Новосибирский государственный педагогический университет.

Математический факультет

Кафедра математических методов в экономике

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

Курсовая работа по экономике.

Выполнила: студент 45гр.

Голобокова О.В.

Научный руководитель:

Осипов Ф.Л.

Новосибирск 2009 г.

Оглавление

Введение

Модели управления запасами, в экономике

– Классификация моделей управления запасами

Детерминированные модели управления запасами

Управление запасами при случайном спросе и издержке в поставках

–Структура оптимальных стратегий при вероятностном спросе и мгновенных поставках товаров

–Расчет нормативных критических уровней запасов при вероятностном спросе и мгновенных поставках

–Расчет планового объема поставок при вероятностном спросе с фиксированной задержкой поставки

–Приближенные методы планирования поставок при их случайной издержке

Динамическая модель управления запасами

Задачи

Заключение

Список литературы

Введение

В большинстве случаев физически невозможно либо экономически не выгодно, чтобы товары поступали именно тогда, когда на них поступает спрос. При отсутствии запасов потребителями приходилось бы ждать, пока их заказы будут выполнены. Главная причина создания запасов продовольствия и сельскохозяйственного сырья – сезонность его производства. Кроме того, цены на сырье, применяемое изготовителем, могут подвергаться значительным сезонным колебаниям. Когда цена низка, выгодно создавать достаточные запасы сырья, которые в течении всего сезона высоких цен по мере надобности использовались бы в производстве. Другой довод, особенно важный для предприятий розничной торговли, состоит в том, что объем продажи и прибыль возрастут, если имеется некоторый запас товаров, предлагаемых потребителю.

С помощью математических методов можно выработать правила управления запасами. Если для решения задач управления запасами применяются математические методы, то исследуемую систему необходимо описать с помощью математической модели.

В этой курсовой работе рассматриваются как детерминированные, так и стохастические модели управления запасами, которые имеют не только теоретическое, но и практическое значение.

Модели управления запасами в экономике

Хотя вопросы, связанные с хранением запасов, имеют давнюю историю, только в начале нынешнего столетия были сделаны первые попытки использовать аналитические методы для их изучения. Первоначальным толчком к применению математических методов анализа систем управления запасами послужило развитие промышленности, технических и экономических наук, особенно науки об управлении производствам. Реальную потребность в анализе впервые ощутили те отрасли промышленности, которым пришлось столкнуться с вопросами календарного планирования производства и хранения запасов, когда продукция производится серийно (стоимость переналадки достаточно высока) и поступает на заводской склад.

Впервые формулы, которые часто называют простыми формулами размера партии, были выведены Фордом Харрисом в 1915 г. С тех пор те же самые формулы были получены, по-видимому, самостоятельно многими исследователями. Подобные формулы часто называют формулами Уилсона, так как они представляют собой один из результатов разработанной им схемы исследования детерминированных моделей.

Лишь по окончании второй мировой войны, когда стали развиваться наука о методах управления и исследование операций, было обращено серьезное внимание на вероятностный характер процессов управления запасами. До этого системы управления запасами рассматривались как детерминированные, за исключением тех немногих случаев, когда были предприняты попытки каким-то образом учесть стохастический характер этих систем. Так, во время войны была создана статистическая стохастическая модель, а вскоре после этого был разработан стохастический вариант простой модели размера партии. В последнее время экономисты и математики проявили интерес к управлению запасами и, в частности, к моделям динамики. Поиск оптимальных стратегий и является предметом теории оптимального управления запасами. Математическая формулировка задачи отыскания оптимальной стратегии существенно зависит от исследуемой ситуации. Однако общность принимаемых в расчет факторов позволяет говорить о единой модели управления запасами.

Основными элементами задачи оптимального управления запасами являются:

система снабжения;

спрос на предметы снабжения;

возможности пополнения запасов;

функции затрат ( в частном случае – цены);

ограничения;

принятая стратегия управления запасами.

Условимся, что здесь и далее под стратегией следует понимать выбранную снабженцем линию поведения, полностью определяющую его действия в рамках рассматриваемой модели.

Классификация моделей управления запасами

Под системой снабжения понимается совокупность складов, между которыми в ходе операции по снабжению осуществляется перевозки хранимого имущества. Функция затрат составляется и минимизируется для системы в целом, а не для каждого отдельного склада. Возможно два варианта построения систем снабжения: децентрализованный (однокаскадный) и эшелонированный (многокаскадный). В первом случае все склады непосредственно обслуживают потребителей, и недостача предметов снабжения на одном или нескольких складах может быть покрыта за счет избытка их запасов на других складах. Источник получения для всех складов принимается неисчерпаемым. Во втором случае каждая недостача покрывается за счет конечных запасов склада высшей ступени.

Системы снабжения классифицируются также по числу хранимых видов товаров (однокомпонентные и многокомпонентные) и по стабильности свойств хранимого имущества. Чаще всего предполагается, что ни свойства , ни количество хранимого имущества не подвержены естественным изменениям. Однако могут быть случаи его естественной порчи (продукты питания) или, наоборот, возрастания «полезности» предметов хранения со временем (вина, произведении искусства).

Все системы снабжения в зависимости от планируемого числа периодов операции по управлению запасами можно разделить на статические (один период, этап) и динамические (многоэтапные).

Спрос на предметы снабжения может быть:

стационарным или нестационарным;

детерминированным или стохастическим;

непрерывно распределенным или дискретным;

зависящим от спроса на другие виды товаров или независимым.

Пополнение запасов всегда происходит с некоторой случайной задержкой относительно момента выдачи требования. Однако роль и величина этой задержки зависит от конкретных условий, что позволяет в ряде случаев упростить задачу. Степень возможного упрощения определяется тем, какой из следующих вариантов реализуется:

мгновенная поставка;

задержка поставок на фиксированный срок;

задержка поставок на случайный интервал времени (подчиненный известному закону распределения).

Функции затрат, как правило, являются критериями качества и учитываются следующие издержки:

расходы на хранение;

транспортные расходы и затраты, связанные с заказом каждой новой партии;

затраты на штрафы.

Иногда в минимизированную функцию включается (с отрицательным знаком) доходы, полученные от продажи остатков запаса в конце каждого периода.

