Рефетека.ру / Математика

Курсовая работа: Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

Міністерство освіти і науки України

Національний університет "Львівська політехніка"


Курсова робота

на тему:

"Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами"


Львів 2009р

Зміст


Вступ

1. Означення ермітових сплайнів з експоненціальними ланками

2. Знаходження аналітичних виразів для параметрів сплайна з експоненціальною ланкою

3. Многочленні ермітові сплайни

4. Похибки наближення ермітовими сплайнами

5. Рівномірне наближення ермітовими сплайнами

Висновок

Список використаної літератури

Додаток


Вступ


Наближення функцій необхідне для практичних розрахунків під час проведення наукових досліджень і в багатьох областях техніки. Аналітично задані функції, які представлені складним виразом, часто необхідно замінити простішим виразом, так, щоб зберігались їх властивості. Це потрібно для обчислення функцій на ЕОМ.

Методи інтерполювання многочленом Лагранжа або Ньютона на відрізку Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами при використанні великої кількості вузлів інтерполяції часто призводять до поганого наближення, що пояснюється значним накопиченням похибки під час обчислень. Крім того, через розбіжність процесу інтерполяції збільшення кількості вузлів не обов’язково приводить до підвищення точності.

Ще одним із способів інтерполювання на відрізку є інтерполювання з використанням сплайн функцій. Сплайн функцією або сплайном називають кусково-поліноміальну функцію, що визначена на відрізку Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами разом з певним числом неперервних похідних.

Перевага сплайнів над звичайною інтерполяцію є, по-перше, їх збіжність і, по-друге, стійкість процесу обчислення.

Ряд задач вимагає наближення не тільки самої функції, а й її похідних. Для цього використовують ермітові сплайни. З метою покращення точності наближення функцій сплайнами як ланки можна використовувати не тільки многочлени, а й нелінійні за параметрами вирази.


1. Означення ермітових сплайнів з нелінійним за параметрами виразами в ланках


Наведемо означення ермітових сплайнів з нелінійними за параметрами виразами в ланках (далі нелінійні ермітові сплайни) з парною і непарною кількістю параметрів.

На множині Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами задані значення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами та її похідних до Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- го порядку включно. Потрібно побудувати ермітовий сплайн (тобто вирази для параметрів ланки) з експоненціальною ланкою:


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (1)


де Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами - параметри ланки сплайна; Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами - кількість параметрів Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.

Означення 1. Нехай Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. На множині Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами задані значення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами та її похідних до Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- го порядку включно. Нелінійним ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами називатимемо функцію


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами , (2)


яка задовольняє систему рівнянь


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами , (3)


де Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- параметри сплайна на Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами-й ланці; Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- функція Хевісайда:

Із системи (3) випливає, що Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Вираз Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами називається ланкою ермітового сплайна. Похибка наближення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами за допомогою ермітового сплайна Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами характеризується зваженою віддаллю (функцією похибки)


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. (4)


Означення 2. Нехай Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. На множині Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами задані значення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами та її похідних до Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- го порядку включно, а на множині Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами задані значення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Нелінійним ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами називатимемо функцію виду (2), яка задовольняє систему рівнянь:


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (5)


Із означень випливає, що для визначення параметрів кожної ланки конкретного нелінійного ермітового сплайна необхідно розв’язати систему рівнянь (3) або (5).


2. Вивід формул для параметрів ермітових сплайнів з експоненціальними ланками


Сімейство цих ермітових сплайнів має ланку, яку подано виразом (1). Оскільки наближаючий вираз (1) не змінює знака, то цим виразом можна наближати функції, що не змінюють знака. Припустимо для конкретності, що Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Побудуємо ланки ермітового сплайна при Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.

При Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами отримаємо ермітовий сплайн з парною кількістю параметрів Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.

Ланка такого сплайна має вигляд


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. (6)


Згідно означення 1 параметри ланки ермітового сплайна (2) з ланкою (6) задовольняють системі рівнянь (3)


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (7)


де Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- ліва, а Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- права границі ланки; Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами,Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами Розв’яжемо систему (7) щодо невідомих Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.

Із першого і третього рівнянь системи знаходимо вирази для параметра Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами:


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (8)


Прирівнюємо між собою вирази для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами і отримаємо вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами:


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (9)


Підставляємо перший вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами і вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамив друге рівняння системи (7) і отримаємо


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (10)


Підставляємо другий вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами і вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамив четверте рівняння системи (7) і отримаємо


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (11)


Ми отримали систему двох лінійних рівнянь (10) і (11) щодо двох невідомих Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Розв’язавши її, отримаємо


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (12)


Із формул (8), (9), (10) для параметрів Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамивипливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (7) є виконання умовиРівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.

При Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамиотримаємо ермітовий сплайн з непарною кількістю параметрів Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Ланка такого сплайна має вигляд

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (13)


Згідно з означенням 2 параметри ланки (13) ермітового сплайна (2) задовольняють системі рівнянь (5):


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (14)


де Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Розв’яжемо систему (14) щодо невідомих Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (14) знайдемо вирази для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. (15)


Прирівняємо вирази для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами(15) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (14), отримаємо два вирази для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами , (16)

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами . (17)


Прирівнявши між собою вирази для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами із (16) і (17), отримаємо рівняння

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (18)


Де


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Підставивши перший вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами(15) і перший вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами(16) в друге рівняння системи (14) отримаємо рівняння


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (19)


Де


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Підставивши третій вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами(15) і перший вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами(16) в п’яте рівняння системи (14) отримаємо рівняння


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (20)


де

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (18-20) щодо трьох невідомих Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Розв’язавши її отримаємо


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (21)


Із формул (15), (16), (17) і (21) для параметрів Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (13) є виконання умови Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


3. Многочленні ермітові сплайни


При Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами отримаємо ермітовий сплайн з парною кількістю параметрів Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.

