Реферат: Трехмерная графика. Теория
Краткие теоретические сведения.
Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел ((x,y,z,1) или, более обще, (hx,hy,hz,h), где 
). Эта четверка определена однозначно с точностью до общего множителя. Предложенный подход дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных , трехмерных задачах.
Как известно, любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений растяжений, отражений и переносов. Поэтому достаточно подробно описать матрицы только этих последних преобразований.
A. Матрицы вращения в пространстве.
Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол q:
Матрица вращения вокруг оси ординат на угол w:
Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол x:
Б. Матрица растяжения (сжатия):
здесь a>0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси абсцисс,b>0-коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси ординат,y>0-коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси аппликат.
В. Матрица отражения .
Матрица отражения относительно плоскости xOy:
Матрица отражения относительно плоскости yOz:
Матрица отражения относительно плоскости zOx:
Г. Матрица переноса :
Здесь (r,q,v)-вектор переноса.
Заметим, что, как и в двумерном случае , все выписанные матрицы не вырождены.
Ортографическая проекция - картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей. Матрица проектирования вдоль оси Х на плоскость YOZ имеет вид
В случае , если плоскость проектирования параллельна координатной плоскости, необходимо умножить матрицу [Px] на матрицу сдвига . Имеем
Аналогично записываются матрицы проектирования вдоль 2-х координатных осей:
Аксонометрическая проекция - проектирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости .
Различают три вида проекций в зависимости от взаимного расположения плоскости проектирования и координатных осей:
триметрия-нормальный вектор картинной плоскости образует с ортами координатных осей попарно различные углы(рис.15);
диметрия-два угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны (рис. 16).
- изометрия-все три угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны (рис. 17).
Каждый из трех видов указанных проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проектирование.
Перспективные (центральные) проекции строятся более сложно . Предположим что центр проектирования лежит на оси Z - C (0,0,c) а плоскость проектирования совпадает с координатной плоскостью XOY (рис. 19) . Возьмем в пространстве произвольную точку M(x,y,z), проведем через нее и точку С прямую и запишем ее параметрические уравнения . Имеем:
X`= xt , Y`=yt, Z`= c+(z-c)t
Найдем координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью XOY. Из того , что z`=0, получаем
Тот же самый результат мы получим, привлекая матрицу
В самом деле,
Mатрица проектирования, конечно, вырождена ; матрица же соответствующего перспективного преобразования(без проектирования) имеет следующий вид
Язык С++ предоставляет очень удобные средства, позволяющие заметно упростить работу с векторами и преобразованиями в пространстве.
Рассмотрим реализацию работы с векторами.
// Файл vector.h
#ifndef __VECTOR__#define __VECTOR__#include class Vector{public: double x, y, z; Vector () {}; Vector ( double v ) { x = y = z = v; };
Vector ( const Vector& v ) { x = v.x; y = v.y; z = v.z; };
Vector ( double vx, double vy, double vz ) { x = vx; y = vy; z = vz; };
Vector& operator = ( const Vector& v ) { x = v.x; y = v.y; z = v.z;
return *this; }
Vector& operator = ( double f ) { x = y = z = f; return *this; };
Vector operator - () const;
Vector& operator += ( const Vector& );
Vector& operator -= ( const Vector& );
Vector& operator *= ( const Vector& );
Vector& operator *= ( double );
Vector& operator /= ( double );
friend Vector operator + ( const Vector&, const Vector& );
friend Vector operator - ( const Vector&, const Vector& );
friend Vector operator * ( const Vector&, const Vector& );
friend Vector operator * ( double, const Vector& );
