Введение.

В различных областях науки математика является бесспорным рабочим и связующим инструментом. Дальнейшее развитие многих дисциплин без нее просто невозможно. Вместе с тем большинство экономистов-практиков ставят под сомнение ее значимость, особенно для экономики предприятия. Они считают, что сухую теорию нужно поскорее забыть, так как она не пригодна для грубой действительности, и что лучший учитель - опыт. По их мнению, в университете вполне достаточно знакомиться с практическими ситуациями и проводить деловые игры. Такая оценка математических теорий и моделей игнорирует тот факт, что даже лучший менеджер мыслит моделями, поскольку постоянно может держать в поле зрения лишь немногие и сильно агрегированные взаимосвязи окружающей его реальности.

Часто можно услышать заявления, что некто создал собственную теорию. Но обычно в таких "интуитивных умозрительных моделях" доминируют тенденциозные проблемные установки. Сомнительно, чтобы подобные заключения определялись строгими правилами логики. Довольно часто "здравый человеческий смысл" приводит к крайним заблуждениям. Даже многолетний практический опыт и предпринимательское чутье могут оказаться недостаточными в условиях непрерывной экономической динамики, выдвигающей все новые требования.

1 Оптимизационные и имитационные модели

Сегодня на базе критического рационализма экономические науки сближаются с двух сторон экономической действительности. С одной стороны, теоретические научные программы пытаются распознать внутреннюю структуру, заложенную в многочисленных формах проявления реальности, сформулировать по возможности простые и обобщенные гипотезы о причинно-следственных связях и закономерностях, проверить их эмпирически и воплотить в разъяснительных и прогнозных моделях. Э. Гутенберг в известной работе "К спору о методах" (1953 г.) усмотрел в этом центральную задачу науки об экономике предприятия - "в элементах увидеть целое и частное рассматривать как объяснение общего". В этой связи он приходит к выводу, что научная ценность экономического исследования не зависит от практической значимости объекта исследования; главное, чтобы оно проводилось методически чисто и логически правильно.

С другой стороны, задачей науки об экономике предприятия является содействие принятию решений. Это означает, что модели принятия решения по целям и средствам должны разрабатываться как основа рекомендаций для действий по решению практических проблем. Здесь в качестве базиса незаменимы разъяснительные модели. Если мы хотим знать, как можно формировать действительность, то должно быть известно, какими свойствами она обладает. Например, предметом разъяснительной модели может быть влияние рекламы на сбыт продукции предприятия. Анализ с помощью модели принятия решений содействует принятию выгодного рекламного бюджета.

Процесс познания в экономических науках можно представить следующим образом:

теоретическое исследование

• выдвижение гипотезы о закономерностях типа "действие - причина",

•формулирование причинно-следственных связей,

•эмпирическая проверка

• построение разъяснительной и прогнозной моделей;

технологическое исследование

• выработка рекомендации для дальнейших действий типа "цели - средства их достижения",

• создание модели поддержки принятия решений.

Оптимизационные модели нацелены на максимизацию выгоды или прибыли. Они построены таким образом, чтобы можно было использовать оптимизационный алгоритм и получить оптимальную практическую рекомендацию. Их недостаток заключается в вынужденном упрощении действительности, поскольку определение параметров модели должно быть ориентировано на обеспечение возможности выработки решений. Поэтому полученные рекомендации часто теряют практическую ценность. Этим объясняется, почему экономическая практика относится к ним скептически. Тем не менее оптимизационные модели по сравнению с интуитивными умозрительными моделями менеджеров имеют значительные преимущества:

• не допускают логических ошибок, так как могут быть математически проверены на наличие нарушений логики;

• являются бескомпромиссными и не содержат ничего лишнего, сводят проблему к ее сути и содействуют выражению основополагающих взаимосвязей целей и средств.

Математические модели обеспечивают систематическое осмысление проблем и позволяют одновременно учитывать все влияющие на них факторы. Вместе с тем, раскрывая все предпосылки, они становятся более уязвимыми для критики по сравнению с умозрительными моделями, где исходные пункты рассуждений формулируются их создателями.

