Глава I  

           Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естес-

твознания, Галилео Галилей (1564 - 1642гг.) говорил, что "Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической фи-

лософии Иммануил Кант (1742 - 1804гг.) утверждал, что "Во всякой науке столько ис-

тины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практи-

чески уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 - 1943гг.) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания".

          Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности специалистов.

                                        1.1.  Три этапа математизации знаний

         

           Современная методология науки выделяет три этапа математизации знаний: ма-

тематическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных, моделирование и относительно полные математические теории.

         

          Первый этап - это математическая, чаще всего именно количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап выявления и выделения чисто фе-

номенологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными сигна-

лами (входами ) и выходными реакциями (откликами ) на уровне целостного объекта (явления, процесса), которые наблюдают в экспериментах с объектами-оригиналами .  Данный этап математизации имеет место во всякой науке и может быть определён как этап первичной обработки её эмпирического материала.

          Второй этап математизации знаний определим как модельный. На этом этапе не-которые объекты выделяются (рассматриваются) в качестве основных, базовых (фун-даментальных), а свойства (атрибуты), характеристики и параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций, многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные. Таким образом, на "модельном" этапе математизации, т.е. этапе математического моделирования, осуществляется попытка теоретического воспроизве-дения, "теоретической реконструкции" некоторого интересующего исследователя объек-та-оригинала в форме другого объекта - математической модели.

          Третий этап - это этап относительно полной математической теории данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной области. Тре-

тий этап предполагает существование логически полной системы понятий и аксиомати-

ки. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные для описания явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она даёт возможность преодоле-

вать узость мышления, порождаемую специализацией.

                                  1.2.  Математическое моделирование и модель

          Математическое моделирование - это теоретико-экспериментальный метод позна-

вательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - матема-

тических моделей.

          Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.), определяющих характе-

ристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения - реакции

, в зависимости от параметров объекта-оригинала ,  входных воздей-

ствий , начальных и граничных условий, а также времени.

          Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала , которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала  с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математичес-

кие описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделя-

ми.

          Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П.Дж.Коэном.

          Определение 2. Математическая модель - это формальная система, представляю-

щая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.

          Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами ("грамматика" и "синтак-

сис" математических выражений) приводят к формированию абстрактных математичес-

ких объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект математи-

ческой моделью.

          Таким образом, исходя из принципиально важного значения интерпретации в тех-нологии математического моделирования, рассмотрим ее более подробно.

                            1.3. Интерпретации в математическом моделировании

          Интерпретация (от латинского "interpretatio" - разъяснение, толкование, истолко-

вание) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким-либо об-

разом элементам некоторой системы (теории), например, формулам и отдельным симво-

лам. В математическом аспекте интерпретация - это экстраполяция исходных положе-

ний какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исход-

ные положения которой определяются независимо от формальной системы. Следова-

тельно, можно утверждать, что интерпретация - это установление соответствия между некоторой формальной и содержательной системами. В тех случаях, когда формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к содержательной системе, т.е. ус-

тановлено что между элементами формальной системы и элементами содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все исходные положения фор-

мальной системы получают подтверждение в содержательной системе. Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы соответствует некото-

рый элемент (интерпретант) содержательной системы. Если указанное условие наруша-

ется, имеет место частичная интерпретация.

          При математическом моделировании в результате интерпретации задаются значе-

ния элементов математических выражений (символов, операций, формул) и целостных конструкций.

          Основываясь на приведенных общих положениях, определим содержание интер-

претации применительно к задаче математического моделирования.

          Определение 3. Интерпретация в математическом моделировании - это информа-

ционный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в кон-

кретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе отображения

непустого информационного множества данных и знаний, определяемого АМО и называе-

мого областью интерпретации, в кообласть - информационное множество данных и зна-

ний, определяемое предметной областью и объектом моделирования и называемое об-

ластью значений интерпретации.

          Таким образом, интерпретацию следует рассматривать как один из основопола-

гающих механизмов (инструментов) технологии математического (научного) модели-

рования.

          Именно интерпретация, придавая смысл и значения элементам (компонентам) ма-

тематического выражения, делает последнее математической моделью реального объек-

та.

