Введение.

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).

Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в планиметрии- геометрии на плоскости - не нужно. Ведь если мы, например, говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той же единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже с несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым, расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать отдельно.

План.

I. Основные аксиомы стереометрии--------------- 4 II. Прямые, плоскости, параллельность------------ 6
III. Изображение пространственных фигур------ 7 IV. Перпендикулярность.
Углы. Расстояния----- 12 V. Несколько задач на построение, воображение, изображение и соображение------------------------ 17

I.Основные аксиомы стереометрии

Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.

Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение:

. Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)

Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:

. Через любые три точки проходит плоскость.

С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.

Аксиома пересечения плоскостей звучит так:

. Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

. (рис.2)

Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная.

Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.

Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.

В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.

Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости ? (рис. 3). Вне плоскости ? есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскость ?.
Она отлична от плоскости ?, так как содержит С и имеет с ? две общие точки.
Значит, ? пересекается с ? по прямой, которой, как и l, принадлежат А, В.
По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия лежит в плоскости ?, что и требовалось доказать.

Путем несложных доказательств мы находим, что:

. На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.

II. Прямые, плоскости, параллельность.

Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в новом определении: две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:

. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.

Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое транзитивностью параллельности:

. Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу.

Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.
На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В№С№ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии.
Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C№D№, потому что обе они параллельны общей стороне CD содержащих их квадратов.

В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:

. Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.

. Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.

Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости:

. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.

А вот признак параллельности плоскостей:

. Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.

Часто используется и такая простая теорема:

. Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А№В№ параллельна плоскости АВСD
(так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А№В№С№D№ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A№B№ и B№С№ в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример.
Плоскость, содержащая параллельные прямые AA№ и СС№, пересекают параллельные плоскости АВСD и A№B№C№D№ по прямым АС и А№С№, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В№С и А№D.
Следовательно, параллельные плоскости АВ№С и А№DC, пересекающие куб по треугольникам.

III. Изображение пространственных фигур.

Есть такой афоризм «Геометрия — это искусство правильно рассуждать на неправильном чертеже». Действительно, если вернуться к изложенным выше рассуждениям, то окажется: единственная польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на объяснении обозначений.
С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на рис. 4, я, хотя, очевидно, представленное на нём «нечто» не только не куб, но и не многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена лишь часть правды.
Ведь прежде, чем «рассуждать» — излагать готовое доказательство, надо его придумать. А для этого нужно ясно представлять себе заданную фигуру, соотношения между её элементами. Выработать такое представление помогает хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в стереометрии удачный чертёж может стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.

Художник (вернее, художник-реалист) нарисует наш куб таким, каким мы его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или центральной проекции. При центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а произвольная точка Х изображается точкой X', в которой а пересекается с прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямолинейное расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в пересекающиеся, не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы.
Изучение её свойств привело к появлению важного раздела геометрии (см. статью «Проективная геометрия»).

Но в геометри-ческих чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно сказать, что она получается из централь-ной когда центр О уда-ляется в бесконечность и прямые ОХ становятся параллельными.

Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х прямую, параллельную l. Точка X', в которой эта прямая встречается с а, и есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7).
Проекция фигуры состоит из проекций всех её точек. В геометрии под изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.

В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в исключительном случае, когда прямая параллельна направлению проекции) точка. На изображении параллельные прямые так и остаются параллельными, сохраняется здесь и отношение длин параллельных отрезков, хотя сами длины и изменяются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку основного свойства параллельной проекции:

. Если АВ =k CD, а A№,B№,C№ и D№- проекции точек A,B,C и D, то

A№B№= k C№D№.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство — совпадение не только длин, но и направлений (рис. 7). Таким образом, если задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX = kAB на параллельной проекции и оригинале одинаков. Аналогично, по изображениям трёх точек, не лежащих на одной прямой, однозначно восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы предопределяем изображения всех точек пространства.

В то же время изображением данной тройки точек, т. е. треугольника, может служить треугольник любой заданной формы. В этом легко убедиться: проведём через сторону Поданного треугольника ЛВС любую плоскость а, построим в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС на ? вдоль прямой l = СС№ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равнобедренный прямоу-гольный треугольник и достроив его до квадрата ABCD, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в любой параллело-грамм.
Более того, можно доказать, что изображе-нием любой данной треу-гольной пирамиды могуг быть любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, вместе с соединяющими их отрезками.

Правильно выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём, например, отношения, в которых треугольное сечение A№BD нашего куба (рис.
9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В№С№. Посмотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ№, а точнее говоря, спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА№С№С. Понятно, что проекцией будет сам прямоугольник АА№С№С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут; рис. 9, б); рассматриваемое сечение превратится в отрезок (рис. 9, б), а точки Р и Q станут серединами отрезков А1) и ВiCi. Очевидно, что на нашем рисунке A№Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1 : 3. В силу основного свойства параллельной проекции, это равенство верно и в пространстве. Та же проекция позволяет найти отношение между частями любого проведённого в кубе отрезка, на которые он рассекается плоскостью A№BD: в частности, отрезок KQ, где К — середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а диагональ АС, — в отношении 1:2.
Ещё эффектнее решения планиметрических задач, которые получают, «выходя в пространство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется построить треугольник с вершинами на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов
АОВ, ВОС к СОА точки Р, Q и R.

