Министерство образования и науки республики Казахстан
Северо-Казахстанский государственный университет
им. М. Козыбаева
Факультет информационных технологий
Кафедра математики
Курсовая работа
"Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца"
Петропавловск, 2007
Аннотация
В данной курсовой работе исследованы свойства некоторых семейств конечномерных пространств и доказаны интерполяционные теоремы для этих классов пространств.
Содержание
Введение
1. Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции
2. Общие свойства интерполяционных пространств
3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц
4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Теория интерполяции функциональных пространств как самостоятельная ветвь функционального анализа сформировалась за последние 40-45 лет. Она играет все возрастающую роль в анализе и его приложениях. Центральной темой теории является проблема интерполяции линейных операторов. Эта проблема тесно связана с задачей построения совокупности "промежуточных" пространств – арены, на которой действуют "промежуточные" операторы. Основополагающий вклад в теорию был сделан Эл.-Л. Лионсом, А.П. Кальдероном и С.Г. Крейном. При этом не следует, конечно, забывать, что исследованием названных авторов предшествовали (и стимулировали их) классические теоремы Рисса и Марцинкевича об интерполяции линейных операторов в пространствах lp.
Теория интерполяция также применяется в других областях анализа (например, в теории уравнений с частными производными, численном анализе, теории аппроксимации). Рассматривают два существенно различных интерполяционных метода: метод вещественной интерполяции и метод комплексной интерполяции. Модельными примерами для этих методов служат доказательства теоремы Марцинкевича и теоремы Рисса-Торина соответственно. Один из самых ранних примеров интерполяции линейных операторов был предложен Шуром. Шур сформулировал свой результат для билинейных форм, или вернее для матриц, соответствующих этим формам. В 1926 году М. Рисс доказал первую версию теоремы Рисса-Торина с ограничением p≤q, которое как он показал, существенно в случае, когда в качестве скаляров берутся вещественные числа. Основным рабочим инструментом Рисса было неравенство Гельдера. Но в 1938 году Торин привел совершенно новое доказательство и смог устранить ограничение p≤q. В то время как Рисс пользовался вещественными скалярами и неравенством Гельдера, Торин использовал комплексные скаляры и принцип максимума.
1. Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции
Пусть (u,μ) – пространство с мерой μ, которую будем всегда предполагать положительной. Две рассматриваемые функции будем считать равными, если они отличаются друг от друга лишь на множестве нулевой μ-меры. При этом обозначим через lp(u,dμ) или просто (lp(dμ), lp(u) или lp) лебегово пространство всех скалярнозначных μ-измерных функций f и u, для которых величина
конечна, здесь 1≤p<∞.
В случае, когда p=∞, пространство lp состоит из всех μ-измеримых ограниченных функций. В этом случае
Пусть T - линейное отображение пространства lp=lp(u,dμ) в пространство lq=lq(v,dν). Это означает, что T(αf+βg)=αT(f)+βT(g).
Если к тому же T- ограниченное отображение, то есть если величина конечна, то пишут T: lp®lq.
Число μ называется нормой отображения T. Справедливы следующие известные теоремы:
Теорема 1.1 (интерполяционная теорема Рисса-Торина)
Предположим,
что
и что T:
с нормой μ0
и T :
с нормой μ1.
Тогда T:
→
с нормой μ,
удовлетворяющей
неравенству
(*), при условии,
что 0<θ<1
и
;
.
Неравенство (*) означает, что μ как функция от θ логарифмически выпукла, то есть lnμ – выпуклая функция.
Доказательство теоремы приведено в [1].
Для скалярнозначной μ-измерной функции f, принимающей почти всюду конечные значения, введем функцию распределения m(σ,f) по формуле
Ясно, что m(σ,f)
представляет
собой вещественнозначную
функцию от σ,
определенную
на положительной
вещественной
полуоси
.
Очевидно, что
m(σ,f)
– невозрастающая
и непрерывная
справа функция.
Кроме того,
при 1≤p<∞
и
.