Что касается имитационной модели, то она решается не аналитически, а экспериментально или эвристически, что вследствие резкого увеличения расчетов требует использования электронно-вычислительной техники. Благодаря компьютерным технологиям неожиданно для многих возрождается и математическое модельное мышление. С помощью имитации могут быть найдены удовлетворительные решения сложных проблем, тогда как оптимизационные модели позволяют получить оптимальные решения только для проблем с простой структурой.

2 Выбор рекламной стратегии с помощью имитационного анализа

Приведенные соображения можно проиллюстрировать на примере маркетинга. Известному американскому менеджеру сети универмагов Дж.Вэйнемейкеру приписывается высказывание: "Половина рекламы - пустая трата денег; мы не знаем только, какая именно". Так, согласно оценке, из средств, затрачиваемых на рекламу в Германии, ежегодно 25 млрд. марок выбрасываются на ветер. Поэтому важным представляется изучение вопроса, в каких объемах предприятию следует осуществлять рекламную деятельность. Это позволило бы отказаться от проведения некоторых рекламных кампаний.

Поскольку реклама обращена к потребителям, прежде всего, необходимо рассмотреть выявленные в ходе теоретических исследований гипотезы об их поведении. Основную модель поведения социальных систем ("групп") можно найти в теории адаптации и диффузии. Согласно этой теории принятие новшества потребителями (адаптация) и распространение его на рынке (диффузия) осуществляются благодаря личным и неличным коммуникациям.

При личной коммуникации важную посредническую роль играют так называемые лидеры мнений. Они раньше всех подхватывают рекламируемые новшества и доводят до остальной публики - последователей. Часто же воздействие на покупателя не нуждается в личной коммуникации, так как уже только наблюдение за поведением других людей может привести к изменению собственного поведения. Такие неличные коммуникации типичны для современного общества потребления, в котором производители пытаются повысить значимость своих продуктов через утверждение новых психологических жизненных ценностей. Поэтому вместо терминов "лидеры мнений" и "последователи" целесообразно использовать понятия "новаторы" и "имитаторы".

Новаторы покупают, потому что их интересуют новшества, о которых они узнают постоянно следя за рекламой. Имитаторы же решаются на приобретение новшества прежде всего благодаря личным и неличным коммуникациям. Так, при широком распространении новшества они все сильнее подпадают под "социальное давление". Имитаторы по сравнению с новаторами, естественно, значительно менее восприимчивы к рекламе. С учетом того, что около 20% покупателей относятся к новаторам и 80% являются имитаторами, ясно, что реклама в целом оказывает небольшое прямое влияние на поведение покупателей.

Эти поведенческие взаимосвязи можно относительно просто математически структурировать и интегрировать в динамическую имитационную модель принятия решений. Она показывает, что из наслоения покупок новаторов и имитаторов складывается типичный жизненный цикл продукта. Исходя из этого следует так организовать рекламную стратегию, чтобы при определенном жизненном цикле продукта достичь наибольшую прибыль.

Проблему оптимального рекламного бюджета можно выразить на точном и консистентном языке, позволяющем проводить операции, которые не осуществимы с помощью вербального языка. Однако полученная диффузионная модель слишком сложна, чтобы решить ее одним (например, контрольно-теоретическим) оптимизационным уравнением. Это обстоятельство имеет особое значение, когда речь идет не о монопольной, а об олигопольной модели, в которой дополнительно должны быть сформулированы гипотезы о поведении конкурентов. В этом случае применяется компьютеризированное эвристическое исследование, известное как "мутационный процесс".

Пусть производитель-пионер выбрасывает на рынок новшество с длительным жизненным циклом (например, факс или сотовый телефон). С определенным опозданием за ним следует конкурент, который по уровню рекламного бюджета превышает пионера (например, на 20%). Анализ по модели принятия решения выдает пионеру следующую рекомендацию: он должен сопроводить свой выход на рынок высоким рекламным бюджетом, а с появлением конкурента резко уменьшить его. Таким образом, пионер может одним ударом убить двух зайцев: его широкая начальная реклама быстро приведет в движение особо восприимчивый к рекламе новаторский спрос, который со своей стороны разогреет имитаторский спрос. Сокращение рекламы при возникновении конкурента не отражается на рыночной позиции пионера, так как рекламный бюджет последователя ориентирован на него ("сцепленная конкуренция"). Пионер пожинает плоды своей начальной рекламы. Как показывают многочисленные имитационные анализы, "стратегия широкой начальной рекламы" очень успешна.

