1. Краткое математическое описание методов расчёта

1.1. Общие положения

Цифровой фильтр полностью описывается своим разностным уравнением:

(1)

Для нерекурсивного цифрового фильтра и уравнение принимает вид:

(2)

Зная коэффициенты разностного уравнения, можно легко получить выражение для передаточной функции фильтра (для НЦФ):

(3)

Для образа выходного сигнала НЦФ справедливо выражение

, (4)

где – z-преобразования выходного и входного сигналов фильтра.

Зная выражение (4) и учитывая, что z-преобразование функции единичного скачка равно 1, можно получить выражение для z-образа импульсной характеристики :

(5)

Из (5) следует, что отсчеты импульсной характеристики НЦФ численно равны коэффициентам разностного уравнения НЦФ, а сама импульсная характеристика и передаточная функция связаны парой z-преобразований (прямым и обратным).

Заменив в (4) z на , получим комплексную частотную характеристику:

(6)

Импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика связаны парой преобразований Фурье:

(7)

(8)

Из комплексной частотной характеристики можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ:

(9)

(10)

Во все вышеприведённые формулы входит интервал квантования . Чтобы от него избавиться, частоту обычно нормируют. Это можно сделать с помощью замены:

(11)

Так как интервал определения , то интервал определения . Исходными данными для проектирования фильтра является его АЧХ. Как правило, в зонах неопределённости АЧХ некоторым образом доопределяют с тем, чтобы избежать явления Гиббса («выбросы» характеристики в точках разрыва первого рода – «скачках»). В простейшем случае доопределить АЧХ можно линейным законом. В этом случае АЧХ проектируемого полосового фильтра будет выглядеть таким образом.

Аналитически АЧХ будет записываться в виде:

(12)

При проектировании часто полагают, что ФЧХ фильтра является линейной. В [1] показывается, что в этом случае импульсная характеристика фильтра является либо симметричной (), либо антисимметричной (). Учитывая, что порядок фильтра может быть чётным и нечётным, существует четыре вида ИХ с линейной ФЧХ:

N – нечётное, ИХ – симметричная

N – чётное, ИХ – симметричная

N – нечётное, ИХ – антисимметричная

N – чётное, ИХ – антисимметричная

цифровой фильтр выборка частотный

1.2 Метод частотной выборки

Основная идея метода частотной выборки – замену в выражениях (7) и (8) непрерывную частоту дискретизированной. В этом случае выражения (7) и (8) превращаются в пару дискретных преобразований Фурье:

(13)

(14)

Существует 2 метода дискретизации частоты (выражения записаны для нормированной частоты):

(15)

(16)

Выражения (13) и (14) записаны для первого метода дискретизации частоты. По условию задания необходимо использовать второй метод дискретизации частоты, в этом случае выражение (14) приобретает вид:

(17)

Из (17) следует, что для определения импульсной характеристики необходимо знать частотную характеристику. Её можно записать в показательной форме:

(18)

(19)

При чётном N:

(20)

При нечётном N:

(21)

Подставляя вместо , по выражениям (20) и (21) можно найти , а из (17) – .

1.3 Метод наименьших квадратов

При расчете коэффициентов импульсной характеристики используется формула вида:

после чего решается система уравнений:

и находятся коэффициенты Ск.

Далее из найденных Ск можно найти коэффициенты импульсной характеристики:

2. Расчётная часть

2.1 Расчёт методом частотной выборки

2.1.1 Расчёт импульсной характеристики

Расчёт импульсной характеристики для нечётных N осуществлялся по формулам (21) и (17), для чётных – по формулам (20) и (17). Результаты расчёта импульсной характеристики для N=15, 25 и 32 представлены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты расчёта импульсной характеристики методом частотной выборки

i	Значение импульсной характеристики
	N=15	N=25	N=32
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31	0,081 -0,013 0,025 -0,052 -0,303 0,03 0,46 0,03 -0,303 -0,052 0,025 -0,013 0,081	0,001497 0,001756 -0,02 -0,007456 -0,007554 0,028 0,061 -0,004905 0,034 -0,048 -0,297 -0,035 0,45 0,035 -0,297 -0,048 0,034 -0,004905 0,061 0,028 -0,007454 -0,007456 -0,02 0,001756 0,001497	0,001488 -0,008534 0,008698 -0,000256 0,003711 -0,011 0,015 -0,007875 -0,001266 0,053 0,029 0,0009025 0,04 -0,193 -0,224 0,321 0,321 -0,224 -0,193 0,04 0,0009025 0,029 0,053 0,001266 -0,007875 -0,015 -0,011 -0,003711 -0,000256 0,008698 -0,0008534 0,001488

2.1.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ

Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты , взятой с шагом 0,01 (). На рисунках приведены графики рассчитанной АЧХ фильтра.

Для расчёта точности аппроксимации запишем функцию ошибки аппроксимации:

, (32)

В таблице 2 приведены результаты расчёта точности аппроксимации .

Таблица 2. Результаты расчета точности аппроксимации для метода частотной выборки

График функции точности аппроксимации для N=25

Максимальные ошибки аппроксимации (абсолютная погрешность) для трёх значений N приведены в таблице 3:

Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ, рассчитанной методом частотной выборки

Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ
N=13	N=25	N=32
0,125	0,082	0,049

2.2 Расчёт методом наименьших квадратов

2.2.1 Расчёт импульсной характеристики

Результаты расчёта импульсной характеристики для N=13, 25 и 32 представлены в таблице. Учитывая симметрию импульсной характеристики, приведена только половина отсчётов.

Результаты расчёта импульсной характеристики методом наименьших квадратов

i	Значение импульсной характеристики
	N=13	N=25	N=32
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	0,055 -0,004049 0,035 -0,042 -0,296 0,03 0,45	-0,003929 -0,003499 -0,012 0,008469 -0,008832 -0,026 0,055 0,035 -0,042 -0,296 0,03 0,45	0,002208 -0,005211 0,003349 0,003189 -0,003929 -0,003499 -0,012 -0,008469 -0,008832 0,026 0,055 -0,004049 0,035 -0,042 -0,296 0,45 0,45

2.2.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ

Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты , взятой с шагом 0,01 ().

Заданная по условию и рассчитанная АЧХ фильтра для N=25 (метод наименьших квадратов)

2.2.3 Расчёт точности аппроксимации

Точность аппроксимации оценивалась по формуле (32). В таблице (5) приведены результаты расчёта

Результаты расчета точности аппроксимации для метода наименьших квадратов

В таблице 6 приведена максимальная (абсолютная) погрешность аппроксимации для различных значений N.

Абсолютная погрешность аппроксимации для метода наименьших квадратов

Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ
N=135	N=25	N=32
0,125	0,057	0,051

2.3 Сравнение методов расчёта

Сравнивая результаты расчётов точности аппроксимации, приведённые в таблицах 2 и 6, можно сделать вывод, что метод наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при N=25 амплитудно-частотной характеристики по сравнению с методом частотной выборки. С увеличением порядка фильтра N точность аппроксимации увеличивается для обоих методов, но точность метода наименьших квадратов начинает уменьшаться по сравнению с методом частотной выборки.

Заключение

В данной курсовой работе был рассмотрен расчёт нерекурсивного цифрового фильтра двумя методами: методом наименьших квадратов и методом частотной выборки. Результаты расчётов точности аппроксимации для каждого метода позволяют сделать следующие выводы:

Точность аппроксимации увеличивается с увеличением N (порядка фильтра)

Метод наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при средних значениях N.