                                              1.4. Виды и уровни интерпретаций

          Создание математической модели системного элемента - многоэтапный процесс. Основным фактором, определяющим этапы перехода от АМО к ММ, является интер-

претация. Количество этапов и их содержание зависит от начального (исходного) ин-

формационного содержания интерпретируемого математического объекта - математи-

ческого описания и требуемого конечного информационного содержания математичес-

кого объекта - модели. Полный спектр этапов интерпретации, отражающий переход от АМО - описания к конкретной ММ, включает четыре вида интерпретаций: синтаксичес-

кую (структурную), семантическую(смысловую), качественную(численную) и количес-

твенную. В общем случае, каждый из перечисленных видов интерпретации может иметь многоуровневую реализацию. Рассмотрим более подробно перечисленные виды интер-

претаций.

                                                 Cинтаксическая интерпретация

          Синтаксическую интерпретацию будем рассматривать как отображение морфоло-

гической (структурной) организации исходного АМО в морфологическую организацию структуру заданного (или требуемого) АМО. Синтаксическая интерпретация может осуществляться как в рамках одного математического языка, так и различных матема-

тических языков.

          При синтаксической интерпретации АМО возможны несколько вариантов задач реализации.

      

          Задача 1. Пусть исходный АМО не структурирован, например, задан кортежем элементов. Требуется посредством синтаксической интерпретации сформировать мор-

фологическую структуру математического выражения

                                                                                                  (1)

          Задача 2. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру,

которая по тем или иным причинам не удовлетворяет требованиям исследователя (эксперта). Требуется посредством синтаксической интерпретации преобразовать в со-

ответствии с целями и задачами моделирования исходную структуру Stв адекватную требуемую St,т.е.

                                                                                              (2)

          Задача 3. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру  St, удовлетворяющую общим принципам и требованиям исследователя с точки зрения её синтаксической организации. Требуется посредством синтаксической интерпретации конкретизировать АМО со структурой Stдо уровня требований, определяемых целями и задачами моделирования

                                                                                               (3)

 

          Таким образом, синтаксическая интерпретация математических объектов даёт воз-

можность формировать морфологические структуры АМО, осуществлять отображение (транслировать) морфологические структуры АМО с одного математического языка на другой, конкретизировать или абстрагировать морфологические структурные представ-

ления АМО в рамках одного математического языка.             

                                                Семантическая интерпретация

          Семантическая интерпретация предполагает задание смысла математических вы-

ражений, формул, конструкций, а также отдельных символов и знаков в терминах сфе-

ры, предметной области и объекта моделирования. Семантическая интерпретация даёт возможность сформировать по смысловым признакам однородные группы, виды, клас-

сы и типы объектов моделирования. В зависимости от уровней обобщения и абстраги-

рования или, наоборот, дифференциации или конкретизации, семантическая интерпре-

тация представляется как многоуровневый, многоэтапный процесс.

          Таким образом, семантическая интерпретация, задавая смысл абстрактному ма-                      

тематическому объекту, "переводит" последний в категорию математической модели с объекта-оригинала, в терминах которого и осуществляется такая интерпретация.

                                                 Качественная интерпретация

          Интерпретация на качественном уровне предполагает существование качествен-

ных параметров и характеристик объекта-оригинала, в терминах (значениях) которых и производится интерпретация. При качественной интерпретации могут использоваться графические и числовые представления, посредством которых, например, интерпретиру-

ется режим функционирования объекта моделирования.

 

                                               Количественная интерпретация

          Количественная интерпретация осуществляется за счет включения в рассмотрение количественных целочисленных и рациональных величин, определяющих значение па-

раметров, характеристик, показателей.

          В результате количественной интерпретации появляется возможность из класса, группы или совокупности аналогичных математических объектов выделить один един-

ственный, являющийся конкретной математической моделью конкретного объекта-ори-

гинала.

          Таким образом, в результате четырех видов интерпретаций - синтаксической, се-

мантической, качественной и количественной происходит поэтапная трансформация

АМО, например, концептуальной метамодели (КММ) функциональной системы  , в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта моделирования.

