ и АС. Из В и С опущены перпендикуляры на стороны угла. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров лежит на биссектрисе угла А.
88. По данным рисунка 12 определите, есть ли там параллельные прямые.
89. Равны ли равнобедренные прямоугольные треугольники, периметры которых равны?
90. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Равны ли углы этих треугольников?
91. ВМ и СМ — биссектрисы внешних углов при основании равнобедренного треугольника АВС. Точки А и А-г симметричны А относительно названных биссектрис. Докажите, что А АААу.—равнобедренный.
92. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Докажите, что этот треугольник — прямоугольный.
93. Отношение двух внутренних углов треугольника 2:3, а внешних углов при тех же вершинах —11:9. Найдите величину третьего внешнего угла.
94. Точка М находится внутри треугольника АВС. Найдите сумму углов АМВ,
АМС и ВМС.
95. Равнобедренные треугольники равны, их высоты, проведенные к основаниям, совпадают. Как делятся, пересекаясь, их боковые стороны?
96. Постройте треугольник по двум углам и разности сторон, лежащих против этих углов.
97. В треугольнике АВС АС == ВС. На этих сторонах отмечены такие точки В,
Е, Р, что ВВ == ВЕ = ЕР == РС'== АВ (рис. 13). Найдите углы треугольника
АВС.
98. Биссектрисы внешних углов треугольника АВС попарно пересекаются в точках 0, Оч, Оз. Докажите, что А С^ОгОз остроугольный, и выразите его углы через углы треугольника АВС.
99. Биссектрисы двух внутренних углов остроугольного треугольника пересекают противолежащие стороны под углами 63° и 81°. Найдите углы треугольника.
100. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника АВС отсекает равнобедренный треугольник. Определите градусные меры углов треугольника АВС.
101. Один из углов треугольника равен полу сумме двух Других, его стороны относятся, как 1:2. Найдите величины углов треугольника.
102. В треугольнике АВС АВ == АС, /- ВАС = 80°. Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МВС = 10°, /- МСВ== == 30°. Найдите /.АМВ.
103. В треугольнике АВС АВ = ВС, /-В = 20°. На стороне АВ взята такая точка М, что ВМ == АС. Найдите /- МСА.
104. В равнобедренном треугольнике АВС /- В == 100 . Внутри треугольника взята такая точка М, что ^- МАВ == 10°, ^_ М&А = 20°. Найдите ^. ВМС.
105. Может ли пластинка иметь форму такого равнобедренного треугольника, чтобы ее можно было разрезать на 5 треугольных частей с такими же углами, как у начального треугольника?

Прямоугольный треугольник
106. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой угла при основании.
Найдите углы равнобедренного треугольника.
107. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.
108. Если острые углы прямоугольного треугольника относятся, как 1:3, то биссектриса наибольшего угла равна одному е з катетов. Докажите.
109. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме гипотенузы с проведенной к ней медианой.
110. В треугольнике АВС /- А = 15°, ^ В == 30°. Докажите, что перпендикуляр СМ к АС делит сторону АВ на такие частя АМ и МВ, что АМ = 2
ВС (рис. 14).
111. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на три части. Найдите углы треугольника.
112. На прямой отложены отрезки АВ == 2, ВС == СВ =- 1, ВЕ = 2. Из точки
М, находящейся вне этой прямой, все названные отрезки видны под равными углами. Определите градусные меры этих углов.
113. Желая доказать, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета, ученик построил из вершины прямого угла ВАС такой луч АМ, что ^-
ВАМ = — ^- С (рис. 15). Как он хотел доказать теорему?
114. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника Шар толкнули по биссектрисе острого угла. Отразившись от бортов в точках В, Е, К, шар вернулся по пройденному пути (рис. 16). Найдите острые углы треугольника.
115. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольник? АВС. Шар толкнули по биссектрисе прямого угла С. Отразившись от бортов в точках К, Е, М, шар вернулся по пройден ному пути. Найдите острые угль! треугольника.
116. Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раз; больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.
117. Д АВС — прямоугольный, биссектрисы его острых углов — ВВ и СЕ, отрезки ВК и ЕМ — перпендикуляры к ВС (рис. 17). Найдите /- КАМ.
11в. Из города М по двум прямолинейным дорогам выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Через 20 мин после выезда мотоциклист прибыл в пункт В» а велосипедист в пункт А, при этом А МАВ оказался прямоугольным.
Еще через 30 мин путешественники были в таких пунктах С и О, что А МСВ оказался равносторонним. Через сколько часов после этого они окажутся » таких пунктах Р и Т, что А МРТ будет прямоугольным?

119. В прямоугольном треугольнике АВС АВ == Асг Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МАВ == ^- МВА == == 15°. Найдите А. ВМС.

Окружность

120. Докажите, что из двух пересекающихся хорд, не проходящих через центр окружности, хоть одна не делится пополам.

121. Докажите, что из центра вписанной окружности каждая сторона треугольника видна под тупым углом.

122. Окружность касается гипотенузы и продолжений катетов. Докажите, что диаметр окружности равен периметру прямоугольного треугольника.

123. На сторонах прямого угла М отмечены такие точки А и В, С и В, что
ВО == АВ 4- СВ. Докажите, что разность диаметров окружностей, вписанных в треугольники МВВ а МАС, равна АС.

124. Катеты прямоугольного треугольника а, Ь, гипотенуза

с. Докажите, что радиус вписанной окружности г == д ~ с . &
125. Постройте две окружности с центрами на данной прямой в касающиеся одна другой в данной точке М и касающиеся другой данной прямой Ь.

126. Окружности с центрами 0 и Оу. касаются внешним образом. Окружность с центром Оэ и радиусом 12 см касается их внутренним образом. Определите периметр треугольника 010а0з.

127. Какую фигуру образуют все точки плоскости, из которых данная окружность видна под прямым углом?

128. Даны точки А, В, С, В. Постройте окружность, которая проходит через точки А и В» а касательные к ней, проведенные из точек С и В, равной длины.

129. Даны окружность М точка М вне ее. Проведите через М прямую, пересекающую окружность в точках, расстояние между которым» равно с.

130- Постройте окружность, которая касается двух данных окружностей, причем одной из них — в данной точке М.

181. Постройте треугольник АВС по основанию, высоте, проведенной к боковой стороне, и радиусу описанной окружности.
132. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведенным к основанию, и радиусу описанной окружности.
133. Постройте треугольник АВС, если дана прямая, "а которой лежит биссектриса угла А, и точка касания сторон АВ и ВС вписанной в треугольник окружности.
134. Постройте две окружности, каждая из которых касается одной из равных сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Докажите, что эти окружности равны, а прямая, проходящая через их центры, параллельна основанию треугольника.

