Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвлений математики,
получившим название „евклидова геометрия". Столь прочная слава закрепилась
за Евклидом заслуженно, благодаря его труду ..Начала". В школах всего мира,
долгие столетия геометрия преподавалась по ..Началам" Евклида. В английских
школах до сегодняшнего дня учебники геометрии по своей форме напоминают
этот ученый трактат. В мировой литературе „Начала" принадлежат к числу
самых популярных и распространенных математических трудов. Несмотря на
столь огромную популярность Евклида как автора ..Начал", сам он, его облик
и жизненный путь известны очень мало. Нет исторически верных сведений о его
жизни, неизвестны даже точные даты его рождения и смерти. По сведениям
оставленным потомству Проклом (410—485), автором комментариев к „Началам",
деятельность Евклида проходила во время правления Птолемея Сотера 1
(305—282 гг до н.э.). При этом царе, столица Египта Александрия стала
центром научной и культурной жизни тогдашнего мира, и привлекала к себе
многих выдающихся ученых со всех сторон, в частности, из Греции. В
знаменитой в те времена Александрийской школе работали тогда многие светила
математики и среди них Евклид, который был одним из первых ее
преподавателей. Дошедшие до нас произведения Евклида, свидетельствуют о
том, что это был весьма способный и даже талантливый преподаватель.
Существует мнение, что Евклид был воспитанником Платоновской академии, где,
имея доступ к лучшим трудам греческих математиков и философов, достиг высот
тогдашних научных знаний. Действительно, произведения Евклида носят на себе
признаки увлечения платоновской философией: Евклид, например, в своих
трактатах весьма тщательно избегает проблем практического порядка.
Некоторый свет на Евклида как человека, математика и философа, проливают
два анекдота, правдивость которых, впрочем, как и правдивость вообще всех
анекдотов, может быть взята под сомнение. Рассказывают, например, что
однажды царь Птолемей 1, листая книгу ..Начал" обратился к автору с
вопросом нет ли более простых путей к овладению наукой геометрии, на что
Евклид ответил: В геометрии нет особых дорог даже для царей". В другом
анекдоте говорится, чтр один из учеников Евклида, изучая геометрию и
ознакомившись с первой аксиомой спросил что ему даст изучение геометрии?
Вместо ответа Евклид подозвал невольника и распорядился. „Дай ему обола,
ибо этот человек ожидает прибыли от науки". Математик Папп (320 г. н. э.)
восторгается необыкновенной честностью, скромностью, кротостью и
одновременно независимостью, какими чертами характера отличался Евклид.
Евклид был весьма плодовитым автором различных трудов. Известно, что его
перу принадлежит не менее 10 трактатов, из которых „Начала", состоящие из
13 книг считаются крупнейшим произведением в истории математики. Это
первый, сохранившийся математический трактат, в котором со всей полнотой
отразился дедуктивный метод. ..Начала" носят характер учебника, в котором
Евклид дал полный свод математических знаний своих предшественников. Таким
образом, Евклида трудно считать самостоятельным автором содержания „Начал",
за небольшими исключениями, касающимися конусных сечений и сферической
геометрии. Но в „Началах" Евклид проявил себя великолепным систематиком и
выдающимся педагогом из всех существовавших за всю историю математики.
..Начала" были написаны около 300 года до н.э., но древнейшие,
сохранившиеся рукописи на греческом языке восходят всего лишь к Х ве нашего
летосчисления. Со времен 1 века нашей зр' • ранилось только несколько
отрывков папируса с ским текстом. Несмотря на отсутствие оригинг даря
кропотливому труду ученых, сравнили внейшие, сохранившиеся рукописи,
удалось с полной достоверностью восстановить первоначальный текст
замечательного труда Евклида. Из тринадцати книг ..Начал" первая, вторая,
третья и четвертая а также шестая, посвящены геометрии на плоскости, в
одинадцатой, двенадцатой и тринадцатой приведены основы стереометрии,
остальные книги ..Начал" посвящены теории пропорций и арифметике. В начале
труда Евклид приводит десять первичных теорем — без доказательств, из
которых пять первых назвал аксиомами, а остальные — постулатами и ввел
необходимое число определений. Опираясь на этой сиСтеме аксиом и
постулатов, Евклид дает доказательства 465 теорем распределенных в цепочку,
очередные звенья которой логически вытекают из предыдущих звеньев или из
аксиом. Пятая, так называемая ,,Аксиома параллельности" на целые века
заняла умы многих математиков. Сначала, как например, Птолемей в древности
и потом, уже в XVIII веке ученые пытались дать доказательство этой аксиомы
и после многих неудачных попыток приняли четыре первые аксиомы без
доказательств; в конце концов, отказ от пятой аксиомы привел к
возникновению новой теории, получившей название неевклидовой геометрии.