В зависимости от особенностей исследуемой ситуации рассматриваются следующие варианты выбора отдельных составляющих функции затрат.

Издержки хранения:

пропорциональные среднему уровню запаса за период и продолжительности существования положительного запаса;

пропорциональные остатку (положительному) к концу периода;

не линейные функции среднего запаса и продолжительности существования положительного запаса или функции положительного остатка к концу периода.

Стоимость поставки:

пропорциональные объему поставки;

постоянная (независимо от объема и числа номенклатур);

пропорциональная числу номенклатур в заявке;

пропорциональная необходимому приросту интенсивности производства.

Штрафы:

пропорциональные средней положительной недостаче за период и продолжительности существования недостачи;

пропорциональные положительной недостаче к концу периода;

постоянные (при ненулевой недостаче);

нелинейные функции средней недостачи и продолжительности существования недостачи или недостачи к концу периода.

Ограничения в задачах управления запасами могут быть самого различного характера, например по таким показателям, как:

максимальный объем запасов;

максимальный вес;

максимальная скорость;

средняя стоимость;

число поставок в заданном интервале времени;

максимальный объем (вес, стоимость) поставки;

доля требований, удовлетворяемых только после прибытия очередной поставки (детерминированный случай);

вероятность недостачи (вероятностный случай).

Стратегия управления запасами, т.е. структура правила определения момента и объема заказа, в практических приложениях обычно считается известной, и задача сводится к определению одной или нескольких констант (параметров стратегии). Примером подобной стратегии может быть следующая: если объем запасов z меньше критического уровня Y*, то количество товаров, которое необходимо заказать, составляет Y*-z; если же объем запасов z больше или равен Y*, то ничего заказывать не надо.

Необходимо отметить, что область применения теории управления запасами отнюдь не ограничивается складскими операциями. В частности, под запасом можно подразумевать:

наличие товара;

рабочую силу, которую планируется использовать для выполнения определенного задания;

размер капитала страховой, финансовой компании;

емкость складских помещений;

грузоподъемность транспортных средств;

производственную мощность предприятия;

численность персонала данной квалификации.

Таким образом, при соответствующем переосмыслении элементов модели, методом теории управления запасами можно решать очень широкий круг задач оптимального планирования. Однако для удобства изложения мы сохраним снабженную терминологию.

В заключение необходимо отметить, что подстановка практических задач управления запасами, как правило, приводит к многономенклатурным ситуациям, необходимости совместного рассмотрения группы складов, случайным задержкам во времени. Все эти факторы существенно усложняют расчет оптимальных стратегий.

Ситуация, однако, существенно упрощается при выполнении каждого из следующих условий:

а) поставка предметов снабжения производится от независимых поставщиков;

б) штрафы за недостачу либо суммируются по всем номенклатурам, либо вообще отсутствуют;

в) на выбор параметров стратегии управления запасами не наложено общих для групп номенклатур ограничений или такие ограничения не существенны;

г) критерием качества организации снабжения для каждого склада служит сумма затрат на данном складе;

д) отношение среднего квадратичного отклонения задержки поставок к ее среднему значению мало.

Выполнение условий а, б и в позволяет расчленить многономенклатурную задачу на однономенклатурные, благодаря условию г появляется возможность независимого рассмотрения каждого склада, а выполнение условия д обеспечивает приближенное сведение случайной задержки поставок к фиксированной (в частности, к нулевой).

Последующие разделы курсовой работы будут посвящены методам математического анализа моделей управления запасами, в которых хотя бы приближенно выполнены все перечисленные условия. Такие модели, не смотря на их предельную простоту, не являются беспочвенной абстракцией: зарубежный или отечественный опыт свидетельствует о массовом применении этих подходов.

Детерминированные модели управления запасами

Рассмотрим метод расчета параметров оптимальных стратегий при детерминированном стационарном спросе на изолированном складе при следующих предложениях:

Продолжительность планового периода неограниченна;

Интенсивности спроса и поставок постоянны и равны µ и λ соответственно;

Время и уровни запасов описываются непрерывными переменными;

Накладные расходы на запуск производства постоянны и равны g;

Затраты на содержание запасов и издержки, вызванные дефицитом, пропорциональны среднему уровню запасов и среднему уровню дефицита соответственно; h – стоимость хранения одного изделия в течении единицы времени; p – штрафные потери за нехватку одного изделия в течение единицы времени.

Динамика изменения уровня запаса при детерминированном спроса показана на рис. 1.

Полный цикл работы склада имеет положительность Т. Обозначим через предельный запас на складе. Считая расходы на хранение (и штрафы) пропорциональными среднему запасу (дефициту) и времени их существования, получаем следующее выражение для функции затрат за цикл:

Очевидно, что

Максимальный дефицит _ выражается через как

Подставим и , и получаем

.

Перепишем функцию затрат с учетом линейности изменения уровня запаса:

.

В развернутом виде

,

оттуда затраты в единицу времени

(2.1)

Найдем частные производные от L1 по и T и приравняем их к нулю:

(2.2)

(2.3)

Совместимое решение этих уравнений дает для оптимальных и Т условия

(2.4)

(2.5)

При этом достигается минимум затрат в единице времени

.(2.6)

Момент запуска производства определяется достижением наибольшего дефицита

(2.7)

Из полученных соотношений как частные случаи легко выводятся более известные формулы запасов.

Так, например, при высоком штрафе можно принять

При этом

(2.8)

(2.9)

(2.10)

а недостачи полностью исключаются (_=0).

Другой частный случай соответствует высокой интенсивности восполнения запаса – условие, типичное для поставок с вышестоящего склада, когда весь объем затребованной партии отгружается разом. В этой модели

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Наиболее широкое применение нашли формулы, выведенные при обоих рассмотренных допущениях (так называемые формулы Уилсона, полученные еще в 20-х годах):

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Пример 1. Нахождение оптимальных размеров заказываемой партии, интервал между заказами и общих среднесуточных издержек.

На склад цемент доставляют на багаже. Накладные расходы на запуск производства цемента и доставку его на склад равны 1960 руб. Издержки хранения 1 т цемента в течение суток составляют 10 коп. Найти оптимальные : размер заказываемой партии цемента, интервал времени между заказами поставок, среднесуточные общие издержки, если поставки осуществляются без задержки – мгновенно, а дефицит не допускается.