Используя
функцию распределения
m(σ,f),
введем теперь
слабые lp-пространства,
обозначаемые
через
.
Пространства
,
1≤p<∞, состоит
из всех функций
f , таких что
В предельном
случае p=∞,
положим
.
Заметим, что
не является
нормой при
1≤p<∞.
Действительно, ясно, что
Применяя неравенство
,
заключаем, что
Последнее
означает, что
представляет
собой так называемое
квазинормированное
векторное
пространство.
(В отличие от
нормированных
пространств,
где выполняются
неравенство
треугольника
,
в квазинормированных
пространствах
имеет место
лишь "квази-неравенство
треугольника"
для некоторого
k≥1.) Однако,
при p>1 в
пространстве
можно
ввести норму,
при наделении
которой оно
становится
банаховым
пространством.
Теорема 1.2 (Интерполяционная теорема Марцинкевича)
Пусть p0≠p1 и
T:
с нормой
,
T:
с нормой
.
Положим
;
,
и допустим, что
p≤q.
Тогда T:
→
,
с нормой μ,
удовлетворяющей
неравенству
.
Эта теорема, напоминает теорему Рисса-Торина, но отличается от нее во многих важных отношениях.
Во-первых, здесь
скаляры могут
быть как вещественными,
так и комплексными,
в то время как
в теореме
Рисса-Торина
обязательно
нужно, чтобы
скаляры были
комплексными.
Во-вторых здесь
имеется ограничение
p≤q. Наиболее
важная особенность
состоит в том,
что в предпосылках
теоремы пространства
и
заменены на
более широкие
пространства
и
.
Таким образом, теорема Марцинкевича может оказаться применимой в тех случаях, где теорема Рисса-Торина уже не работает.
2. Общие свойства интерполяционных пространств
Пусть A -
векторное
пространство
над полем
вещественных
или комплексных
чисел. Оно называется
нормированным
векторных
пространством,
если существует
вещественнозначная
функция (норма)
,
определенная
на A, удовлетворяющая
условием.
1)
,
причем
2)
(λ-скаляр)
3)
.
Пусть A и B – два нормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченным линейным оператором, если
,
и
.
Ясно, что всякий ограниченный линейный оператор непрерывен.
Пусть A0 и A1 – топологических векторных пространства. Говорят, что
A0 и A1
совместимы,
если существует
отделимое
топологическое
векторное
пространство
U, такое, что
A0 и A1,
являются
подпространствами.
В этом случае
можно образовать
сумму A0
+ A1, и пересечение
A0∩A1.
Сумма состоит
из всех aU,
представимых
в виде a=a0+a1,
где a0
A,
и a1
A,
Справедлива следующая лемма
Лемма 2.1. Пусть A0 и A1-совместимые нормированные векторные пространства. Тогда
A0∩A1, есть нормированное векторное пространство с нормой
A0 + A1, также представляет собой нормированное векторное пространство с нормой
При этом если A0 и A1 – полные пространства, то A0∩A1 и A0 + A1 также полны.
Дадим некоторые важные определения:
Категория σ состоит из объектов A,B,C…., и морфизмов R,S,T,…. между объектами и морфизмами определено трехместное отношение T: A↷B.
Если T: A↷B и S: B↷C, то существует морфизм ST, называемый произведением (или композицией) морфизмов S и T, такой, что ST: A↷ C.
Операция взятия произведения морфизмов удовлетворяет закону ассоциативности: T(SR)=(TS)R. далее, для всякого объекта A из σ существует морфизм I=IA, такой, что для любого морфизма T: A↷A TI=IT=T
Через σ1
обозначим
категорию всех
совместимых
пар
пространств
из σ.
Определение
2.1. Пусть
=(A0,A1)-заданная
пара из σ1.
Пространство
A из σ
будем называть
промежуточным
между A0
и A1 (или
относительно
),
если имеют
место непрерывные
вложения.
.
Если, кроме,
того T:
↷
влечет
T: A ↷ A,
то A называется
интерполяционным
пространством
между A0
и A1.
