ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ

1. Основні поняття і теореми

Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами aij, де i визначає номер рядка, j – номер стовпця і при цьому через хj позначені стовпці матриці А, тобто

і .

Визначником(det A)квадратної матриці А зі стовпцями хj називається функціонал j(х1, х2, … , хn) щодо стовпців цієї матриці, який:

а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):

теорема обчислення визначник сума

j(х1, …, aхi1 + bхi2, … , хn) = aj(х1, … , хi1, … , хn) + bj(х1, … , хi2, … , хn);

б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): j(х1, … , хi, … , хj, … , хn) = –j(х1, … , хj, … , хi, … , хn);

в) підкоряється умові нормування:

.

Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:

а б

Рис. 1

, (1)

де N(j1 j2 … jn) – кількість безладів у перестановці .

Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо jk > jm і k < m.

З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо .

Визначниктретього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником –1, тобто

Властивості визначників:

1°. det A = det AT. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.

2°. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.

3°. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.

4°. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.

5°. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.

6°. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.

7°. .

8°. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.

9°. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.

Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n – 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n – 1)-го порядку, додатковим до елемента aij матриці А, і позначається Мij, а величина Аij = (–1) i + j Мij називається алгебраїчним доповненням до елемента aij матриці А.

10°. (Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).

11°.

12°. (Теорема Лапласа).

.

Тут – мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i1, i2, …, ik і стовпців j1, j2, …, jk, а – алгебраїчне доповнення до цього мінора.

13°. (Про зміну елементів визначника).

Якщо , а , то .

3. Приклади розв’язування задач

Задача 1. Обчислити визначник: .

Розв’язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10є):

.

Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.

II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-му і 2-му рядках вихідного визначника, властивість 12є). Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:

.

III спосіб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося властивістю 8°.

а) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;

б) 1-й рядок, помножений на (–2), додамо до 4-го рядка.

При цьому визначник не зміниться.

Далі: в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;

г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.

;

д) в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться. Одержимо:

.

Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює –3.

Задача 2. Обчислити визначник: .

Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п’ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто

det А= C(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х4 входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, – з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:

det А = (x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Задача 3. Обчислити визначник: .

Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13°). Одержуємо:

.

Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А11 = 5! = 120;

А22 = 3.4.5 = 60; А33 = 2.4.5 = 40; А44 = 2.3.5 = 30 і А55 = 2.3.4 = 24.

Решта Аij = 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4.274 = 1216.

Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку .

Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:

,

а останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:

Dn = 5Dn – 1 – 4Dn – 2. (*)

Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити Dn через такі ж визначники більш низького порядку.

З (*) одержуємо:

Dn – Dn – 1 = 4(Dn – 1 – Dn – 2) = 42(Dn – 2 – Dn – 3) = … = 4n – 2 (D2 – D1) =

= 4n – 2 (21 – 5) = 4n .

Dn – 4Dn – 1 = Dn– 1 – 4Dn – 2 = Dn– 2 – 4Dn – 3 = … = D2 – 4D1 = 21 – 4.5 = 1.

Маємо систему рівнянь: . Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, одержуємо: 3Dn – 1 = 4n – 1. У такий спосіб: .

4. Задачі і вправи для самостійного розв’язування

Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому порядку):

а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;

г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

D а) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ▲

З'ясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:

а) а43а21а35а12а54; б) а13а24а23а41а55;

в) а61а23а45а36а12а54; г) а32а43а14а51а66а25;

д) а27а36а51а74а25а43а62; е) а33а16а72а27а55а61а44;

ж) а12а23а34 …аn–1 n а25аkk (1 Ј k Ј n); з) а12а23а34 …аn-1nаn1n.

D а) –; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (–1)n. ▲

Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:

а) а1iа32а4kа25а53 з « + »; б) а62аi5а33аk4а46а21 з « – »;

в) а47а63а1iа55а7kа24а31 з « + ».