Глава II   Концептуальное метамоделирование функционирования системного  

                 элемента

                                  2.1. Системный элемент как объект моделирования

          Понятие "элемент" является одним из фундаментальных в общей теории систем (ОТС) - системологии. Оно происходит от латинского "Elementarius" и имеет смысл: начальный, простой, простейший, конечный, неделимый, лежащий в основе чего-либо.Впервые понятие "элемент" встречается, по-видимому, у Аристотеля в его работе "Метафизика".

          Согласно ОТС, любая система (обозначим ее S), независимо от ее природы и наз-

начения, а также от сознания субъекта (эксперта), существует только в структуриро-ванной форме. Структурированность выступает в качестве всеобщего свойства мате-

рии - ее атрибута. Именно свойство структурированности, а следовательно, и члени-

мости целостной системы S на части  приводит к образованию компо-

нент-подсистем  и элементов  

          В целенаправленных действующих системах S любой компонент  целого характеризуется как поведением, так и строением. В тех случаях, когда при моделиро-вании рассматривается (исследуется) и поведение (j) и строение (m), компонент   определяется как подсистема системы S. Если же рассмотрению подвергается только поведение компонента , то его определяют как элемент  где Е -  комплект элементов, выступающий носителем системы S.  Таким образом, сущность компонента "подсистема" дуальна. Для вышерасположенных компонент  подсистема выступает как элемент, а для нижерасположенных - как система.

          В системологии понятие "элемент" трактуется двояко - как абсолютная и как от-

носительная категории. Абсолютное понятие элемента определяется физико-химичес-

ким подходом, относительное - системологическим.

          Понятие абсолютного элемента   связано с определением начального мини-мального компонента системы S, т.е. такой ее части, которая сохраняет основные

свойства исходной целостной системы S. При таком подходе, назовем его молекуляр-

ным, понятие "элемент" включает в себя и фиксирует существенные свойства целост-

ной системы S.

          Понятие относительного элемента   () связано с уровнем познания

исходной целостной системы S. При этом элемент  рассматривается как системная

категория, зависящая от "взгляда" и "отношения" к нему субъекта (исследователя, эксперта). Такой подход к определению элемента  назовем  системологическим. При системологическом подходе компонент  является элементом  () толь-

ко в рамках данного рассмотрения на выделенном уровне анализа. Для системологи-

ческого подхода понятие элемента, как относительной категории, может быть сформу-

лировано следующим образом.

          Определение 1. Элемент - это относительно самостоятельная часть системы,

 рассматриваемая на данном уровне анализа как единое целое с интегральным поведени-

ем, направленным на реализацию присущей этому целому функции.

          С учетом изложенного выше, рассмотрим элемент с точки зрения целостности.

                                    2.2. Целенаправленность системного элемента

          Фундаментальным свойством системного элемента  является его целенаправленность и, как следствие, способность функционировать. Под функциони-

рованием принято принято понимать реализацию присущей элементу  функции, т.е.

возможность получать некоторые результаты деятельности системного элемента , определяемые его целевым назначением.

          Целенаправленно действующий системный элемент  должен обладать, по край-

ней мере, тремя основными атрибутами:

          - элемент  выполняет одну или несколько функций,

          - элемент  обладает определенной логикой поведения,

          - элемент  используется в одном или нескольких контекстах.

          Функция  указывает на то, "что делает элемент ".

          Логика  описывает внутренний алгоритм поведения элемента , т.е. определяет "как элемент  реализует свою функцию".

          Контекст  определяет конкретные условия применения ( приложения ) элемента  в тех или иных условиях, в той или иной среде.

          Таким образом, принимая во внимание изложенное, можно определить содержа-

тельно что такое модель функционирования системного элемента .

Определение 4. Модель функционирования элемента ( МФЭ ) - это отражение на неко-тором языке совокупности действий, необходимых для достижения целей ( целевой функции ), т.е. результата  функционирования элемента .  МФЭ не учитывает строение, а также способы и средства реализации элемента. Такая модель устанавли-вает факт "Что делает элемент  для достижения результата ", определяемого его целевым назначением.