Конечно, нельзя всегда исходить из того, что конкурент будет ориентироваться на рекламный бюджет пионера. Альтернативная поведенческая гипотеза заключается в том, что вне зависимости от поведения пионера конкурент придерживается в течение всего планового периода определенного постоянного рекламного бюджета ("неподвижная конкуренция"). Поэтому пионер вынужден существенно дольше поддерживать высокий рекламный бюджет и только потом снизить его значительно ниже уровня конкурента, когда рыночный потенциал будет практически исчерпан. Конкурент напротив до конца должен вести по возможности обширную рекламу.

Диффузионная модель объясняет также следующую теоретическую гипотезу поведения: пионер ожидает, что его рекламная стратегия заранее станет известна конкуренту и последний попробует оптимально на это реагировать, что в свою очередь учитывает пионер и т.д. ("информированная конкуренция"). По этому поводу существует независимое от начальной конфигурации равновесное решение: даже после того как становится известна конкурентная рекламная стратегия, ни одному производителю неинтересно менять свою стратегию.

При этом оба попеременно попадают в положение "вне игры". Чтобы с выгодой для себя быстро возбудить спрос, пионер выбирает широкую рекламную фазу. Конкурент согласно своей оптимизации также делает это, но на значительно больший срок. Наконец, при снижающемся уровне оптимизации пионер переходит на еще более агрессивную стратегию и т.д. до тех пор, пока, наконец, оба производителя почти одновременно резко не уменьшат свои рекламные бюджеты, когда рыночный потенциал будет почти исчерпан. Если бы оба значительно раньше сократили свою рекламу, то каждый из них мог получить гораздо большую прибыль. Но из-за связанных с этим рисков ни один из них не желает сделать это первым.

В целом оба производителя поступят наилучшим образом, если очень быстро уменьшат свои рекламные бюджеты. Первоначально рассмотренная поведенческая гипотеза, по которой конкурент ориентируется на пионера, выступает теперь в существенно более выгодном свете. Пионер выигрывает у конкурента, но при этом гарантируется, что оба они не попадают в положение "вне игры". Имитационный анализ показывает, что рекламное лидерство при ограниченном рекламном бюджете может обеспечить получение удовлетворительной прибыли всеми участниками. На практике иногда наблюдается "ориентация на конкурента" как руководство к определению собственного рекламного бюджета.

Рекламные войны, особенно на поздних стадиях жизненного цикла продукта, могут привести к напрасным расходам. При этом очевидным становится преимущество сговора производителей о сокращении рекламного бюджета. Но этому обязан препятствовать антимонопольный комитет, который, как минимум, должен требовать снижения цен, чтобы в выигрыше остались и потребители.

Представленная диффузионная модель обеспечивает ряд конкретных практических рекомендаций. Разумеется, в качестве основы принятия решений она может быть подвергнута критике, поскольку здесь рассматриваются только предметы потребления с продолжительным жизненным циклом, при этом повторные покупки исключаются. Кроме того, допускаются как определенный рыночный потенциал, так и постоянный уровень рыночных цен. Эти ограничения, как и многие другие, в действительности могут быть сняты. Так, имитационное приложение мутационного процесса к ценовой и рекламной стратегии может привести к тому, что широко рекламируемая низкая цена в дальнейшем будет повышена.

3 Достоинства и недостатки математических моделей

Широкие возможности компьютерного имитационного моделирования приводят к разработке все более сложных конструкций моделей. Это порождает дополнительные проблемы не только для программиста, но и для пользователя. Количественное определение параметров модели (например, эластичности цены и рекламы) сталкивается со все большими трудностями. Поэтому часто приходится обращаться за недостающей информацией к экспертам, что при масштабных моделях со многими параметрами существенно усиливает спекулятивную природу практических рекомендаций.

Теория хаоса указывает на то, что при динамических с обратной связью системах уравнений даже мельчайшие изменения в конфигурации параметров модели или исходных условий могут привести к совершенно другим рекомендациям.

