Рефетека.ру / Математика

Реферат: Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули


1. Скалярне поле


Нехай Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – область у тривимірному просторі (або на площині). Кажуть, що в області Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули задано скалярне поле, якщо кожній точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули поставлено у відповідність деяке число Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.

Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.

Поверхня (лінія), на якій функція Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули набуває одне й те саме значення, називається поверхнею (лінією) рівня скалярного поля (наприклад, поверхні або лінії постійної температури). Надаючи Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули різних постійних значень: Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, отримаємо сім’ю поверхонь (ліній) рівня даного скалярного поля.

Фізичні скалярні поля не залежать від вибору системи координат: величина Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули є функцією лише точки Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і, можливо, часу (нестаціонарні поля).

Якщо в просторі ввести прямокутну систему координат Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, то точка Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули у цій системі координат матиме певні координати Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і скалярне поле Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули стане функцією цих координат: Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


2. Векторне поле


Кажуть, що в області Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули задано векторне поле, якщо кожній точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули поставлено у відповідність деякий вектор Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.

Фізичні приклади векторних полів: електричне поле системи електричних зарядів, яке характеризується в кожній точці вектором напруженості Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули; магнітне поле, утворене електричним струмом і яке характеризується в кожній точці вектором магнітної індукції Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули; поле тяжіння, утворене системою мас і яке характеризується в кожній точці вектором сили тяжіння Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, що діє в цій точці на одиничну масу; поле швидкостей потоку рідини, яке описується в кожній точці вектором швидкості Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.

Зручною геометричною характеристикою векторного поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули є векторні лінії – криві, в кожній точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули яких вектор Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули напрямлений по дотичній до кривої. Векторні лінії поля тяжіння, електричного і магнітного полів називається силовими лініями, а поля швидкостей – лініями струму.

Нехай векторна лінія, яка проходить через точку Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, описується рівнянням Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, де Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – параметр. Умова колінеарності вектора поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і дотичного вектора Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули в довільній точці цієї лінії має вигляд


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули,(1)


де Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – деяке число. Умову (1) можна записати також у вигляді


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули(2)


або, помноживши на Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, у вигляді


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.(3)


Кожне із рівнянь (1) – (3) є диференціальним рівнянням векторних ліній у векторній формі і визначає множину векторних ліній. Конкретна векторна лінія, яка проходить через задану точку Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, визначається додатковою умовою

Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули,(4)


де Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – радіус-вектор точки Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.

Фізичні векторні поля не залежать від системи координат: в кожній точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули вектор Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули повністю визначається своїм модулем Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і напрямом. Якщо в просторі введена прямокутна система координат Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, то векторне поле Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули описується вектор-функцією трьох змінних Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули або трьома скалярними функціями – її координатами:


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Оскільки в прямокутних координатах Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, то векторне рівняння (3) для векторних ліній еквівалентне системі диференціальних рівнянь


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули,(5)


а додаткове векторне рівняння (4) еквівалентне таким умовам:


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули,(6)


де Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – координати точки Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


3. Похідна за напрямом


Скалярне і векторне поля

Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули


Називаються диференційованими Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули разів, якщо функції


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули


диференційовані Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули разів. Надалі розглядатимемо поля, диференційовані потрібне нам число разів.

Нехай Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – скалярне поле, задане в області Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – одиничний фіксований вектор; Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – фіксована точка; Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – довільна точка із Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, відмінна від Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і така, що вектор Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули колінеарний Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Нехай, далі, Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – величина напрямленого відрізка Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули (вона дорівнює його довжині Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, якщо напрям вектора Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули збігається з напрямом вектора Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, і дорівнює – Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, якщо вектори Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули є протилежними).

Означення. Число Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули називається похідною скалярного поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули (функції Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули) в точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули за напрямом Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і позначається символом Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.

Похідна за напрямом Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули є швидкістю зміни функції Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули за напрямом Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули в точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.

Якщо в прямокутній системі координат Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, то


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.(7)


Зокрема, якщо вектор Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули збігається з одним із ортів Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули або Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, то похідна за напрямком Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули збігається з відповідною частинною похідною. Наприклад, якщо Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, то


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Аналогічно визначається похідна за напрямом векторного поля.

Означення. Вектор Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули називається похідною векторного поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули (вектор-функції Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули) в точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули за напрямом Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і позначається символом Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.

Якщо в прямокутній системі координат Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, то


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


4. Градієнт скалярного поля

скалярне векторне поле дивергенція

Означення. Градієнтом скалярного поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули називається вектор-функція


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Із рівності (7) випливає, що


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули,(8)


Звідси Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, оскільки Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.

Тут Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – кут між векторами Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули в точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Очевидно, що Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули має найбільше значення при Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, тобто у напрямі Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули в даній точці. Інакше кажучи, вектор Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули в даній точці вказує напрям найбільшого зростання поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули (функції Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули) у цій точці, а Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули є швидкість зростання функції Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули в цьому напрямі. Таким чином, вектор Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули не залежить від вибору системи координат, а його модуль і напрям у кожній точці визначається самою функцією Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


5. Потенціальне поле


Означення. Векторне поле Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули називається потенціальним в області Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, якщо воно збігається в області Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули з полем градієнта деякого скалярного поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули:


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.(9)


Функція Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули називається скалярним потенціалом векторного поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Якщо Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, то із рівності (9) випливає, що


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Інколи потенціалом векторного поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули називають таку функцію Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, що Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.