Вписанные углы

135. Докажите теорему о вписанных углах, пользуясь рисунком 18.
136. Треугольник АВС — остроугольный, ВМ и СМ — перпендикуляры к АВ и АС.
Докажите, что точка М лежит на окружности, описанной около треугольника
АВС.
137. О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что центр окружности, проходящей через точки А, В, О, лежит на прямой СО.
138. Два угла треугольника имеют величины 52° и 58°. Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках К, Ъ, М. Определите величины углов треугольника КЬМ.
139. Один из углов треугольника 40°. Стороны этого угла видны из центра описанной окружности под углами, которые относятся, как 2 : 3. Найдите эти углы.
140. Найдите углы треугольника, две стороны которого видны из центра описанной окружности под углами: а) 122° и 104°; б) 29° и 47°.
141. 0 и Оч — центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС.
Зная, что ^- АОВ = //- АОчВ, найдите /- С.
142. АА и ВВ — высоты треугольника АВС. Постройте треугольник АВС по точкам А, В и прямой АВ.
143. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане, проведенной к одному из катетов.
144. Постройте треугольник АВС по высоте АВ, углу между ВС и медианой АЕ, радиусу описанной окружности.
145. Прямая ВЕ проходит через вершину А треугольника АВС и касается описанной около треугольника окружности. Докажите, что углы ВАВ и ЕАС равны соответствующим углам треугольника.
146. В окружность вписан равносторонний треугольник АВС, М — точка окружности, находящаяся внутри угла АСВ. Докажите, что МА+ МВ = МС.
147. Вершины треугольника АВС находятся в точках I, V, VIII циферблата часов. Построены высоты АМ и СВ и перпендикуляр ВЕ к АС. Докажите, что АЕ =
СМ (рис. 19).

148. Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на 4 равные части. Найдите величины углов треугольника.

149. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили угол на части, которые относятся, как 4:7:4. Найдите величины углов треугольника.

150. В треугольнике АВС на стороне ВС есть такая точка М, что ВМ = 2 МС и А- АМВ == 60°. Зная, что ^ ВАС = 60°, найдите величины остальных углов треугольника.

ВОСЬМОЙ КЛАСС
Четырехугольник

1. В четырехугольнике проведены его диагонали. Сколько равных отрезков могло оказаться на рисунке?

2. В четырехугольнике проведены его диагонали. Какое наибольшее число прямых углов может оказаться на рисунке?

3. Верно ли, что среди углов выпуклого четырехугольника всегда найдется хоть один прямой или тупой угол?

4. Постройте четырехугольник АВСВ по углам А и. В, сторонам АВ, АВ и сумме двух других сторон.

5. У четырехугольника АВСD угол С — прямой. Постройте этот четырехугольник по длинам сторон АВ, АВ, СВ и величине угла А.

Параллелограмм

6. Придумайте и обоснуйте признаки параллелограмма, отличные от рассмотренных в школьном пособии по геометрии.

7. Точка М находится внутри угла, вершина которого недоступна (то есть лежит за пределами доступной части плоскости). Постройте луч с началом М, направленный на вершину угла.

8. Пластинку в виде параллелограмма разрезали на 3 части, каждая из которых является равнобедренным треугольником. На рисунке 20 отмечено, какие отрезки равны. Определите градусные меры углов параллелограмма.

9. Точка М находится внутри данного угла. Постройте отрезок, у которого концы лежат на сторонах данного угла, а середина — в точке М.

10. Точки А и С находятся внутри данного угла. Постройте параллелограмм
АВСD, у которого вершины В и D находятся на сторонах данного угла.

11. АВСD — параллелограмм. Вне его построены квадраты АВРЕ и ВСКМ.
Докажите, что отрезки ЕВ и ВК взаимно перпендикулярны.
12. Постройте параллелограмм АВСВ по положению бс] -шин Л и В и расстояниям от данной точки М до вершин С и 1,
13. Постройте параллелограмм АВСD, если дана прям; и ВТ) и основания высот, проведенных из вершины В.
14. АВС1> — параллелограмм. Вне его построены равносторонние треугольники
АВМ и ВСТ. Докажите, что А МОТ - равносторонний.
15. Периметр параллелограмма 48 см. Биссектриса одно а из углов делит параллелограмм на две части, разность периметров которых 6 см. Найдите длины сторон.
16. Через точку М на основании данного равнобедренного треугольника проведены прямые, соответственно параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр полученного параллелограмма не зависит от выбора точки М.
17. Биссектриса угла В параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС и продолжение стороны АВ в точках М и N. Докажите, что треугольники АВН и МСВ
— равнобедренные.
18. Диагональ параллелограмма делит его угол в отношении 1 : 3. Зная, что длины сторон относятся, как 1 : 2, найдите углы параллелограмма.

Прямоугольник

19. Диагонали четырехугольника равны, два угла его — прямые. Является ли этот четырехугольник прямоугольником?
20. Диагонали делят прямоугольник на 4 части, периметры

9 4 т. двух из них равны —и
—периметра прямоугольника. Как относятся длины сторон прямоугольника?
21. На рисунке 21 изображена фигура, у которой каждые две соседние стороны взаимно перпендикулярны. Найдите ее периметр.
22. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых вдвое больше другой. Определите, на какие части диагональ делит угол прямоугольника.
23. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых равна меньшей стороне прямоугольника. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.
24. АВСВ — прямоугольник. На сторонах АВ и СВ отложены равные отрезки ВМ и СЕ; МК — перпендикуляр, опущенный на АС. Найдите /- ВКЕ.
25. На стороне ВС хтрямоугольника АВСВ есть такая точка М, что /- АМВ ==
А. АМВ. Зная, что АВ = 2 АВ, найдите величины названных углов.

Ромб

26. Точка пересечения диагоналей четырехугольника равноудалена от всех его сторон. Установите вид четырехугольника.

27. Вне ромба АВСВ построен равносторонний треугольник АМВ. Найдите /-
СМВ.

28. Решите задачу 27 для случая, когда М находится внутри ромба.

29. Биссектрисы углов ВАС и ВDС параллелограмма АВСD пересекаются под углом 45°. Найдите угол между биссектрисами углов АВВ и АСВ.

30. Постройте ромб АВСD, если даны середина стороны и центры окружностей, описанных около треугольников АВС »АВС.

31. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и В и расстоянию от данной точки М до середины ВС.

32. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и С расстоянию от данной точки М до середины ВС.