Слабым местом математических моделей принятия решений является не только проблема определения параметров, но и лежащее глубже несовершенство оценочных теорий как основы их конструкций. Так, при применении диффузионной модели более совершенные теории могли бы объяснить взаимное влияние цены и рекламы. Это способствовало бы решению вопроса: увеличивает ли реклама чувствительность к цене (так как она информирует) или уменьшает ее (так как она убеждает)? Отсутствие ответов на подобного рода вопросы свидетельствует о несовершенстве экономических теорий.

Определенное облегчение в этой связи могут принести "нейрональные сети". Эти стимулируемые нейробиологическими процессами компьютерные алгоритмы не нуждаются в функциональных причинно-следственных связях. Сеть сама "ищет" по определенному "правилу изучения" приближенную взаимосвязь, которая наилучшим образом отражает представленные данные. Поэтому нейрональные сети могут применяться без теоретической подоплеки для прогнозирования, например, покупок как реакции на воздействие рекламы. В этом случае для "подравнивания" и "настраивания" сети требуется обширный материал данных, отражающих прошлую динамику. С другой стороны, сеть сама гибко приспосабливается и "обнаруживает" даже неизвестные взаимосвязи, которые хотя и осуществляются "механически", но могут способствовать прояснению причинно-следственных связей.

Модели принятия решений могут лишь ограниченно отразить действительность не только из-за дефицита данных и несовершенства теорий, но прежде всего ввиду огромного разнообразия явлений и связей в реальной хозяйственной жизни. Многие исследователи видят в этом их существенный недостаток и повод для критики. Для них предпосылки моделирования равнозначны далекой от практики науке.

В этой связи В.-Р.Бретцке противопоставил пониманию модели, основанному на теоретическом отображении реалий, "конструктивистское" понимание. По его мнению, снижение сложности в модели принятия решений - это не неизбежное зло, а объективная необходимость, так как только структурирование расплывчатой проблемы по предпосылкам обозначает контуры и тем самым сужает сферу поиска решения. "Неполнота сведений является не конструкционным недостатком, а конструкционным принципом"2.

Конструкционный принцип, т.е. возможность абстрагироваться в интересах точного анализа от "мешающих величин", существующих в реальности, делает модели принятия решений открытыми для совершенствования. Они ни в коем случае не отнимают инициативы у лиц, ответственных за решения. Математические модели усиливают интеллект, но не заменяют его.

Наконец, модели принятия решений должны постоянно подтверждать свою полезность как дополнение к чисто умозрительной модели. Это удается все чаще, но пока не всегда. Однако в принципе модели имеют все предпосылки, чтобы служить менеджерам в качестве вспомогательного средства, а не как "абсолютное знание". Они способствуют лучшему пониманию реальных проблем, помогают при разработке альтернатив, упрощают их проверку и облегчают оценку интуитивных проектов и существующих моделей поведения.

У математических моделей есть и дидактическая задача. Разработчики совершенствуют свой образ мышления, так как модели позволяют знакомиться со структурой и логикой решаемых проблем и оттачивают аналитические мыслительные способности. Таким образом, интуитивная умозрительная модель получает твердую основу. При поиске проблемных решений можно научиться более целенаправленно и систематизированно продвигаться вперед и ставить под сомнение якобы надежные наблюдения.

В целом модели и теории, которые формулируются и решаются с помощью математических методов, представляют собой неотъемлемую составляющую диалога между теорией и практикой. В условиях быстро меняющихся постановок проблем, когда сегодняшние решения завтра уже не пригодны, требуются не только готовые к непосредственному использованию знания, но и умственная динамика, кругозор, компетентность, а также готовность постоянно критически оценивать свои знания.

4. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕCCОВ.

4.1. Целевая, функция потребления и моделирование поведения потребителей.

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.

