Содержание
Задание 1. Определение суммы процента за кредит при германской и английской практике
Задание 2. Определение суммы процентов, полученных за кредит, погашенный единовременным платежом
Задание 3. Определение ставки процентов по кредиту с учетом инфляции
Задание 4. Определение доходности в виде годовой ставки сложных процентов
Задание 5. Определение доходности вкладов по годовой ставке сложных процентов
Задание 6. Определение суммы процентов, начисленных на вклад за период
Задание 1. Определение суммы процента за кредит при германской и английской практике
Кредит в размере 30 тыс. руб. был взят 20 марта 2000 г. со сроком погашения 15 августа этого же года по ставке 30% годовых. Определите сумму процента за кредит при германской и английской практике их начисления.
В германской (коммерческой) практике расчет числа дней основывается на длительности года в 360 дней и месяцев в 30 дней. Сокращенно суть данного метода можно записать1:
12 месяцев по 30 дней = 360 / количество дней в году - 360
Во французской практике длительность года принимается равной 360 дням, количество дней в месяце соответствует их фактической календарной длительности (28, 29, 30, 31 день). 365 / 360
В английской практике Tгод = 365 (366) дней, продолжительность каждого месяца - фактическая. 365 / 365
Исчисляемые по германской базе проценты называются обыкновенными или коммерческими, по английской - точными.
Количество дней по германской системе:
10+30+30+30+30+15-1 = 144,
где 1 – день вложения и снятия суммы
Количество дней по английской системе:
11+30+31+30+31+15-1 = 147 дней
Наращенную сумму по схеме простых процентов можно будет определять следующим образом2:
FV = PV + I = PV + i • PV • n = PV (1 + i • n) = PV • kн,
где kн – коэффициент (множитель) наращения простых процентов.
FV - показывает будущую стоимость "сегодняшней" величины PV
PV – сегодняшняя величина.
i – процентная ставка
n – количество лет наращивания
Сумма процента за кредит при германской практике начисления составит:
FV = 30000(1+0,3*144/360) = 33600 руб.
Сумма процента за кредит = 33600-30000 = 3600 руб.
Сумма процента за кредит при английской практике начисления составит:
FV = 30000(1+0,3*147/365) = 33624,7
Сумма процента за кредит = 33624,7-30000 = 3624,7 руб.
Задание 2. Определение суммы процентов, полученных за кредит, погашенный единовременным платежом
Банк выдает долгосрочные кредиты по сложной ставке 30% годовых. Определите сумму процентов, полученных за кредит в размере 20 тыс. руб, погашенный единовременным платежом через 2,5 года (двумя методами)
1 метод:
Наращение по сложному проценту рассчитывается по следующей формуле3:
Рn = Р0(1 + i)n ,
где Pn – наращенная сумма через число периодов n,
Р0 – первоначальный размер долга,
i – сложная ставка наращения,
n = a+b - число периодов (лет) наращивания,
a – целая часть периода;
b – дробная часть периода;
(1 + i)n – множитель наращивания по сложным процентам.
20000*(1+0,3)2,5 = 38537,93
Сумма процентов, полученных за кредит = 38537,93-20000 = 18537,93
2 метод:
Смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:
Рn = Р0 • (1 + i)a • (1 + bi),
где Pn – наращенная сумма через число периодов n,
Р0 – первоначальный размер долга,
i – сложная ставка наращения,
a – целое число лет;
b – дробная часть года.
20000*(1+0,3)2 * (1+0,5*0,3) = 38870
Сумма процентов, полученных за кредит = 38870-20000 = 18870
Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.
Задание 3. Определение ставки процентов по кредиту с учетом инфляции
Кредит в размере 50 тыс. руб. выдается на 3 года. При ожидаемом годовом уровне инфляции 10% реальная доходность операции должна составить 3% по сложной ставке процентов. Определите ставку процентов по кредиту с учетом инфляции, погашаемую сумму и сумму начисленных процентов
Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.
Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле4:
iτ = i + τ + iτ
где iτ – процентная ставка с поправкой на инфляцию;
i – простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную
доходность финансовой операции (нетто-ставка);
τ - показатель инфляции.
Ставка процентов по кредиту с учетом инфляции должна быть равна:
iτ = 0,03 + 0,1 + 0,03*0,1 = 0,133
Наращение по сложному проценту рассчитывается по следующей формуле5:
FV = PV (1 + i)n ,
где FV – наращенная сумма через число периодов n,
PV – первоначальный размер долга,
i – сложная ставка наращения,
n - число периодов (лет) наращивания,
(1 + i)n – множитель наращивания по сложным процентам.