Исходные данные задачи: µ = 50т/сут, g = 1960 руб.,/(т·сут), h/p = 0, _ = 0.

Для решения задачи используем формулы Уилсона (2.14) – (2.16). оптимальный размер заказываемой партии:

Интервал между заказами:

Общие среднесуточные издержки:

Помимо рассмотренных выше показателей представляют интерес еще два – объем заказываемой партии q и точка заказа при задержке τ между заказом и началом поставки. Первый из них равен спросу µТ за период, так что для общего случая

(2.17)

а при µ/λ→0

(2.18)

В моделях с высоким штрафом Точка заказа при задержке поставок определяется как –

Входящие в формулы данной курсовой экономические коэффициенты можно считать постоянными лишь в первом приближении – в некотором диапазоне объемов партий q. Так, цена заказа g и цена хранения h могут быть ступенчатыми возрастающими функциями q (при увеличении q, вероятно, потребуются дополнительные затраты на организацию производства, новые складские емкости). В подобных случаях необходимо задать некоторые априорное значение q0 ( например, середину допустимого диапазона), рассчитать h(q0) и g(q0) и по приведенным выше формулам найти q1.

Если h(q0) = h(q1) и g(q0)= g(q1), полученное значение q является окончательным. В противном случае вычисления повторяются при h(q1) и g(q1) и т.д. последовательные приближения, как правило, сходятся к искомому решению достаточно быстро.

Практический интерес вызывает задача определения продажной цены изделия S с учетом зависимости от нее интенсивности спроса µ. Будем считать, что спрос обеспечивается полностью, а себестоимость единицы продукции составляет u. Используя (2.10), можно для дохода в единицу времени записать выражение

(2.19)

Максимальный доход достигается при или при

(2.20)

Решать подобные уравнения удобно графически.

3. Управление запасами при случайном спросе и задержке в поставках

Простейшим случаем управления запасами при вероятностном спросе является однократное принятие решения о пополнении запаса (если решение не принимается вообще, теряет смысл само принятие управления).

Практическими примерами таких ситуаций являются все однократные процессы с относительно небольшой потребностью в материалах и оборудовании (некоторые виды строительства, обеспеченье испытательных работ), а снабжение потребителей в труднодоступных и удаленных районах.

Модель этого вида может быть названа статистической.

Структура оптимальных стратегий при вероятностном спросе и мгновенных поставках товаров

Пусть z – запас к началу операции;

Y – запас после его пополнения (очевидно, Y ≥ z);

x ≥ 0 – случайный спрос за время Т операции;

f(x) – плотность распределения спроса;

c(Y – z) – расходы на пополнение запасов.

Предполагается, что поставка производится до прихода первого требования и, следовательно, расходуется запас Y. Если к концу операции на складе осталось невостребованного товара ( Y – x) > 0 система снабжения несет избыточные расходы на хранение hT(Y – x), но может частично компенсировать убытки продажей этого товара за υ(Y – x). При x ≥ Y справедливо соотношение υ(Y – x) = =hT(Y-x) = 0. При не полном удовлетворении спроса x > Y, и только при этом условии склад платит штраф pT(x – Y).

Математическое ожидание расходов на хранение и штрафы:

(3.1)

Общие же средние затраты на хранение, штрафы и пополнение запасов будут равны

Продолжим c(Y – z) аналитически в область Y – z < 0 и будем считать, что функция NT(Y, z). Определена для Y ≥ 0 независимо от z. Найдем, при каком значении Y ≥ z величина LT(Y, z) минимальна. Для этого вычислим производную

(3.2)

(здесь учтено, что hT(0) = υ(0) = 0) и приравниваем ее к нулю. Те решения , которым соответствует положительная вторая производная, дадут относительные минимумы NT(z). В общем случае график зависимости затрат от запаса NT(Y, z) для фиксированного z имеет несколько относительных минимумов (см. рис 2).

Рис.2

Обозначим через Y1 абсциссу абсолютного минимума функции NT(Y, z) а чрез Y3, Y5, Y7, …– абсциссы следующих за ними справа относительных минимумов этой функции. Далее, пусть Y2, Y4, Y6, … – точки , удовлетворяющие условиям

Y1 < Y2 < Y3 < Y4 < Y5 <…,

NT(Y2) = NT(Y3),

NT(Y4) = NT(Y5),

NT(Y6) = NT(Y7) и т.д.

Тогда оптимальная стратегия будет иметь следующий вид:

при z<Y1 – заказывать количество товара Y1 – z,

при Y1 ≤ z ≤ Y2 – не заказывать,

при Y2 < z < Y3 – заказывать Y3 – z,

при Y3 ≤ z ≤ Y4 – не заказывать и т.д.

Вообще при Y2n+1 ≤ z ≤ Y2n+2 выгодно воздержаться от заказа, а при Y2n < z < <Y2n+1 – заказать количество товара Y2n+1 – z, n = 0, 1, 2, …; Y0 = 0. Критические числа Yi(I = 1,2, …) в общем случае могут зависеть от z.

Приведем достаточные условия. При совместимом выполнении которых оптимальная стратегия имеет более простую форму, соответствующую единственному минимуму LT9Y) + c(Y – z):

NT(0, z) не является относительным минимумом, и

т.е. заказ товаров уменьшает суммарные расходы;

2) NT(Y, z) → при Y →;

3) уравнение имеет не более одного вещественного корня.

Условие (3) может быть выполнено, например, в случае, когда является монотонной функцией Y. Так, если hT(Y – x) – υ(Y – z) и pT(x – Y) – выпуклые вниз возрастающие функции, а c(Y – z) = c · (Y – z), где с – стоимость единицы товара, то первый интеграл в (3.2) будет монотонно возрастать, а второй – монотонно убывать по абсолютной величине , что обеспечивает монотонное возрастание Если при этом справедливы так же условия (1) и (2), то решение существует, причем оно единственно, а оптимальная стратегия пополнения объемов запасов U(z) имеет следующий вид:

При этом, так как не зависит от z, величина так же не зависит от z.

Заметим, что содержанием условия (1) является экономическая целесообразность создания запаса, а условия (2) – неэффективность чрезмерных запасов. Оба этих условия для большинства практических ситуаций.