Квадрат

33. Какую фигуру образуют все точки плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от координатных осей равна 2?
| 34. Периметр квадрата 4. Найдите на плоскости квадрата все точки, для каждой из которых сумма расстояний от сторон квадрата или их продолжений равна 6.
35. В точках А, В, С прямой построены к ней перпендикуляры АВ, СЕ и ВР, причем АВ == ВС, СЕ = АВ, ВР == АС, первые два в одной полуплоскости, третий — в другой (рис. 22). Докажите, что В — центр квадрата со стороной
ВЕ, А — центр квадрата со стороной ЕР, С — центр квадрата со стороной ВР.
36. На местности был отмечен участок АВСВ квадратной формы. Из-за дождей границы участка были размыты, остались веха в центре О участка и колышки М
^ АВ и N (= СВ. Можно ли по этим данным восстановить границы участка?
37. Можно ли решить задачу 36, если второй колышек находится на стороне
ВС?
38. АВСВ — квадрат. На сторонах АВ и ВС отложены Равные отрезки ВК и ВМ;
ВТ — перпендикуляр, опущенный на КС. Найдите /- МТБ.
39. Постройте квадрат: а) по сумме стороны с диагональю; б) по разности длин диагонали и стороны.
40. Можно ли построить квадрат АВСВ, у которого разность Расстояний от вершины В до прямых АВ и АС равна о?
41. АВСВ — квадрат. Найдите все такие точки М, что треугольники МАВ, МВС,
МСВ, МАВ будут равнобедренный •,
42. На прямой отмечены точки А, В, С, В так, что АВ = С::), и построены квадраты со сторонами АВ, ВВ, АС, СО. Первые два находятся по одну сторону от АО, последние — по другую. Являются ли центры этих квадратов вершинами квадрат. ?
43. АВСВ, ВСЕР и РЕКМ — равные квадраты. Докажи, что ^. САМ + ^- ЕАМ + ^
КАМ == 90° (рис. 23).
44. АВ — высота остроугольного треугольника АВС, О -центр квадрата, построенного на АВ вне треугольника, М ~ центр квадрата, построенного на АС в одной полуплоскости с В (рис. 24). Лежат ли точки М, В, О на одной прямой?

Теорема Фалеса

45. На прямой отложены равные отрезки АВ и ВС. Как построить через точки
А, В, С параллельные прямые, чтобы они отсекли на другой данной прямой отрезки длиной по а?
46. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, чтобы они отсекли на данной прямой I отрезки равной длины.
47. Точки А, В, С лежат на прямой I, причем АВ =^ ВС. Постройте через
А, В, С параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой отрезки с разностью длин Ь.
48. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой I отрезки с разностью длин Ь.
49. АО — медиана треугольника АВС. Прямая СЕ пересекает сторону АВ в точке М и делит названную медиану пополам. Определите СЕ '. ЕМ и АМ : МВ.
50. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты такие точки М и ^, что ВМ
: АВ = ВН : ВС = 1 : 3. Точки Т) v Е делят сторону А С на три равные части.
Докажите, что МО = МЕ.
51. Медиана ВМ делит высоту АВ треугольника АВС в отношении 3:1, считая от вершины. В каком отношении эта высота делит медиану ВМ?
52. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к боковой стороне.

53. Из вершин В и D параллелограмма АВСD проведены тра высоты. Как по серединам этих высот построить параллелограмм АВСD7

54. Постройте параллелограмм по середине стороны АВ и серединам высот, проведенных из вершины В.

55. Постройте параллелограмм АВСD по серединам сторон ВС и СВ и основанию высоты, проведенной из В к АВ.

56. Постройте параллелограмм АВСВ, если известна середина стороны АВ и основание высоты, проведенной из вершины В к АВ.
57. Постройте ромб АВСВ, если известны середина стороны АВ и точки, в которых вписанная в ромб окружность касается сторон АВ и ВС.

Средняя линия треугольника

58. Периметр параллелограмма АВСВ 80 см. Биссектрисы углов А и В пересекаются в такой точке М, что сторона ВС делит отрезок АМ пополам.
Найдите длины сторон параллелограмма.
59. В параллелограмме АВСВ из вершин В и О проведены по две высоты.
Докажите, что середины этих высот являются вершинами некоторого параллелограмма.
60. Дан треугольник АВС. Какая фигура образуется центрами всех таких параллелограммов, у каждого из которых две стороны лежат на лучах АВ и АС, а одна из вершин находится на стороне ВС?
61. В выпуклом четырехугольнике АВСD сумма углов при стороне АВ 90°, АВ
== СВ. Докажите, что середины диагоналей и середины сторон ВС и АВ являются вершинами квадрата.
62. Стороны параллелограмма 17 и 23 см. Биссектрисы всех его углов ограничивают четырехугольник КЬМН. Найдите его диагонали.
63. АВ — диаметр полуокружности с центром О, в точках А и В построены перпендикуляры к АВ. Касательная к полуокружности в точке С пересекает эти перпендикуляры в точках В и Т; АС и ВО пересекаются в точке Е, ВС и ОТ пересекаются в точке М. Параллельны ли АВ я ЕМ?
64. АВСВ — выпуклый четырехугольник, середины его сторон — А, В, С,
В[. Середины сторон четырехугольника АВСВ — Л.2, В-г, Сч, Вч. Середины сторон четырехугольника АчВчСчВч — Аз, Вз, Сз, Оз и т. д. Укажите точку, которая находится внутри всех таких четырехугольников.
65. Средняя линия треугольника АВС образует со стороной АВ углы, вдвое большие углов треугольника при этой стороне. Найдите величины углов треугольника АВС.
66. Постройте треугольник АВС по положению точек А и В и точке, в которой продолжение медианы АВ пересекает описанную окружность.
67. АВ — высота прямоугольного треугольника АВС. Биссектрисы углов В и
САВ пересекаются в точке М, а биссектрисы углов С и ВАВ — в точке N.
Параллельны ли прямые МП и ВС?

Трапеция
68. Из какого наименьшего числа прямоугольных треугольников можно сложить трапецию?
69. Докажите, что треугольную пластинку можно разрезать на три части, имеющие форму трапеции.
70. Докажите, что четырехугольную пластинку можно разрезать на три части, имеющие форму трапеции.
71. Пластинка имеет форму равнобокой трапеции. Как разрезать ее на три равные трапеции, если: а) одно основание вдвое больше другого, б) длины оснований 6 и 10 см?
72. Два противоположных угла трапеции относятся, как 2:3, а два других — как 3:5. Найдите углы трапеции,
73. Биссектрисы углов при большем основании трапеций перпендикулярны боковым сторонам. Найдите углы трапеции
74. Постройте трапецию, если даны прямые, на которых лежат ее боковые стороны АВ и СВ, середина диагонали АС и точка на прямой АВ.
75» Пластинка имеет форму трапеции, ее основания 6 .» 24 см, углы при большем основании по 60°. Как разрезать трапецию на пять равных равнобоких трапеций?

