Федеральное агентство по образованию РФ

ГОУ ВПО

"Московский Государственный Текстильный Университет им. А.Н. Косыгина"

ФИТАЭ

Кафедра автоматики и промышленной электроники

Курсовая работа

Тема: "Синтез астатических систем"

Дисциплина: "Теория Автоматического Управления"

Москва 2009

Исходные данные:

ПИ-закон

1. По заданной системе уравнений получить передаточную функцию объекта управления и составить структурную схему замкнутой САУ, считая регулятор звеном с входной величиной Е, выходной U и передаточной функцией

2. Выбрать регулятор таким образом, чтобы система обладала свойством астатизма по отношению к постоянному задающему g(t) и возмущающему f(t) воздействию.

Для того чтобы система обладала астатизмом необходимо выполнение условия – величина установившейся ошибки по заданию и возмущению должна быть равна 0. Проверим это условие на регуляторах:

Выбираем П – регулятор

Т.к. величина установившейся ошибки не равна нулю, то система не обладает астатизмом,, а следовательно считать ошибку по каналу f-E нет необходимости.

Выбираем И – регулятор

Обе ошибки равны нулю следовательно система с И - регулятором является астатической. Данный регулятор нам подходит

Проверим наш ПИ – регулятор

Система так же является астатической, что является тем, что выбранный нами ПИ – регулятор подходит к условию задания.

3. Найти область значений постоянной времени регулятора для И – закона управления, обеспечивающих устойчивость системы.

Найдем передаточную функцию замкнутой системы по каналу g-y и затем выделим ее характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение Q(p):

Уравнение 3 порядка, следовательно, для устойчивости системы необходимо чтобы произведение внутренних коэффициентов характеристического уравнения было больше произведения внешних коэффициентов.

Следовательно область значений для И – закона можно определить интервалом .

4. Для И – закона регулирования найти минимальную возможную величину установившейся ошибки, если g(t)=2t и f(t)=-3t.

Для определения минимальной установившейся ошибки нам необходимо узнать при каком значении постоянной времени система находится на границе устойчивости. Для этого отыщем передаточную функцию и характеристическое уравнение системы с И – регулятором. И затем найдем значение

Находим значение постоянной времени на границе устойчивости:

Найдем величину установившейся ошибки при g(t)=2t и f(t)=-3t

Поскольку задающее воздействие у нас g(t)=2t, то используя преобразование Лапласа получаем:

тогда величина установившейся ошибки будет

Подставляем полученное значение и получаем

Найдем ошибку по каналу f-E

Подставляем и получаем

Тогда

5. Построить, с использованием ЭВМ, область устойчивости, на плоскости, параметров регулятора при использовании ПИ – закона, обосновать возможность и путь получения допустимой установившейся ошибки при и .

Для построение области устойчивости необходимо найти характеристическое уравнение передаточной функции для данного регулятора.

Отсюда:

Запишем условие, при котором система находится на границе устойчивости:

Выразим зависимость

от

Строим область устойчивости по по лученной зависимости:

Ти	Кп
0,01	4,00
0,02	1,50
0,03	0,67
0,04	0,25
0,05	0,00
0,06	-0,17
0,07	-0,29
0,08	-0,38
0,09	-0,44

Таким образом выбирая значения параметров регулятора над границей устойчивости – мы получаем устойчивую систему, и наоборот.

6. Вычислить значения параметров ПИ – регулятора, обеспечивающих устойчивость и установившуюся ошибку в системе = 0,06 при g(t)=2t и f(t)=0

Поскольку возмущение f(t)=0, то . Найдем :

для этого найдем передаточную функцию замкнутой системы по каналу g-E

По условию , тогда подставим это значение в получившееся выражение:

Таким образом для получения в системе установившейся ошибке равной 0,06 необходимо задать параметру постоянной времени значение 0,03.

7. Для интегрального закона регулирования и начальных условий , выбрать оптимальное значение постоянной времени регулятора по критерию: (Рассматривается движение в системе при g(t)=f(t)=0 и ненулевых начальных условиях).

Для решения мы будем использовать метод Мондельштама. Для этого нам необходимо найти передаточную функцию замкнутой системы и взять характеристическое уравнение:

Получаем уравнение:

Поочередно умножаем его на и на Е

Интегрируем полученное уравнение по частям

Получаем:

Интегрируем полученное уравнение по частям

Получаем:

Из полученных уравнений составим систему уравнений:

Выбираем =1,054

8. Для найденного в пункте 7 значения постоянной времени регулятора построить с помощью ЭВМ вещественную частотную характеристику P(ω), приняв входным воздействием g(t) и входной координатой E(t)/

Для нахождения вещественной характеристики нам понадобится передаточная функция замкнутой системы по каналу g-y.