Следует отметить, что единственность решения является достаточным, но не необходимым условием существования простейшей стратегии с одним критическим уровнем. Так, если крайний справа относительный минимум NT(Y) в точке является и абсолютным минимумом этой функции, то независимо от числа корней оптимальная стратегия будет иметь следующий вид:

при – заказывать количество товара

при – не заказывать.

Предположим теперь, что стоимость пополнения запаса равна g + c · (Y – z) при Y – z > 0 и нулю – при Y – z ≤ 0. Здесь g – накладные доходы на доставку товара.

В этом случае заказ целесообразно производить лишь при

(3.3)

Если имеет единственное решение, то, как видно из рис. 3, иллюстрирующего определение нижнего критического уровня оптимальная стратегия будет иметь следующий вид:

при – заказывать количество товара

при – не заказывать.

Рис.3.

Стратегия такого типа называется стратегией двух уровней Здесь и – нижний и верхний критические уровни запасов соответственно.

Расчет нормативных критических уровней запасов при вероятностном спросе и мгновенных поставках

В предыдущем разделе данной курсовой приведены некоторые достаточно общие результаты относительно вида оптимальной стратегии управления запасами. С их помощью легко показать, что при линейных функциях затрат на хранение, транспорт и штрафы и суммарных затратах, подсчитываем согласно формуле (3.1) или ее аналогу для дискретного спроса, оптимальная стратегия описывается одним или двумя критическими уровнями.

Таким образом, в рамках данной модели остается рассмотреть только способ расчета этих уровней.

При подсчете затрат по средним значениям запаса и дефицита за период, а также при независимости штрафа от объема дефицита необходим дополнительный анализ структуры системы управления запасами, поскольку эти случаи в общем виде – при нелинейных функциях c(u), hT(u) и pT(u) – не исследованы. Ниже приводятся расчетные формулы для определения критических чисел оптимальных стратегий простейшего типа при линейных c(u), hT(u) и pT(u) для различных вариантов задачи об управлении запасами с пренебрежимо малой задержкой между заказом на восполнение запаса и поставкой. Попутно устанавливаются условия существования и единственности решения для функций затрат, отличных от (3.1).

В модели управления запасами с мгновенной поставкой и функцией затрат типа (3.1) с пропорциональными составляющими расходы за период равны

(3.4)

Из условия

получаем уравнение

(3.5)

для определения оптимального значения , где F(u) – интегральная функция распределения спроса за время Т, а отношение обычно называют критическим числом.

Для решения нижнего критического уровня запасов необходимо решить уравнение

(3.6)

Здесь – найденный с помощью соотношения (3.5) верхний критический уровень запасов. Расчет нижнего критического уровня в общем виде даже для известного распределения спроса представляет собой непростую задачу.

Однако если параметры распределения известны, то при нахождении можно избежать многих трудностей. Один подобный пример мы рассмотрим позже. Сейчас ограничимся нахождением верхнего уровня для различных распределений спроса.

При равномерном распределении спроса

соотношение (3.5) примет вид . Следовательно, оптимальный верхний уровень пополнения запасов для равномерного распределения спроса находится из соотношения

(3.7)

Для усеченного нормального распределения спроса (х ≥ 0) с параметрами а и σ уравнение (3.5) превращается в

где – функция Лапласа. Таким образом, верхний уровень находится из уравнения

(3.8)

В случае показательного распределения спроса и для имеем

и (3.9)

Пример 2. Нахождение оптимальных нижнего и верхнего критических уровней запаса при равномерно распределенном спросе

Рассчитать критические уровни и запасов в статистической модели управления запасами с равномерным распределением спроса

и мгновенной поставкой. Известно, что с = 0,1, hT = 5, pT = 10, g = 4.

Рассчитаем критическое число

Найдем верхний уровень из соотношения (3.7):

Нижний критический уровень найдем из уравнения (3.6):

где

С учетом исходных данных имеем

Далее вычислим И наконец, найдем нижний критический уровень как меньший корень уравнения

или, что одно и то же,

откуда

В соответствии со стратегией двух уровней и :

при z < 1,67 необходимо пополнить запас до уровня 3,3 единицы,

при z ≥ 1,67 ничего заказывать не надо.

В случае дискретного распределенного спроса

Соответственно

Вычислим приращение расходов при увеличении запаса на единицу:

Покажем существование и единственность оптимального значения , для чего исследуем знак приращения . При справедливо соотношение , при выполняется условие .

Монотонность функции обеспечивает однократность смены знака приращения. Очевидно, выбор должен производиться из условия одновременного выполнения неравенств и , которые могут быть сведены к системе неравенств для определения верхнего уровня , имеющей вид

(3.10)

Нижний критический уровень найдем с помощью соотношения

(3.11)

аналогично (3.6).

Таким образом, в качестве выбирается такое наименьшее целое значение z, при котором неравенство (3.11) выполняется последний раз.

Пример 3. Нахождение верхнего и нижнего критических уровней при дискретно распределенном спросе

Агропромышленное объединение планирует заказать несколько грузовых автомобилей на автопредприятии для уборки сельскохозяйственной продукции. Издержки, связанные с обслуживанием одного автомобиля (в том числе расходы на бензин и др.) в течение уборочного периода, оцениваются в 3 тыс. руб. Потери объединения в случае нехватки одного автомобиля составляют 9 тыс. руб. Накладные расходы при доставке автомашин на место и обратно (по железной дороге) равны 2 тыс. руб. Необходимое количество автомобилей – случайная величина (зависящая от урожая, погодных условий и др.) с рядом распределения

Х	4	5	6
Р(Х)	1/3	1/3	1/3

Найти оптимальную стратегию пополнения парка автомобилей, т.е. значения и при отсутствии задержки в поставке.

Параметры задачи: тыс. руб., тыс. руб., тыс. руб., с=0. Определим критическое число Теперь найдем верхний уровень . Функция распределения впервые превысит число R при Х=6, следовательно, .

Для определения найдем наименьшее значение z, для которого последний раз выполнено неравенство

(так как с=0). Полагаем, что все денежные суммы кратны тысяче. Вычислим

Вычислим

Так как 4 ≤ 2 + 3, то .