Уровень удовлетворения материальных потребностей общества (уровень потребления) можно выразить целевой функцией потребления U=U(Y), где вектор переменных У ³ 0 включает разнообразные виды товаров и услуг. Ряд свойств этой функции удобно изучать, используя геометрическую интерпретацию уравнений U(Y)=C, где С — меняющийся параметр, характеризующий значение (уровень) целевой функции потребления; в качестве величины С может выступать, например, доход или уровень материального благосостояния

В пространстве потребительских благ каждому уравнение U(Y)=C соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания (y1) и непродовольственные товары, включая услуги (у2). Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям С (см. рис. 1, где С1 <С2 < С.3

Рис. 1.

Из основных свойств целевой функции потребления отметим следующие:

1) функция U(Y) является возрастающей функцией всех своих аргументов, т.е. увеличение потребления любого блага при неизменном уровне потребления всех других благ увеличивает значение данной функции. Поэтому более удаленная от начала координат кривая безразличия соответствует большему значению целевой функции потребления, а сам процесс максимизации этой функции на некотором ограниченном множестве допустимых векторов У можно интерпретировать как нахождение допустимой точки, принадлежащей кривой безразличия, максимально удаленной от начала координат;

2) кривые безразличия не могут пересекаться, т.е. через одну точку пространства благ (товаров, услуг) можно провести только одну поверхность безразличия. В противном случае один и тот же набор благ одновременно соответствовал бы нескольким разным уровням материального благосостояния;

3) кривые безразличия имеют отрицательный наклон каждой оси координат, при этом абсолютный наклон кривых уменьшается при движении в положительном направлении по каждой оси, т.е. кривые безразличия являются выпуклыми кривыми.

Перейдем к вопросу моделирования поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений на базе целевой функции потребления. В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что потребители, осуществляя выбор товаров при установленных ценах и имеющемся доходе, стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. Пусть в пространстве п видов товаров исследуется поведение совокупности потребителей. Обозначим спрос потребителей через вектор У = (у1,у2..уn), а цены на различные товары.— через вектор Р = (р1,р2,—,Ра)- При величине дохода D потребители могут выбирать только такие комбинации товаров, которые удовлетворяют бюджетному ограничению ....

 Предположим, что предпочтение потребителей на множестве товаров выражается целевой функцией потребления U(Y). Тогда простейшая модель поведения потребителей : в векторной форме записи будет иметь вид:

U(Y) ®max;

PY£D

У>0.                 (1)

Геометрическая интерпретация модели (1) для двух агрегированных групп товаров представлена на рис.2.

Рис.2.

Линия АВ (в других вариантах А1В1, А2В2) соответствует бюджетному ограничению и называется бюджетной линией Выбор потребителей ограничен треугольником АОВ  (А1ОВ1, А2ОВ2). Набор товаров М, соответствующий точке касания прямой АВ с наиболее отдаленной кривой безразличия, является оптимальным решением (в других вариантах это точки К и Л ).Легко заметить, что линии АВ и А1В1 соответствуют одному и тому же размеру дохода и разным ценам на товары у1 и у2.•Линия А2В2 соответствует большему размеру дохода.

Опираясь на некоторые выводы теории нелинейного программирования, можно определить математические условия оптимальности решений для модели (1). С задачей нелинейного программирования связывается так называемая функция Лагранжа, которая для задачи (1) имеет вид:

L(Y,l)=U(Y)+l(D-PY),

Где множитель Лагранжа l, является оптимальной оценкой дохода.

0бозначим частные производные функции U(Y)через Ui:

Ui=¶U(Y)/¶yi.

Эти производные интерпретируются как предельные полезные эффекты (предельные полезности) соответствующих потребительских благ и характеризуют прирост целевой функции потребления при увеличении использования 1-го блага (товара) на некоторую условную .«малую единицу».

Необходимыми условиями того, что вектор Y° будет оптимальным решением ,

являются условия Куна—Таккера:

Ui(Y°)£l°pi:    i=`1,`n,

При этом

Ui(Y°)=l°pi, если у° > 0 (товар приобретается),                       (2)

Ui(Y°)>l°pi,если yi°=0(товар не приобретается),PY°=D.          

Последнее из соотношений (2) соответствует полному использованию дохода,и для этого случая очевидно неравенство l°>0.•

Из условий оптимальности(2) следует, что

Ui(Y°)/pi=l°, yi°>0.