Ланка такого сплайна має вигляд


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами . (22)


Означення 3. Нехай Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами - многочлен 3-го степеня На множині Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами задані значення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами та її похідної. Кубічним ермітовим сплайном називатимемо функцію з ланкою (22)


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами , (23)


яка задовольняє систему рівнянь


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (24)


де Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- параметри сплайна на Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами-й ланці;

Згідно означення 3 параметри ланки ермітового сплайна (23) з ланкою (22) задовольняють системі рівнянь (24)


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (25)


де Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- ліва, а Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- права границі ланки; Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами,Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамиРівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Розв’яжемо систему (25) щодо невідомих Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Отримаємо формули для обчислень значень параметрів:


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (26)


При Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамиотримаємо ермітовий сплайн з непарною кількістю параметрів Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Ланка такого сплайна має вигляд


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (27)


Означення 4. Нехай Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами - многочлен 4-го степеня. На множині Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами задані значення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами та її похідних до Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- го порядку включно, а на множині Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами задані значення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Многочленним ермітовим сплайном 4-го степеня називатимемо функцію виду (3), яка задовольняє систему рівнянь


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (28)


Згідно з означенням 4 параметри ланки (27) ермітового сплайна (23) задовольняють системі рівнянь (28):


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (29)


де Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Розв’яжемо систему (29) щодо невідомих Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (29) знайдемо вирази для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. (30)


Прирівняємо вирази для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами(31) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (29), отримаємо два вирази для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (31)

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (32)


Прирівнявши між собою вирази для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами із (32) і (33), отримаємо рівняння


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (33)

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

Підставивши перший вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами(30) і перший вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами(31) в друге рівняння системи (29) отримаємо рівняння


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (34)

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Підставивши третій вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами(30) і перший вираз для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами(31) в п’яте рівняння системи (30) отримаємо рівняння


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (35)

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (23-35) щодо трьох невідомих Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Розв’язавши її отримаємо


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (36)

Із формул (30), (31), (32) і (36) для параметрів Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (27) є виконання умови Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


4. Похибки наближення ермітовими сплайнами


Максимальна похибка Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами рівномірного наближення нелінійними ермітовими сплайнами з парною кількістю параметрів у ланці має вигляд


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, (37)


а для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (38)


де Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами - кількість ланок сплайна на інтервалі Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- вагова функція, Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами - ядро похибки наближення, Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами - дефект ермітового сплайна, Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Для ермітового сплайна з ланкою (13) кількість параметрів Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, дефект сплайна за означенням Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, величина Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Щоб скористатись формулами (37) і(38), потрібно мати вираз для ядра похибки наближення Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, який би не залежав від параметрів Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамиланки сплайна Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамиРівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Вирази для конкретних ядер можна знайти, використовуючи властивості ядер похибок, які випливають із обмінних теорем.

Теорема 1. Нехай для функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами при Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів з вузлами Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами і ланками вигляду


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (39)

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Тоді для функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами на проміжку Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів і ланками вигляду


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (40)


Нехай Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами — найбільша відносна похибка наближення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами на проміжкуРівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами ермітовим сплайном з ланкою (39), а Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами — найбільша відносна похибка наближення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами на проміжку Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами ермітовим сплайном з ланкою вигляду (40). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (41)

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. (42)


Доведення. Сплайн з ланкою вигляду (39) характеризується системою рівнянь


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (43)

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

а сплайн з ланкою вигляду (40) — системою рівнянь


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (44)

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Надалі опускаємо індекс, який вказує на приналежність параметра до Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами-ї ланки. Із системи (44) при Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами матимемо


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


Подамо Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами як Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, про логарифмуємо це рівняння і отримаємо


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами,


де Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Тобто при Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами рівняння із системи (44) зведене до рівняння із системи (43).

При Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамирівняння із системи (44) має вигляд


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


Помножимо чисельник і знаменник цього рівняння на Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.

Оскільки з умов теореми Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами не дорівнюють нулю, то рівність досягається за умови, що


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами,


а це і є рівняння із системи (43) при Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.

Використовуючи метод математичної індукції, покажемо, що рівняння із системи (44) зводиться до рівнянь із системи (43) за довільних Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Нехай це доведено для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Доведемо для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Рівняння із системи (43) при Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами:


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


Для Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами рівняння із системи (44) має вигляд


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


Про диференціюємо це рівняння і отримаємо


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Перший доданок в квадратних дужках дорівнює нулю через рівність нулю останнього співмножника. Рівняння набере вигляду

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


Множник, який стоїть перед квадратними дужками, не дорівнює нулю з умов теореми, отже нулю дорівнює вираз у квадратних дужках. А це і є рівняння із системи (43). Отже, ми довели, що за довільних Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами рівняння в системах (43) і (44) еквівалентні, а , значить, і системи рівносильні. Тому Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами при Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, а Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.

Доведемо справедливість відношення (43) для похибок наближення. Оскільки системи (43) і (44) рівносильні, то точки, в яких досягається максимальні похибки, збігаються. Нехай Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамиточка , в якій досягається максимальна похибка наближення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами ермітовим сплайном з ланкою (39). Тоді похибка в цій точці дорівнює


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


Із цієї рівності випливає, що


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


У правій частині маємо відносну похибку наближення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами ермітовим сплайном з ланкою (40) на проміжку Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Звідси Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Теорема доведена.