D а) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲

Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х4 і х3:

а) ; б) .

D а) 2х4, –х3; б) 10х4, –5х3. ▲

Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а32 і входять у визначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а23 і входять у визначник зі знаком « – ».

D а) а11а24а32а43, а13а21а32а44, а14а23а32а41; б) а11а23а32а44, а12а23а34а41, а14а23а31а42. ▲

Виписати всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд . Що вийде, якщо з їхньої суми винести а14а23 за дужки?

D . ▲

Як зміниться визначник n-го порядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку? D Визначник помножиться на (–1)(n(n–1))/2. ▲

Не розкриваючи визначників, довести, що:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) .

D а) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;

д) властивість 5. ▲

Знайти мінори елементів а13, а24, а43 визначника .

D М13 = 24; М24 = – 126; М43 = 52. ▲

Знайти алгебраїчне доповнення елементів а14, а23, а42 визначника

.

D А14 = 8; А23 = 0; А42 = – 12. ▲

Обчислити визначник, розкриваючи його по 3-му рядку .

D 8a + 15b + 12c – 19d. ▲

Обчислити визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю: .

D 5a – 5b – 5c + 5d. ▲

Обчислити наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:

а) ; б) ; в) .

D а) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ▲

Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) 0; б) 6; в) 0; г) –2; д) –27; е) –27. ▲

Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) –7; б) 0; в) –1; г) 4; д) 40; е) –3. ▲

Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) 100; б) –5; в) 1; г) 2; д) 4; е) –8. ▲

Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) .

D а) (1 – e3)2; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) –2(x3 + y3); д) 0; е) 0. ▲

Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) –7; б) 0; в) –1; г) –18. ▲

Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) 1; б) –5; в) 0; г) –3. ▲

Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) 1; б) 48; в) 1; г) . ▲

Обчислити визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) –8; б) –9; в) –6; г) –10. ▲

Обчислити визначники 5-го порядку:

а) ; б) . D а) 52; б) 5. ▲

Зведенням до трикутного вигляду обчислити визначники:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) n!; б) 2n + 1; в) хn(а0 + а1 + … + аn); г) . ▲

Обчислити визначники методом виділення лінійних множників:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) (х – 1)(х – 2)…(х – n +1); б) (x – a – b – c)(x – a + b + c)(x + a – b + c)(x + a + b – c);

в) (х2 – 1)(х2 – 4); г) x2z2, вказівка: визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем і одночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічно по z. ▲

Розв’язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) (х О R).

D а) хi = ai, i = 1, 2, … , n – 1; б) хi = ai, i = 1, 2, … , n; в) х = 0, 1, 2, … , n – 1; г) x = 1. ▲

Використовуючи метод рекурентних співвідношень, обчислити визначники: а) ; б) ; в) .

D а) ; б) 2n + 1 – 1; в) . ▲

Обчислити визначники методом представлення їх у вигляді суми визначників:

а) ; б) .

∆ а) хn + (а1 + а2 + … + аn)хn – 1; б) вказівка: xi є (xi – ai + ai),

. ▲

Обчислити визначники методом зміни елементів визначника:

а) ; б) .

∆ а) ; б) . ▲

Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

∆ а) 1; б) 3n; в) 1; г) хn; д) 1 – n; е) (–2)n –1(5n – 2). ▲

Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

∆ а) (–2)n –2(1 – n); б) n + 1; в) (–1)n –1(n – 1); г) 1; д) (1 – (–1)n)/2, вказівка:

Dn = 1– Dn –1; е) 0, якщо n = 2k +1; (–1)n/2, якщо n = 2k, kО Z; вказівка: Dn = – Dn – 2. ▲

Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

∆ а) (b1 – а1) (b2 – а2) … (bn – аn); б) (n – 1)!; в) (–1)n – 1. n!; г) 0;

д) (–1)(n(n –1))/2nn–1(n + 1)/2; е) ▲