Рефетека.ру / Математика

Контрольная работа: Метод найменших квадратів

У процесі вивчення різних питань природознавства, економіки і техніки, соціології, педагогіки доводиться на основі великої кількості дослідних даних виявляти суттєві фактори, які впливають на досліджуваний об’єкт, а також встановлювати форму зв’язку між різними зв’язаними одна з одною величинами (ознаками).

Нехай у результаті досліджень дістали таку таблицю деякої функціональної залежності:


Таблиця 1

x x1 x2 xn
y y1 y2 yn

Треба знайти аналітичний вигляд функції Метод найменших квадратів, яка добре відображала б цю таблицю дослідних даних. Функцію Метод найменших квадратів можна шукати у вигляді інтерполяційного поліному. Але інтерполяційні поліноми не завжди добре відображають характер поведінки таблично заданої функції. До того ж значення Метод найменших квадратів дістають у результаті експерименту, а вони, як правило, сумнівні. У цьому разі задача інтерполювання табличної функції втрачає сенс. Тому шукають таку функцію Метод найменших квадратів, значення якої при Метод найменших квадратів досить близькі до табличних значень Метод найменших квадратів Метод найменших квадратів. Формулу Метод найменших квадратів називають емпіричною, або рівнянням регресії Метод найменших квадратів на Метод найменших квадратів. Емпіричні формули мають велике практичне значення, вдало підібрана емпірична формула дає змогу не тільки апроксимувати сукупність експериментальних даних, «згладжуючи» значення величини Метод найменших квадратів, а й екстраполювати знайдену залежність на інші проміжки значень Метод найменших квадратів.

Процес побудови емпіричних формул складається з двох етапів: встановлення загального виду цієї формули і визначення найкращих її параметрів.

Щоб встановити вигляд емпіричної формули, на площині будують точки з координатами Метод найменших квадратів Метод найменших квадратів. Деякі з цих точок сполучають плавною кривою, яку проводять так, щоб вона проходила якомога ближче до всіх даних точок. Після цього візуально визначають, графік якої з відомих нам функцій найкраще підходить до побудованої кривої. Звичайно, намагаються підібрати найпростіші функції: лінійну, квадратичну, дробово-раціональну, степеневу, показникову, логарифмічну.

Встановивши вигляд емпіричної формули, треба знайти її параметри (коефіцієнти). Найточніші значення коефіцієнтів емпіричної формули визначають методом найменших квадратів. Цей метод запропонували відомі математики К. Гаусс і А. Лежандр.

Розглянемо суть методу найменших квадратів.

Нехай емпірична формула має вигляд


Метод найменших квадратів, (1)


де Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, …, Метод найменших квадратів - невідомі коефіцієнти. Треба знайти такі значення коефіцієнтів Метод найменших квадратів, за яких крива (1) якомога ближче проходитиме до всіх Метод найменших квадратів точок Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, …, Метод найменших квадратів, знайдених експериментально. Зрозуміло, що жодна з експериментальних точок не задовольняє точно рівняння (1). Відхилення від підстановки координат Метод найменших квадратів у рівняння (1) дорівнюватимуть величинам Метод найменших квадратів.

За методом найменших квадратів найкращі значення коефіцієнтів Метод найменших квадратів ті, для яких сума квадратів відхилень

Метод найменших квадратів (2)


дослідних даних Метод найменших квадратів від обчислених за емпіричною формулою (1) найменша. Звідси випливає, що величина (2), яка є функцією від коефіцієнтів Метод найменших квадратів, повинна мати мінімум. Необхідна умов мінімуму функції багатьох змінних ─ її частинні похідні мають дорівнювати нулю, тобто


Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, …, Метод найменших квадратів.


Диференціюючи вираз (2) по невідомих параметрах Метод найменших квадратів, матимемо відносно них систему рівнянь:


Метод найменших квадратівМетод найменших квадратів


Система (3) називається нормальною. Якщо вона має розв’язок, то він єдиний, і буде шуканим.

Якщо емпірична функція (1) лінійна відносно параметрів Метод найменших квадратів, то нормальна система (3) буде системою з Метод найменших квадратів лінійних рівнянь відносно шуканих параметрів.

Будуючи емпіричні формули, припускатимемо, що експериментальні дані Метод найменших квадратів додатні.

Якщо серед значень Метод найменших квадратів і Метод найменших квадратів є від’ємні, то завжди можна знайти такі додатні числа Метод найменших квадратів і Метод найменших квадратів, що Метод найменших квадратів і Метод найменших квадратів.