Это очень трудная задача. Но если мы догадаемся посмотреть на её чертёж (рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на его гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10, б; кстати сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость
ОАВ; получаем точки R№ и Q№. Плоскость искомого сечения пересекает плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее очевидно.

IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.

До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте, нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие перпендикулярности, известное из планиметрии.

Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.

Например, ясно, что ребро АА№ нашего куба перпендикулярно основанию
АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно того, что АА№ составляет прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

. Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b, то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.

Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны параллельные им прямые, проходящие через произвольно взятую точку, в частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:

. Через данную точку в пространстве можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также одну и только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно ортогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать при решении задач о расстояниях и углах в пространстве.

Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):

. Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой плоскости тогда, когда её проекция а№ на плоскость перпендикулярна l.

Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равносильны тому, что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.

Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC№ на основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх перпендикулярах, и сама диагональ АС№ перпендикулярна BD. По такой же причине перпендикулярны АС№ и А№В. Отсюда следует, что диагональ перпендикулярна «треугольному сечению» A№BD.

В стереометрии помимо обычных плоских

углов приходится иметь дело ещё с тремя видами углов. Угол между скрещи- вающимися прямыми, по определению, равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая и плоскость перпендикулярны, его принимают равным 90°. Это наименьший из углов между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол между пересекающимися плоскостями измеряется углом между перпендикулярами, проведёнными в этих плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все названные углы принимают значения в промежутке от 0 до 90°.

Найдём, например, угол между диагоналями А№В и В№С граней нашего куба
(рис. 14). Заменим прямую В№С на параллельную ей диагональ A№D противоположной грани; искомый угол равен углу BA№D, т. е. 60° (треугольник
BA№D равносторонний). Угол между диагональю АС№ и основанием куба равен углу САС№ между прл* мой ас№ и её проекцией АС на основание, т.е. arctg
(C№C/AC) = arctg (1/?2]. А угол между плоскостями BDA№ и BDC№ (рис. 14) равен углу А№МС№, где М — середина BD, так как прямые МА№ и МС№ лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт arccos (1/3)).

Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).

Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость ?, параллельную прямой b
(рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b№ прямой b на ? и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и равна расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.

Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной фигуры. На рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции куба '„' ребром длины и: прямоугольник размером а * а?2 (проекция на диагональную плоскость АСС№А№ или, что то же, вдоль диагонали BD основания): и правильный шестиугольник со стороной а?2/3
(проекция вдоль диагонали куба АС№; мы видели, что прямая АС№ перпендикулярна плоскости BDA№, а потому правильный треугольник BDA, со стороной а?2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции можно найти, например, угол между плоскостями BDA№ и BDC№ — он равен углу между красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А расстояние r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В№С равно расстоянию на рис. 16, а от точки В до прямой В№С (В и B№C — изображения первой и второй диагоналей соответственно). Подумайте почему. (Здесь важно, что общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко найти, что r= а/?3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между прямыми BD и АС№ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС№ превращается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до
BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/?6.

Отметим интересное соотношение, связывающее площадь фигуры, площадь её проекции и угол между плоскостями:

. Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади

S многоугольника, умноженной на cos ?, где ?- угол между его плоскостью и плоскостью проекции:

Это очевидно для треугольника, одна из сторон которого совпадает с линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой многоугольник можно разбить на такие треугольники. Приближая криволинейные фигуры многоу-гольниками, получим, что формула площади проекции справедлива и для них.
V. Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и соображение.

ЗАДАЧА 1.
По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра многоугольника, расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник спереди и сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на изображении нет- значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?

ЗАДАЧА 2.
Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с тремя четырехугольными гранями и двумя треугольными?

ЗАДАЧА 3.
На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно, то как?

ОТВЕТЫ.
1.

2. Нет. Прямые AD, BE, CF должны пересекаться в одной точке.
3. Можно. Отрезки пересекаются (т.е. лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда либо точка пересечения синих прямых лежит на прямой АВ, либо они параллельны.
-----------------------
.C

Рис. 2

l

Рис. 1

.

.

A

B

Рис. 3

?

?

Рис. 4

С

В

А

D

C№

Рис. 5

D№

A№

B№

а

б

Рис. 6

?

D№

D

C

B

B№

A

A№

C№

Рис. 7

l

Рис. 8

Рис. 9

B№(=D№) Q

Р(=К’) B(=D)

М

А

А№

С

С№

R№

E

M

Q№

R

Q

С

О

А

В

Р

R

Q

С

О

А

В

Р

Рис. 10

l

?

a

a№

Рис. 11

B№

A№

C№

D№

D

C

B

A

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

A

b

b№

a

?

а

б

б

B№

B

A№

D№

C

D

A(=C№)

а

r

B№(=D№)

B(=D)

A

C№

C

A№

Рис. 16

?

h

Рис. 17

Рис. 18

B

C

A

Рис. 19

F

D

?

Рис. 20

E

?

РЕФЕРАТ

на тему:

«Геометрия в пространстве».

ученик 9 «А» класса гимназии № 6
Гейко Денис.

__________________

ПОДГОТОВИЛ:

ПРОВЕРИЛ:

Ежегодная научная пресс-конференция, гимназия №6, г. Хабаровск

2001 год.