Наращенная сумма с учетом инфляции:
FV = 50000*(1+0,133)3 = 72720,98 руб.
Сумма процентов:
I = FV - PV = 72720,98 - 50000 = 22720,98 руб.
Задание 4. Определение доходности в виде годовой ставки сложных процентов
Определить доходность в виде годовой ставки сложных процентов от учета векселя по простой учетной ставке 8 % годовых, если срок оплаты его наступает через два года.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j / m6:
(1 + i)n = (1 + j / m)m • n, тогда i = (1 + j / m)m - 1.
где j – номинальная годовая ставка процентов
m – число периодов начисления,
n – период вклада.
i = (1+0,08/2)2 – 1 = 0,1664
Таким образом, доходность по годовой ставке сложных процентов составит 16,64%.
Задание 5. Определение доходности вкладов по годовой ставке сложных процентов
Банк начисляет ежемесячно проценты на вклады по номинальной ставке – 26 %. Определить доходность вкладов по годовой ставке сложных процентов.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j / m7:
(1 + i)n = (1 + j / m)m • n,
где j – номинальная годовая ставка процентов
m – число периодов начисления,
n – период вклада.
Следовательно,
i = (1 + j / m)m - 1.
i = (1+0,26/12)12 – 1 = 0,293
Таким образом, доходность по годовой ставке сложных процентов составит 29,3%.
Задание 6. Определение суммы процентов, начисленных на вклад за период
Сложные проценты начисляются на вклады ежемесячно по номинальной ставке – 36 %. Определить сумму процентов, начисленных на вклад 2000 руб. за два года.
Начисление процентов за дробное число лет может выполняться по формуле сложных процентов8:
Рn (или S) = Р0(1 + i/m)nm =Р0(1 + j)nm;
где Pn (или S) – наращенная сумма через число периодов n,
P – первоначальный размер долга,
i - номинальная процентная ставка наращения,
n - число лет наращивания,
m – число периодов за год,
j = i/m – проценты за один период начисляемые по ставке i,
nm - количество начислений
Р5 = 2000 (1+0,36/12)2*12 = 4065,588 руб.
Список литературы
Капитоненко В.В. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2007. - 256 с.
Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов / Б.Т. Кузнецов. — М.: Издательство «Экзамен», 2005. — 128 с.
Коптева Н.В., Семенов С.П. Финансовая математика. / Сервер электронных публикаций ММЦ АлтГУ. // [WWW документ] URL irbis.asu.ru/mmc/econ/u_finmath/2.1.1.ru.shtml (2003).
Определение календарной базы начисления простых процентов. / базисные финансовые расчеты: Методические указания. // [WWW документ] URL http://www.kgau.ru/distance/resources/schnecke/g3.htm
1 Определение календарной базы начисления простых процентов. / базисные финансовые расчеты: Методические указания. // [WWW документ] URL http://www.kgau.ru/distance/resources/schnecke/g3.htm
2 Финансовая математика_Коптева Н.В., Семенов С.П. / Сервер электронных публикаций ММЦ АлтГУ. //[WWW документ] URL irbis.asu.ru/mmc/econ/u_finmath/2.1.1.ru.shtml (2003).
3 Капитоненко В.В. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2007. - с.9.
4 Капитоненко В.В. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2007. - с.13.; Финансовая математика_Коптева Н.В., Семенов С.П. / Сервер электронных публикаций ММЦ АлтГУ. //[WWW документ] URL irbis.asu.ru/mmc/econ/u_finmath/2.1.1.ru.shtml (2003).
5 Финансовая математика_Коптева Н.В., Семенов С.П. / Сервер электронных публикаций ММЦ АлтГУ. //[WWW документ] URL irbis.asu.ru/mmc/econ/u_finmath/2.1.1.ru.shtml (2003).
6 Определение календарной базы начисления простых процентов. / базисные финансовые расчеты: Методические указания. // [WWW документ] URL http://www.kgau.ru/distance/resources/schnecke/g3.htm; Капитоненко В.В. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2007. - с.9.
7 Определение календарной базы начисления простых процентов. / базисные финансовые расчеты: Методические указания. // [WWW документ] URL http://www.kgau.ru/distance/resources/schnecke/g3.htm
8 Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов / Б.Т. Кузнецов. — М.: Издательство «Экзамен», 2005. — 128 с.
9