76. Пластинку в форме трапеции можно разрезать на четыре равных равнобоких трапеции. Определите величины углов этих трапеций.

77. Прямая отсекает от равностороннего треугольника трапецию, которая делится диагоналями на 4 равнобедренных треугольника. Найдите угол между диагоналями трапеции.

78. Три стороны трапеции равны. Окружность, построенная на большем основании, как на диаметре, делит боковую сторону пополам. Найдите градусные меры углов трапеции.
79. АВСО — трапеция. Окружность, диаметром которой является меньшее основание трапеции, касается ее большего основания и делит диагонали трапеции пополам. Найдите величины углов трапеции.

80. Как разрезать квадратную пластинку на 8 частей, каждая из которых имеет форму непрямоугольной трапеции?
81. Впишите в данную окружность трапецию, у которой одно из оснований проходит через данную точку, а боковые стороны соответственно параллельны двум данным прямым.
Средняя линия трапеции
82. Докажите, что если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны, то ее высота равна средней линии.
83. Докажите теорему о средней линии трапеции, используя каждый раз один из рисунков 25—31.
84. Постройте трапецию по средней линии, расстоянию между основаниями и углам при одном из оснований.
85. На окружности даны точки А и В. Постройте две параллельные хорды АС и
ВО, у -которых: а) сумма длин о; б) разность длин Ь.
86. Расстояние между основаниями трапеции равно средней линии. Найдите угол между диагоналями трапеции.
87. Основания трапеции ВС и АО. На СВ взята такая точка М, что АМ = АВ.
Через В проведена прямая, параллельная СВ, она пересекает АМ в точке Р.
Докажите, что ВМ == РС.
88. Длина одного из оснований равнобокой трапеции втрое больше длины другого основания. Из середины большего основания меньшее видно под углом, вдвое меньшим угла, под которым большее основание видно из середины меньшего. Найдите эти углы.
89. Если боковая сторона прямоугольной трапеции равна сумме оснований, то окружность, построенная на этой стороне, как на диаметре, касается другой боковой стороны. Докажите.
90. Основания трапеции 10 и 18 см, углы при меньшем основании по 120°.
Как относятся периметры фигур, на которые трапеция делится своей средней линией?
91. Докажите, что средняя линия трапеции меньше хоть одной из диагоналей трапеции.
92. „Две окружности пересекаются в точке М. Как провести через эту точку прямую, на которой названные окружности отсекают равные отрезки?
93. Окружность, построенная на большем основании трапеции, как на диаметре, касается меньшего основания и проходит через концы средней линии.
Найдите градусные меры углов трапеции.

Четырехугольник и окружность

94. В окружность вписан четырехугольник АВСО. Биссектрисы углов А и С пересекают окружность в точках Е и Р. Окажите, что прямая ЕР проходит через центр окружности.
95. Один из углов четырехугольника АВСО равен 56°, АВ === = ВС, АО == СО.
Зная, что около четырехугольника можно описать окружность, найдите величину наибольшего угла четырехугольника.
96. Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность.
97. Докажите, что в трапецию можно вписать окружность только в том случае, когда окружности, построенные на боковых сторонах, как на диаметрах, касаются.
98. Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны. Из точки их пересечения опущены перпендикуляры на все стороны четырехугольника. Докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной окружности.
99. В окружность вписан прямоугольник АВСО. Из точки М окружности опущены перпендикуляры МЕ и МР на диагонали прямоугольника. Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров не зависит от выбора точки М.
100. АА, ВВ, СС — высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что лучи АН, ВН, СН делят пополам углы треугольника
АВС.
101. Внутри треугольника АВС взята такая точка М, что ^- МАС = /I МВА =
/. МСВ == к. На стороны треугольника
АВС опущены перпендикуляры МА, МВ, МС. Докажите, что ? эти перпендикуляры образуют с соответствующими сторонами треугольника АВС углы по ос.
192. Две окружности пересекаются в точках атл.в. Прямая, проходящая через
А, пересекает окружности в точках С и О; прямая, проходящая через В, пересекает окружности в точках Е и Р. Докажите, что СЕ || ВР. Верно ли это утверждение, если хорды. АС и ВЕ пересекаются?
103. Три окружности проходят через точку М и попарно пересекаются в точках А, В, С. Прямая, проходящая через точку А, пересекает две окружности в точках О и Е. Докажите, что прямые ВВ и ЕС пересекаются на третьей окружности (рис. 32).
104. Из всех параллелограммов около окружности можно описать только ромб.
Докажите.
105. Около окружности с центром О описан четырехугольник АВСВ. Докажите, что ^ 'АОВ + ^- СОВ = ^ ВОС + ^ АОВ.
106. Около окружности описан четырехугольник АВСВ, его стороны касаются окружности в точках К, Ь, М, N. Можно ли по углам А, В, С определить углы четырехугольника кьмт
107. Три стороны описанного четырехугольника 23, 26 и 53 см. Определите длину четвертой стороны.
108. Точки касания делят стороны АВ, ВС, СО описанного четырехугольника в отношениях 1:2, 3:4, 3:5. В каком отношении делится точкой касания сторона
АО'1

Прямоугольные координаты

109. Радиус окружности 3. Сколько точек с целочисленными координатами может оказаться внутри окружности?
110. Шахматная доска расчерчена на равные квадраты. Считая сторону квадрата равной 1 и приняв две из начерченных линий за координатные оси, определите, сколько на доске точек с целочисленными координатами.
111. Решите задачу 110 для стоклеточной доски (для международных шашек).
112. Тетрадный лист разграфлен на квадраты со стороной 0,5 см. Размеры листа 164 X 203 мм. Две из построенных прямых приняты за оси координат, в качестве единицы взят 1 см. Сколько на этом листе точек с целочисленными координатами?
113. Найдите координаты вершин треугольника, если координаты середин его сторон (4; 5), (6; 4), (8; 8).
114. Если у четырехугольника АВСВ х^ + Хс == Хд + Хц и Ул 4- Ус ==' Ув +
Ув > то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажите.
115. Если у трапеции суммы абсцисс концов боковых сторон одинаковы, то средняя линия трапеции перпендикулярна оси абсцисс. Докажите.
116. Даны графики у = х2 + 5 и у = х2 — 5. Докажите, что можно построить отрезок, параллельный оси абсцисс, у которого концы находятся на данных графиках, а длина менее 0,01.

