Рефетека.ру / Эк.-мат. моделирование

Реферат: Лінійна модель виробництва

1. Лінійні моделі виробництва та лінійне програмування


Будь-яке національне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв'язків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, пов'язані з виробництвом шин, і інших комплектуючих частин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін. Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможуть при спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення таких впливів.

Метод міжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді на запитання, пов'язані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основні макроекономічні показники.

Розглянемо діяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху). Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступень виконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічні можливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.

Нехай кількість всіх видів ресурсів Лінійна модель виробництва позначимо їх Лінійна модель виробництва. Це можуть бути метал, електроенергія, різні види поставок з інших підприємств. Припустимо, що на виробництві можуть випускатися Лінійна модель виробництва типів товарів Лінійна модель виробництва.

Технологією виробництва товарів Лінійна модель виробництва назвемо набір чисел Лінійна модель виробництва Лінійна модель виробництва, що показують, яка кількість ресурсів Лінійна модель виробництва необхідні для випуску однієї одиниці товару Лінійна модель виробництва. Так виробництво товарів Лінійна модель виробництва можна подати як конвеєр, протягом якого подаються ресурси в кількості Лінійна модель виробництваа в кінці конвеєра виходить готова одиниця продукту Лінійна модель виробництва.

Отже, можна скласти технологічну матрицю, яка повністю описує технологічні можливості виробництва. Позначаємо її через Лінійна модель виробництва


Лінійна модель виробництва.


Нехай задані кількості Лінійна модель виробництва ресурсів Лінійна модель виробництва,Лінійна модель виробництва, які можуть бути використані у виробництві, тоді Лінійна модель виробництва– вектор ресурсів. Назвемо планом виробництва вектор Лінійна модель виробництва, що показує, яка кількість товарів Лінійна модель виробництва буде вироблена.

Вважатимемо технологію виробництва лінійною, тобто припустимо, що всі витрати ресурсів зростають прямо пропорційно обсягу випуску. Припустимо, що витрати під час випуску Лінійна модель виробництва одиниць продукту Лінійна модель виробництва описуються вектором Лінійна модель виробництва, причому одночасне функціонування декількох технологічних процесів приводить до сумарних витрат.

Отже, витрати ресурсів, необхідні для виконання плану виробництва Лінійна модель виробництва, описуються вектором, координати якого мають такий вигляд:


Лінійна модель виробництва


або в матричній формі вектором Лінійна модель виробництва. Умова обмеженості ресурсів записується у вигляді Лінійна модель виробництва. Отже, при заданому векторі ресурсів розглянутою виробничою одиницею може бути будь-який випущений набір товарів Лінійна модель виробництва, який задовольняє обмеженням Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва. Як правило, такий вектор не єдиний. У зв'язку з цим з'являється можливість вибору найкращого в деякому розумінні плану.

Розглянемо можливі постановки оптимізаційної задачі. Нехай задані ціни Лінійна модель виробництва на продукти виробництва Лінійна модель виробництва. Потрібно визначити план виробництва, що максимізує вартість продукції. Формальний запис цієї задачі такий:


Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва.(1)


Така постановка задачі відповідає принципу планування за валом. Випадок, коли планування випуску проводиться за номенклатурою товарів, можна змоделювати інакше. Нехай заданий вектор Лінійна модель виробництва, що визначає один комплект випуску. Потрібно випустити як можна більше таких комплектів. Нехай Лінійна модель виробництва означає кількість комплектів, що випускають. Розглянемо задачу


Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва.(2)


Тут нерівність Лінійна модель виробництва означає, що вектор Лінійна модель виробництва містить не менше Лінійна модель виробництва повних комплектів Лінійна модель виробництва продукції, що випускається.

Моделі (1), (2), хоча й відбивають певні риси реального виробництва, є, значно ідеалізованими. Так, відсутнє таке важливе для виробництва поняття, як час. Вважається, що всі необхідні ресурси Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва доступні. Отже, такі моделі абстраговані від динаміки виробництва й не враховують цілий ряд інших показників, які є неодмінним атрибутом реального виробництва.

Незважаючи на розходження змістовних результатів ілюстративні лінійні моделі (1), (2) мають багато спільного, а саме є стандартними задачами лінійного програмування. Основними обчислювальними схемами розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод і його модифікації.