Перейдем в частотную область p=jω:

Домножаем на сопряженное знаменателю число и получаем:

Отделяем действительную часть U(ω):

При =1,054

w	p(w)
0	1
0,1	1,010058
0,2	1,039191
0,3	1,079471
0,4	1,099022
0,5	0,997092
0,6	0,58593
0,7	-0,06976
0,8	-0,48243
0,9	-0,56794
1	-0,5208
1,1	-0,44696
1,2	-0,3782
1,3	-0,32081
1,4	-0,27428
1,5	-0,23666
1,6	-0,20606
1,7	-0,18095
1,8	-0,16013
1,9	-0,14269
2	-0,12796
2,5	-0,08003
3	-0,05481
3,5	-0,03991
4	-0,03037
4,5	-0,02389
5	-0,01929
5,5	-0,0159
6	-0,01334

9. По вещественной характеристике P(ω) пункта 8 построить переходной процесс E(t) при единичном ступенчатом изменении g(t) и нулевых начальных условиях методом трапециидальных частотных характеристик.

Для построения переходного процесса нам необходимо разбить получившуюся вещественную характеристику на трапеции и построить переходный процесс для каждой из полученных трапеций.

		R(0)	Wo	Wd	ж
I	-	0,099021688	0,38	0,1	0,263158
II	+	1,666965285	0,88	0,43	0,488636
III	-	0,567943597	6	0,95	0,158333

1-я трапеция

t табл	h(ж)	t=t табл/Wo	h=R(0)*h(ж)
0	0	0	0
0,5	0,199	1,315789474	-0,019705316
1	0,386	2,631578947	-0,038222372
1,5	0,56	3,947368421	-0,055452145
2	0,709	5,263157895	-0,070206377
2,5	0,833	6,578947368	-0,082485066
3	0,928	7,894736842	-0,091892127
3,5	0,994	9,210526316	-0,098427558
4	1,039	10,52631579	-0,102883534
4,5	1,057	11,84210526	-0,104665924
5	1,067	13,15789474	-0,105656141
5,5	1,067	14,47368421	-0,105656141
6	1,054	15,78947368	-0,104368859
6,5	1,043	17,10526316	-0,103279621
7	1,035	18,42105263	-0,102487447
7,5	1,025	19,73684211	-0,10149723
8	1,024	21,05263158	-0,101398209
8,5	1,022	22,36842105	-0,101200165
9	1,025	23,68421053	-0,10149723
9,5	1,027	25	-0,101695274
10	1,027	26,31578947	-0,101695274
10,5	1,028	27,63157895	-0,101794295
11	1,025	28,94736842	-0,10149723
11,5	1,021	30,26315789	-0,101101144
12	1,015	31,57894737	-0,100507013
12,5	1,01	32,89473684	-0,100011905
13	1,005	34,21052632	-0,099516797
13,5	1	35,52631579	-0,099021688
14	0,997	36,84210526	-0,098724623
14,5	0,996	38,15789474	-0,098625601
15	0,995	39,47368421	-0,09852658
15,5	0,995	40,78947368	-0,09852658
16	0,995	42,10526316	-0,09852658
16,5	0,995	43,42105263	-0,09852658
17	0,995	44,73684211	-0,09852658
17,5	0,995	46,05263158	-0,09852658
18	0,995	47,36842105	-0,09852658
18,5	0,994	48,68421053	-0,098427558
19	0,992	50	-0,098229515
19,5	0,991	51,31578947	-0,098130493
20	0,991	52,63157895	-0,098130493

2-я трапеция

t табл	h(ж)	t=t табл/Wo	h=R(0)*h(ж)
0	0	0	0
0,5	0,24	0,568181818	0,400071669
1	0,461	1,136363636	0,768470997
1,5	0,665	1,704545455	1,108531915
2	0,833	2,272727273	1,388582083
2,5	0,967	2,840909091	1,611955431
3	1,061	3,409090909	1,768650168
3,5	1,115	3,977272727	1,858666293
4	1,142	4,545454545	1,903674356
4,5	1,138	5,113636364	1,897006495
5	1,118	5,681818182	1,863667189
5,5	1,092	6,25	1,820326092
6	1,051	6,818181818	1,751980515
6,5	1,018	7,386363636	1,696970661
7	0,993	7,954545455	1,655296528
7,5	0,974	8,522727273	1,623624188
8	0,966	9,090909091	1,610288466
8,5	0,966	9,659090909	1,610288466
9	0,97	10,22727273	1,616956327
9,5	0,975	10,79545455	1,625291153
10	0,982	11,36363636	1,63695991
10,5	0,987	11,93181818	1,645294737
11	0,993	12,5	1,655296528
11,5	0,997	13,06818182	1,66196439
12	0,997	13,63636364	1,66196439
12,5	0,997	14,20454545	1,66196439
13	0,997	14,77272727	1,66196439
13,5	0,998	15,34090909	1,663631355
14	1	15,90909091	1,666965285
14,5	1,002	16,47727273	1,670299216
15	1,005	17,04545455	1,675300112
15,5	1,008	17,61363636	1,680301008
16	1,011	18,18181818	1,685301904
16,5	1,011	18,75	1,685301904
17	1,012	19,31818182	1,686968869
17,5	1,009	19,88636364	1,681967973
18	1,008	20,45454545	1,680301008
18,5	1,006	21,02272727	1,676967077
19	1,001	21,59090909	1,668632251
19,5	0,998	22,15909091	1,663631355
20	0,996	22,72727273	1,660297424