                                         2.3. Целостность системного элемента

          Целостность одно из основных свойств (атрибутов) системного элемента. Она от-

ражает завершенную полноту его дискретного строения. Правильно сформированный

системный элемент  () характеризуется явно выраженной обособленностью (границами) и определенной степенью независимости от окружающей его среды. Относительная независимость системного элемента определяется (характеризуется) совокупностью факторов, которые назовем факторами целостности.

 Факторы целостности   Полная совокупность факторов целостности элемента  определяется двумя группами, которые назовем внешние факторы целостности и внут-ренние.

 Внешние факторы   1. Низкий уровень связности (число взаимосвязей) элемента  с ок-ружающей его средой  , т.е. минимальная внешняя связность элемента . Обозначив полную совокупность внешних связей элемента  через , рассматриваемый фактор запишем как условие минимизации:  ® Min.

          2. Низкий уровень взаимодействия  элемента   с окружающей его средой

,т.е. слабое взаимодействие, определяемое минимальной совокупной интенсивностью обмена сигналами   ® Min.

Внутренние факторы    1. Высокая степень связности друг с другом частей, из которых состоит элемент , т.е. суммарная внутренняя связность  максимальна  ®Max.

          2. Высокая интенсивность  взаимодействия частей, из которых состоит элемент . Иными словами, имеет место сильное внутреннее взаимодействие  ®Max.

                                                      

Оценка целостности элемента   Перечисленные выше факторы могут быть использова-

ны для оценки целостности системного элемента . Такая оценка, в определенной мере, характеризует степень "прочности" элемента по отношению к окружающей его

среде .

          Введем понятие "прочность" как показатель внутренней целостности элемента и

определим его через суммарную композицию показателей взаимосвязей  и взаимо-

действий  всех частей, из которых состоит элемент  . Прочность элемента при

этом определяется выражением

                                                                                                                        (1)

          Для обобщенной оценки внешних взаимосвязей  и взаимодействий  элемента

 с окружающей его средой  введем показатель "сцепленности" и определим его как композицию показателей  и , т.е.

                                                                                                                         (2)

      

          Полученные показатели прочности (1) и сцепленности (2) используем для оценки

 целостности   элемента . Такая оценка определяется отношением вида

                                                                                                                        (3)

т.е. как отношение прочности   элемента   к его сцепленности  со средой .

         С учетом (1) и (2) выражение (3) принимает вид

                                                                                                                                (4)   

Уровни целостности элемента    Анализ выражений (3) и (4) дает возможность ранжи-ровать элементы по уровням целостности и качественно определить их устойчи-вость по отношению к окружающей среде.

       

          Случай 1. Если значение показателя прочности   элемента   превосходит зна-

чение показателя сцепленности  элемента   с его средой , т.е.  > , а как

следствие и  > 1, то элемент  по своим целостным свойствам устойчив. В рассмат-

риваемом случае имеет место супераддитивная целостность.

          Случай 2. Пусть значения показателей прочности   и сцепленности  равны,

т.е.  = . В этом случае показатель целостности  = 1. Тогда элемент  по сво-

им целостным свойствам находится на грани устойчивости. Такой уровень целостности элемента  определим как аддитивная целостность.

          Случай 3. Наконец, пусть  значения показателя прочности   элемента  ниже значений показателя сцепленности  элемента   с его средой . В рассматривае-

мом случае условия записываются в виде   и   по сво-

им целостным свойствам не устойчив к интегральному вовлечению (растворению) в окружающей среде . Рассматриваемый уровень целостности элемента  определим

как субаддитивная целостность.

          Таким образом, введенный показатель  может использоваться как критерий

оценки качества целостных свойств элемента , а также для сравнения раэличных элементов  (n = 1, 2, ... , N) по критерию целостности.

                                2.4. Метод концептуального метамоделирования

          Концептуальное метамоделирование ( КММ ) основано на использовании индук-

тивно-дедуктивного подхода. Создание КММ осуществляется на основе индуктивного подхода ( от конкретного к абстрактному, от частного к общему ) посредством обобще-

ния, концептуализации и формализации.