Вычислим

Неравенство 9 ≤ 2 + 3 не выполняется, значит,

Итак, , . Отсюда следует, что при z < 5 парк автомобилей необходимо пополнить до ; при z ≥ 5 пополнять его не нужно.

Расчет планового объема поставок при вероятностном спросе с фиксированной задержкой поставки

Рассмотренные выше модели с вероятностным спросом управлялись либо стратегией «двух уровней» ,либо стратегией , когда заказ на пополнение запаса выдается через равные промежутки времени Т, а объем заказа – величина не постоянная, определяемая верхним уровнем . Переход к минимизации затрат за единицу времени по обоим параметрам стратегии обычно затруднен вследствие сложного характера зависимости распределения спроса от времени. В связи с этим при отсутствии регламентированной периодичности поставок удобно перейти к стратегии с нижним критическим уровнем и фиксированным объемом поставок.

Предположим, что недостачи товара в модели случаются редко, средняя величина дефицита мала сравнительно с q, а время его существования значительно меньше среднего интервала между поставками (при достаточно высокой цене штрафа все перечисленные условия должна выполняться). При этих предположениях средний уровень запаса составит , а затраты на содержание – в единицу времени. В каждом периоде, кроме того, будут выплачиваться стоимость заказа g и штраф, среднее значение которого составит

где f(x) – плотность распределения спроса за время между выдачей заказа (момент достижения ) и получением восполнения. Количество периодов в единицу времени, очевидно, равно . Следовательно, суммарные ожидаемые затраты в единицу времени могут быть подсчитаны следующим образом:

. (3.12)

Приравнивая к нулю и , убеждаемся, что оптимальные параметры стратегии должны удовлетворять соотношениям

(3.13)

и

. (3.14)

Указанная система уравнений легко расширяется итерационным способом: задавшись начальным значением , представляют его в (3.14) и получают . Подстановка последнего в (3.13) дает и т.д. Процесс повторяется до тех пор, пока значения параметров в последовательных итерациях не окажутся достаточно близки друг к другу. Последняя пара значений и принимается за оптимальный надор параметров. Начальное значение целесообразно определять по формуле (2.14), т.е. следует положить .

Начальное приближенное по своей величине обычно оказывается достаточно близким к конечному результату. Однако более строгим критерием качества приближенного решения является сравнение затрат. Оценим относительное увеличение затрат от неточного определения и при экспоненциально распределенном спросе за время задержки. При средней интенсивности спроса µ и задержке τ плотность распределения спроса за время τ равна , а математическое ожидание дефицита –

.

Отметим, что . Следовательно, в нашем случае при оптимальном выборе q

. (3.15)

Подставим этот результат в (2.17), для нахождения оптимального имеем уравнение

, (3.16)

откуда

. (3.17)

Соответственно

. (3.18)

Перепишем (3.17) в виде

,

где коэффициент перед скобкой равен приближенному значению , определяемому согласно (2.14), а – отношение среднего спроса за время задержки к . При малом , что следует считать типичным для практики, можно записать

. (3.19)

Найдем разность затрат в единицу времени с помощью формулы (3.12), используя (3.16):

Таким образом,

.

Используя приближенные и допустимые при малых разложения функции в ряд

и

,

получаем

Так как

, то и

(3.20)

т.е. увеличение затрат за счет приближенного определения q примерно пропорционально времени задержки поставки.

Пример 4. Оценка величины погрешности функции затрат при фиксированной задержке поставки

Положим p = 100, h = 6, g = 20, µ = 5 и τ = 0,3. При этом приближенные значения параметров стратегии будут равны ; соответственно уточненные значения (при q, определяемом из (3.17)), суть и . Математическое ожидание затрат для стратегии составляет 67,7 а для – 66,3 единицы, т.е. разница , единицы, или 1,9 % .

Проверим качество приближенной оценки величины , рассчитанной по формуле (3.19). в нашем случае , откуда . Таким образом, порядок погрешности формула (3.19) указывает верно.

При других способах расчета штрафа форма записи системы (3.13) – (3.14) меняется очевидным образом. Так, при расчете штрафа, связанного с недостачей, носящей стохастический характер, оптимальный набор определяется по формулам

(3.21)

а при учете величины и времени существования дефицита – с помощью соотношений

Эти системы тоже решаются методом итераций.

Приближенные методы планирования поставок при их случайной издержке

Небольшой разброс фактических моментов прибытия поставок относительно предусмотренных позволяет планировать организацию снабжения методами, рассмотренными выше. В связи с неопределенностью момента прибытия поставки применение периодических стратегий и в данном случае оказывается невыгодным, и оптимизация проводится в классе стратегий с нижним критическим уровнем – обычно .

В качестве примера рассмотрим пуассоновский спрос интенсивности и экспоненциально распределенное время задержки поставок со средним, равным 1/λ.

Найдем распределение спроса за время задержки. Вероятность того, что спрос будет равен х, очевидно, составит

.

Последний интеграл может быть представлен в виде

и выражен через гамма-функцию (для целых х). таким образом,

, (3.23)

т.е. спрос за время издержки имеет отрицательное биноминальное распределение. Математическое ожидание недостач при страховом запасе составит

.

Первая из этих сумм

представляет собой арифметико-геометрическую прогрессию. Сумма членов прогрессии вида записывается в виде

.

В интересующем нас случае d = 0 и r = 1, так что

.

С помощью этой формулы легко получить более общее соотношение:

.

Его предельным случаем при и является

.

Таким образом,

.

Вторая сумма – обычная геометрическая прогрессия:

.

Следовательно, математическое ожидание недостач

.

Для облегчения процесса минимизации затрат предположим, что q и – любые действительные числа. Тогда мы сможем найти оптимальные q и из системы уравнений (3.13 – 3.14), в нашем случае принимающей вид

(3.24)

и из четырех ближайших точек с целочисленными координатами выбрать дающую наилучший результат. Сравнение должно проводиться по затратам в единицу времени

(3.25)

Преобразуем систему (2.14). подставив второе уравнение в первое и возведя в квадрат обе части равенства, имеем

,

или

.