friend Vector operator * ( const Vector&, double );
friend Vector operator / ( const Vector&, double );
friend Vector operator / ( const Vector&, const Vector& );
friend double operator & ( const Vector& u, const Vector& v )
{ return u.x * v.x + u.y * v.y + u.z * v.z; };
friend Vector operator ^ ( const Vector&, const Vector& );
double operator ! () { return (double) sqrt ( x * x + y * y + z * z ); };
double& operator [] ( int n ) { return *( &x + n ); };
int operator < ( double v ) { return x < v && y < v && z < v; };
int operator > ( double v ) { return x > v && y > v && z > v; };
};
class Ray
{
public:
Vector Org;
Vector Dir;
Ray () {};
Ray ( Vector& o, Vector& d ) { Org = o, Dir = d; };
Vector Point ( double t ) { return Org + Dir * t; };
};
inline Vector Vector :: operator - () const
{
return Vector ( -x, -y, -z );
}
inline Vector operator + ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.x + v.x, u.y + v.y, u.z + v.z );
}
inline Vector operator - ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.x - v.x, u.y - v.y, u.z - v.z );
}
inline Vector operator * ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.x * v.x, u.y * v.y, u.z * v.z );
}
inline Vector operator * ( const Vector& u, double f )
{
return Vector ( u.x * f, u.y * f, u.z * f );
}
inline Vector operator * ( double f, const Vector& v )
{
return Vector ( f * v.x, f * v.y, f * v.z );
}
inline Vector operator / ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.x / v.x, u.y / v.y, u.z / v.z );
}
inline Vector operator / ( const Vector& u, double f )
{
return Vector ( u.x / f, u.y / f, u.z / f );
}
inline Vector& Vector :: operator += ( const Vector& v )
{
x += v.x;
y += v.y;
z += v.z;
return *this;
}
inline Vector& Vector :: operator -= ( const Vector& v )
{
x -= v.x;
y -= v.y;
z -= v.z;
return *this;
}
inline Vector& Vector :: operator *= ( const Vector& v )
{
x *= v.x;
y *= v.y;
z *= v.z;
return *this;
}
inline Vector& Vector :: operator *= ( double v )
{
x *= v;
y *= v;
z *= v;
return *this;
}
inline Vector& Vector :: operator /= ( double v )
{
x /= v;
y /= v;
z /= v;
return *this;
}
inline Vector Normalize ( Vector& v ) { return v / !v; }
Vector RndVector ();
Vector& Clip ( Vector& v );
#endif
----------------------------------------------------------------------------
// Файл vector.срр
#include
#include
#include "vector.h"
Vector operator ^ ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.y * v.z - u.z * v.y,
u.z * v.x - u.x * v.z,
u.x * v.y - u.y * v.x );
}
Vector RndVector ()
{
Vector v ( rand () - 0.5 * RAND_MAX,
rand () - 0.5 * RAND_MAX,
rand () - 0.5 * RAND_MAX );
return Normalize ( v );
}
Vector& Clip ( Vector& v )
{
if ( v.x < 0.0 ) v.x = 0.0;
else
if ( v.x > 1.0 ) v.x = 1.0;
if ( v.y < 0.0 ) v.y = 0.0;
else
if ( v.y > 1.0 ) v.y = 1.0;
if ( v.z < 0.0 ) v.z = 0.0;
else
if ( v.z > 1.0 ) v.z = 1.0;
return v;
}
С этой целью создается класс Vector, содержащий в себе компоненты вектора, и для этого класса переопределяются основные знаки операций.
- - унарный минус и поэлементное вычитание векторов;
+ - поэлементное сложение векторов;
* - умножение вектора на число;
* - поэлементное умножение векторов;
/ - деление вектора на число;
/ - поэлементное деление векторов;
& - скалярное произведение векторов;
^ - векторное произведение;
! - длина вектора;
[] - компонента вектора.
При этом стандартные приоритеты операций сохраняются.
Кроме этих операций определяются также некоторые простейшие функции для работы с векторами:
Normalize – нормирование вектора;
RndVector – получение почти равномерно распределенного случайного единичного вектора;
Clip – отсечение вектора.
С использованием этого класса можно в естественной и удобной форме записывать сложные векторные выражения.
Аналогичным образом вводится класс Matrix, служащий для представления матриц преобразований в трехмерном пространстве. Для этого класса также производится переопределение основных знаков операций.
