Рефетека.ру / Промышленность и пр-во

Курсовая работа: Исследование операций и Теория систем

Министерство образования и науки Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Системы управления


Курсовая работа

по курсу

Исследование операций и Теория систем


Выполнил: Пушников А.А.

Группа: ПС-669

Проверила Плотникова Н.В.

Дата«____»____________2006г.


Челябинск

2006г

Содержание


Теория систем

Модели системы

Модель черного ящика

Модель состава

Модель структуры

Структурная схема

Динамическая модель

Классификация модели

Закономерности модели

Исследование операций

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4


Теория систем


Модели системы


Рассматривается модель движения жесткого летательного аппарата самолетного типа. В качестве исследуемого аппарата взят некий гипотетический самолет современного типа.


Модель черного ящика


К входам системы относятся управляющие органы летательного аппарата и возмущения окружающей среды. Рассматриваемый самолет обладает органом управления тягой двигателя и аэродинамическими рулями: элероны, закрылки, руль направления и высоты (рис. 1). Так же на самолет влияет скорость ветра, температура и плотность окружающего воздуха.

Исследование операций и Теория систем

Рисунок 1. Рулевые органы ЛА


К выходам ЛА относятся данные, полученные с датчиков самолета. Непосредственно измеряется положение летательного аппарата в пространстве относительно нормальной системы координат, для этого используются датчики углового положения и система глобального позиционирования (GPS). Так же измеряются угловые скорости, угловые ускорения, линейные скорости и линейные ускорения (перегрузки).


Модель состава


Модель движения летательного аппарата можно разбить на следующие подсистемы и элементы:

Аэродинамика летательного аппарата. Выражает воздушный поток вокруг самолета. Воздействие воздушного потока заключается в создании сил и моментов.

Момент и сила тяги, вызываемые двигателем.

Поступательное движение. Вычисляется скорость движения самолета в связной системе координат.

Вращательное движение. Вычисляются угловые скорости самолета в связанной системе координат.

Навигация. Вычисляет положение самолета в нормальной системе координат.

Угловое положение. Через углы Эйлера или матрицу направляющих косинусов.

Показания датчиков.

Сигналы управляющих приводов. Положение ручка тяги, закрылок, элеронов, руля высоты и направления.


Модель структуры


Структура движения летательного аппарата определяется отношениями между следующими парами элементов, указанны прямые отношения (табл. 1).

Таблица 1

Аэродинамические моменты Угловые скорости
Аэродинамические силы Угловые скорости
Аэродинамические силы Аэродинамические моменты
Момент, вызываемый двигателем Угловые скорости
Сила тяги Скорость движения самолета
Сила тяги Момент, вызываемый двигателем
Скорость движения самолета Навигация
Навигация Показания датчиков
Скорость движения самолета Показания датчиков
Угловые скорости Показания датчиков
Сигналы управляющих приводов Аэродинамические моменты
Сигналы управляющих приводов Аэродинамические силы
Сигналы управляющих приводов Момент и сила тяги, вызываемые двигателем
Угловое положение Угловые скорости


Структурная схема


Так как в модели нас интересует функции каждого элемента системы, рассмотрим структурную схему в зависимости от сил и моментов, действующих на модель (рис. 2).


Рисунок 2.Структурная схема.

Динамическая модель


Обозначения:

набор входных воздействий (входов) в системе – вектор управления (вход системы);

набор выходных воздействий (выходов) в системе – набор данных получаемых с датчиков будет выходом системы;

набор параметров, характеризующих свойства системы, постоянные во всё время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, – конструктивные и неконструктивные параметры летательного аппарата;

набор параметров, характеризующих свойства системы, изменяющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния) – линейные и угловые скорости, положение в пространстве и угловое положение, аэродинамические силы и моменты, силы и моменты в двигателе;

параметр (или параметры) процесса в системе – t;

правило Исследование операций и Теория систем - нелинейная зависимость скоростей и положения в пространстве летательного аппарата от вектора управления;

правило Исследование операций и Теория систем - нелинейная зависимость показаний датчиков от вектора управления, скоростей и положения в пространстве летательного аппарата;

правило Исследование операций и Теория систем - нелинейная зависимость показаний датчиков от скоростей и положения в пространстве.

Тогда модель может быть записана так:

Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем

Классификация модели


Классификация системы:

по их происхождению - искусственная система, машина;

по описанию входных и выходных процессов - c количественными переменными, непрерывная, детерминированная система;

по описанию оператора системы – параметризованная, разомкнутая, нелинейная;

по способам управления – система управляемая извне, с управлением типа регулирование;


Закономерности модели


Целостность. Совокупность аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность движения в воздухе.

