Математический факультет

Кафедра информатики и прикладной математики

КУРСОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

«УМЕНЬШЕНИЕ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА»

Брест 2009

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.

Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.

Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.

В данной работе исследована оценка спектральной плотности, построенная с использованием различных окон просмотра данных. Построены графики этой оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Графики построены также для центрированного случайного процесса.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

Векторным временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида

.

Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.

Действительным случайным процессом = называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.

Если , или - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.

Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.

Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.

Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида

,

где .

Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида

,

где .

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=,

,

при условии, что

.

Нормированной спектральной плотностью случайного процесса называется функция вида

где , если и , если .

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида

.

Смешанным моментом го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , .

Заметим, что

,

.

Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение

.

Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера

тогда

Лемма доказана.

Пусть - значения случайного процесса в точках . Введем функцию

,

которую будем называть характеристической функцией, где - ненулевой действительный вектор, , .

Смешанный момент го порядка, , можно также определить как

, , .

Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , ,

которую также будем обозначать как .

Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид

,

,

где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества

, , , , .

При

,

,

.

При

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

.

Теорема 1. Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления

,.

Пусть - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве , и

- мерная функция распределения, где

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение

где

Возьмем произвольное . Пусть , тогда

В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать

Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент го порядка, , будем обозначать

Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле СП будем обозначать

Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле, если и

Замечание 1. Если , является стационарным в узком смысле СП и то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , называется функция вида

,

при условии, что

Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка, , стационарного СП , называется функция вида

при условии, что

Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП справедливо следующее соотношение

.

Для эти соотношения примут вид

.

2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс,, с математическим ожиданием , , взаимной ковариационной функцией , и взаимной спектральной плотностью .

Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений за составляющей , рассматриваемого процесса . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке рассмотрим статистику

(2.1)

где , - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция, для , а

(2.2)

s – целое число, - целая часть числа .

Статистика , называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением

(2.3)

определено равенством (2.2).

Предположим, если оценка взаимной спектральной плотности , построенная по T наблюдениям, является асимптотически несмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде

(2.4)

где некоторые действительные функции, не зависящие от T,

В качестве оценки взаимной спектральной плотности возьмем статистику

,

и исследуем первый момент построенной оценки.

Математическое ожидание построенной оценки будет следующее

Использовав соотношение (2.4), получим

где

Поскольку

следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Так как равенство (2.4) справедливо и при , то, рассматривая оценку

где

, то оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим на . Далее рассмотрим оценку

(2.5)

Найдем математическое ожидание построенной оценки :

где

Следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Найдем явный вид коэффициентов в представлении (2.4),

Видим, что

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Оценка взаимной спектральной плотности стационарного в широком смысле случайного процесса , задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению

,

,

при условии, что справедливо соотношение (2.4) для

При нахождении моментов оценок спектральных плотностей вторых и высших порядков появляются функции вида

(2.6)

где задаются соотношением

3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ

Чтобы выделить определенные характеристики спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных».

В соотношении (2.3) введена функция , называемая окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).

Функцию

(3.1)

называют частотным окном. Из соотношения (3.1) вытекает, что

Характерное поведение функции состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при .

Примеры окон просмотра данных:

1 – окно Дирихле;

1- – окно Фейера;

;

– окно Хэннинга;

– окно Хэмминга;

– окно Хэмминга;

, где – окно Хэмминга;

1- – окно Рисса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе исследована оценка спектральной плотности вида

где , а периодограмма задана следующим соотношением

Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании данных, представляющих собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Графики построены также для центрированного случайного процесса.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. – М.: Мир, 1976. – 755 с.

Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980. - 536 с.

Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 168 с.

Труш Н.Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов. – Мн.: БГУ, 1999. - 218 с.

Труш Н.Н., Мирская Е.И. Случайные процессы. Преобразования Фурье наблюдений. – Мн.: БГУ, 2000.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Для исследования оценки (3.1) был исследован ряд, состоящий из 176 наблюдений ежедневной температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Рис. 1 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле

Рис. 2 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле для центрированного случайного процесса

Рис. 3 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера

Рис. 4 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера для центрированного случайного процесса

Рис. 5 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3

Рис. 6 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3 для центрированного случайного процесса

Рис. 7 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга

Рис. 8 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга для центрированного случайного процесса

Рис. 9 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5

Рис. 10 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5 для центрированного случайного процесса

Рис. 11 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6

Рис. 12 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6 для центрированного случайного процесса

Рис. 13 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7

Рис. 14 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7 для центрированного случайного процесса

Рис. 15 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса

Рис. 16 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса для центрированного случайного процесса