          Использование КММ предполагает переходы от общего к частному, от абстракт-

ного к конкретному на основе интерпретаций.

          КММ функционирования системного элемента  предполагает описание динами-

ки поведения на заданном уровне абстракции с точки зрения его взаимодействия с окру-

жающей средой, т.е. внешнего поведения. Математическое описание такого элемента должно отражать последовательность причинно-следственных связей типа "вход - вы-

ход" с заданной временной направленностью из прошлого в будущее. КММ функциони-

рования системного элемента  должна учитывать базовые концепции и существенные факторы, к числу которых, в первую очередь, следует отнести следующие.

          1. Элемент , как компонент системы , связан и взаимодействует с другими компонентами этой системы.

          2. Компоненты  системы  воздействуют на  элемент  посредст-

вом входных сигналов, в общем случае, обозначаемых векторным множеством .

          3. Элемент  может выдавать в окружающую его среду  выходные сигна-лы, обозначаемые векторным множеством .

          4. Функционирование системного элемента  (  ) происходит во време-

ни с заданной временной направленностью от прошлого к будущему:    где 

 

          5. Процесс функционирования элемента  представляется в форме отображения  входного векторного множества   в выходное - , т.е. по схеме "вход - выход" и представляется записью вида

                                                             .

          6. Структура и свойства отображения  при моделировании на основе метода прямых аналогий определяется внутренними свойствами элемента , во всех остальных случаях - инвариантны и связаны феноменологически.

          7. Совокупность существенных внутренних свойств элемента , представ-ляется в модели "срезом" их значений для фиксированного момента времени , при

условии фиксированного "среза" значений входных воздействий   и опреде-

ляется как внутреннее состояние   элемента .

          8. Внутренние свойства элемента  характеризуются вектором параметров

, которые назовем функциональными ( j - параметры ).

          Концептуальное математическое описание системного  элемента  (  )

с учетом изложенных выше положений, представим кортежем

                                                       .                                                ( 1 )

Такое описание определим как концептуальную метамодель - КММ функционирования системного элемента .

             2.5. Стратифицированный анализ и описание КММ системного элемента

          Концептуальные метамодели элемента, основанные на записи ( 1 ), могут образо-

вывать некоторые иерархии. Уровни таких иерархий определяются степенью ( этапами ) конкретизации свойств элемента. Ранжирование КММ ( 1 )  по шкале "Абстрактное - Конкретное" на основе метода стратификации, следовательно, приводит к иерархичес-

кой дедуктивной системе концептуальных метамоделей. Такая система может быть ис-

пользована для математического моделирования конкретных элементов как некоторый исходный базовый инвариант, интерпретируемый в конкретную  математическую мо-

дель.

         В зависимости от степени конкретизации, сформируем дедуктивную систему, вклю-чающую следующие уровни КММ элемента :

          КММ элемента  на теоретико-системном уровне ( ТСУ );

          КММ элемента  на уровне непараметрической статики ( УНС );

          КММ элемента  на уровне параметрической статики ( УПС );

          КММ элемента  на уровне непараметрической динамики ( УНД );

          КММ элемента  на уровне параметрической динамики ( УПД ).

    

          Рассмотрим более подробно КММ на каждом из перечисленных уровней. 

                                               КММ теоретико-системного уровня

          Наиболее общую и абстрактную форму описания функционирования системного

элемента  дает концептуальная метамодель теоретико-системного уровня ( ТСУ ). Это описание включает векторное множество входных воздействий на элемент

                                                      

и векторное множество выходных реакций ( откликов ) элемента

                                                       .

Кроме того, на рассматриваемом уровне абстракции учитывается факт связности век-

торного множества  с соответствующим векторным множеством  посредством отображения "j". Однако, отображение "j" не указывает каким образом рассматривае-

мые множества связаны.

          Таким образом, КММ теоретико-системного уровня задаются тройкой

                                                         .                                                         ( 2 )

                                      КММ уровня непараметрической статики

          Второй уровень представления КММ включает в рассмотрение отображение , определяющее правила преобразования входов  в выходы , т.е. что необходимо сделать, чтобы при условии  получить , адекватное целевому функционированию  элемента . В общем случае  - отображение может быть представлено скалярной или векторной функцией, а также функционалом или оператором. Концептуальная метамо-

дель уровня непараметрической статики, следовательно, представляется кортежем вида

                                                         .                                                        ( 3 )

Раскрытие структуры преобразования вида  является основной задачей КММ уровня  . Рассмотрим в качестве иллюстрации функциональное описание элемента , представленное скалярной функцией , причем: .