Иерархичность. Совокупность управляющих элементов, датчиков, аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность управляемого движения в воздухе.

Коммуникативность. На полет летательного аппарата действуют температура окружающей среды, скорость и направление ветра, плотность воздуха и др.

Эквифинальность. Рано или поздно, самолет вынужден будет приземлится или разобьется. Т.о. скорости, ускорения, моменты и силы будут равны нулю.

Исследование операций


Задача 1

Авиакомпания «Небесный грузовик», обслуживающая периферийные районы страны, располагает А1 самолетами типа 1, А2 самолетами типа 2, А3 самолетами типа 3, которые она может использовать для выполнения рейсов в течение ближайших суток. Грузоподъемность (в тысячах тонн) известна: В1 для самолетов типа 1, В2 для самолетов типа 2, В3 для самолетов типа 3.

Авиакомпания обслуживает два города. Первому городу требуется тоннаж в С1, а второму – в С2 т. Избыточный тоннаж не оплачивается. Каждый самолет в течение дня может выполнить только один рейс.

Расходы, связанные с перелетом самолетов по маршруту «центральный аэродром – пункт назначения», обозначены символом aij, где первый индекс соответствует номеру города, а второй – типу самолета.

А1=8, А2 = 15, А3 =12, В1 = 45, В2 = 7, В3 = 4, С1 = 20000, С2 = 30000, a11= 23,
a12 = 5, a13 = 1.4, a21 = 58, a22 = 10, a23 =3.8.


Решение

1. Составим математическую модель задачи. Возьмём в качестве целевой функции расходы на перелеты самолетов (соответственно, необходима минимизация целевой вункции), а в качестве переменных – число рейсов в день xij, где первый индекс соответствует номеру города, а второй – типу самолета.

Целевая функция:

Исследование операций и Теория систем

Ограничений задачи:

Исследование операций и Теория систем

Основная задача линейного программирования:

Исследование операций и Теория систем

2. Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных:

Исследование операций и Теория систем

Составим симплекс – таблицу:



bi x11 x12 x13 x21 x22 x23

0
23
5
7/5
58
10
19/5















y1 8
1
0
0
1
0
0















y2 15
0
1
0
0
1
0















y3 12
0
0
1
0
0
1















y4 -20000
-45
-7
-4
0
0
0















y5 -30000
0
0
0
-45
-7
-4
















bi x11 x12 x13 x21 x22 x23

0
23
5
7/5
58
10
19/5


-150
0
-10
0
0
-10
0
y1 8
1
0
0
1
0
0


0
0
0
0
0
0
0
y2 15
0
1
0
0
1
0


15
0
1
0
0
1
0
y3 12
0
0
1
0
0
1


0
0
0
0
0
0
0
y4 -20000
-45
-7
-4
0
0
0


0
0
0
0
0
0
0
y5 -30000
0
0
0
-45
-7
-4


105
0
7
0
0
7
0


bi x11 x12 x13 x21 y2 x23

-150
23
-5
7/5
58
-10
19/5


-228/5
0
0
-19/5
0
0
-19/5
y1 8
1
0
0
1
0
0


0
0
0
0
0
0
0
x22 15
0
1
0
0
1
0


0
0
0
0
0
0
0
y3 12
0
0
1
0
0
1


12
0
0
1
0
0
1
y4 -20000
-45
-7
-4
0
0
0


0
0
0
0
0
0
0
y5 -29895
0
7
0
-45
7
-4


48
0
0
4
0
0
4


bi x11 x12 x13 x21 y2 y3

-978/5
23
-5
-12/5
58
-10
-19/5


464
-58
0
0
-58
0
0
y1 8
1
0
0
1
0
0


8
1
0
0
1
0
0
x22 15
0
1
0
0
1
0


0
0
0
0
0
0
0
x23 12
0
0
1
0
0
1


0
0
0
0
0
0
0
y4 -20000
-45
-7
-4
0
0
0


0
0
0
0
0
0
0
y5 -29847
0
7
4
-45
7
4


360
45
0
0
45
0
0


bi x11 x12 x13 y1 y2 y3

1342/5
-35
-5
-12/5
-58
-10
-19/5















x21 8
1
0
0
1
0
0















x22 15
0
1
0
0
1
0















x23 12
0
0
1
0
0
1















y4 -20000
-45
-7
-4
0
0
0















y5 -29487
45
7
4
45
7
4
















Ответ: Задача не имеет допустимого решения

Задача 2


№ вар с1 с2 с3 с4 с5 с6 b1 b2 b3 Знаки ограничений a11 a12 a13 a14










1 2 3



8 2 6 2 –2 2 0 2 6 1 = = = –1 2 1 0
№ вар. a15 a16 a21 a22 a23 a24 a25 a26 a31 a32 a33 a34 a35 a36 Тип экстр.
8 0 0 2 1 1 1 2 0 1 –1 0 0 1 0 max