Это означает, что потребители должны выбирать товары таким образом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было одинаковым для всех приобретаемых товаров. Другими словами, в оптимальном наборе предельные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.

Функции покупательского спроса

Функциями покупательского спроса (далее будем называть их просто функциями спроса) называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и ; услуги от комплекса факторов, влияющих на него.Такие функции применяются в аналитических моделях спроса и ; потребления и строятся на основе информации о структуре доходов населения, ценах на товары, составе семей и других факторах. Рассмотрим построение функций спроса в зависимости от двух факторов — дохода и цен.

Пусть в модели (1) цены и доход рассматриваются как меняющиеся параметры. Переменную дохода будем обозначать Z. Тогда решением оптимизационной задачи (1) будет векторная функция У°=Y°(P,Z),компонентами которой являются функции спроса на определенный товар от цен и дохода:

yi°=fi(P,Z).

Рассмотрим частный случай, когда вектор цен остается неизменным, а изменяется только доход. Для двух товаров этот случай представлен на рис. 3. Если по оси абсцисс отложить количество единиц товара у1, которое можно приобрести на имеющийся доход Z (точка В), а по оси ординат — то же самое для товара y2 (точка А), то прямая линия АВ, называемая бюджетной линией, показывает любую комбинацию количеств этих двух товаров, которую можно купить за сумму денег Z. При увеличении дохода бюджетные линии перемещаются параллельно самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе с ними перемещаются соответствующие кривые безразличия. Точками оптимума спроса потребителей для соответствующих размеров дохода будут в данном случае точки М1, М2, М3. При нулевом доходе спрос на оба товара нулевой. Кривая, соединяющая точки 0, М1, М2, М3, является графическим отображением векторной функции спроса от дохода при заданном векторе цен.

Рис.3.

 Однофакторные функции спроса от дохода широко применяются при анализе покупательского спроса. Соответствующие этим функциям кривые yi=fi(Z) называются кривыми Энгеля (по имени изучавшего, их немецкого экономиста). Формы этих кривых для различных товаров могут быть различны. Если спрос на данный, товар возрастает примерно пропорционально доходу, то функция будет линейной, как в рассмотренном выше примере. Такой характер имеет, например, спрос на одежду, фрукты и др. Кривая Энгеля для этого случая представлена на рис. 4а.

Если по мере роста дохода спрос на данную группу товаров возрастает все более высокими темпами, то кривая Энгеля•будет выпуклой (рис. 46). Так ведет себя спрос на предметы роскоши.

Если рост значений спроса, начиная с определенного момента, по мере насыщения спроса отстает от роста дохода, то кривая Энгеля имеет вид вогнутой кривой (рис. 4в). Например, такой характер имеет спрос на товары первой необходимости

Рис.4.

Тот же принцип разграничения групп товаров по типам функций спроса от дохода использовал шведский экономист Л. Торнквист, который предложил специальные виды функции спроса (функции Торнквиста) для трех групп товаров: первой необходимости, второй необходимости, предметов роскоши.

Функция Торнквиста для товаров первой необходимости имеет вид:

Y=aiZ/Z+C1,

и отражает тот факт, что рост спроса на эти первоочередные товары с ростом дохода постепенно замедляется и имеет предел a1 (кривая спроса асимптотически приближается к прямой линии y=a1), график функции является вогнутой кривой I на рис.5.

Функция спроса по Торнквисту на товары второй необходимости выражается формулой

Y=a2(Z-b2)/Z=C2, где Z³b2.

Эта функция также имеет предел а2, но более высокого уровня; при этом спрос на эту группу товаров появляется лишь после того, как доход достигнет величины b2; график функции – вогнутая кривая II на рис. 5.

Наконец, функция Торнквиста для предметов роскоши имеет вид

Y=a3Z(Z-b3)/(Z+C3), где Z³b3.

Эта функция не имеет предела. Спрос на эти товары возникает только после того, как доход превысит величину b3, и далее быстро возрастает, так что график функции – выпуклая кривая III на рис. 5.

Кроме указанных функций, в аналитических моделях покупательского спроса используются также другие функции: степенные, S-образные и т.д.