//Файл matrix.h
#ifndef __MATRIX__
#define __MATRIX__
#include "vector.h"
class Matrix
{
public:
double x [4][4];
Matrix () {};
Matrix ( double );
Matrix& operator += ( const Matrix& );
Matrix& operator -= ( const Matrix& );
Matrix& operator *= ( const Matrix& );
Matrix& operator *= ( double );
Matrix& operator /= ( double );
void Invert ();
void Transpose ();
friend Matrix operator + ( const Matrix&, const Matrix& );
friend Matrix operator - ( const Matrix&, const Matrix& );
friend Matrix operator * ( const Matrix&, double );
friend Matrix operator * ( const Matrix&, const Matrix& );
friend Vector operator * ( const Matrix&, const Vector& );
};
Matrix Translate ( const Vector& );
Matrix Scale ( const Vector& );
Matrix RotateX ( double );
Matrix RotateY ( double );
Matrix RotateZ ( double );
Matrix Rotate ( const Vector&, double );
Matrix MirrorX ();
Matrix MirrorY ();
Matrix MirrorZ ();
#endif
//---------------------------------------------------------------------------
// Файл matrix.cpp
#include #include "matrix.h"Matrix :: Matrix ( double v ){ int j; for ( int i = 0; i < 4; i++ ) for ( j = 0; j < 4; j++ ) x [i][j] = ( i == j ) ? v : 0.0; x [3][3] = 1;}void Matrix :: Invert ()
{
Matrix Out ( 1 );
for ( int i = 0; i < 4; i++ ) {
double d = x [i][i];
if ( d != 1.0 ) {
for ( int j = 0; j < 4; j++ ) {
Out.x [i][j] /= d;
x [i][j] /= d;
}
}
for ( int j = 0; j < 4; j++ ) {
if ( j != i ) {
if ( x[j][i] != 0.0 ) {
double mulby = x[j][i];
for ( int k = 0; k < 4; k++ ) {
x [j][k] -= mulby * x [i][k];
Out.x [j][k] -= mulby * Out.x [i][k];
}
}
}
}
}
*this = Out;
}
void Matrix :: Transpose ()
{
double t;
int j;
for ( int i = 0; i < 4; i++ )
for ( j = 0; j < 4; j++ )
if ( i != j ) {
t = x [i][j];
x [i][j] = x [j][i];
x [j][i] = t;
}
}
Matrix& Matrix :: operator += ( const Matrix& A )
{
int j;
for ( int i = 0; i < 4; i++ )
for ( j = 0; j < 4; j++ )
x [i][j] += A.x [i][j];
return *this;
}
Matrix& Matrix :: operator -= ( const Matrix& A )
{
int j;
for ( int i = 0; i < 4; i++ )
for ( j = 0; j < 4; j++ )
x [i][j] -= A.x [i][j];
return *this;
}
Matrix& Matrix :: operator *= ( double v )
{
int j;
for ( int i = 0; i < 4; i++ )
for ( j = 0; j < 4; j++ )
x [i][j] *= v;
return *this;
}
Matrix& Matrix :: operator *= ( const Matrix& A )
{
Matrix res = *this;
int j;
for ( int i = 0; i < 4; i++ )
for ( j = 0; j < 4; j++ ) {
double sum = 0;
for ( int k = 0; k < 4; k++ )
sum += res.x [i][k] * A.x [k][j];
x [i][j] = sum;
}
return *this;
}
Matrix operator + ( const Matrix& A, const Matrix& B )
{
Matrix res;
int j;
for ( int i = 0; i < 4; i++ )
for ( j = 0; j < 4; j++ )
res.x [i][j] = A.x [i][j] + B.x [i][j];
return res;
}
Matrix operator - ( const Matrix& A, const Matrix& B )
{
Matrix res;
int j;
for ( int i = 0; i < 4; i++ )
for ( j = 0; j < 4; j++ )
res.x [i][j] = A.x [i][j] - B.x [i][j];
return res;
}
Matrix operator * ( const Matrix& A, const Matrix& B )
{
Matrix res;
int j;
for ( int i = 0; i < 4; i++ )
for ( j = 0; j < 4; j++ ) {
double sum = 0;
for ( int k = 0; k < 4; k++ )
sum += A.x [i][k] * B.x [k][j];