Розглянемо, наприклад, поле тяжіння точкової маси Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, розміщеної на початку координат. Воно описується вектор-функцією Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули (Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – гравітаційна стала, Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули). З такою силою діє це поле на одиничну масу, розміщену в точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Поле тяжіння є потенціальним. Його можна подати у вигляді градієнта скалярної функції Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, яка називається ньютонівським потенціалом поля тяжіння точкової маси Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Дійсно


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Аналогічно Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, звідси


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Далі, розглянемо ще один приклад. Нехай задано електричне поле точкового заряду Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, розміщеного на початку координат. Воно описується в точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули вектором напруженості


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Це поле також є потенціальним полем. Його можна подати у вигляді Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Функція Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули називається потенціалом електричного поля точкового заряду Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.

Поверхні рівня потенціала Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули називаються еквіпотенціальними поверхнями.


6. Дивергенція


Означення. Дивергенцією векторного поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули називається скалярна функція


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Слово «дивергенція» означає «розбіжність».

Дивергенція характеризує густину джерел даного векторного поля в розглянутій точці.

Розглянемо, наприклад, електричне поле точкового заряду Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, розміщеного в початку координат:


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули,

Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Оскільки Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, і аналогічно Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, то Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули

(при Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули). Цей результат означає відсутність поля у довільній точці, крім початку координат. В початку координат Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


7. Ротор


Означення. Ротором (або вихором) векторного поля


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули


називається вектор-функція


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Зокрема, для плоского поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули маємо


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Розглянемо тверде тіло, яке обертається навколо осі Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули із сталою кутовою швидкістю Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули (рис. 1).


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули

Рисунок 1 – Тверде тіло, яке обертається навколо осі Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули


Векторне поле швидкостей Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули точок цього тіла можна подати у вигляді


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Знайдемо ротор поля швидкостей Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули:


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Таким чином, Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули є сталим вектором, напрямленим уздовж осі обертання Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, а його модуль дорівнює подвоєній кутовій швидкості обертання тіла:


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Розглянемо потенціальне поле Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Його потенціал Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Обчислимо ротор цього поля:


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Взагалі, ротор довільного потенціального поля дорівнює нулю (див. підрозділ 2). Тому кажуть, що потенціальне поле є безвихровим.


8. Соленоїдальне поле


Векторне поле Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули називається соленоїдальним в області Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, якщо в цій області Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Оскільки Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули характеризує густину джерел поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, то в тій області, де поле соленоїдальне, немає джерел цього поля.

Наприклад, електричне поле Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули точкового заряду соленоїдальне (задовольняє умову Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули) всюди поза точкою, де знаходиться заряд (в цій точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули). Векторні лінії соленоїдального поля не можуть починатися або закінчуватися на межі області, або бути замкненими кривими. Прикладом соленоїдального поля з замкненими векторними лініями є магнітне поле, яке створюється струмом у провіднику.

Якщо векторне поле Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули можна подати як ротор деякого векторного поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, тобто Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, то вектор – функція Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули називається векторним потенціалом поля Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.

Можна перевірити (див. докладніше п. 2), що Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, тобто поле Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули є соленоїдальним.

Довільне векторне поле можна подати у вигляді суми потенціального і соленоїдального полів.


9. Оператор Гамільтона


Згадаємо, що символ Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули називається оператором частинної похідної по Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Під добутком цього оператора на функцію Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули розумітимемо частинну похідну Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, тобто Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Аналогічно, Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули – оператори частинних похідних по Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і по Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.

Введемо векторний оператор «набла» або оператор Гамільтона:


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


За допомогою цього символічного (операторного) «вектора» зручно записувати і виконувати операції векторного аналізу.

У результаті множення вектора Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули на скалярну функцію Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули отримуємо Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули:


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Скалярний добуток вектора Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули на вектор – функцію Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули дає Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули:

Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Векторний добуток вектора Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули на вектор – функцію Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули дає Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули:


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


10. Нестаціонарні поля


Нехай в області Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули визначено нестаціонарне скалярне поле Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули: величина Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули є функцією точки Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і часу Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Приклад такого поля – змінний з часом розподіл температури в будь-якому середовищі (наприклад, в потоці рідини). Розглянемо точку Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, яка рухається в області Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули (частинку рідини). Координати точки (частинки) змінюються з часом за відомим законом Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Величина Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули в рухомій точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули є складеною функцією Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули:


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Обчислимо похідну по Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули цієї функції (вона називається повною похідною). За правилом диференціювання складеної функції знаходимо


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.


Вводячи в точці Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули вектор швидкості Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, отримуємо


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули


Або


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.(11)


Аналогічно, якщо в області Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули задано нестаціонарне векторне поле Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули, то для рухомої точки Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули векторна величина Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули є складеною функцією Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули: Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули. Повну похідну по Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули для кожної координати вектор – функції Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули можна обчислити за формулою (11). Помноживши результати на базисні вектори Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і складаючи, отримуємо


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули.(12)


У формулах (11) і (12) доданки Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули виражають швидкості зміни величин Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули та Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули з часом при фіксованих координатах, тобто характеризують локальні зміни цих величин, і тому називаються локальними похідними. Доданки Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули і Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули утворюються за рахунок зміни координат точки, її руху (конвекції). Тому ці доданки у виразах повних похідних називаються конвективними похідними.

Локальні похідні характеризують нестаціонарність розглянутого поля у даній точці простору. Конвективні похідні характеризують неоднорідність поля у даний момент часу.

Рефетека ру refoteka@gmail.com