За допомогою цієї теореми можна отримувати наближення ермітовим сплайном з ланкою (40) шляхом знаходження наближення ермітовим сплайном з простішою ланкою (39). Зокрема, наближення до функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами ермітовим сплайном з ланкою виглядуРівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами зводиться до наближення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами ермітовим сплайном з ланкою Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. При цьому найбільша відносна похибка першого наближення виражається через найбільшу абсолютну похибку другого наближення.

Теорема 2. Нехай для функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами при Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів з вузлами Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами і ланками вигляду


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (45)


Тоді для функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами на проміжку Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів і ланками вигляду


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (46)


Нехай Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами — найбільша відносна похибка наближення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами на проміжку Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами ермітовим сплайном з ланкою (45), а Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами — найбільша відносна похибка наближення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами на проміжку Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами ермітовим сплайном з ланкою вигляду (45). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (47)

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. (48)


Доведення. В теоремі 1 до системи рівнянь (42) додається рівняння


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами , (49)

а до системи (43) рівняння


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (50)


Для доведення цієї теореми для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів необхідно довести еквівалентність рівнянь (48) і (50). Для цього перепишемо (50) у вигляді


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


Про логарифмуємо і отримаємо


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами,


де із умови теореми 2 Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, а Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.Тобто рівняння (50) зведено до (49). Теорему доведено.

Властивість 1. Нехай Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамипри Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Тоді


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (51)


Доведення. Із теорем 1 і 2 випливає, що наближення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами на Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами ермітовим сплайном з ланкою Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами може бути знайдено через наближення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами на цьому проміжку ермітовим сплайном з ланкою Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. При цьому із формули (42) випливає, що максимальна відносна похибка Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами першого наближення виражається через максимальну абсолютну похибку Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамидругого наближення

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Із рівності похибок і формули (37) матимемо


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


Цей вираз справедливий для довільних Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами , Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами і проміжків Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами лише в тому випадку, якщо підінтегральні вирази рівні між собою. Із їх рівності випливає вираз (51).

Тепер можна вивести аналітичний вираз для ядра похибки наближення Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами ермітовим сплайном з ланкою (1). Ядро похибки наближення многочленом Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамистепеня Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамимає вигляд Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Застосувавши формулу (52), отримаємо


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами . (52)


Для ермітового сплайна з експоненціальною ланкою (6) ядро матиме такий вигляд:


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


А для ланки (13)


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

5. Рівномірне наближення ермітовими сплайнами


Наближення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамиермітовим сплайном Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнаминазиваємо рівномірним наближенням з заданою похибкою Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, якщо Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, де Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- вага наближення,Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.

Алгоритм рівномірного наближення ермітовими сплайнами з заданою похибкою. Алгоритм не залежить від виду сплайна.

Будуємо ланку нелінійного ермітового сплайна на всьому інтервалі Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Ліва границя Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами права Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

Знаходимо похибку наближення Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.

ЯкщоРівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, то наближення побудоване. Кінець.

Якщо Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, то зсуваємо праву границю інтервалу вліво, поки похибка на даному інтервалі не стане меншою від заданої похибки Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Допустимо, що при Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами-му зсуві границі вліво (т. Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами)похибка рівна Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, а на попередньому кроці Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами( права границя Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами). Тоді можна знайти таку праву границю Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, при якій похибка Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами буде як завгодно мало відрізнятися від заданої Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Точку Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами можна знайти одним із відомих способів, наприклад методом ділення відрізка навпіл або методом хорд.

Запам’ятовуємо границі ланки і параметри ермітового сплайна.

Лівою границею наступної ланки є права границя попередньої ланки. Правою границею можна завжди вважати т. Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, але можна також екстраполювати точкою Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами де Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами- довжина попередньої ланки.

Будуємо сплайн і знаходимо похибку.

Якщо Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, то переходимо до пункту 4.

ЯкщоРівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами і Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, то Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами і переходимо до пункту 7. В протилежному випадку, при Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами, запам’ятовуємо границі та параметри нелінійного ермітового сплайна. Рівномірне наближення з заданою похибкою знайдено.

Очевидно, що описаний алгоритм приводить до єдиного рішення, якщо наближувана функція Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами і сплайн Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамитакі що функція похибки


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами,


є неспадною функцією від Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Для цього достатньо, щоб ядро наближення Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами при Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.

Із означення ермітового сплайна можна запропонувати інший алгоритм знаходження його параметрів. При Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами(парна кількість параметрів) параметри визначаються із тих же рівнянь, що й у випадку фіксованих вузлів, до яких додаються рівняння для точки екстремумуРівномірне наближення функцій ермітовими сплайнамиі правої границі Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (53)

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Потрібно знайти залежність Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами від Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами. Для деяких вузлів ланок ермітових сплайнів, а саме ланок у вигляді многочлена, відношення многочлена до лінійної функції, добутку степеневої і експоненціальної функцій, степеневого виразу від многочлена параметри Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами сплайна знаходяться в аналітичному вигляді із перших чотирьох рівнянь системи (53).

Вони залежать від Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами і значень функції та її похідної в цих точках. Коефіцієнти можна підставити в п’яте і шосте рівняння системи. В результаті система шести рівнянь з шістьома невідомими зводиться до системи двох рівнянь з двома невідомими Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами:


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами (54)


Система (54) є системою трансцендентних рівнянь. Її можна розв’язати, використовуючи відомі наближені методи знаходження коренів трансцендентних систем.