Параллельный перенос

117. Вершины треугольника находятся в точках (—1; 1), (11; 1), (11; 6). В результате параллельного переноса центр описанной окружности переместился в точку (8; 7). В какие точки переместились вершины треугольника?
118. Какой параллельный перенос нужно выполнить, чтобы

, 4ж + 2 - , 10, вместо графика у = ———— получить график у == — —'
119. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и расстоянию между серединами двух противоположных сторон.
120. Постройте четырехугольник по трем сторонам и углам при четвертой стороне.
121. Постройте равносторонний треугольник периметра Р, имеющий две вершины на двух данных параллельных прямых, а третью — на данной окружности.
122. Постройте квадрат со стороной а, у которого концы одной стороны находятся на двух данных параллельных прямых, а центр — на данной окружности.
123. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных параллельных прямых, а четвертая — на данной окружности.
124. Даны две окружности и прямая I. Постройте прямую, параллельную I, на которой данные окружности отсекают равные отрезки.
125. АВ — диаметр полуокружности, СО — хорда, не параллельная АВ. Найдите на полуокружности такую точку М, чтобы прямые М.А и МВ пересекали СО в точках, расстояние между которыми равно а.

Сложение векторов
126. Векторы ОМ и МТ равной длины взаимно перпендикулярны. Зная, что Т
(7; 17), найдите координаты векторов.
127. Длины векторов АВ и АС равны. Докажите, что вектор АВ + АС лежит на биссектрисе угла ВАС или параллелен ей.
128. МА, МВ, МС — радиусы окружности. Известно, что МА + МВ + МС = 0.
Найдите углы между радиусами.
129. Четырехугольник АВСВ вписан в окружность с центром М. Зная, что МА +
МВ + МС + МВ == 0, определите вид четырехугольника.
130. Докажите, что вектор а (8; 8) коллинеарен Ь -- с, если Ъ (5; 12), с (12; 5).
131. В окружность радиуса 6 см вписан прямоугольник АВСВ, М — точка этой окружности. Найдите длину вектора
МА + МВ + МС + МВ.
132. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС.
Зная, что. ОМ == 18 см, найдите длину вектора МА + МВ + МС.
133. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны медианам треугольника АВС.
134. На плоскости даны точки А, В, С, В, Е, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны АС, ВО, СЕ, АВ, ВЕ.
135. АВСВ — параллелограмм. Точка М не принадлежит ни одной прямой, содержащей сторону параллелограмма. Докажите, что можно построить четырехугольник, длины сторон которого МА, МВ, МС, МВ.

Умножение вектора на число
136. Шесть точек соединены последовательно отрезками АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР,
РА. Середины этих отрезков — Ао, Во, Со, Во, Ео, ро. Докажите, что для любой точки Г: ТАо + ТСо + +ТЕо=~ТВо+~ТВо+ТР~о.
137. АВСВ — четырехугольник, у которого сумма расстояний между серединами противолежащих сторон равна ^половине периметра четырехугольника. Докажите, что АВСВ — параллелограмм.
138. Докажите, что, если М — точка пересечения медиан треугольника АВС, то СМ == ^-(са + СВ}.

139. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для любой точки Т: ТМ = -^-(ТА + ТВ + ГС"). о

140. Точка С лежит между А и В, причем АС'.СВ = пг:п. Докажите, что для любой точки Т:

ТС = —"-— ТА + —"——ТВ. т + п т + п

141. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС соответственно взяты такие точки С, А, В, что АС '. СВ = = ВА '. АС == СВ '. ВА. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС и точка пересечения медиан треугольника Д^С! совпадают.

142. АВСВ и АВСВ — параллелограммы. Верно ли, что середины отрезков
АА, ВВ., СС, ВВ являются вершинами параллелограмма?
Косинус угла

143. Докажите, что если а ф Ъ и аЪ ~> О, то существует ост-
2аЬ рыи угол, косинус которого равен —з . ^ •

144. Докажите, что при любом действительном п =И= 1 существует острый угол, косинус которого равен "
2я2 — 2п + 3

Теорема Пифагора

+ 145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба его гипотенузы. ^ 146. Докажите, что если Ь2 + с2 == 2о2, то существует прямо-
„ & Ч- с Ь — с угольный треугольник, длины сторон которого а, —-—, —„—
&» ^
147. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с кате-
, „ л 1 _- а2 , б2 „ 2 тами а, Ь и гипотенузой с: а) —^ —а——г + -тт-—г ^ т-!
А (I -{- С О -- С О
2 ^ о2 , Ь2 ^, ,. _ КМ.
207.Шве высоты треугольника не меньше сторон, к которым они. проведены.
Найдите величины углов треугольника.

Скалярное произведение векторов

208. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.
209. Точка М находится внутри прямоугольника АВСО. Докажите, что МА • МС
== МВ • МО. Выполняется ли это соотношение, если точка М находится вне прямоугольника?
210. АВСВ — прямоугольник, докажите, что для любой точки Т имеет место равенство: ТА2 + ТС2 = ТВ2 + ТО2.
211. Если для точек А, В, С имеет место равенство АС2 ++ ВС2 = 4- АВ2, то
АС + ВС = 0. Докажите. л
212. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, докажите, что для любой точки Т: ТА2 + ТВ2 + ГС2 == == МА2 + МВ2 + МС2 + 3 ТМ2.
213. Докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
214. Окружность диаметра А^ пересекает сторону ВС прямоугольника АВСР в точках К и М. Докажите, что ВК • КО == СМ • МА.

215. АВС^ — ромб, ВК и СЕ — его высоты, проведенные к АО; точка М — середина КО, точка Р — середина СЕ. Найдите угол между ВМ и АР.

216. Найдите величину угла при вершине В равнобедренного треугольника
АВС, у которого медианы -АО и СЕ взаимно перпендикулярны.

Центральная симметрия

217. Постройте квадрат с данным центром О, зная, что две параллельные стороны квадрата (или их продолжения) проходят через данные точки М ц N.

218. Постройте параллелограмм АВС^ по положению вершин А. и С и расстояниям а и Ь от вершин В и О до данной точки М.

219. Постройте треугольник по середине основания и серединам высот, проведенных к боковым сторонам. •

220. Точка М находится внутри треугольника АВС. Точки М), Мг, Мз симметричны М относительно середин сторон ВС, АС, АВ. Докажите, что прямые
АМ, ВМг, СМз пересекаются в одной точке.

221. Диагональ АС четырехугольника АВСВ является диаметром описанной окружности, АМ и СН — перпендикуляры, опущенные на диагональ ВВ. Докажите, что ВМ == ТЖ. О 222. Прямая, проходящая через середины Е и К диагоналей четырехугольника АВСВ, пересекает его стороны в точках М и N. Зная, что ЕМ
= КН, докажите, что этот четырехугольник — параллелограмм или трапеция.