3-я трапеция

t табл	h(ж)	t=t табл/Wo	h=R(0)*h(ж)
0	0	0,0000	0,0000
0,5	0,184	0,0833	-0,1045
1	0,256	0,1667	-0,1454
1,5	0,516	0,2500	-0,2931
2	0,655	0,3333	-0,3720
2,5	0,833	0,4167	-0,4731
3	0,863	0,5000	-0,4901
3,5	0,928	0,5833	-0,5271
4	0,974	0,6667	-0,5532
4,5	0,977	0,7500	-0,5549
5	1,012	0,8333	-0,5748
5,5	1,019	0,9167	-0,5787
6	1,013	1,0000	-0,5753
6,5	1,009	1,0833	-0,5731
7	1,006	1,1667	-0,5714
7,5	1,006	1,2500	-0,5714
8	1,008	1,3333	-0,5725
8,5	1,01	1,4167	-0,5736
9	1,016	1,5000	-0,5770
9,5	1,022	1,5833	-0,5804
10	1,025	1,6667	-0,5821
10,5	1,028	1,7500	-0,5838
11	1,029	1,8333	-0,5844
11,5	1,027	1,9167	-0,5833
12	1,025	2,0000	-0,5821
12,5	1,022	2,0833	-0,5804
13	1,019	2,1667	-0,5787
13,5	1,017	2,2500	-0,5776
14	1,016	2,3333	-0,5770
14,5	1,015	2,4167	-0,5765
15	1,014	2,5000	-0,5759
15,5	1,014	2,5833	-0,5759
16	1,014	2,6667	-0,5759
16,5	1,014	2,7500	-0,5759
17	1,013	2,8333	-0,5753
17,5	1,012	2,9167	-0,5748
18	1,011	3,0000	-0,5742
18,5	1,009	3,0833	-0,5731
19	1,008	3,1667	-0,5725
19,5	1,006	3,2500	-0,5714
20	1,005	3,3333	-0,5708
20,5	1,004	3,4167	-0,5702
21	1,003	3,5000	-0,5696
21,5	1,003	3,5833	-0,5696
22	1,002	3,6667	-0,5691
22,5	1,002	3,7500	-0,5691
23	1,002	3,8333	-0,5691
23,5	1,002	3,9167	-0,5691
24	1,001	4,0000	-0,5685
24,5	1	4,0833	-0,5679
25	1	4,1667	-0,5679
25,5	0,999	4,2500	-0,5674
26	0,999	4,3333	-0,5674

Суммируем графически полученные процесы и получаем

10. Определить время регулирования и максимальное перерегулирование в системе.

11. Разработать и начертить структурную схему комбинированной САУ, инвариантной по отношению к контролируемому возмущению .

Привести передаточную функцию устройства управления.

Проверить выполнение условия инвариантности.

Условия инвариантности:

, если

, если

При выборе корректирующих звеньев в виде обратных передаточных функций возникает проблема. Она обычно связана с тем, что порядок числителя корректирующего звена становится больше порядка знаменателя. Это означает, что частотные характеристики таких звеньев являются расходящимися, что говорит о том, что физически такие звенья нереализуемы. В тех случаях, когда корректирующие звенья применять необходимо, порядок числителя этих звеньев искусственно приравнивают к порядку знаменателя, отбрасывая в числители высшие порядки.

12. Предложить и обосновать методы компенсации действия неконтролируемых возмущений, если известен класс функций, которыми они описываются.

астатический автоматический управление моделирование программа

Решить проблему инвариантности можно, если известна предварительная информация о классе возмущающих воздействий. В частности, если известен математический аппарат, описывающий функцию f(t), заданный в виде решения некоторого дифференциального уравнения.

Процедура синтеза предусматривает:

восстановление вида дифференциального уравнения по заданному решению;

получение характеристического уравнения;

выбор передаточной функции регулятора, в которой знаменатель совпадает с видом полученного характеристического уравнения. Числитель передаточной функции регулятора выбирается того же порядка, что и знаменатель;

неизвестные коэффициенты числителя передаточной функции регулятора определяются из условий устойчивости замкнутой системы.

13. Провести моделирование в программе MatLab. Определить настройки регулятора, обеспечивающего минимизацию времени регулирования.

При нулевом задающем воздействии со значением регулятора, полученными в 7 пункте:

При единичном задающем воздействии:

Для снижения времени регулирования можно немного увеличить значения регулятора примерно до 1,085.

Так же значительно уменьшает время регулирование и введение пропорциональной составляющей, т.е. использование ПИ – регулятора. С его помощью легко можно уменьшить время регулирования примерно в 1,7 раза.

Список используемой литературы

Лекции по курсу ТАУ, Румянцев Ю.Д.

"Теория автоматического управления", Воронов А.А.

"Теория систем автоматического управления", Бесекерский В.А.

Приложение