Таким образом, оптимальный набор дается условиями

(3.26)

В качестве приближенного решения можно использовать результат расчета q по средней интенсивности спроса с последующим вычислением согласно уравнению (2.14). в нашем случае соответствующие формулы примут вид

(3.27)

Пример 5. Определение прироста затрат, связанного с отходом от строгой оптимальности

Положим, µ = 2, λ = 0,5, h = 2, g = 25, p = 70. При этих значениях параметров расчет по формулам (3.26) дает q = 12,90 и . Суммарные затраты в единицу времени составляют 40,03.

Приближенный расчет в соответствии (3.27) дает q = 7,06 и ; при этом сумма затрат достигает 42,9. Таким образом, разница в затратах, подсчитываемых согласно (3.25) для обоих вариантов вычислений , сравнительно невелика.

4. Динамическая модель управления запасами

Рассмотрим предприятие, которое изготовляет партиями некоторые изделия. Оно состоит из производственных цехов и склада для хранения готовой продукции. Предположим, что предприятие получило заказы на продукцию на n месяцев (этапов) вперед. Эти заказы необходимо полностью и своевременно выполнять (дефицит не допускается). Для разных этапов спрос не одинаков, кроме того, на экономические показатели производства влияют размеры изготовляемых партий продукции. Поэтому предприятию иногда бывает выгодно производить в течение месяца продукцию в объеме, превышающем спрос в пределах этого этапа, и хранить запасы «лишней» продукции, используя их для удовлетворения последующего спроса. Продолжительность изготовления партии изделий будем считать пренебрежимо малой (однако это требование может быть изменено в соответствии с особенностями технологического процесса). Цель предприятия – выработать такую программу производства, которая обеспечила бы минимальные затраты на изготовление и хранения продукции.

Введем обозначения:

xt – число изделий, изготовленных в t-м месяце (этапе);

yt – уровень запасов на конец t-го месяца;

dt – спрос на изделие в t-м месяце;

ft(xt, yt) – затраты на производство и хранение изделий в t-м месяце.

Соотношение материального базиса примет вид

(4.1)

т.е уровень запасов на конец t-го этапа равен сумме уровня запасов на начало t-го и объема производства на t-м этапе за вычетом спроса на t-м этапе.

Данное балансовое соотношение можно записать и в другом виде:

(4.2)

Наша задача состоит в том, чтобы составить такой план производства

X = (x1, …,xn), или, что тоже самое, найти такой план хранения запасов Y = (y1, …,yn), который обеспечил бы минимальные суммарные затраты предприятия

(4.3)

за весь плановый период.

Введем ограничения на переменные xt, yt. Будем считать объемы производства и уровни хранения на каждом этапе неотрицательными и целочисленными величинами. Кроме того, предположим, что уровни запасов к началу первого этапа y0 и к концу последнего yn заранее известны.

Решим сформулированную задачу методом динамического программирования. В качестве параметра состояния ζ примем уровень запасов на конец k-го этапа

. (4.4)

Функцию составления определим как минимальные затраты за первые k месяцев, т.е.

. (4.5)

Здесь абсолютный минимум берется по всем значениям x1, …,xk, удовлетворяющим балансовым уравнениям:

(4.6)

(4.7)

При k = 1 соотношение (4.7) примет вид

(4.8)

или

. (4.9)

Тогда с учетом (4.4) и (4.9) функция состояния

, (4.10)

причем если не видно никаких ограничений на объем складских помещений и производственную мощность предприятия, то

,

. (4.11)

Это связано с тем обстоятельством, что если иметь на конец 1-го этапа запас изделий в качестве , то, ничего не изготовляя в течение всего планового периода, а только удовлетворяя спрос, можно выйти на уровень запасов yn в конце n-го месяца. В то же время если уровень запасов на начало 1-го этапа равен y0, то, изготовив в 1-м месяце изделий в количестве и не производя ничего на последних этапах, получим тот же запас yn в конце планового периода. Если же на 1-м этапе предприятие может вместить готовой продукции не более М1 изделий, а мощности предприятия не позволяют произвести более N1 изделий, то

,

. (4.12)

Получим рекуррентное соотношение динамического программирования в модели управления запасами при любом k = 2, …,n.

Запишем функцию состояния (4.5) в виде

. (4.13)

Здесь, как уже было сказано выше, все переменные связаны балансовыми уравнениями

. (4.14)

В связи с тем что величина запаса yk-1 к концу (k – 1)-го планового этапа с учетом (4.7) равна , имеем следующее рекуррентное соотношение динамической модели управления запасами:

. (4.15)

Если внешних ограничений на уровни хранения и объемы производства не существует, то по аналогии с (4.11) получаем внутренние ограничения модели

,

. (4.16)

Если складские емкости и производственные мощности предприятия ограничены количеством изделий Mk и Nk соответственно, то аналогично соотношениям (4.12) имеем

,

. (4.17)

На самом деле ограничения (4.16) и (4.17) имеют более сложную структуру. Однако для решения практических задач этого вполне достаточно. Напомним лишь о том, что переменные xk и yk целочисленны и не отрицательны.

Рассмотрим теперь функцию затрат . Введем следующие обозначения:

gt – затраты на производство и доставку заказа на t-м этапе;

ct(xt) – затраты на производство xt единиц продукции на t-м этапе;

ht(yt) – затраты на хранение yt единиц продукции в течение t-го планового этапа.

Для определенности будем считать, что производственные затраты линейны, т.е. ct(xt) = ctxt, и что затраты на хранение пропорциональны объему хранимой продукции в течении месяца. Далее, уровень (объем) хранения в течение этого месяца определяется уровнем хранения на конец этапа. Иными словами, поскольку время изготовления партий изделий пренебрежимо мало, а производить и отправлять заказчикам продукцию предприятию выгодно вначале каждого месяца, то уровень хранимого имущества в течение t-го этапа определяется соотношением баланса . В итоге получаем .

Функция затрат с учетом выведенных обозначений примет вид

(4.18)

Применим теперь метод динамического программирования к решению задачи управления запасами.

Пример 6. Определение оптимальной программы производства

Рассмотрим плановый период работы предприятия, состоящий из трех месяцев: января, февраля, марта. Исходные данные сведены в таблице 1.