Более общим
образом, пусть
и
-
две пары из σ1.
Тогда два
пространства
A и B из
σ называются
интерполяционными
относительно
и
соответственно
и T:
↷
влечет
T: A↷ B.
Если выполнено
,
В этом случае, говорят, что A и B равномерные интерполяционные пространства.
Определение 2.2 Интерполяционные пространства A и B называются пространствами типа θ (0≤θ≤1), если
В случае с=1 говорят, что A и B - точные интерполяционные пространства типа θ.
3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц
Хорошо известно, что проблема нахождения нормы линейного оператора, спектрального радиуса оператора являются трудной проблемой и в конечномерном случае. В то же время, иногда важно не вычисляя нормы оператора знать, как она изменится в случае некоторого преобразования.
В данной работе изучается влияние распределения ненулевых элементов неотрицательной матрицы на норму соответствующего оператора и спектрального радиуса.
Определим
пространство
как множество
всех наборов
вида
a=(a1, a2,…, aN)
с нормой
.
Множество
Q={(k,l):k,l=1,…,N}
назовем решеткой
размерности
N x N.
Любое множество
Q0={(ki,lj):
,
}
будет являться
подрешеткой
размерности
r x m.
Спектральный
радиус линейного
оператора в
конечномерном
пространстве
определяется
следующим
образом:
r(A)=,
где lk- собственные значения оператора A.
Пусть m ≤ N, d1,…,dm - положительные числа. Через Dm обозначим множество неотрицательных матриц А, ненулевые элементы которых принимают значения d1,…,dm. Через P(A) обозначим множество индексов соответствующих положительным элементам. Пусть AОDm. Если D={(ki,lj), i=1,…,q, j=1,…,p} подрешетка, содержащая P(A), то для соответствующего оператора А
Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицы норма не меняется.
Пусть даны положительные числа d1,…,dm и натуральное число m < N2.
Будем исследовать следующие вопросы:
Как расположить числа d1,…,dm в решетке Q, чтобы норма линейного оператора AQ соответствующего решетке (матрице) Q была максимальной?
Пусть в неотрицательной решетке Q m положительных элементов. Как расположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейного оператора AQ соответствующей полученной решетке была максимальной?
Как расположить числа d1,…,dm в решетке Q, чтобы спектральный радиус был минимальным (максимальным)?
Справедливы следующие теоремы:
Теорема 3.1 Пусть
d1,…,dm
положительные
числа, Dm
- класс неотрицательных
матриц, ненулевые
элементы которых
принимают
значения d1,…,dm.
Если m ≤ N,
Q0 -произвольная
подрешетка
размерности
1
m, то
.
Доказательство. Воспользуемся определением и неравенством Коши-Буняковского, получаем
Неравенство в обратную сторону очевидно.
Теорема доказана.
Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньше либо равно N, то своего максимума норма достигается когда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце.
Теорема 3.2 Пусть
d1=…=dm=d,
то есть Dm
– множество
всех матриц,
имеющие m
ненулевых
элементов,
которые равны
числу d. Q0
-произвольная
решетка, симметричная
относительно
главной диагонали
размерности
nn,
где n=min{r:
r2 ≥ m}.
Тогда
,
где [m1/2] - целая часть числа m1/2.
Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AОDm
.
Пусть Q1
-подрешетка,
также симметричная
относительно
главной диагонали
размерности
.
Тогда для AОDm,
Q1МP(A)МQ0
имеет место
представление
А=А1+А0, где А1,А0ОDm, Р(А1)=Q1, P(A0)МQ1\Q0.
Учитывая, что матрицы А0 и А1 неотрицательны, получаем
,
поэтому r(A0)≤r(A).
С другой стороны А1 – симметричная матрица и следовательно
.
Таким образом,
.
Теорема доказана.
Теорема 3.3 Пусть
множество GМQ,
где Q - решетка
размерности
nn
таково, что,
если (k,l)ОG,
то (l,m),(n,k)ПG
для всех n,mО{1,2,…,N}.