Рис.5

Важную роль в анализе, изменения спроса при небольших изменениях дохода играют коэффициенты эластичности. Коэффициент эластичности .спроса от дохода показывает относительное изменение спроса при изменении дохода (при прочих не изменяющихся факторах). Вычисляется по формуле:

EiZ=(dyi/dZ)(Z/yi),

где EiZ – коэффициент эластичности для i-го товара (группы товаров) по доходу Z; yi – cпрос на этот товар, являющийся функцией дохода: yi=f(Z).

Например, если спрос на товар описывается функцией Торнквиста для товаров первой необходимости, то формула дает следующее выражение для коэффициента эластичности спроса от дохода:

EiZ=С1/(Z+C1).

Во многих экономико-математических моделях эластичность функций относят к проценту прироста независимой переменной. Таким образом, коэффициент эластичности спроса от дохода показывает, на сколько процентов, изменится спрос на товар при изменении дохода на 1%.

Коэффициенты эластичности спроса от дохода различны по величине для разных товаров, вплоть до отрицательных значений, когда с ростом доходов потребление уменьшается. Принято выделять четыре группы товаров в зависимости от коэффициента эластичности спроса на них от дохода:

• малоценные товары (EiZ < 0);

• товары с малой эластичностью (О < EiZ < 1);

• товары со средней эластичностью (EiZ близки к единице);

• товары с высокой эластичностью (EiZ > 1).

К малоценным товарам, т.е. товарам с отрицательной эластичностью спроса от дохода, относят такие, как хлеб, низкосортные товары. По результатам обследований, коэффициенты эластичности для основных продуктов питания находятся в интервале от 0,4 до 0,8, по одежде, тканям, обуви – в интервале от 1,1 до 1,3 и т.д. По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров первой и второй групп на товары третьей и четвертой группы, при этом потребление товаров первой группы по абсолютным размерам сокращается.

Перейдем к рассмотрению и анализу функций покупательского спроса от цен на товары. Из модели поведения потребителей следует, что спрос на каждый товар в общем случае зависит от цен на все товары, однако построить функции общего вида yi=fi(Р) очень сложно. Поэтому в практических исследованиях ограничиваются построением и анализом функций спроса для отдельных товаров в зависимости от изменения цен на этот же товар или группу взаимозаменяемых товаров: yi=fi(pi).

Для большинства товаров действует зависимость: чем выше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Здесь также возможны разные типы зависимости и, следовательно, разные формы кривых. В практических задачах изучения спроса важно различать действительное увеличение спроса, когда сама кривая сдвигается вверх и вправо (происходит переход с кривой I на кривую II на рис. 6), и увеличение объема приобретаемых товаров в результате снижения цен при неизменной сумме затрат (переход от точки А к точке В по одной и той же кривой I на рис. 6). Как уже отмечено выше, в общем случае спрос на отдельный товар при прочих равных условиях зависит от уровня цен всех товаров. Относительное изменение объема спроса при изменении цены данного товара или цен других связанных с ним товаров характеризует коэффициент эластичности спроса от цен. Этот коэффициент эластичности удобно трактовать как величину изменения спроса в процентах при изменении цены на 1%.

Для спроса yi на i-й товар относительно его собственной цены рi коэффициент эластичности исчисляется по формуле:

Epii = (dyi/dpi)/(pi/yi).

Значения коэффициентов эластичности спроса от цен практически всегда отрицательны. Однако по абсолютным значениям этих коэффициентов товары могут существенно различаться друг от друга. Их можно разделить на три группы:

• товары с неэластичным спросом в отношении цены (Epii >-1);

• товары со средней эластичностью спроса от цены (Epii близки к -1);

• товар с высокой эластичностью спроса (Epii < -1).

В товарах эластичного спроса повышение цены на 1% приводит к снижению спроса более чем на 1% и, наоборот, понижение цены на 1% приводит к росту покупок больше чем на 1%. Если повышение цены на 1% влечет за собой понижение спроса менее чем на 1%, то говорят, что этот товар неэластичного спроса.

Моделирование и прогнозирование покупательского спроса

Очевидно, что спрос во многом определяет стратегию и тактику организации производства и сбыта товаров и услуг. Учет спроса, обоснованное прогнозирование его на краткосрочную и долгосрочную перспективу — одна из важнейших задач служб маркетинга различных организаций и фирм.