Одна из теорем, приведенная в „Началах", авторство которой приписывается
Евклиду, известна из школьного курса и гласит: ..Площадь квадрата
построенного на высоте прямоугольного треугольника опущенной из прямого
угла на гипотенузу, равновелика площади прямоугольника со сторонами равными
отрезкам гипотенузы, полученными от пересечения ее высотой" Другие
произведения Евклида не сохранились. О том, что они существовали
свидетельствуют упоминания в трудах других математиков.
Историю древнегреческой математики можно подразделить на три периода:
первый — необыкновенно буйное, почти стихийное развитие, второй — период
сомнений, критического отношения к новым трудам и, наконец, третий — период
упорядочения результатов полученных великими учеными прошлого.
Труд Евклида относится именно к этому последнему периоду.
Велики заслуги Евклида. О том, как высоко оценены его труды,
свидетельствует факт, что „Начала" оставались фундаментальным
математическим трудом на протяжении свыше 2000 лет.
Как известно, в III веке до нашей эры греческий геометр Евклид в своей
книге «Начала» сформулировал систему аксиом, из которых последовательно,
одна за другой, выводятся все основные теоремы геометрии. И никогда не
получалось двух противоречащих друг другу теорем, доказательства которых
равноправно вытекали бы из принятой системы аксиом. Это означает, что
аксиоматика Евклида непротиворечива.
Аксиомы евклидовой геометрии являются продуктом повседневных человеческих
наблюдений, кроме одной — аксиомы о параллельных, называемой также пятым
постулатом. Кто сформулирует эту аксиому?
Ученик. Насколько я помню: через точку вне прямой можно провести в их
плоскости только одну прямую, не пересекающую данной.
Ведущий. У Евклида в «Началах» несколько иная формулировка, но суть та
же. И вот эту аксиому, в отличие от остальных, никаким опытом не
подтвердишь, не опровергнешь, ведь на практике воспроизводимы лишь отрезки
прямых, но никогда сами прямые во всей их бесконечной протяженности.
Ученик. Но если этот пятый постулат непроверяем физически, то, может
быть, следовало исключить его из числа аксиом и доказывать как теорему,
опираясь на остальные аксиомы?
Ведущий. Так оно и было. Веками длились попытки придумать доказательство
— не удавалось никому. В тайну этих неудач именно и проник Н. И.
Лобачевский глубоко и окончательно: пятый постулат недоказуем и от
-господствовавшего бо лее двух тысяч лет убеждения, чт( евклидова геометрия
есть единствен ная мыслимая система геометриче ского познания мира,
необходимо от казаться.
1-й ученик. Вечный... пятый. От Евклида
И до этих вот снегов
Постулат, как черный идо
В жертву требует умов...
2-й ученик. «Постулат недоказуем!»
Даже страшно произнесть.
Ах, догматики! Грозу им
Принесет такая весть.
3-й ученик. На уроках геометрии учитель говорил нам, что Лобачевский
создал «неевклидову геометрию», в которой через точку можно провести более
одной линии, не пересекающей данную прямую.
Ведущий. Верно. Лобачевский заменил евклидов пятый постулат более общей
аксиомой параллельности, сохранив прочие аксиомы и постулаты. Чтобы легче
было понять смысл аксиом Лобачевского, возьмем прямую АВ и -вне ее точку С.
Пусть САВ прямой.
Построим луч СD, пересекающий прямую АВ в точке D, лежащей вправо от
точки А, и вообразим, что он вращается против часовой стрелки. По мере
вращения луча СD непосредственное наблюдение пересечения его с АВ
становится неосуществимым. По этой причине будет логически правомерным
изменить наше представление о прямой линии и луче, которое теперь позволило
бы нам вообразить, что луч СD в какой-то момент своего вращения
«отрывается» от прямой АВ, т. е. перестает иметь с ней общую точку.
Тогда «прямую» (аа'), содержащую луч, впервые «оторвавшийся» от АВ,
назовем прямой, параллельной прямой АР в направлении луча АВ.
Рассмотрев симметрию с осью 4С, видим, что есть «прямая» (ЬЬ'),
симметричная «прямой» {аа') и проходящая через точку С (рис. 39). Ясно, что
и эту «прямую» (ЬЬ') следует считать параллельной АВ, но уже в направлении
луча АВ'. Следовательно, через С проходят две «прямые», параллельные прямой
ВВ'.
С каждой из этих «прямых» луч СА, перпендикулярный прямой В'В, образует
угол л(р), названный Лобачевским углом параллельности. Угол ( (р) зависит
от длины СА==р и имеет следующее свойство: все прямые, проходящие через С и
образующие с перпендикуляром СА угол, меньший л (р), пересекают В'В, все
остальные «прямые», проходящие через С , не пересекают В'В, их называют
расходящимися прямыми или сверхпараллелями к прямой В'В. Через С проходит
бесконечное множество таких «прямых».
В частном случае, когда ( (р) ==90°, получается постулат Евклида и
соблюдаются все предложения обычной геометрии, «употребительной», как
называл ее Н. И. Лобачевский.
Угол ( (р) возрастает и приближается к прямому углу при приближении точки
С к прямой В'В .
Из допущения, что ( (р)