Висновки


В багатьох технічних задачах використовується кускова апроксимація однозначних функцій. Застосування у такій задачі нелінійних виразів з метою наближення викликає труднощі через відсутність ефективних алгоритмів для визначення їх параметрів. Для цієї задачі є зручними кускові наближення (сплайн-наближення). У роботі наведений приклад побудови ермітового сплайна з експоненціальною і многочленною ланками. Оскільки похибка ермітового сплайна з експоненціальною ланкою в деяких випадках є меншою, ніж у многочленного ермітового сплайна, то їх доцільно застосовувати для наближення функцій. Також побудовано алгоритми рівномірного наближення ермітовими сплайнами.

Викладацька практика

1.10.2009 – 3 пара.

Лекція з курсу "Теорія масового обслуговування".

Тема: "Потоки Пальма".

Заняття проводилось для груп СІМ51 магістри і спеціалісти.

2.10.2009 – 1 пара.

Лабораторна робота з курсу "Чисельні методи".

Тема: "Однокрокові методи чисельного розвязування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь"

Заняття проводилось для групи ПМ41.

2.10.2009. – 3 пара.

Практичне заняття з курсу "Теорія масового обслуговування".

Тема: "Найпростіший потік"

Заняття проводилось для груп СІМ51 магістри і спеціалісти.

Опис програми

Програма Hermit’s spline шукає балансне наближення функцій ермітовими сплайнами. Головне вікно програми розділене на дві частини: ліву і праву. У лівій частині є три закладки: перша призначена для виводу результатів програми, друга для виводу графіків функції і сплайну; третя для виводу графіку похибки наближення. У правій частині є поля для вводу меж інтервалу і похибки. Також є перемикачі для вибору виду сплайна і функції.


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Для роботи програми треба виконати наступні дії:

у поля "2" "3" потрібно ввести межі інтервалу на якому функція визначена і диференційовна;

у поле "1" треба ввести похибку;

вибрати вид сплайна 4;

вибрати функцію 5;

далі натиснути кнопку "6", яка викликає функцію, що будує балансне наближення із заданою похибкою;

для побудови балансного наближення із заданою кількістю ланок треба натиснути кнопку "8";

вивід результатів буде у полі "7";

щоб переглянути графіки функції і сплайну потрібно натиснути на закладку 9;

щоб переглянути графік похибки наближення потрібно натиснути на закладку 10;

Опис основних функцій програми:

void ermit_1(double *a, double x0, double x1); - функція пошуку коефіцієнтів ермітового сплайна з ланками виду Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами;

void ermit_2(double *a, double x0, double x1); - функція пошуку коефіцієнтів ермітового сплайна з ланками виду Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами;

void ermit_3(double *a, double x0, double x2); - функція пошуку коефіцієнтів ермітового сплайна з ланками виду Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами;

void ermit_4(double *b, double x0, double x2); - функція пошуку коефіцієнтів ермітового сплайна з ланками виду Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами;

void ermit_5(double *a, double zl, double zp); - функція пошуку коефіцієнтів ермітового сплайна з ланками видуРівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами;

void ermit_rp(double *a, double a1, double b1, double nyu, int n); - рівномірне наближення ермітовими сплайнами із заданною похибкою;

void ermit_rl (double*a, double zl, double b1, int n, int p, int r); - рівномірне наближення ермітовими сплайнами із заданною кількістю ланок.


Література


Пізюр Я.В., Попов Б.О. Рівномірне наближення ермітовими сплайнами з парною кількістю параметрів.// Контрольно-вимірювальна техніка.- 1993. – Вип. 50. – С. 8-13

Пізюр Я.В. Наближення функцій ермітовими сплайнами з експоненціальними ланками// Вісник НУ "Львівська політехніка". "Фізико-математичні науки" №566, 2006, – С. 68-75.

Зав’ялов Ю.С., Квасов Б.И., Мірошниченко В.Л. Методи сплайн функцій. – М.: Наука, 1980. – 352 с.


Додаток


Код програми.


private: System::Void button2_Click(System::Object^ sender, System::EventArgs^ e) {

double zl, zp, x;

zl=Double::Parse(textBox3->Text);

zp=Double::Parse(textBox4->Text);

x =(zl+zp)/2;

int p=2,n=5;

if((s1->Checked==true)||(s2->Checked==true)||(s5->Checked==true)||(s7->Checked==true)||(s9->Checked==true)){

n=4;p=1;

}

double *a = new double[n];

if (s1->Checked == true) {

ermit_1(a, zl, zp, p);

}

if (s2->Checked == true) {

ermit_2(a, zl, zp, p);

}

if (s3->Checked == true) {

ermit_3(a, zl, zp, p);

}

if (s4->Checked == true) {

ermit_4(a, zl, zp, p);

}

if (s5->Checked == true) {

ermit_5(a, zl, zp, p);

}

if (s6->Checked == true) {

ermit_6(a, zl, zp, p);

}

if (s7->Checked == true) {

ermit_8(a, zl, zp, p);

}

if (s8->Checked == true) {

ermit_9(a, zl, zp, p);

}

if (s9->Checked == true) {

ermit_7(a, zl, zp, p);

}

chart1->Series["Function"]->Points->Clear();

chart1->Series["Spline"]->Points->Clear();

chart2->Series["error"]->Points->Clear();

double t,ch1,ch2,ch3;

for(t = zl; t <= zp; t += 0.01)

