Равномерная непрерывность

Определение 28.7: Функция [pic]называется равномерно непрерывной на множестве [pic], если: [pic]. (в отличие от критерия Коши: [pic]).

Пояснение: [pic] Пусть: [pic]. Тогда: [pic] Т.е. функция [pic]не является равномерно непрерывной на множестве [pic].
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Если функция [pic]определена и ограничена на отрезке [pic], и если [pic]можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на [pic]. Причём общая длина этих интервалов меньше
[pic]. То [pic]- интегрируема на [pic].

Замечание: Очевидно, что если [pic]- интегрируема на [pic], а
[pic]отличается от [pic]только в конечном числе точек, то [pic]- интегрируема на [pic]и [pic].

Существование первообразной
Определение 28.9: Пусть [pic]- интегрируема на [pic], [pic], тогда:
[pic]функция [pic]интегрируема на [pic]и функция [pic]называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция [pic]- интеграл с переменным нижним пределом.
Теорема 28.6: Если функция [pic]- непрерывна на [pic], то у неё существует на [pic]первообразная, одна из которых равна: [pic], где [pic].

Замечание 1: Из дифференцируемости функции [pic]следует её непрерывность, т.е. [pic]

Замечание 2: Поскольку [pic]- одна из первообразных [pic], то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных:
[pic]. Это связь между определённым и неопределённым интегралами

Интегрирование подстановкой

Пусть для вычисления интеграла [pic]от непрерывной функции сделана подстановка [pic].
Теорема. Если 1. Функция [pic]и ее производная [pic]непрерывны при [pic]
2. множеством значений функции [pic] при [pic]является отрезок [a;b]
3. [pic], то [pic]=[pic].
Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница [pic]=[pic]. Т.к. [pic], то [pic]является первообразной для функции [pic], [pic]. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
[pic]=[pic][pic].
Формула замены переменной в определенном интеграле.

1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2. часто вместо подстановки [pic]применяют подстановку t=g(x)

3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной. а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл [pic]. Предположим, что существуют дифференцируемая функция [pic]и функция [pic]такие, что подынтегральное выражение [pic]может быть записано в виде:
[pic].
Тогда: [pic]. Т.е. вычисление интеграла [pic]сводится к вычислению интеграла [pic](который может оказаться проще) и последующей подстановке
[pic].
Пример: Вычислить [pic].
[pic].
Подстановка: [pic]. б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл [pic], где [pic]. Введём новую переменную формулой: [pic], где функция [pic]дифференцируема на [pic]и имеет обратную [pic], т.е. отображение [pic]на [pic]- взаимно-однозначное.
Получим: [pic]. Тогда [pic]. Т.е. вычисление интеграла [pic]сводится к вычислению интеграла [pic](который может оказаться проще) и последующей подстановке [pic].
Пример: Вычислить [pic].
[pic], откуда: [pic].
Интегрирование по частям. Пусть [pic]- дифференцируемые функции, тогда справедлива формула: [pic], или короче: [pic]. Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение [pic]можно так представить в виде [pic], что интеграл [pic]вычисляется проще исходного.
Пример: Вычислить [pic].
Положим [pic]. Тогда [pic]. В качестве [pic]выберем первообразную при
[pic]. Получим [pic]. Снова [pic]. Тогда [pic]. Окончательно получим:
[pic].

Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла [pic]методом интегрирования по частям получается зависимость: [pic]. Откуда можно получить выражение для первообразной: [pic].

Интегрирование рациональных функций

Постановка задачи:[pic][pic] [pic]
|1). [pic] |2). [pic] |
|3). [pic] |

т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1: Пусть [pic], тогда, если: [pic], где [pic], то [pic][pic]Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:
|1. [pic] |2. [pic] |3. [pic] |4. [pic] |5. [pic] |
|6. [pic] |7. [pic] |8. [pic] |9. [pic] |10. [pic]. |

Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
[pic]
Сделав подстановку: [pic], получим: [pic]. тогда [pic]
[pic] a). Подстановки Эйлера.
1). Корни многочлена [pic]- комплексные, сделав подстановку: [pic], получим: [pic].
2). Корни многочлена [pic]- действительные: [pic]. Подстановка: [pic], получаем: [pic]. b). Подстановка: [pic], далее, если:
|1). [pic]подстановка - [pic] |2). [pic]подстановка - [pic] |
|3). [pic]подстановка - [pic] |

c).
Если [pic]подстановка - [pic]

Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических

[pic]
Универсальная подстановка: [pic], тогда: [pic]
[pic]подстановка: [pic]
[pic]или [pic]- нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциала
Интегрируется по частям

Неопределенный интеграл

Определение 26.1: Функция [pic]называется первообразной для функции [pic]на
[pic], если: [pic].
Пусть [pic]и [pic]- первообразные функции [pic]на [pic]. Тогда: [pic].
Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции [pic]на
[pic]называется объединение всех первообразных [pic]на этом интервале.
Обозначается: [pic].

Замечание 26.1: Если [pic]- одна из первообразных [pic]на [pic], то [pic].

Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной [pic]на [pic], т.е. [pic].

Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции.
Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
[pic], [pic]
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:
[pic]
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
[pic], где a[pic]0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
[pic]
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если[pic], то и [pic], где u=[pic]- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.

Табличные интегралы

|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |

Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка [pic]таких, что: [pic]называют разбиением отрезка [pic]. Длины частичных отрезков разбиения обозначим:
[pic]. Мелкостью разбиения [pic](читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. [pic].
Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех [pic]точки [pic].
Интегральной суммой функции [pic]на отрезке [pic]с разбиением [pic]будем называть сумму (зависящую от разбиения [pic]и выбора точек [pic]) вида:
[pic].
Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции [pic]на отрезке
[pic]назовём такое число [pic], что [pic]. Обозначается: [pic].
Определение 28.4: Функция [pic]называется интегрируемой на отрезке [pic], если существует конечный предел её интегнральных сумм на [pic].
Обозначается: [pic].
Теорема 28.1: Если [pic]интегрируема на отрезке [pic], то она ограничена на нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: [pic].
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: [pic].
Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: [pic].
Определение 28.8: Определённым интегралом функции [pic]на [pic]называется число [pic], равное пределу интегральных сумм [pic]на [pic]. Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.

Свойства определённого интеграла
1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то
[pic], т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег- ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на
[a;b] их сумма и разность
[pic], [pic]
3. Если [pic], то: [pic]
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a