Тому розв’язування поставленої задачі завжди можна звести до побудови емпіричної формули для додатних значень Метод найменших квадратів.

Побудова лінійної емпіричної формули. Нехай між даними Метод найменших квадратів існує лінійна залежність. Шукатимемо емпіричну формулу у вигляді


Метод найменших квадратів, (4)


де коефіцієнти Метод найменших квадратів і Метод найменших квадратівневідомі.

Знайдемо значення Метод найменших квадратіві Метод найменших квадратів, за яких функція Метод найменших квадратівматиме мінімальне значення. Щоб знайти ці значення, прирівняємо до нуля частинні похідні функції Метод найменших квадратів


Метод найменших квадратів


Звідси, врахувавши, що Метод найменших квадратів, маємо


Метод найменших квадратів (5)


Розв’язавши відносно Метод найменших квадратів і Метод найменших квадратів останню систему, знайдемо

Метод найменших квадратів, (6)

Метод найменших квадратів. (7)


Зазначимо, що, крім графічного, є ще й аналітичний критерій виявлення лінійної залежності між значеннями Метод найменших квадратів і Метод найменших квадратів.

Покладемо Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів.

Якщо Метод найменших квадратів, то залежність між Метод найменших квадратів і Метод найменших квадратів лінійна, бо точки Метод найменших квадратів лежатимуть на одній прямій. Якщо Метод найменших квадратів, то між Метод найменших квадратів і Метод найменших квадратів існує майже лінійна залежність, оскільки точки Метод найменших квадратів лежатимуть близько до деякої прямої.

Побудова квадратичної емпіричної залежності. Нехай функціональна залежність між Метод найменших квадратів та Метод найменших квадратів - квадратична. Шукатимемо емпіричну формулу у вигляді


Метод найменших квадратів. (8)


Тоді формулу (2) запишемо наступним чином


Метод найменших квадратів


Для знаходження коефіцієнтів Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, за яких функціяМетод найменших квадратів мінімальна, обчислимо частинні похідні Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів і прирівняємо їх до нуля. В результаті дістанемо систему рівнянь

Метод найменших квадратів


Після рівносильних перетворень маємо систему


Метод найменших квадратів (9)


Розв’язок цієї системи і визначає єдину параболу, яка краще від усіх інших парабол (8) подає на розглядуваному проміжку задану таблично функціональну залежність.

Сформулюємо аналітичний критерій для квадратичної залежності. Для цього введемо поділені різниці першого і другого порядку Метод найменших квадратів


і Метод найменших квадратів, де Метод найменших квадратів.


Точки Метод найменших квадратів розміщені на параболі (8) тоді і тільки тоді, коли всі поділені різниці другого порядку зберігають сталі значення.

Якщо точки Метод найменших квадратів рівновіддалені, тобто Метод найменших квадратів, то для існування квадратичної залежності (8) необхідно і достатньо, щоб була сталою скінчена різниця другого порядку Метод найменших квадратів, причому Метод найменших квадратів.

Побудова емпіричних формул найпростіших нелінійних залежностей. Нехай у системі координат Метод найменших квадратів маємо нелінійну залежність Метод найменших квадратів, неперервну і монотонну на відрізку Метод найменших квадратів.

Введемо змінні Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів так, щоб у новій системі координат Метод найменших квадратів задана емпірична нелінійна залежність стала лінійною


Метод найменших квадратів. (10)


Тоді точки з координатами Метод найменших квадратів в площині Метод найменших квадратів лежатимуть на прямій лінії.

Покажемо, як від нелінійних залежностей


Метод найменших квадратів, 2) Метод найменших квадратів, 3) Метод найменших квадратів,

Метод найменших квадратів, 5) Метод найменших квадратів, 6) Метод найменших квадратів


перейти до лінійних.

1) Розглянемо степеневу залежність Метод найменших квадратів, де Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів.

Логарифмуючи її, знаходимо Метод найменших квадратів. Звідси, поклавши Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, маємо Метод найменших квадратів.

2) Логарифмуючи показникову залежність Метод найменших квадратів, маємо Метод найменших квадратів. Поклавши Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів в системі координат Метод найменших квадратів дістанемо залежність (10).

Зазначимо, що замість показникової залежності Метод найменших квадратів часто шукають залежність Метод найменших квадратів. Остання перетвориться в лінійну, якщо позначити Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів.