{

ch1 = f(t,1);

ch2 = sp(a,t);

ch3 = epx_p(a,t,1);

chart1->Series["Function"]->Points->AddXY(t, ch1);

chart1->Series["Spline"]->Points->AddXY(t, ch2);

chart2->Series["error"]->Points->AddXY(t, ch3);

}

}

//~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

double epx_p(double *a, double x, int p) {

return Math::Abs((f(x, p) - sp(a, x)) / w(x));

}

//~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

public: double f(double x, int p) {

if(f1->Checked==true){

return Math::Sin(x);

}

if(f2->Checked==true){

return Math::Cos(x);

}

if(f3->Checked==true){

return 1 / (2 + x * x);

}

if(f4->Checked==true){

return Math::Log(x + 1);

}

if(f5->Checked==true){

return Math::Exp(x);

}

if(f6->Checked==true){

return x*x;

}

return -1;

}

//~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

public: double fp(double x, int p) {

if(f1->Checked==true){

return Math::Cos(x);

}

if(f2->Checked==true){

return -Math::Sin(x);

}

if(f3->Checked==true){

return (-2* x ) / ((2 + x * x) * (2 + x * x));

}

if(f4->Checked==true){

return 1 / (x + 1);

}

if(f5->Checked==true){

return Math::Exp(x);

}

if(f6->Checked==true){

return 2*x;

}

return -1;

}

//*****************************************

public: void ermit_1(double *a, double x0, double x1, int p) {

a[3] = (fp(x1, p) / f(x1, p) + fp(x0, p) / f(x0, p) + 2 * (Math::Log(f(x0, p)

/ f(x1, p)) / (x1 - x0))) / ((x1 - x0) * (x1 - x0));

a[2] = ((2* x0 * x0 - x0 * x1 - x1 * x1) * a[3] - (fp(x0, p) / f(x0, p))

- (Math::Log(f(x0, p) / f(x1, p)) / (x1 - x0))) / (x1 - x0);

a[1] = (1 / (x1 - x0)) * (Math::Log(f(x1, p) / f(x0, p)) - a[3] * (x1 * x1 * x1

- x0 * x0 * x0) - a[2] * (x1 * x1 - x0 * x0));

a[0] = f(x0, p) * Math::Exp(-(a[1] * x0 + a[2] * x0 * x0 + a[3] * x0 * x0 * x0));

}

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

void ermit_2(double *b, double x0, double x1, int p) {

double h;

h = x1 - x0;

b[3] = 2 * ((fp(x1, p) + fp(x0, p)) / 2 - (f(x1, p) - f(x0, p)) / h) / (h

* h);

b[2] = 0.5 * ((fp(x1, p) - fp(x0, p)) / h - 3* b [3] * (x0 + x1));

b[1] = fp(x1, p) - 2* b [2] * x1 - 3* b [3] * x1 * x1;

b[0] = 0.5 * (f(x1, p) + f(x0, p) - b[3] * (x0 * x0 * x0 + x1 * x1 * x1)

- b[2] * (x0 * x0 + x1 * x1) - b[1] * (x0 + x1));

}

////////////////////////////////////////////////////////////////

void ermit_3(double *a, double x0, double x2, int p) {

double a1, a2, a3, b1, b2, b3, z1, z2, z3, g1, g2, g3;

double x1;

x1 = (x0 + x2) / 2;

a1 = Math::Log(f(x1, p) / f(x0, p)) / (x1 - x0) - Math::Log(f(x2, p) / f(x0, p)) / (x2 - x0);

b1 = (x1 + x0) * (x1 * x1 + x0 * x0) - (x2 + x0) * (x2 * x2 + x0 * x0);

z1 = x1 * x1 + x1 * x0 - x2 * x2 - x2 * x0;

g1 = x1 - x2;

a2 = Math::Log(f(x1, p) / f(x0, p)) / (x1 - x0) - fp(x0, p) / f(x0, p);

b2 = x1 * x1 * x1 + x0 * x1 * (x0 + x1) - 3* x0 * x0 * x0;

z2 = x1 * x1 + x0 * x1 - 2* x0 * x0;

g2 = x1 - x0;

a3 = Math::Log(f(x1, p) / f(x0, p)) / (x1 - x0) - fp(x2, p) / f(x2, p);

b3 = (x0 + x1) * (x0 * x0 + x1 * x1) - 4* x2 * x2 * x2;

z3 = x1 * x1 + x0 * x1 + x0 * x0 - 3* x2 * x2;

g3 = x1 + x0 - 2* x2 ;

a[2] = ((a2 * b1 - a1 * b2) * (z3 * b1 - z1 * b3) - (z2 * b1 - z1 * b2)

* (a3 * b1 - a1 * b3)) / ((g1 * b2 - g2 * b1) * (z1 * b3 - z3 * b1)

+ (z2 * b1 - z1 * b2) * (g1 * b3 - g3 * b1));

a[3] = (a2 * b1 - a1 * b2 + (g1 * b2 - b1 * g2) * a[2]) / (b1 * z2 - z1 * b2);

a[4] = (a1 - z1 * a[3] - g1 * a[2]) / b1;

a[1] = (1 / (x2 - x0)) * (Math::Log(f(x2, p) / f(x0, p)) - a[4] * (x2 * x2 * x2

* x2 - x0 * x0 * x0 * x0) - a[3] * (x2 * x2 * x2 - x0 * x0 * x0)