Таблица 1

Этап	k	1	2	3
Месяц		Январь	Февраль	Март
Спрос	dk	2	5	2
Затраты на оформление заказа	gk	10	5	10
Затраты на производство одного изделия	ck	3	5	3
Стоимость хранения одного изделия в течение месяца	hk	2	2	1

Функция затрат определена формулой (4.18). Кроме того, будем считать, что предприятие не может производить более четырех изделий, а хранить – более трех, т.е. Mk = 3, Nk = 4, а уровень запасов y0 = y3 = 0.

Необходимо составить оптимальную программу выпуска продукции , которая минимизирует суммарные издержки предприятия.

Рассмотрим январский этап (k=1). Поскольку плановый период состоит из одного месяца, у нас практически нет возможности влиять на объем производства изделий. Поэтому все допустимые программы выпуска продукции будут оптимальны, поскольку они единственны.

Функция состояния в соответствии с (4.10) примет вид

.

Прежде чем произвести расчеты по формуле (4.18), укажем ограничения на изменения переменных x1 и y1. Поскольку уровни запасов на начало и конец планового периода равны нулю, то в январе мы можем произвести такое количество изделий, чтобы удовлетворять не только январский, но и февральский и мартовский спрос, т.е. произвести изделий, однако N1 = 4, поэтому . Возникает естественный вопрос: каков должен быть уровень запасов на конец января (или, что одно и то же, на начало февраля), чтобы, не изготавливая ничего ни в феврале, ни в марте, опять выйти на нулевой уровень запасов в конце марта? Ответ очевиден: объем запасов продукции должен быть равен . Но поскольку возможности склада ограничены , в итоге получаем:

.

Результаты вычислений сведем в табл. 2. .

Таблица 2

0 1 2 3	2 3 4 –	10 + 3 · 2 + 1 · 0 = 16 10 + 3 · 3 + 1 · 1 = 20 10 + 3 · 4 + 1 · 2 = 24 –

Рассмотрим k = 2, когда плановый период содержит январь и февраль. У нас появляются дополнительные возможности для изменения объема выпуска изделий на каждом из этапов, с тем чтобы выйти на ненулевой уровень запасов y3 = 0.

Рекуррентное соотношение (4.15) примем вид

,

где ξ – оптимальное значение уровня запасов y2 на конец второго этапа, которому соответствует наименьшие суммарные затраты на производство и хранение продукции.

Ограничения на объем производства и уровень хранения очевидны:

,

.

Отобразим в таблице 3 все необходимые вычисления для февральского этапа .

Таблица 3

x2 y2	0	1	2	3	4
0	5 –	4 –	3 –	2 20 + 0 + 24 = 44	1 25 + 0 + 20 = 45	3	44
1	6 –	5 –	4 –	3 –	2 25 + 2 +24 =51	4	51
2	7 –	6 –	5 –	4 –	3 –	–	–

Поясним содержание этой таблицы. Объем производства и уровень хранения определяются значениями x2 и y2 соответственно. В верхнем правом углу каждой клетки указаны уровни запасов на начало второго этапа, которые с помощью балансового уравнения вычисляются по формуле . Сумма внутри каждой клетки содержит три слагаемых. Рассмотрим эти слагаемые для клетки с координатами . Первое слагаемое – затраты на оформление заказа и производство продукции ; второе – затраты на хранение . Сумма двух первых слагаемых равна . Прежде чем вычислить третье слагаемое, которое в рекуррентном соотношении обозначено как , вспомним, что величина вычислена, находится в верхнем правом углу клетки и равна 0 – 3 + 5 = 2. Поэтому третье слагаемое возьмем из январской таблицы. Аналогично рассчитываются слагаемые в остальных клетках, а в «запрещенных» клетках, для которых не нашлось последнего слагаемого в январской (k = 1) таблице, сделан прочерк. Наименьшие суммарные затраты для каждого y2 запишем в последнем столбце (они подсчитаны в выделенных рамкой клетках), а значения оптимальных объемов производства изделий в феврале занесем в предпоследний столбец таблицы.

При k = 3 плановый период уже включает в себя январь, февраль и март. Запишем рекуррентное соотношение

,

где ξ – значения уровня запасов y3 на конец марта, которому соответствуют наименьшие суммарные затраты на хранение и производство продукции.

Новая таблица (табл. 4) содержит лишь одну строку, так как, по условию задачи, . Количество столбцов определим в соответствии с неравенством

.

Таблица 4

x3 y3	0	1	2
0	2 –	1 13 + 0 +51 = 64	0 16 + 0 + 44 =60	2	60

В остальном содержание таблицы ничем не отличается от предыдущей.

Составим оптимальную программу выпуска продукции на каждом этапе, которая обеспечит минимальные суммарные затраты в течение всего планового периода. Как видно из мартовской таблицы , что соответствует оптимальному уровню запасов , который рассчитан и записан в верхнем правом углу выделенной рамкой клетки. Далее из февральской таблицы следует, что .

В выделенной рамкой клетке с координатами (табл. 3) в верхнем правом углу записан оптимальный уровень запасов на конец января. Наконец, из январской таблицы получаем, что соответствует . Таким образом, построена оптимальная программа выпуска продукции

,

которая обеспечивает минимальные суммарные издержки на производство и хранение продукции.

Задачи

На нефтебазу бензин привозят на танкере. Накладные расходы g в расчете на партию бензина составляют 50000 руб. Ежегодно база отпускает µ = 4000 т бензина. Затраты на хранение h примем равным 0,5 руб. за 1 т бензина в сутки. Поставка осуществляется по первому требованию – мгновенно, и дефицит бензина на базе не допускается. Найдите оптимальные: объем заказываемой партии q, длительность цикла Т* работы системы и общее среднесуточные издержки .

Решение:

Для решения задачи используем формулы Уилсона (2.14) – (2.16). оптимальный размер заказываемой партии:

т.

Интервал между заказами:

сут.

Общие среднесуточные издержки:

руб./сут.

При закупке за рубежом завода по производству электровакуумного оборудования возник вопрос о приобретении запасных частей. Комплекты запасных частей включают в себя кроме деталей и узлов, которые наиболее часто выходят из строя, приборы и электронное оборудование, обеспечивающее соблюдение технического процесса.