res.x [i][j] = sum;
}
return res;
}
Matrix operator * ( const Matrix& A, double v )
{
Matrix res;
int j;
for ( int i = 0; i < 4; i++ )
for ( j = 0; j < 4; j++ )
res.x [i][j] = A.x [i][j] * v;
return res;
}
Vector operator * ( const Matrix& M, const Vector& v )
{
Vector res;
res.x = v.x * M.x [0][0] + v.y * M.x [1][0] + v.z * M.x [2][0] + M.x [3][0];
res.y = v.x * M.x [0][1] + v.y * M.x [1][1] + v.z * M.x [2][1] + M.x [3][1];
res.z = v.x * M.x [0][2] + v.y * M.x [1][2] + v.z * M.x [2][2] + M.x [3][2];
double denom = v.x * M.x [0][3] + v.y * M.x [1][3] +
v.z * M.x [2][3] + M.x[3][3];
if ( denom != 1.0 )
res /= denom;
return res;
}
Matrix Translate ( const Vector& Loc )
{
Matrix res ( 1 );
res.x [3][0] = Loc.x;
res.x [3][1] = Loc.y;
res.x [3][2] = Loc.z;
return res;
};
Matrix Scale ( const Vector& v )
{
Matrix res ( 1 );
res.x [0][0] = v.x;
res.x [1][1] = v.y;
res.x [2][2] = v.z;
return res;
};
Matrix RotateX ( double Angle )
{
Matrix res ( 1 );
double Cosine = cos ( Angle );
double Sine = sin ( Angle );
res.x [1][1] = Cosine;
res.x [2][1] = - Sine;
res.x [1][2] = Sine;
res.x [2][2] = Cosine;
return res;
};
Matrix RotateY ( double Angle )
{
Matrix res ( 1 );
double Cosine = cos ( Angle );
double Sine = sin ( Angle );
res.x [0][0] = Cosine;
res.x [2][0] = - Sine;
res.x [0][2] = Sine;
res.x [2][2] = Cosine;
return res;
};
Matrix RotateZ ( double Angle )
{
Matrix res ( 1 );
double Cosine = cos ( Angle );
double Sine = sin ( Angle );
res.x [0][0] = Cosine;
res.x [1][0] = - Sine;
res.x [0][1] = Sine;
res.x [1][1] = Cosine;
return res;
};
Matrix Rotate ( const Vector& axis, double angle )
{
Matrix res ( 1 );
double Cosine = cos ( angle );
double Sine = sin ( angle );
res.x [0][0] = axis.x * axis.x + ( 1 - axis.x * axis.x ) * Cosine;
res.x [0][1] = axis.x * axis.y * ( 1 - Cosine ) + axis.z * Sine;
res.x [0][2] = axis.x * axis.z * ( 1 - Cosine ) - axis.y * Sine;
res.x [0][3] = 0;
res.x [1][0] = axis.x * axis.y * ( 1 - Cosine ) - axis.z * Sine;
res.x [1][1] = axis.y * axis.y + ( 1 - axis.y * axis.y ) * Cosine;
res.x [1][2] = axis.y * axis.z * ( 1 - Cosine ) + axis.x * Sine;
res.x [1][3] = 0;
res.x [2][0] = axis.x * axis.z * ( 1 - Cosine ) + axis.y * Sine;
res.x [2][1] = axis.y * axis.z * ( 1 - Cosine ) - axis.x * Sine;
res.x [2][2] = axis.z * axis.z + ( 1 - axis.z * axis.z ) * Cosine;
res.x [2][3] = 0;
res.x [3][0] = 0;
res.x [3][1] = 0;
res.x [3][2] = 0;
res.x [3][3] = 1;
return res;
};
Matrix MirrorX ()
{
Matrix res ( 1 );
res.x [0][0] = -1;
return res;
};
Matrix MirrorY ()
{
Matrix res ( 1 );
res.x [1][1] = -1;
return res;
};
Matrix MirrorZ ()
{
Matrix res ( 1 );
res.x [2][2] = -1;
return res;
}
В следующей библиотеке была реализована работа с трехмерными объектами: гранью, графическим объектом и пространством. Реализованы следующие возможности:
поворот объектов вокруг координатных осей;
зеркальное отображение объектов по отношению к координатным осям;
центральное и параллельное проектирование;
масштабирование объектов;
удаление невидимых поверхностей;
перемещение объектов в пространстве.