Осевая симметрия

223. Найдите координаты вершин ромба, у которого диагонали лежат на осях координат, а середина одной из сторон находится в точке (2; —3).

224. Точки С и О симметричны относительно прямой АВ. С помощью односторонней линейки постройте через данную точку М, не лежащую на АВ, перпендикуляр к АВ.

225. Дана окружность и ее центр О. Точки А и В лежат вне окружности.
Постройте, пользуясь только циркулем, точки пересечения данной окружности с прямой АВ.

226. Ось симметрии диагонали прямоугольника отсекает на большей стороне отрезок, равный меньшей стороне. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

227. Центр вписанной в треугольник окружности и центр описанной около него окружности симметричны относительно стороны треугольника. Определите величины углов треугольника.

228. Центр описанной около треугольника АВС окружности и центр окружности, которая касается стороны ВС и продолжений двух других сторон, симметричны относительно ВС. Определите величины углов треугольника АВС.

229. Постройте треугольник АВС по положению вершины ^ и прямым, на которых лежат биссектрисы углов В и С.

230. Постройте треугольник по двум сторонам и разности углов при третьей стороне.

231. Постройте треугольник АВС по прямой ВС и серединным перпендикулярам сторон АВ и АС. }

232. Постройте параллелограмм АВСО по вершине В и серединным перпендикулярам 1 и 1ч сторон АВ и ВС.

233. Точки А и В находятся в одной полуплоскости с границей СО. Найдите на СВ такую точку М, чтобы /. АМС — I -- /_ ВМВ == 90°.

234. Внутри угла ВАС, величина которого 45°, даны точки 1 М и N.
Постройте равнобедренный треугольник, у которого основание лежит на луче АС, вершина — на луче АВ, а боковые стороны проходят через М и N.
235. Постройте параллелограмм АВСВ по лучам ВА и ВС и центру окружности, проходящей через точки А, С, ^.
0236. Точки О), Оч, Оз симметричны центру окружности, описанной около треугольника АВС, относительно его сторон. Докажите, что А -АВС == Д
0ч0г.
237. По условию задачи 236 постройте по точкам 0, Оч, Оз треугольник
АВС.

Поворот около точки

238. Постройте квадрат АВСВ по положению вершины В и расстояниям от данной точки М до вершин А у. С.
239. Постройте квадрат по расстояниям трех его вершин от данной точки М.
240. Точка В находится между точками А и С. По одну сторону от АС построены равносторонние треугольники АВВ, ВСР, по другую сторону — равносторонний треугольник АСЕ. Докажите, что центры этих треугольников являются вершинами равностороннего треугольника.
241. Точка М находится внутри равностороннего треугольника АВС. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого соответственно равны отрезкам МА, МВ, МС.
242. На сторонах АВ и АС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты АВВК и АСЕМ. Докажите, что отрезок КМ вдвое больше медианы треугольника, причем КМ 1- АО.
243. Постройте равносторонний треугольник, у которого середина основания
— данная точка О, а боковые стороны (или их продолжения) проходят через данные точки М ц N.
244. Постройте равносторонний треугольник, у которого вершины лежат на трех данных концентрических окружностях, а центр — на данной прямой, пересекающей эти окружности.
245. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных концентрических окружностях, а четвертая — на данной прямой.
246. Внутри квадрата АВСВ имеется точка М, причем /- АМВ == 90°, МА — МВ
== а. Найдите расстояние от точки М до центра квадрата.
247. Внутри равностороннего треугольника АВС имеется такая точка М, что /-
АМВ = 120°, МА — МВ = а. Найдите расстояние от точки М до центра описанной около треугольника окружности.
248. Отрезки АВ и СВ равны. Докажите, что можно выполнить такой поворот около точки О, что АВ и СВ совместятся. Как определить центр и угол поворота?
249. Каждый угол треугольника менее 120°. Найдите точку с наименьшей возможной суммой расстояний от вершин треугольника.
250. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна I, На его гипотенузе вне треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от центра квадрата до вершины прямого угла треугольника.

Параллельный перенос
251. Точки А и В находятся по одну сторону от прямой СВ. Найдите на СВ такие точки Е и Р, чтобы АЕ = ВР и длина отрезка ЕР равнялась а.
252. Постройте четырехугольник по длинам двух противолежащих сторон, длинам диагоналей и углу между диагоналями.
253. Даны лучи МА, МВ, МС. Постройте прямую, которая пересекает их в таких точках А, В, С, что АВ == ВС = а.
254. Постройте трапецию по боковым сторонам и расстояниям между противоположными сторонами.
255. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и разности углов при одной из сторон.
256. Постройте отрезок данной длины о, параллельно данной прямой, с концами на двух данных окружностях.
257. Постройте отрезок длины а, параллельный прямой II, концы которого лежат на прямой 1ч и на данной окружности.
258. Даны точки А, В, С, В, Е. Проведите через А такую прямую, чтобы остальные точки были от нее по одну сторона а сумма расстояний от нее до В и С была на а меньше суммы расстояний от В и Е.
259. Постройте прямую, на которой две данные окружности отсекают отрезки длиной а и I.

Равенство фигур

260. Две пересекающиеся высоты и угол между ними одног параллелограмма равны двум высотам и углу между ними другого параллелограмма. Равны ли эти параллелограммы?
261. Равны ли две трапеции, если стороны одной соответственно равны сторонам другой?
262. Докажите, что две трапеции равны, если основания и диагонали одной трапеции соответственно равны основаниям и диагоналям другой.
263. Докажите, что две трапеции равны, если основания и углы при большем основании одной трапеции равны основаниям и углам при большем основании другой.
264. Через центр квадрата проходят две взаимно перпендикулярные прямые.
Докажите, что отрезки их, заключенные между сторонами квадрата, равны.
265. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС.
Через О проходят две прямые, образующие угол в 60°. Докажите, что отрезки прямых, ограниченные сторонами треугольника, равны.
266. Докажите, что параллельный перенос можно заменить двумя осевыми симметриями с параллельными осями.
267. Два треугольника равны. Сколько потребуется осевых симметрий, чтобы эти треугольники совместились?
268. Середины противоположных сторон четырехугольника АВСВ соединили отрезками, которые пересеклись в точке О. Затем построили параллелограмм
ОКТМ так, что ОК = 20Н, ОМ = 20Е, и провели ВР ВС и ВР АВ (рис. 36).
Докажите, что четырехугольник АВСВ и параллелограмм составлены из соответственно равных четырехугольников ах при положи
-
ДЕВЯТЫЙ КЛАСС