3) Щоб перейти від логарифмічної залежності Метод найменших квадратів до лінійної Метод найменших квадратів, досить зробити підстановку Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів.

4) У гіперболічній залежності замінимо змінні Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів. Тоді гіперболічна залежність перетвориться в лінійну (10), в якій Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів.

5) Розглянемо дробово-лінійну функцію Метод найменших квадратів. Знайдемо обернену функцію Метод найменших квадратів. Тоді ввівши нові координати Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, дістанемо лінійну залежність (10), де Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів.

6) Нехай маємо дробово-раціональну залежність Метод найменших квадратів. Оберненою до неї буде залежність Метод найменших квадратів. Ввівши нові змінні Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, дістанемо лінійну залежність (10) з коефіцієнтами Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів.

Отже, для побудови будь-якої з емпіричних формул 1)-6) треба:

а) за вихідною таблицею даних Метод найменших квадратів побудувати нову таблицю Метод найменших квадратів, використавши відповідні формули переходу до нових координат;

б) за новою таблицею даних знайти методом найменших квадратів коефіцієнти Метод найменших квадратів і Метод найменших квадратів лінійної функції (10);

в) за відповідними формулами знайти коефіцієнти Метод найменших квадратів і Метод найменших квадратів даної нелінійної залежності.

Вибрати емпіричну формулу для нелінійних залежностей графічним методом часто буває важко. Тоді вдаються до перевірки аналітичних критеріїв існування певної залежності. Для цього зводять її до лінійної і перевіряють виконання критерію лінійної залежності між перетвореними вихідними даними Метод найменших квадратів. Але є й власні аналітичні критерії наявності кожної з розглянутих вище нелінійних залежностей. Найпростіші необхідні умови їх наявності подано в табл. 2.


Таблиця 2

№ пор. Емпірична формула

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Спосіб вирівнювання
1

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів


2

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів, де Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів

3

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів, де Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів

4

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів, де Метод найменших квадратів

5

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів, де Метод найменших квадратів

6

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів, де Метод найменших квадратів

7

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів, де Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів


Умови перевіряють у такий спосіб. На заданому відрізку зміни незалежної змінної Метод найменших квадратів вибирають дві точки, досить надійні і розміщені якомога далі одна від одної. Нехай, наприклад, це будуть точки Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів. Потім, залежно від типу емпіричної формули, що перевіряється, обчислюють значення Метод найменших квадратів, яке є або середнім арифметичним, або середнім геометричним, або середнім гармонічним значень Метод найменших квадратів, Метод найменших квадратів. Маючи значення Метод найменших квадратів і Метод найменших квадратів аналогічно обчислюють і відповідне значення Метод найменших квадратів. Далі, користуючись даною таблицею значень Метод найменших квадратів, для значення Метод найменших квадратів знаходять відповідне йому значення Метод найменших квадратів. Якщо Метод найменших квадратів немає в таблиці, то Метод найменших квадратів знаходять наближено з побудованого графіка даної залежності або за допомогою лінійної інтерполяції Метод найменших квадратів, де Метод найменших квадратів і Метод найменших квадратів ─ проміжні значення, між якими лежить Метод найменших квадратів. Обчисливши Метод найменших квадратів, знаходять величину Метод найменших квадратів. Якщо ця величина велика, то відповідна емпірична формула не придатна для апроксимації заданих табличних даних. З кількох придатних емпіричних формул перевагу надають тій, для якої відхилення Метод найменших квадратів якомога менше.

Похожие работы:

  1. • Прогноз облікової ставки на основі методу ...
  2. • Визначення емпіричних закономірностей
  3. • Непрямий метод оцінювання параметрів строго ...
  4. • Побудова лінійної регресійної моделі
  5. • Методи визначення функції витрат та аналізу ...
  6. • Знаходження розрахункових значень фізико-механічних ...
  7. • Визначення залежності між ознаками якості ...
  8. • Проектування тренду
  9. • Рівняння регресії і побудова економетричних ...
  10. • Статистичний аналіз урожайності картоплі
  11. • Попит та пропозиція
  12. • Основи метрології та вимірювальної техніки
  13. • Дослідження точності впливу ситуативної тривожності ...
  14. • Чисельне інтегрування та наближення функцій ...
  15. • Статистика
  16. • Динаміка економічних показників. Структура ...
  17. • Зведення та групування даних
  18. • Лагові моделі. Метод Койка, Ш. Альмона
  19. • Статистика вивчення продуктивності великої рогатої ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com