          Функционирование  элемента  (  ) на УНС описывается как отобра-

жение . Это отображение называется функцией, если оно однозначно. Ус-

ловия однозначности определяются следующим образом. Пусть заданы пары значений

сигналов "вход - выход":

                                                                                                                            ( 4 ) 

Если из условия (  ), следует, что (  ), то отображе-

ние  однозначно. Значение величины  в любой из пар  называется функ-

цией от данного  . Общий вид записи функции  позволяет дать формальное

определение функции элемента  в скалярной форме представления

                         

                                                                                             ( 5 )

Таким образом, КММ ( 3 ) проинтерпретирована в КММ того же уровня, но в скаляр-

ной форме функционального представления. Отметим, что богатство концептуальных метамоделей   функционирования системного  элемента  (  ) на уровне непараметрической статики определяется многообразием ее интерпретаций на матема-

тическом, логическом или логико-математическом языках описания ( представления )

 - отображения.

                                        КММ уровни параметрической статики

          Дальнейшая конкретизация КММ функционирования системного элемента  

осуществляется за счет включения в рассмотрение функциональных параметров , определяющих статические режимы. Для элемента  рассматриваются три группы параметров

                                                                                                                     ( 6 )

  

где  - совокупность параметров {  } входных воздействий

 - совокупность параметров {  } выходных реакций ( откликов )

 - совокупность параметров {  } отображения .

Перечни ( номенклатура ) параметров   и их значений определяются для каждого ти-

па конкретной модели  . Для  - отображения, по аналогии со структурными моде- лями, вводится понятие конфигурации. С учетом параметрического описания и интер-

претаций КММ задается четверкой

                                        

                                                                                                           ( 7 )

         

                                        КММ уровня непараметрической динамики

          Следующий, четвертый уровень конкретизации КММ функционирования систем-

ного элемента  определяется учетом в модели его динамических свойств. Динамика  элемента  рассматривается в нескольких аспектах. Первый аспект характеризуется реакцией  элемента  на динамику изменения входных воздействий

при неизменном отображении , т.е. когда  - скалярная или векторная функция. Второй аспект определяется реакцией элемента  на входные ( статические  или ди-

намические  ) воздействия при времязависимом отображении , т.е. когда  -

функционал или оператор, зависящий от времени .

          При изложенных условиях КММ рассматриваемого уровня абстракции представ-

ляется кортежем, включающем следующие четыре компоненты

                               

                                                                                                ( 8 )

Отметим, что на данном уровне представления КММ время  указывает на факт

наличия динамических свойств, но не характеризует их конкретно.

                                             КММ уровня параметрической динамики

          Последний - пятый уровень дедуктивного представления КММ функционирова-

ния системного элемента , определяемый как уровень параметрической динамики, включает все рассмотренные ранее аспекты модели, представляемые кортежем ( 1 )

                                                   .

В КММ рассматриваемого уровня выполняются условия концептуальной полноты представления функциональных свойств  элемента . Интерпретация та- кой модели на семантическом, синтаксическом, качественном и количественном уров-

нях дает возможность порождать ( генерировать ) любые конкретные математические модели функционирования системного элемента.

          Отметим, что выражения ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 7 ) и ( 8 ) могут быть представлены в форме традиционных аналитических зависимостей вида

                                                                                                                ( 9 )

                                  

                                                                    Выводы

          Таким образом, концептуальное метамоделирование функционирования систем-

ного элемента  на основе дедуктивного подхода приводит к пятиуровневой иерархии моделей, представленной на рис.    .

          Практическое использование представленных выше КММ для моделирования функций системных элементов  осуществляется посредством их ретрансляции в тер-минах выбранного математического языка и последующей интерпретации на четырех перечисленных выше уровнях конкретизации.