Метод коллокаций

Пусть необходимо определить функцию, удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению

(2.50)

и линейными краевыми условиями

, (2.51)

причем

Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций

(2.52)

которую назовем системой базисных функций.

Пусть функция  удовлетворяет неоднородным краевым условиям

(2.53)

а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:

. (2.54)

Если краевые условия (2.51) однородны (A=B=0), то можно положить  и рассматривать лишь систему функций .

Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций

. (2.55)

Тогда функция y удовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем

и аналогично

Составим функцию . Подставляя сюда вместо y выражение (2.55), будем иметь

.(2.56)

Если при некотором выборе коэффициентов ci выполнено равенство

при

то функция y является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции и коэффициенты ci в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция  обращалась в нуль в заданной системе точек  из интервала [a, b], которые называются точками коллокации. Сама функция R называетсяневязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.

Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений

. (2.57)

Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты , после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).

Пример. Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу

 (2.58)

1. Метод коллокаций.

В качестве базисных функций выберем полиномы

.

Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям:  За точки коллокации возьмем следующие абсциссы:

Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим

Найдем функцию 

 (2.59)

В точках коллокации  получим

.

Подставляя сюда (2.59), найдем

(2.60)

Решив эту систему, определим коэффициенты :

=0.957, =− 0.022.

Следовательно, приближенное решение будет иметь вид

.

Например, при x=0 получим y(0)=0.957.

2. Метод сеток.

Для грубого решения выбираем шаг h=1/2 (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к методу сеток

Полагая , ввиду симметрии уравнения и краевых условий, будем иметь:

 (2.61)

Таким образом, нужно определить лишь две ординаты y0 и . Полагая x=0 и пользуясь симметричными формулами для производных

,

получим:

Аналогично, при x=1/2, то есть при i=1, получаем

Учитывая теперь (2.61), найдем систему

Решая эту систему, отыщем y0=0.967, y1=0.721. Итак, сравним: метод коллокации дает y0=0.957, а метод сеток y0=0.967.

Метод Галеркина

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями

, (2.62)

 (2.63)

Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы

(2.64)

где  – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.63), а  – какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям

(2.65)

и, кроме того функции при  образуют в классе функций c2[a, b], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.

Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.

Обозначим через G класс функций y(x), принадлежащих c2[a, b] (то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a, b]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций  полна в классе G, если для любого  и любой функции  можно указать такое n и такие параметры , что имеет место неравенство

где

Это означает, что для любой допустимой функции  найдется такая функция , которая на [a, b] будет сколь угодно точно приближать функцию y(x) вместе с ее производными  и .

Докажем, что если для некоторой функции F(x) и полной системы функций  выполняется соотношение ортогональности

(2.66)

то функция . Для этого из полной системы  последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему 

причем  иначе  были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F(x), найдем

Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.66), придем к равенству

 (2.67)

Вычислим последний интеграл:

так как

Таким образом, уравнение (2.67) принимает вид

.

Полагая здесь k=1, получим , и так как , то . Полагая k=2, получим , и так далее. Следовательно, все коэффициенты  в разложении функции F(x) равны нулю и поэтому F(x) тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Возвращаясь теперь к задаче (2.62), (2.63), видим, что если бы мы нашли такую функцию y(x), удовлетворяющую условиям (2.63), и чтобы  было ортогонально  при любых , то это означало бы, что , и задача (2.62), (2.63) была бы решена. Если же ортогональность есть только при , то в разложении  по системе  входят  и более старшие коэффициенты, то есть

Метод Галеркина состоит в том, что решение задачи (2.62), (2.63) ищется в виде (2.64), причем требуют ортогональности  к функциям полной системы  для , то есть

 (2.68) где

Это дает алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов ak. Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение.

Если оператор  нелинейный, то система (2.68) тоже будет нелинейной и решение ее весьма затруднительно. Если же оператор  линейный, то система (2.68) также будет линейной и можно решать задачу с большим числом коэффициентов.

В методе Галеркина функция  должна удовлетворять краевым условиям (2.63). Поэтому  можно выбрать в виде

,

и коэффициенты  найти как решение системы уравнений

Таким же образом отыскиваются функции . Выберем, например, полную систему  в виде многочленов последовательных степеней:

.

Коэффициенты  найдем из однородных краевых условий (2.65)

(2.65а)

при всех .

Так, для и условия (2.65а) принимают вид:

В этой системе из двух уравнений три неизвестных:   и . Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например, . Аналогично отыскивают коэффициенты  для .

Для простых условий вида то есть  функции  можно вычислять по правилу

или

Отметим, что при нелинейном краевом условии вида, например, линейная комбинация (2.64) с произвольными коэффициентами ak уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор L.

Пример 1. Методом Галеркина найти приближенное решение уравнения

с условиями

В качестве системы базисных функций выберем

Ограничимся четырьмя функциями , то есть k=0, 1, 2, 3. Решение будем искать в виде

Найдем функцию.

Так как

, а , ,

то получим

Потребует теперь ортогональности функции F(x) к функциям . Это приводит к системе

Подставляя сюда вместо  выражение этой функции и производя интегрирования, найдем

Решение этой системы:

Следовательно,

Пример 2.

Решим задачу

Положим  и выберем полную систему функций

Ограничиваясь k=1, легко получить

Если же взять два члена, то получим

Можно рассчитать следующую таблицу:

x			Точное решение
	0.241	0.445	0.208
	0.322	0.685	0.325
	0.241	0.582	0.273