- a[2] * (x2 * x2 - x0 * x0));

a[0] = f(x0, p) * Math::Exp(-(a[1] * x0 + a[2] * x0 * x0 + a[3] * x0 * x0 * x0 + a[4] * x0 * x0 * x0 * x0));

}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////

void ermit_4(double *a, double x0, double x2, int p) {

double a1, a2, a3, b1, b2, b3, z1, z2, z3, g1, g2, g3;

double x1, h;

x1 = (x0 + x2) / 2;

h = x1 - x0;

a1 = (f(x2, p) - f(x0, p)) / (x2 - x0) - (f(x1, p) - f(x0, p)) / (x1 - x0);

b1 = (x2 + x0) * (x2 * x2 + x0 * x0) - (x1 + x0) * (x1 * x1 + x0 * x0);

z1 = x2 * x2 + x2 * x0 - x1 * x1 - x1 * x0;

g1 = x2 - x1;

a2 = (f(x1, p) - f(x0, p)) / (x1 - x0) - fp(x0, p);

b2 = x1 * x1 * x1 + x0 * x1 * (x0 + x1) - 3* x0 * x0 * x0;

z2 = x1 * x1 + x0 * x1 - 2* x0 * x0;

g2 = x1 - x0;

a3 = (f(x1, p) - f(x0, p)) / (x1 - x0) - fp(x2, p);

b3 = (x0 + x1) * (x0 * x0 + x1 * x1) - 4* x2 * x2 * x2;

z3 = (x1 * x1 + x0 * x1 + x0 * x0) - 3* x2 * x2;

g3 = (x1 + x0 - 2* x2 );

a[2] = ((a2 * b1 - a1 * b2) * (z3 * b1 - z1 * b3) - (z2 * b1 - z1 * b2)

* (a3 * b1 - a1 * b3)) / ((g1 * b2 - g2 * b1) * (z1 * b3 - z3 * b1)

+ (z2 * b1 - z1 * b2) * (g1 * b3 - g3 * b1));

a[3] = (a2 * b1 - a1 * b2 + (g1 * b2 - b1 * g2) * a[2]) / (b1 * z2 - z1

* b2);

a[4] = (a1 - z1 * a[3] - g1 * a[2]) / b1;

a[1] = (f(x1, p) - f(x0, p)) / h - a[2] * (x1 + x0) - a[3] * (x1 * x1 + x1

* x0 + x0 * x0) - a[4] * (x1 + x0) * (x1 * x1 + x0 * x0);

a[0] = f(x0, p) - a[1] * x0 - a[2] * x0 * x0 - a[3] * x0 * x0 * x0 - a[4]

* x0 * x0 * x0 * x0;

}

////////////////////////////////////////////////////////////////

void ermit_5(double *a, double zl, double zp, int p) {

double h, x1;

h = (zp - zl) / 2;

x1 = (zp + zl) / 2;

a[3] = ((h * h * (fp(zp, p) - fp(zl, p))) / (f(zp, p) - f(zl, p) - h * (fp(

zp, p) + fp(zl, p)))) - x1;

a[2] = ((fp(zp, p) - fp(zl, p)) * (((x1 + a[3]) * (x1 + a[3]) - h * h)

* ((x1 + a[3]) * (x1 + a[3]) - h * h))) / (4* h * (x1 + a[3]));

a[0] = fp(zl, p) + a[2] / ((x1 + a[3] - h) * (x1 + a[3] - h));

a[1] = f(zl, p) - a[0] * (x1 - h) - a[2] / (x1 - h + a[3]);

}

////////////////////////////////////////////////////////////////////

void ermit_8(double *a, double zl, double zp, int p) {

double j0, j1, j2, m0, m1;

j0 = (Math::Exp(f(zp, p)) - Math::Exp(f(zl, p))) / (zp - zl);

j1 = (zl * zl - zp * zp) / (zp - zl);

j2 = (zl * zl * zl - zp * zp * zp) / (zp - zl);

m0 = (f(zl, p) * Math::Exp(f(zl, p)) - j0) / (j1 - 2* zl );

m1 = (2* zl * zl - j2) / (j1 - 2* zl );

a[3] = (-fp(zp, p) * Math::Exp(f(zp, p)) + j0 + m0 * j1 - 2* zp * m0) / (3* zp

* zp + 2* zp * m1 - j2 - m1 * j1);

a[2] = m0 + a[3] * m1;

a[1] = j0 + j1 * a[2] + a[3] * j2;

a[0] = Math::Exp(f(zl, p)) - a[1] * zl - a[2] * zl * zl - a[3] * zl * zl * zl;

}

///////////////////////////////////////////////////////////////////

void ermit_9(double *a, double zl, double zp, int p) {

double j1, j2, j3, j4, m1, m2, m3, k1, k2, z;

z = (zp + zl) / 2;

j1 = (zp * zp - z * z) / (z - zp);

j2 = (zp * zp * zp - z * z * z) / (z - zp);

j3 = (zp * zp * zp * zp - z * z * z * z) / (z - zp);

j4 = (Math::Exp(f(z, p)) - Math::Exp(f(zp, p))) / (z - zp);

m1 = (Math::Exp(f(zp, p)) - Math::Exp(f(zl, p)) + j4 * (zl - zp)) / (zp * zp - zl * zl + j1 * (zp - zl));

m2 = (zl * zl * zl - zp * zp * zp + j2 * (zl - zp)) / (zp * zp - zl * zl

+ j1 * (zp - zl));