//Файл 3dworks.h
#ifndef __3DWORKS__#define __3DWORKS__#include
#include
#include "vector.h"
#include "matrix.h"
#define OneSd 0
#define TwoSds 1
#define MaxPoints 10
#define MaxFacets 10
#define MaxObjects 10
class Polygon
{
public:
int PointNumber;
Vector * Point;
Vector Normal;
Vector Center;
int Color;
int TwoSides;
Polygon () {};
Polygon ( Vector *, int, int, int );
void Draw ( const Vector& );
void Move ( const Vector& );
void Rotate ( double, double, double );
void PolyScale ( const Vector& );
void PolyMirrorX ();
void PolyMirrorY ();
void PolyMirrorZ ();
};
class GrObject
{
public:
int FacetNumber;
Polygon * Facet;
Vector Coords;
GrObject () {};
GrObject ( Polygon *, int, const Vector& );
void Move ( const Vector& );
void Rotate ( double, double, double );
void ObjScale ( const Vector& );
void ObjMirrorX ();
void ObjMirrorY ();
void ObjMirrorZ ();
};
struct BSPNode
{
Polygon * Poly;
double d;
BSPNode * Left;
BSPNode * Right;
};
class Space
{
public:
int ObjectNumber;
GrObject * Object [MaxObjects];
Space () { ObjectNumber = 0; };
Space ( GrObject *, int );
void Add ( GrObject * );
void Draw ( const Vector& );
};
int IsVisible ( const Polygon&, const Vector& );
void DrawBSPTree ( BSPNode *, const Vector& );
#endif
//----------------------------------------------------------------------------
//Файл 3dworks.cpp
#include "3dworks.h"// Polygon's methodsPolygon :: Polygon ( Vector * PointArr, int PointNum, int Col, int TS ){ if ( PointNum Tree -> d ) {
if ( Tree -> Right != NULL ) DrawBSPTree ( Tree -> Right, PrCntr );
Tree -> Poly -> Draw ( PrCntr );
if ( Tree -> Left != NULL ) DrawBSPTree ( Tree -> Left, PrCntr );
}
else {
if ( Tree -> Left != NULL ) DrawBSPTree ( Tree -> Left, PrCntr );
Tree -> Poly -> Draw ( PrCntr );
if ( Tree -> Right != NULL ) DrawBSPTree ( Tree -> Right, PrCntr );
}
}
Далее представлена демонстрационная программа, которая выполняет все вышеперечисленные операции с тетраэдром.
//Файл 3dgame.cpp
#include #include #include
#include
#include
#include
#include "3dworks.h"
void DrawObject ( GrObject* Obj, const Vector& v )
{
for ( int i = 0; i < Obj->FacetNumber; i++ )
if ( IsVisible ( Obj->Facet[i], v )) Obj->Facet[i].Draw ( v );
}
main ()
{
Vector Poly1[3], Poly2[3], Poly3[3], Poly4[3];
Polygon O[4];
Vector A ( -50, 0, 0 ),
B ( 0, 0, 50 ),
C ( 50, 0, 0 ),
D ( 0, 100, 0 ),
PrCenter ( 0, 0, 1000 );
Poly1[0] = A; Poly2[0] = B;
Poly1[1] = D; Poly2[1] = D;
Poly1[2] = B; Poly2[2] = C;
Poly3[0] = C; Poly4[0] = C;
Poly3[1] = A; Poly4[1] = D;
Poly3[2] = B; Poly4[2] = A;
Polygon * P1 = new Polygon ( Poly1, 3, 11, OneSd );
Polygon * P2 = new Polygon ( Poly2, 3, 12, OneSd );
Polygon * P3 = new Polygon ( Poly3, 3, 13, OneSd );
Polygon * P4 = new Polygon ( Poly4, 3, 14, OneSd );
O[0] = *P1; O[1] = *P2;
O[2] = *P3; O[3] = *P4;
delete P1; delete P2;
delete P3; delete P4;
GrObject * Obj = new GrObject ( O, 4, Vector ( 0 ) );
double fi = 0.1, psi = 0.1, step = 0.1;
int ch = 0, Page = 3;
int driver = DETECT, mode, res;
initgraph ( &driver, &mode, "" );
if ( ( res = graphresult () ) != grOk ) {
printf ( "nGraphics error: %sn", grapherrormsg ( res ) );
exit ( 1 );
}
setgraphmode ( 1 );
DrawObject ( Obj, PrCenter );
do {
setactivepage ( Page % 2 );
clearviewport ();
if ( kbhit ())
{
switch ( ch = getch() ) {
case '+': Obj->ObjScale ((1.1,1.1,1.1)); break;
case '-': Obj->ObjScale ((0.9,0.9,0.9)); break;
case 'x': Obj->ObjMirrorX (); break;
case 'y': Obj->ObjMirrorY (); break;
case 'z': Obj->ObjMirrorZ (); break;
};
if ( ch == 0 )
{
switch ( ch = getch () ) {
case 72 : fi -= step; break;
case 80 : fi += step; break;
case 75 : psi += step; break;
case 77 : psi -= step; break;
};
};
};
Obj->Rotate ( fi, psi, 0 );
DrawObject ( Obj, PrCenter );
setvisualpage ( Page++ % 2 );
if ( fi == 0 && psi == 0 ) while ( !kbhit ());
} while ( ch != 27 );
delete Obj;
closegraph ();
}