Гомотетия

1. Докажите, что фигуры у = х2 и у тельном а ^= 1 гомотетичны.
2. Гомотетичны ли фигуры у = ж3 и у = 4х3? Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии.
3. Гомотетичны ли относительно начала координат прямые: а) ах + Ьу — с = О и ах + Ьу + с = 0; б) 2-е — Зг/ — 5 == О и Зх — 2у — 5
= О?
4. Гомотетичны ли треугольник АВС и треугольник, образованный его средними линиями? Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии.
5. Впишите в треугольник АВС треугольник, стороны которого соответственно перпендикулярны: а) сторонам треугольника АВС; б) биссектрисам углов треугольника АВС.
6. Докажите, что середины всех отрезков, которые параллельны стороне АВ треугольника АВС и имеют концы на двух других сторонах, лежат на медиане
СР.
7. Вершины треугольника недоступны (то есть лежат за пределами данной части плоскости). Используя результат задачи 6, определите построением длины всех сторон треугольника (рис. 37).
8. Вершины треугольника недоступны. Постройте: а) центр описанной окружности; б) точку пересечения высот треугольника (или их продолжений).
9. Постройте прямую, параллельную стороне ВС треугольника АВС и пересекающую АВ и АС в таких точках В и Е, что АВ = ЕС.
10. Постройте равносторонний треугольник, у которого медианы пересекаются в данной точке М, а концы одной из высот лежат на двух данных окружностях.
11. Постройте окружность, которая касается данной окружности и в данной точке касается данной прямой.
12. Постройте квадрат АВСВ, зная положение вершины А. и двух прямых, одна из которых проходит через точку В, а вторая через центр квадрата.
13. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и в точках A и B касаются: а)сторон данного угла; б) двух данных окружностей.

14. На обломке круга сохранился центр круга О и части хорды АВ без ее концов. Найдите построением величину угла АОВ.

15. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и основания АС треугольника АВС. Кроме того, одна окружность касается боковой стороны АВ треугольника АВС, а другая — боковой стороны ВС.

16. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и основания АВ треугольника АВС. Кроме того, одна из них касается продолжения стороны АВ, а другая — продолжения стороны ВС.

17. Даны прямые о и Ъ и точка М, не принадлежащая этим прямым. Постройте две окружности, которые пересекаются в точке М, касаются прямой а и имеют центры на прямой Ь.

18. АВ и АС — хорды данной окружности. Постройте окружность, которая касается данной окружности и сторон угла ВАС.

19. Даны две пересекающиеся прямые и окружность. Постройте окружность, которая касается этих прямых и данной окружности.
20. Постройте прямоугольный треугольник АВС по острому углу А и сумме катета ВС с проведенной к нему медианой.
21. Постройте трапецию по ее высоте и отношению длкт всех сторон АВ : ВС
: СО : АВ (основания трапеции Ж и АВ}.
Подобие треугольников

22. Через внутреннюю точку М треугольника АВС постройте прямую, которая отсекает треугольник, подобный треугольнику АВС. Сколько решений имеет задача?
23. В угол вписаны три окружности, одна из которых касается двух других.
Докажите, что их радиусы связаны соотношением: г| == Г) • Гз.
24. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Подобны ли эти треугольники?
25. МАВ и МСВ — секущие к окружности. Докажите, что треугольники МАС и
МВВ подобны.
26. Через точку пересечения диагоналей четырехугольника АВСВ проведена прямая, пересекающая две его стороны в точках М и N. Из этих точек опущены перпендикуляры на диагонали четырехугольника (рис. 38). Верно ли, что основания перпендикуляров являются вершинами трапеции или параллелограмма?
27. Два треугольника подобны. Разность их больших сторон 12 см, разность их меньших сторон 6 см, длины двух средних стопин 30 и 20 см. Определите периметры треугольников.
28. Периметры двух подобных прямоугольных треугольников относятся, как 1 :
8. У одного треугольника гипотенуза больше большего катета на 16 см, у другого — сумма гипотенузы с меньшим катетом имеет ту же величину. Найдите длины сторон этих треугольников.

29. Два треугольника не равны. Могут ли 5 основных элементов одного треугольника равняться пяти основным элементам другого?

30. Треугольники со сторонами а, Ъ, с и Ь, с, и подобны. Может ли коэффициент подобия равняться 2; 1,6; 0,б?
31. Длины катетов и гипотенузы двух подобных треугольников а, Ь, с и а,
Ь, с. Докажите, что аа + ЬЬ == сс.|

32. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.
Докажите, что АН вдвое больше расстояния от центра | описанной окружности до стороны ВС.
33. О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника
АВС, ОА + 0В + ОС == ОМ. Докажите, что
Точка М находится внутри треугольника АВС.
34. АА и ВВ — высоты треугольника АВС, у которого ^С = 60°. Докажите, что точки А, В и середина стороны АВ — вершины равностороннего треугольника.
35. Докажите, что треугольник можно разрезать на любое натуральное число п > 5 подобных ему треугольников.
36. Даны две непараллельные прямые 1 и 1ч и точки А и В вне этих прямых.
Постройте через А и В две параллельные прямые, которые отсекают на 1 и 1ч отрезки с отношением Длин 2 : 3.
_37. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметьте такие точки D и Е, чтобы АВ == DЕ == ЕС.
38. Из вершины ромба проведены две высоты, расстояние между основаниями которых вдвое меньше диагонали ромба. Найдите величины углов ромба.
39. АВ — диаметр полуокружности. Хорды АС и ВD (или их продолжения) пересекаются в точке М. Докажите, что АС • АМ + ВD • ВМ = АВ2.
40. Диагональ ВВ ромба АВСВ равна его стороне. Точка М находится на луче
ВА вне ромба. МС пересекает АВ в точке О. Под каким углом пересекаются прямые МВ и ВО (рис. 39)?
41. Точка М находится внутри треугольника АВС, причем АМ = ВМ. На сторонах АС и ВС вне треугольника АВС по строены треугольники АСР и ВСК, подобные треугольнику АВМ, причем их равные стороны лежат вне треугольника
АВС. Докажите, что четырехугольник МРСК — параллелограмм
42. АВСВ — четырехугольник, M1, M2, M3, M4 — центры масс треугольников
АВС, ВСВ, СВА, ВАВ. Докажите, что четырехугольники АВСВ и M1M2M3M4 подобны.
43. Длины оснований трапеции 6 и 12 см. Середину каждого основания соединили с концами другого основания, построенные отрезки пересеклись в точках М и N. Найдите расстояние между М и N.
44. Основания трапеции 12 и 36 см. Середину меньшего основания соединили с концами второго основания. Эти отрезки пересекли диагонали трапеции в точках М и N. Найдите расстояние между М и N.
45. В окружность вписан выпуклый четырехугольник АВСD. Докажите, что АС •
ВD = АВ • СВ + ВС • АВ.
46. Две хорды пересекаются внутри окружности. Докажите что произведения отрезков этих хорд равны.
47. Две хорды взаимно перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов отрезков этих хорд равна квадрату диаметр окружности.
48. Окружность проходит через вершину А параллелограмма АВСВ и пересекает прямые АВ, АС, АВ в точках Е С|, г>1. Докажите, что АВ • АВ + АВ • АВ^ ==
АС • АС (Рис. 40).