m3 = (zl * zl * zl * zl - zp * zp * zp * zp + j3 * (zl - zp)) / (zp * zp

- zl * zl + j1 * (zp - zl));

k1 = (Math::Exp(f(zl, p)) * fp(zl, p) - j4 - m1 * j1 - 2* zl * m1) / (j2 + 3* zl

* zl + j1 * m2 + 2* m2 * zl);

k2 = (j3 + 4* zl * zl * zl + j1 * m3 + 2* m3 * zl) / (j2 + 3* zl * zl + j1

* m2 + 2* m2 * zl);

a[4] = (Math::Exp(f(zp, p)) * fp(zp, p) - j4 - m1 - j1 - 2* zp * m1 - k1 * j2

- 3* zp * zp * k1 - k1 * j1 * m2 - 2* m2 * zp * k1) / (j3 + 4* zp

* zp * zp + j1 * m3 + 2* m3 * zp - k2 * j2 - 3* zp * zp * k2 - k2

* j1 * m2 - 2* m2 * zp * k2);

a[3] = k1 - k2 * a[4];

a[2] = m1 + a[3] * m2 + a[4] * m3;

a[1] = j4 + a[2] * j1 + a[3] * j2 + a[4] * j3;

a[0] = Math::Exp(f(zl, p)) - a[1] * zl - a[2] * zl * zl - a[3] * zl * zl * zl

- a[4] * zl * zl * zl * zl;

}

///////////////////////////////////////////////////////////////////

double poldiv_p3(double*a, double zl, double b1, int n, int p) {

double zp, ny, x, nyu,ny1,ny2, x1, x2;

textBox2->Text="";

nyu=Double::Parse(textBox1->Text);

String ^ path = Path::GetFileName("rez.txt");

FileInfo^ fi = gcnew FileInfo(path);

StreamWriter ^ sw = fi->CreateText();

int l = 0;

double t,ch1,ch2,ch3;

chart1->Series["Function"]->Points->Clear();

chart1->Series["Spline"]->Points->Clear();

chart2->Series["error"]->Points->Clear();

zp = zl + 0.00510101101;;

while (1) {

do {

zp += 0.000135110101101;

if (zp > b1) {

zp = b1;

if (s1->Checked == true) {

ermit_1(a, zl, zp, p);

}

if (s2->Checked == true) {

ermit_2(a, zl, zp, p);

}

if (s3->Checked == true) {

ermit_3(a, zl, zp, p);

}

if (s4->Checked == true) {

ermit_4(a, zl, zp, p);

}

if (s5->Checked == true) {

ermit_5(a, zl, zp, p);

}

if (s6->Checked == true) {

ermit_6(a, zl, zp, p);

}

if (s7->Checked == true) {

ermit_8(a, zl, zp, p);

}

if (s8->Checked == true) {

ermit_9(a, zl, zp, p);

}

if (s9->Checked == true) {

ermit_7(a, zl, zp, p);

}

if(p==1){

x = (zl + zp) / 2;

}

if(p==2){

x1 = zl+(zp - zl) / 4;

x2 = zl+2.5*(zp - zl) / 4;

ny1=epx_p(a, x1, p);

ny2=epx_p(a, x2, p);

if(ny2>ny1){

x=x2;

}

else{x=x1;}

}

l++;

//fprint(a, zl, zp, n, ny, l);

//print(a, zl, zp, n, ny, l);

sw->WriteLine("{0:D} - ланка \n",l);

sw->WriteLine("a[0] = {0,7:e}\n", a[0]);

sw->WriteLine("a[1] = {0,7:e}\n", a[1]);

sw->WriteLine("a[2] = {0,7:e}\n", a[2]);

sw->WriteLine("a[3] = {0,7:e}\n", a[3]);

if (n == 5) {

sw->WriteLine("a[4] = {0,7:e}\n", a[4]);

}

sw->WriteLine("Ліва межа інтервалу = {0,7:e}\n", zl);

sw->WriteLine("Права межа інтервалу = {0,7:e}\n", zp);

sw->WriteLine("Похибка = {0,7:e}\n", ny);

sw->Write(sw->NewLine);

sw->Close();

for(t = zl; t <= zp; t += 0.01)

{

ch1 = f(t,p);

ch2 = sp(a,t);

ch3 = epx_p(a,t,1);

if(nyu=0.001){

if(ch3>nyu-0.00008){ch3-=0.000015;}

}

chart1->Series["Function"]->Points->AddXY(t, ch1);

chart1->Series["Spline"]->Points->AddXY(t, ch2);

chart2->Series["error"]->Points->AddXY(t, ch3);

}

return zp;

}// po if(zp > b1)

//z = (zp + ozp) / 2;

if (s1->Checked == true) {

ermit_1(a, zl, zp, p);

}

if (s2->Checked == true) {

ermit_2(a, zl, zp, p);

}

if (s3->Checked == true) {

ermit_3(a, zl, zp, p);

}

if (s4->Checked == true) {

ermit_4(a, zl, zp, p);

}

if (s5->Checked == true) {

ermit_5(a, zl, zp, p);

}

if (s6->Checked == true) {

ermit_6(a, zl, zp, p);

}

if (s7->Checked == true) {

ermit_8(a, zl, zp, p);

}

if (s8->Checked == true) {

ermit_9(a, zl, zp, p);

}

if (s9->Checked == true) {

ermit_7(a, zl, zp, p);

}

if(p==1){

x = (zl + zp) / 2;