Стоимость хранения запасных частей и проведения профилактических работ в расчете на один комплект составляет hT = 1000 руб. В случае выхода из строя оборудования и нехватки запасных частей завод терпит убытки в размере РТ = 10000 руб. на каждый недостающий комплект оборудования. Стоимость одного комплекта запчастей с = 2000 руб. Накладные расходы при доставке оборудования составляет g= 3000 руб. Опыт эксплуатации подобных предприятий показал, что необходимое число комплектов запасного оборудования – случайная величина с рядом распределения

Х	0	1	2	3
Р(Х)	1/4	1/4	1/4	1/4

Найдите – стратегию пополнения запасов.

Решение:

Определим критическое число . Теперь найдем верхний уровень . Функция распределения впервые превысит число R при Х = 3, следовательно .

Для определения найдем наименьшее значение z, для которого последний раз выполнено неравенство

(так как с = 2000). Полагаем, что все денежные суммы кратны 2000

Вычислим :

.

Вычислим :

.

Вычислим :

.

Вычислим :

.

Неравенство 10000 ≤ 3000 + 1000 не выполняется, значит, .

Итак, . Отсюда следует, что при z < 2 запасы стоит пополнять до ; при z ≥ 2 пополнять его не нужно.

В августе ежедневно из овощехранилища отгружают 50т (µ) арбузов в магазин «Овощи-фрукты». Накладные расходы в расчете на партию арбузов, доставляемых в овощехранилище, составляют g = 500 тыс. Издержки хранения скоропортящихся продуктов равны h = 5 руб. за 1 т в сутки. Партию арбузов привозят и разгружают с интенсивностью λ = 200 т/сут. Найдите оптимальный размер партии арбузов (q), привозимой в овощехранилище, периодичность Т* пополнения запасов. Определите оптимальные среднесуточные издержки , если дефицит не допускается.

Решение:

Для решения задач используем формулы (2.8) – (2.10). Оптимальный размер заказываемой партии:

т.

Периодичность пополнения запасов:

сут.

Оптимальные среднесуточные издержки:

руб./сут.

Найдите критические уровни и в статической модели управления запасами с вероятностным спросом и отсутствием задержек в поставках. Функции издержек хранения и дефицита линейны. Параметры задачи :hT = 6, c = 1, pT = 8, g = 2, а распределение спроса имеет вид

Х	1	2	3	4	5
Р(х)	1/5	1/5	1/5	1/5	1/5

Решение:

Определим критическое число . Теперь найдем верхний уровень . Функция распределения впервые превысит число R при Х = 5, следовательно .

Для определения найдем наименьшее значение z, для которого последний раз выполнено неравенство

(так как с = 1). Полагаем, что все денежные суммы кратны 1

Вычислим :

.

Вычислим :

.

Вычислим :

.

Вычислим :

.

Вычислим :

Неравенство 8 < 2 + 6 не выполняется, значит, .

Итак, . Отсюда следует, что при z < 4 запасы стоит пополнять до ; при z ≥ 4 пополнять его не нужно.

Металлургическому заводу для выплавки высоколегированной стали необходимо ежегодно µ = 100 т чугуна. Накладные расходы на запуск производства, доставку партии чугуна составляют g = 5000 руб. Хранение одной тонны чугуна в сутки обходится объединению в h = 2,5 руб. Штрафные потери за нехватку одной тонны чугуна в сутки составляют p = 50 руб. Рассчитайте оптимальный объем партии чугуна. Найдите периодичность пополнения, среднесуточные общие издержки, если поставка осуществляется мгновенно.

Решение:

Для решения задач используем формулы (2.4) – (2.6). Оптимальный объем заказываемой партии:

Периодичность пополнения запасов:

Среднесуточные общие издержки:

Решите задачу 4 при условии, что спрос – непрерывная случайная величина с плотностью

Решение:

Известно, что с = 1, hT = 6, pT = 8, g = 2.

Рассчитаем критическое число

Найдем верхний уровень из соотношения (3.7):

Нижний критический уровень найдем из уравнения (3.6):

где

С учетом исходных данных имеем

Далее вычислим И наконец, найдем нижний критический уровень как меньший корень уравнения

или, что одно и то же,

откуда

В соответствии со стратегией двух уровней и :

при z < 0,34 необходимо пополнить запас до уровня 11/7 единицы,

при z ≥ 0,34 ничего заказывать не надо.

Заключение

Запасы различного рода играют важнейшую роль при функционировании любой экономической системы и возникают практически во всех звеньях народного хозяйства.

Ни одно производственное предприятие не может существовать без материально-производственных запасов. От их объема и уровня в значительной мере зависят результаты коммерческой деятельности предприятия. Они чутко реагируют на любые изменения рыночной конъюнктуры, и, в первую очередь, на отношение спроса и предложения. Сам факт их существования не приносит их владельцам ничего, кроме затрат и убытков.

В качестве материально-производственных запасов принимаются активы: используемые при производстве продукции (выполнение работ, оказание услуг), предназначенной для продажи (сырье и основные материалы, покупные полуфабрикаты); предназначенные для продажи (готовая продукция и товары); используемые для управленческих нужд организации (вспомогательные материалы, топливо, запасные части).

Основная часть материально-производственных запасов используется в качестве предметов труда в производственном процессе. Они целиком потребляются в каждом производственном цикле и полностью переносят свою стоимость на стоимость производимой продукции.

Управление запасами направленно на повышение рентабельности и скорости обращения вложенного капитала.

Задача управления запасами возникает, когда необходимо создать запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени (конечном или бесконечном). Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов. В любой задаче управления запасами требуется определять количество заказываемой продукции и сроки размещения заказа. Спрос можно удовлетворить путём однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая соответствуют избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени).

При избыточном запасе требуется более высокие удельные (отнесённые к единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает реже и частота размещения заказов меньше. С другой стороны, при недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастает. Для любого из указанных крайних случаев характерны значительные экономические потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации соответствующей функции общих затрат, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита.

С помощью математических методов можно выработать правила управления запасами. Что и было сделано в курсовой работе. Если для решения задач управления запасами применяются математические методы, то исследуемую систему необходимо описать с помощью математической модели.

В этой курсовой работе были рассмотрены как детерминированные, так и стохастические модели управления запасами, которые имеют не только теоретическое, но и практическое значение.

Список литературы

Колемаев В.А. «Математические методы принятия решений в экономике»