1. Основная задача линейного программирования:

Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем

Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных:

Исследование операций и Теория систем

2. Составим симплекс – таблицу:



bi x1 x2

2
-4
-6







x3 2
-1
2







x4 2
1
1







x5 1
1
-1








3. Решим задачу линейного программирования.



bi x1 x2

2
-4
-6


6
-3
3
x3 2
-1
2


1
-0.5
0.5
x4 2
1
1


-1
0.5
-0.5
x5 1
1
-1


1
-0.5
0.5


bi x1 x3

8
-7
3


21/4
21/4
-21/8
x2 1
-0.5
0.5


3/8
3/8
-3/16
x4 1
1.5
-0.5


3/4
3/4
-3/8
x5 2
0.5
0.5


-3/8
-3/8
3/16


bi x4 x3

53/4
21/4
3/8







x2 11/8
3/8
5/16







x1 3/4
3/4
-3/8







x5 13/8
-3/8
11/16








Оптимальное решение найдено.

Ответ: F=53/4, x1=3/4, x2=11/8, x3=0, x4=0, x5=13/8, x6=0.

Задача 3


№ вар. а1 а2 а3 b1 b2 b3 b4 b5 с11 с12 с13
8 200 200 600 200 300 200 100 200 25 21 20

№ вар. с14 с15 с21 с22 с23 с24 с25 с31 с32 с33 с34 с35
8 50 18 15 30 32 25 40 23 40 10 12 21

Исходные данные:



B1 B2 B3 B4 B5 аi
A1 25 21 20 50 18 200
A2 15 30 32 25 40 200
A3 23 40 10 12 21 600
bi 200 300 200 100 200 1000

Определение опорного плана задачи



B1 B2 B3 B4 B5 аi
A1 25 21 20 50 18

200



200




A2 15 30 32 25 40 600


300 200 100

A3 23 40 10 12 21 200





200
bi 200 300 200 100 200 600

L=5000+9000+6400+2500+4200=27300

r+m-1=7>5 это вырожденный случай.

Определение оптимального плана

1. Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем


B1 B2 B3 B4 B5 аi
A1 25 21 20 50 18

200+e1



200 e1



A2 15 30 32 25 40 600


300 200 100

A3 23 40 10 12 21 200+e2




e2 200
bi 200 300+e1 200 100+e2 200 600+e1+e2

2. Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем



B1 B2 B3 B4 B5 аi
A1 25 21 20 50 18

200+e1



0 200+e1



A2 15 30 32 25 40 600

200 100 200 100

A3 23 40 10 12 21 200+e2




e2 200
bi 200 300+e1 200 100+e2 200 600+e1+e2

3. Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем


B1 B2 B3 B4 B5 аi
A1 25 21 20 50 18

200+e1



0 200+e1



A2 15 30 32 25 40 600

200 100 200-e2 100+e2

A3 23 40 10 12 21 200+e2



e2
200
bi 200 300+e1 200 100+e2 200 600+e1+e2

4. Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем



B1 B2 B3 B4 B5 аi
A1 25 21 20 50 18

200+e1



0 e2+e1 200-e2


A2 15 30 32 25 40 600

200 300-e2
100+e2

A3 23 40 10 12 21 200+e2



e2
200
bi 200 300+e1 200 100+e2 200 600+e1+e2

Результат



B1 B2 B3 B4 B5 аi
A1 25 21 20 50 18

200+e1



0 e2+e1

200-e2
A2 15 30 32 25 40 600

200 300-e2
100+e2

A3 23 40 10 12 21 200+e2



200
e2
bi 200 300+e1 200 100+e2 200 600+e1+e2


B1 B2 B3 B4 B5 аi
A1 25 21 20 50 18

200



0


200
A2 15 30 32 25 40 600

200 300
100

A3 23 40 10 12 21 200



200


bi 200 300 200 100 200 600

Исследование операций и Теория систем Исследование операций и Теория систем


Исследование операций и Теория систем


Так в системе Исследование операций и Теория систем нет положительных чисел, то найденный план называется оптимальным.

Исследование операций и Теория систем

Ответ: F=19100


Задача 4


b1 b2 c11 c12 c22 extr a11 a12 a21 a22 p1 p2 Знаки огр.