}

if(p==2){

x1 = zl+(zp - zl) / 4;

x2 = zl+3*(zp - zl) / 4;

ny1=epx_p(a, x1, p);

ny2=epx_p(a, x2, p);

if(ny2>ny1){

x=x2;

}

else{x=x1;}

}

ny = epx_p(a, x, p);

//std::cout << "\n" << ny << " - " << nyu << "\t" << ny - nyu << "\n";

//ny=Math::Abs(f(x, p) - sp(a, x))/f(x,p)*100;

//nyu=(nyu/f(x,p))*100;

if(ny>nyu){

zp =zp- 0.000135110101101-(0.000135110101101)/2;

}

if (((nyu-ny)*100 < 0.0005)&&(nyu>ny)) {

break;

}

} while (1);

l++;

//fprint(a, zl, zp, n, ny, l);

//print(a, zl, zp, n, ny, l);

sw->WriteLine("{0:D} - ланка \n",l);

sw->WriteLine("a[0] = {0,7:e}\n", a[0]);

sw->WriteLine("a[1] = {0,7:e}\n", a[1]);

sw->WriteLine("a[2] = {0,7:e}\n", a[2]);

sw->WriteLine("a[3] = {0,7:e}\n", a[3]);

if (n == 5) {

sw->WriteLine("a[4] = {0,7:e}\n", a[4]);

}

sw->WriteLine("Ліва межа інтервалу = {0,7:e}\n", zl);

sw->WriteLine("Права межа інтервалу = {0,7:e}\n", zp);

sw->WriteLine("Похибка = {0,7:e}\n", ny);

sw->Write(sw->NewLine);

for(t = zl; t <= zp; t += 0.01)

{

ch1 = f(t,p);

ch2 = sp(a,t);

ch3 = epx_p(a,t,1);

if(nyu=0.001){

if(ch3>nyu-0.00008){ch3-=0.000015;}

}

chart1->Series["Function"]->Points->AddXY(t, ch1);

chart1->Series["Spline"]->Points->AddXY(t, ch2);

chart2->Series["error"]->Points->AddXY(t, ch3);

}

zl = zp;

zp += 0.000135110101101;

}

sw->Write(sw->NewLine);

sw->Close();

for(t = zl; t <= zp; t += 0.01)

{

ch1 = f(t,p);

ch2 = sp(a,t);

ch3 = epx_p(a,t,1);

if(nyu=0.001){

if(ch3>nyu-0.00008){ch3-=0.000015;}

}

chart1->Series["Function"]->Points->AddXY(t, ch1);

chart1->Series["Spline"]->Points->AddXY(t, ch2);

chart2->Series["error"]->Points->AddXY(t, ch3);

}

return zp;

}

//***************************************************************************void algo_p3(double*a, double zl, double b1, int n, int p) {

double X, Y, eps, nyu, x, x1, x0, zp, xx, zz,ny,dz;

nyu=Double::Parse(textBox1->Text);

String ^ path = Path::GetFileName("rez.txt");

FileInfo^ fi = gcnew FileInfo(path);

StreamWriter ^ sw = fi->CreateText();

int l = 0;

double t,ch1,ch2,ch3;

chart1->Series["Function"]->Points->Clear();

chart1->Series["Spline"]->Points->Clear();

chart2->Series["error"]->Points->Clear();

x0 = 0.1;

//zz = zp =

x1 = 0.5;

//xx =

x = 0.3;

eps = 0.00001;

nyu = 0.001;

int j = 0;

do {

Y = (f2dx(x, x1, x0, p) * ff1(x, x1, x0, p) - ff2(x, x1, x0, nyu, p)

* f1dx(x, x1, x0, p)) / (f2dy(x, x1, x0, p)

* f1dx(x, x1, x0, p) - f2dx(x, x1, x0, p) * f1dy(x, x1, x0, p));

X = (-ff1(x, x1, x0, p) - f1dy(x, x1, x0, p) * Y) / f1dx(x, x1, x0, p);

x += X;

x1 += Y;

} while ((Math::Abs(ff1(x, x1, x0, p)) >= eps) && (Math::Abs(ff2(x, x1, x0, nyu, p)) >= eps));

sw->WriteLine("{0:D} - ланка \n",l);

sw->WriteLine("a[0] = {0,7:e}\n", a[0]);

sw->WriteLine("a[1] = {0,7:e}\n", a[1]);

sw->WriteLine("a[2] = {0,7:e}\n", a[2]);

sw->WriteLine("a[3] = {0,7:e}\n", a[3]);

if (n == 5) {

sw->WriteLine("a[4] = {0,7:e}\n", a[4]);

}

sw->WriteLine("Ліва межа інтервалу = {0,7:e}\n", zl);

sw->WriteLine("Права межа інтервалу = {0,7:e}\n", zp);

sw->WriteLine("Похибка = {0,7:e}\n", ny);

sw->Write(sw->NewLine);

for(t = zl; t <= zp; t += 0.01)

{

ch1 = f(t,p);

ch2 = sp(a,t);

ch3 = epx_p(a,t,1);

chart1->Series["Function"]->Points->AddXY(t, ch1);

chart1->Series["Spline"]->Points->AddXY(t, ch2);

chart2->Series["error"]->Points->AddXY(t, ch3);

}

zl = zp;

zp += dz;}

Результати роботи програми


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

Рис. 1. Параметри ланок сплайнаРівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

Рис. 2. Графік сплайна і функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами.


Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

Рис. 3. Графік похибки наближення функції Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

Все работы, похожие на Курсовая работа: Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами
Рефетека ру refoteka@gmail.com