Состав и уровень спроса на тот или иной товар зависят от многих факторов, как экономических, так и естественных. К экономическим факторам относятся уровень производства (предложения) товаров и услуг (обозначим этот фактор в общем виде П), уровень денежных доходов отдельных групп населения (D), уровень и соотношение цен (Р). К естественным факторам относятся демографический состав населения, в первую очередь размер и состав семьи (S), а также привычки и традиции, уровень культуры, природно-климатические условия и т.д.

Экономические факторы очень мобильны, особенно распределение населения по уровню денежных доходов. Естественные же факторы меняются сравнительно медленно и в течение небольшого периода (до 3-5 лет) не оказывают заметного влияния на спрос. Исключение составляет демографический состав населения. Поэтому в текущих и перспективных прогнозах спроса все естественные факторы, кроме демографических, целесообразно учитывать сообща, введя фактор под названием «время» (t).

Таким образом, в общем виде спрос определяется в виде функции перечисленных выше факторов:

Y= f (П, D, P, S, t).

Поскольку наибольшее влияние на спрос оказывает фактор дохода (известно выражение: «спрос всегда платежеспособен»), многие расчеты спроса и потребления осуществляются в виде функции от душевого денежного дохода: у = f(D).

Наиболее простой подход к прогнозированию спроса на небольшой период времени связан с использованием так называемых структурных моделей спроса. При построении модели исходят из того, что для каждой экономической группы населения по статистическим бюджетным данным может быть рассчитана присущая ей структура потребления. При этом предполагается, что на изучаемом отрезке времени заметные изменения претерпевает лишь доход, а цены, размер семьи и прочие факторы принимаются неизменными. Изменение дохода, например его рост, можно рассматривать как перемещение определенного количества семей из низших доходных групп в высшие. Другими словами, изменяются частоты в различных интервалах дохода: они уменьшаются в нижних и увеличиваются в верхних интервалах. Семьи, которые попадают в новый интервал, будут иметь ту же структуру потребления и спроса, какая сложилась у семей с таким же доходом к настоящему времени.

Таким образом, структурные модели рассматривают спрос как функцию только распределения потребителей по уровню дохода. Имея соответствующие структуры спроса, рассчитанные по данным статистики бюджетов, и частоты распределения потребителей по уровню дохода, можно рассчитать общую структуру спроса. Если обозначить структуру спроса в группе семей со средним доходом Di через r(Di), а частоты семей с доходом Di через w(Di), то общая структура спроса R может быть рассчитана по формуле:

где п — количество интервалов дохода семей.

Структурные модели спроса — один из основных видов экономико-математических моделей планирования и прогнозирования спроса и потребления. В частности, широко распространены так называемые компаративные (сравнительные) структурные модели, в которых сопоставляются структуры спроса данного исследуемого объекта и некоторого аналогового объекта. Аналогом обычно считаются регион или группа населения с оптимальными потребительскими характеристиками.

Наряду со структурными моделями в планировании и прогнозировании спроса используются конструктивные модели спроса. В основе их лежат уравнения бюджета населения, т.е. такие уравнения, которые выражают очевидное равенство общего денежного расхода (другими словами, объема потребления) и суммы произведений количества каждого потребленного товара на его цену. Если Z, — объем потребления, т — количество разных видов благ, qi — размер потребления i-го блага, рi, — цена i-го блага, то конструктивная модель спроса может быть записана следующим образом:

Эти модели, называемые также моделями бюджетов потребителей, играют важную роль в планировании потребления. Одной из таких моделей является, например, всем известный прожиточный минимум. К таким моделям относятся также рациональные бюджеты, основанные на научных нормах потребления, прежде всего продуктов питания, перспективные бюджеты (например, так называемый бюджет достатка) и др.

В практике планирования и прогнозирования спроса кроме структурных и конструктивных моделей применяются также аналитические модели спроса и потребления, которые строятся в виде уравнений, характеризующих зависимость потребления товаров и услуг от тех или иных факторов. В аналитических моделях функциональная зависимость принимает вполне определенный вид. Такие модели могут быть однофакторными и многофакторными.