1 2
8 1 2 –1 0 –1 max 1 2 1 1 16 8 Ј =

Исследование операций и Теория систем

Приведем систему к стандартному виду:

Исследование операций и Теория систем

Определение стационарной точки:

Исследование операций и Теория систем

Очевидно, что данные координаты не удовлетворяют условиям ограничений.

1. Проверка стационарной точки на относительный max или min:

Исследование операций и Теория систем

Стационарная точка является точкой относительного максимума.

2. Составление функции Лагранжа:

Исследование операций и Теория систем

3. Применим теорему Куна-Таккера:

Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем

Нахождение решения системы:

Перепишем эту систему, оставив все переменные в левой части:

Из уравнения 3 системы следует, что x1=8-x2:

Исследование операций и Теория систем

Тогда:

Исследование операций и Теория систем

Для обращения неравенств системы в равенства введём V1, V2, W и преобразуем систему:

Исследование операций и Теория систем

Запишем условия дополняющей нежесткости:

Исследование операций и Теория систем

4. Метод искусственных переменных:

Введем искусственные переменные Исследование операций и Теория систем,Исследование операций и Теория систем в первое и второе уравнения со знаками, совпадающими со знаками соответствующих свободных членов:

Исследование операций и Теория систем

Далее решаем полученную задачу линейного программирования, для этого из 1 и 2 уравнений выражаем переменные Исследование операций и Теория систем,Исследование операций и Теория систем и принимаем их в качестве базисных.

Исследование операций и Теория систем

Составляем симплекс-таблицу:

Исследование операций и Теория систем



bi x2 u1 u2 V1 V2

-17M
-4M
-M
0
-M
M


M
M
0.5M
-0.5M
0
-0.5M
z1 15
2
-1
1
1
0


1
1
0.5
-0.5
0
-0.5
z2 2
2
2
-1
0
-1


1
1
0.5
-0.5
0
-0.5
W 8
-1
0
0
0
0


0
0
0
0
0
0


bi x2 z2 u2 V1 V2

-16M
-3M
0.5M
-0.5M
-M
0.5M


3M
3M
1.5M
-1.5M
0
-1.5M
z1 16
3
0.5
0.5
1
-0.5


-3
-3
-1.5
1.5
0
1.5
u1 1
1
0.5
-0.5
0
-0.5


1
1
0.5
-0.5
0
-0.5
W 8
-1
0
0
0
0


1
1
0.5
-0.5
0
-0.5


bi u1 z2 u2 V1 V2

-13M
3M
2M
-2M
-M
-M


13M
-3M
M
2M
M
M
z1 13
-3
1
2
1
1


13
-3
1
2
1
1
x2 1
1
0.5
-0.5
0
-0.5


0
0
0
0
0
0
W 9
1
0.5
-0.5
0
-0.5


0
0
0
0
0
0


bi u1 z2 u2 z1 V2

0
0
3M
0
M
0













V1 13
-3
1
2
1
1













x2 1
1
0.5
-0.5
0
-0.5













W 9
1
0.5
-0.5
0
-0.5














u1=u2=z1=z2=V2=0

V1=13

x2=1

W=9

x1=8-x2=7

Исследование операций и Теория систем

Исследование операций и Теория систем

Ответ: x2=1, x1 =7, Исследование операций и Теория систем

Список используемой литературы


Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – Москва: Издательство МГТУ имени Баумана Н. Э., 2000г. – 436с.

Плотникова Н.В. «Исследование операций» Часть 1. Линейное программирование.

Плотникова Н.В. «Лекции по курсу теория систем»

Похожие работы:

  1. • Исследование операций и теория систем
  2. • Исследование операций и теория систем
  3. • Методы решения логистических задач
  4. • Особенности исследования систем управления
  5. • Основные подходы к исследованию систем управления
  6. • Системный анализ
  7. • Исследование систем управления
  8. • Системный подход в системах управления
  9. • Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в ...
  10. • Курс лекций в Московском Государственно-Индустриальном ...
  11. • Основные понятия и направления системных исследований
  12. • Системный подход к разработке управленческих решений
  13. • Философско-методологические аспекты системного подхода
  14. • Методология научного познания
  15. • Управление материальными потоками
  16. • Тейлор Ф.У. - основоположник научного менеджмента
  17. • Проектирование оптимальной структуры строительных машин при ...
  18. • Проектирование автотранспортных предприятий
  19. • Праксеология Тадеуша Котарбиньского
Рефетека ру refoteka@gmail.com