Тогда, если P(A)МG, то r(P(A))=0.
Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы А с ненулевыми элементами из G (т.е. P(A)МG) имеет место равенство А2=0, т.е. А – нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственное значение 0.
Теорема доказана.
Теорема 3.4 Пусть AОDm. Пусть Q0 -минимальная подрешетка содержащая P(A), (Q0ЙP(A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находится хотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A.
Пусть Ad – матрица, полученная из матрицы A добавлением элемента со значением d>0 в одно из свободных мест, тогда
Доказательство.
Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы, то можно считать, что решетка A0={(i,j), i=1,…,l; j=1,…,m} расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пусть добавлен еще один ненулевой элемент d с координатами (i0,j0) вне решетки Q0. Возможны три случая:
1 ≤ i0 ≤ l, j0 > m;
i0 > l, 1 ≤ j0 ≤ m;
i0 > l, j0 > m.
Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). По условию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент и мы можем предположить, что a1m=0. Получаем:
Используя неравенства
,
имеем:
Пусть z1=x1,
z2=x2,…,zm=
и
,
тогда
где элемент
имеет координаты
(1,m).
Следовательно
Рассмотрим второй случай. Пусть добавленный ненулевой элемент соответствует индексу (l+1,1). Учитывая, что в каждой строке и в каждом столбце решетки есть хотя бы один ненулевой элемент и то, что от перестановки строк норма матрицы не меняется, мы можем предположить, что al1=0. Аналогично первому случаю имеем:
.
Используя неравенства
,
получаем:
.
Пусть z1=y1,
z2=y2,…,zm=
и
,
тогда
где элемент
имеет координаты
(l,1). Следовательно
Рассмотрим последний случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (l+1, m+1). В этом случае нужно учесть, что от перестановки строк и столбцов норма матрицы не изменится, поэтому можно положить, что alm=0. Рассуждая также, как и в предыдущих случаях, получаем:
где элемент
имеет координаты
(l,m).
Теорема доказана. Аналогичные задачи для интегральных операторов были рассмотрены в работах [1], [5].
4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств
Пусть 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Определим семейство конечномерных пространств:
где
невозрастающая
перестановка
последовательности
.
Обозначим через
–множество
всех непустых
подмножеств
из {1,2,...N} Пусть
M
, 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q
≤ ∞, множество
M назовем
сетью.
Определим семейство конечномерных пространств
|e| - количество элементов множества e.
При q=∞ положим
Данные пространства являются конечномерными аналогами сетевых пространств, введенных в [1].
Будем говорить
что {AN}
↪ {BN}
если существует
константа c,
такая что
для любого
,
где c не
зависит от
.
Лемма 4.1 Пусть
1 ≤ q <q1≤
∞, 1 ≤ p ≤ ∞,
.
Тогда имеет
место вложение
↪
то есть
где с не зависит от выбора N.
Доказательство.
Пусть
(1)
то есть
↪
Теперь рассмотрим случай, когда 1 ≤ q <q1< ∞, и воспользуемся неравенством (1)
Лемма доказана.
Лемма 4.2 Пусть 1≤p<p1<∞, 1≤q,q1≤∞. Тогда имеем место вложение
↪
Доказательство.
Согласно условию леммы, нам достаточно доказать вложения при p < p1 :
↪
Получаем:
Лемма доказана.
Лемма 4.3 Пусть
1<p<∞, 1≤q≤∞,
M=
.
Тогда
Равенства
понимаются
с точностью
до эквивалентности
норм, причем
константы не
зависят от.
Доказательство. Сначала докажем соотношение:
(2)
Заметим, что
Поэтому
Теперь покажем
обратное неравенство.
Пусть
.
Учитывая выбор
имеем.
~
~
Заметим, что
Согласно (2) получаем:
то есть
↪
.
Докажем обратное
включение.
Пусть
Введем
следующие
обозначения:
Тогда
.