Ломаная

49. Ломаная состоит из 7 звеньев, угол между каждыми двумя смежными звеньями 150°. Докажите, что эта ломан; имеет два звена, которые лежат на одной прямой или параллельны.
50. Даны п > 2 точек, не все из которых лежат на одной при мой. Докажите, что можно построить простую замкнутую ломаную, на звеньях которой размещаются все данные точки.
51. Сторона квадрата 12 см. Внутри его помещена ломаная длиной 51 см.
Докажите, что эта ломаная имеет не менее четырех звеньев.
52. На сторонах треугольника АВС вне его построены квадраты с центрами
0, Оч, Оз. Точки Ао, Во, Со — середины сторон треугольника АВС, СцАоОдВ — параллелограмм (рис. 41). Докажите, что ломаные 0ВСоОз и О^ВцСоВ равны.
53. Используя результат задачи 52, докажите, что отрезки 0у. и О^В равны и взаимно перпендикулярны. Выведите отсюда один из путей построения треугольника по центрам квадратов, построенных на его сторонах вне треугольника.
54. Замкнутая ломаная состоит из 1989 звеньев и не имеет самопересечений.
Докажите, что прямая, не проходящая ни через одну вершину ломаной, не пересекает всех звеньев этой ломаной.
55. Турист двигался по ломаной, все звенья которой имели одинаковую длину, и записывал повороты, которые делал в ее вершинах: вправо 15°, 30°,
90°, 105°, влево 120°, вправо 75°, 30°, 90°. Был ли его маршрут замкнутым?

Многоугольник

56. У выпуклого многоугольника 1000 вершин, внутри него даны 2000 точек.
Среди этих 3000 точек (вершин и данных) никакие три не лежат на одной прямой. Многоугольник разбит на треугольники, вершинами которых являются только точки из числа названных. При этом треугольники не перекрываются и каждая из 3000 точек является вершиной хоть одного треугольника. Определите общее число треугольников.
57. Докажите, что у выпуклого многоугольника имеется диагональ, которая больше, по крайней мере, двух его сторон.
58. Какое наибольшее число прямых углов может быть среди внутренних углов выпуклого многоугольника?
59. Каждая сторона п-угольника является диаметром круга. Зная, что эти круги содержат все внутренние точки многоугольника, определите возможные значения п.
60. Докажите, что пластинку в форме выпуклого пятиугольника можно разрезать на три трапеции.
61. Докажите, что выпуклый га-угольник (п ~> 4) можно разделить на п — 2 трапеции.
62. Диагональ делит выпуклый пятиугольник на ромб АВВЕ и равносторонний треугольник ВСВ. Найдите угол АСЕ.
63. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны диагоналям некоторого пятиугольника.
64. Постройте пятиугольник по положению середин всех его сторон.
65. Постройте пятиугольник по положению середин всех его диагоналей.
66. АВСВЕР — шестиугольник, середины сторон которого К, Ь, М, К, О, Р.
Докажите, что центры масс треугольников КМО и ШР совпадают.
67. В окружность вписан выпуклый семиугольник, у которого градусные меры трех углов равны по 120°. Докажите, что среди сторон этого семиугольника есть две равные.
68. Стороны треугольника 5, 6, 10 см. Три прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника, попарно пересекаются вне треугольника.
Эти прямые пересекают стороны треугольника так, что образуется равносторонний шестиугольник. Найдите его периметр.
69. Все углы выпуклого шестиугольника равны. Докажите, что разности длин его параллельных сторон одинаковы.

Площадь прямоугольника

70. Меньшая из боковых сторон прямоугольной трапеции а. Другая боковая сторона равна сумме оснований. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям названной трапеции.
71. Диагонали ромба 30 и 40 см. Вписанная в ромб окружность касается его сторон в точках А, В, С, В. Найдите площадь четырехугольника АВСВ.
72. Длины сторон прямоугольника а и Ь. Как разрезать его на две части, из которых можно сложить квадрат, если: а) о = 8 см» Ъ = 18 см; б) о == 9 см, Ь === 16 см?
73. Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами в сантиметрах, причем периметр (в сантиметрах) и площадь (в квадратных сантиметрах) выражены одинаковыми числами. Найдите площадь прямоугольника.
74. Расстояния внутренней точки М от трех вершин квадрата АВСВ такие: МА
== 7 см, МВ = 17 см, МС == 23 см. Найдите площадь квадрата.
75. Даны три параллельные прямые, средняя из которых удалена от двух других на о и Ь. Найдите площадь квадрата, три вершины которого находятся на этих прямых.
76. В окружность радиуса Д вписан прямоугольник периметра Р. Найдите площадь прямоугольника.

Площадь параллелограмма

77. Найдите площадь параллелограмма по его периметру Р и двум высотам —
Н и Н 6 8.
86. Найдите углы треугольника, у которого 8 (о2 + Ь2).
87. Докажите, что в каждом треугольнике
— аЬ + Ь2).
88. Верно ли, что в треугольнике со сторонами а, Ь, с и высотами На, Ъ.ь,
Нс: (а + Ь + с)
•+ь+

89. Длины двух сторон треугольника а и Ь, биссектрисы углов при третьей стороне пересекаются под углом 15°. Найдите площадь треугольника.

90. Два равных прямоугольника имеют общую диагональ, докажите, что площадь их общей части больше половины площади каждого прямоугольника.

91. Докажите, что площадь четырехугольника не больше произведения полу сумм длин противоположных сторон.

92. Около квадрата АВСВ описана окружность. Найдите на ней такую точку М, чтобы произведение МА • МВ • МС • МВ имело наибольшую возможную величину.

93. Площадь параллелограмма АВСВ равна О. Вершина М параллелограмма АМКВ делит ВС так, что ВМ : МС ===3:5. Найдите площадь общей части параллелограммов.

94. Площадь четырехугольника