Пусть для определенности
.
Возможны следующие случаи:
.
В первом случае получаем, что
.
Во втором случае
,
следовательно
.
Представим
,
тогда
.
Здесь и далее
- целая часть
числа
.
Получаем
Заметим, что
существует
такое, что
Положим
Тогда
.
.
Таким образом, получаем
Из того, что
Имеем
То есть
.
Следовательно
↪
где
соответствующие
константы не
зависят от N.
Лемма доказана.
Для пары пространств
определим
интерполяционные
пространства
аналогично
[5] .
Пусть
,
тогда
где
При q=∞
Лемма 4.4 Пусть
,
d>1. Тогда
Справедлива следующая
Теорема 4.1 Пусть ≤p0<p1<∞, 1<q0,q1≤∞, M – произвольная сеть. Тогда
↪
где
Доказательство.
Учитывая, что
↪
нам
достаточно,
доказать следующее
вложение
↪
Пусть
Рассмотрим
произвольное
представление
a=a0+a1,
где
тогда
(3)
Так как представление a=a0+a1 произвольно, то из (3) следует
Где
Рассматривая
норму элемента
в пространстве
и применяя
лемму 4.4 , получаем:
Теорема доказана.
Теорема 4.2 Пусть
1≤p0<p1<∞,
1<q0,q1≤∞,
Тогда
имеет место
равенство
Это равенство
понимается
в смысле эквивалентности
норм с константами,
не зависящими
N.
Доказательство.
По теореме 4.1
и того, что
является обобщением
пространств
Лоренца нам
достаточно
доказать следующее
вложение:
↩
.
Определим
элементы
и
следующим
образом
, тогда
.
Заметим что
(4)
где
(5)
где
Тогда
Из (4) и (5) имеем:
Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используя неравенство Гельдера:
~
где
.
Таким образом,
получаем, что
Аналогично
рассмотрим
второе слагаемое:
~
~
~
Таким образом, получаем
где c не
зависит от
.
Теорема доказана.
Теорема 4.3 Пусть
- матрица
,
тогда
~
Причем соответствующие
константы не
зависят от
Доказательство.
Воспользуемся
эквивалентными
представлением
нормы
и неравенством
о перестановках,
получим
~
где
- невозрастающая
перестановка
последовательности
Применим неравенство Гельдера
Учитывая лемму 3, имеем
Обратно, пусть
e произвольное
множество из
M1,
, где
Тогда
В силу произвольности выбора e из M1 получаем требуемый результат.
Следствие.
Пусть
- матрица
p0<p1,
q0<q1,
тогда
Доказательство. Из теоремы 3 следует, что
Воспользуемся интерполяционными теоремами 1,2, получаем
то есть
С другой стороны по лемме 1 и теореме 3 имеем
,
Следствие доказано.
Заключение
В данной курсовой работе приведены и доказаны некоторые свойства конечномерных пространств, а именно пространств Лоренца и сетевых пространств.
Полученные результаты могут быть полезны для студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей. Кроме того, данный материал может быть использован для чтения спецкурсов и спецсеминаров.
Список использованной литературы
Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.
Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.
Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Об интегральных операторах в пространствах. Фундаментальная и прикладная математика. Т.5. №2, 1999. С. 475-491.
Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Теория управления катастрофами. //Успехи математических наук, 1998. Т.53. Выпуск 2.
Нурсултанов Е.Д. Сетевые пространства и неравенства типа Харди-Литтлвуда //Матем.сборник.-1998.-Т.189, №3.-С.83-102.
Таджигитов А.А. О зависимости нормы матрицы от взаимного расположения ее элементов. // Материалы Международной научной конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, Россия, 2004, с. 177-178.
Таджигитов А.А. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц. //Материалы Международной научно-практической конференции "Современные исследования в астрофизике и физико-математических науках", Петропавловск, 2004, с. 104-107.
Таджигитов А.А. Интерполяционные свойства конечномерных пространств. //Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2005", Астана, 2005, с. 41-42.