2. Статична схема міжгалузевого балансу. Модель Леонтьєва


Основою багатьох лінійних методів виробництва є схема міжгалузевого балансу. Нехай весь виробничий сектор народного господарства розбитий на Лінійна модель виробництва чистих галузей, тобто продукція кожної з цих галузей передбачається однорідною. Кожна галузь випускає продукт тільки одного типу, і різні галузі випускають різні продукти. В процесі виробництва свого виду продукту кожна галузь потребує продукцію інших галузей. Чиста галузь є економічною абстракцією , що не обов'язково існує реально. Подібна ідеалізація виправдана тим, що вона дозволяє провести аналіз технологічної структури виробництва та розподілу.

Припустимо тепер, що в деякий момент часу, наприклад, у році Лінійна модель виробництва, за підсумковими даними складений балансовий звіт по народному господарству за фіксований період часу за формою, наведеною в табл. 1.

Таблиця 1

Галузі Лінійна модель виробництва

1 2

Лінійна модель виробництва


Продукти Лінійна модель виробництва






1

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

2

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Валовий випуск

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва


Кінцеве споживання

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва

Лінійна модель виробництва



Величини Лінійна модель виробництва вказують обсяг продукту з номером Лінійна модель виробництва, витрачений галуззю Лінійна модель виробництва в процесі виробництва за звітний період. Числа Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва дорівнюють обсягу продукції (валовому випуску) Лінійна модель виробництва-ї галузі за той самий період, а значення Лінійна модель виробництваобсягу продукції Лінійна модель виробництва-ї галузі, що був спожитий у невиробничій сфері. Числа Лінійна модель виробництва,Лінійна модель виробництва показують розподіл Лінійна модель виробництва-го продукту на виробничі потреби всіх інших галузей. Балансовий характер табл. 1 виражається в тому, що мають виконуватися співвідношення


Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва.(3)


Отже, валова продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.

Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.

Якщо всі елементи Лінійна модель виробництва-го стовпця таблиці 1 розділити на Лінійна модель виробництва, то число Лінійна модель виробництва розумітимемо як обсяг продукції Лінійна модель виробництва-ї галузі, необхідний для виробництва однієї одиниці продукту Лінійна модель виробництва-ї галузі. Числа Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва характеризують технологію Лінійна модель виробництва-ї галузі у звітний період і звуться коефіцієнтами прямих витрат Лінійна модель виробництва-ї галузі. Під Лінійна модель виробництва розумітимемо частку продукції Лінійна модель виробництва-ї галузі, витрачену на невиробниче споживання. Основним елементом схеми міжгалузевого балансу є квадратна матриця Лінійна модель виробництва, яку називають матрицею коефіцієнтів прямих витрат.

Першим допущенням даної схеми є те, що сформована технологія виробництва є незмінною протягом деякого проміжку часу. Друге допущення полягає в тому, що для виробництва Лінійна модель виробництва одиниць продукції галузі Лінійна модель виробництва необхідно затратити Лінійна модель виробництва одиниць галузі Лінійна модель виробництва, тобто передбачається, що витрати прямо пропорційні випуску (є лінійно однорідною функцією випуску).

Під час виробництва набору продукції Лінійна модель виробництва витрати продукції Лінійна модель виробництва-ї галузі складуть у цьому випадку величину


Лінійна модель виробництва Лінійна модель виробництва.(4)


Переходячи до матричних позначень, стверджуємо, що вектор виробничих витрат дорівнює Лінійна модель виробництва. Якщо Лінійна модель виробництва– вектор кінцевих споживань, тоді валова продукція Лінійна модель виробництва-ї галузі дорівнює


Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва (5)


або в матричній формі


Лінійна модель виробництва. (6)


Систему рівнянь (6) називають моделлю міжгалузевого балансу або моделлю Леонтьєва. Дана модель пов'язує обсяги валових випусків з обсягами кінцевої продукції й може бути використана для розрахунку цих величин. Наприклад, якщо відомий набір можливих при даних ресурсах випусків Лінійна модель виробництва, то система (6) дозволить розрахувати набір відповідних значень Лінійна модель виробництва. Якщо спочатку відомий бажаний набір кінцевої продукції, то за допомогою моделі (6) можна визначити необхідні для його забезпечення обсяги валового випуску по галузі, тобто


Лінійна модель виробництва (7)


при заданій матриці Лінійна модель виробництва.


3. Розв’язок моделі Леонтьєва


За економічними міркуваннями всі коефіцієнти матриці Лінійна модель виробництва невід’ємні: Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва. У цьому випадку говорять, що матриця Лінійна модель виробництва невід’ємна й записують Лінійна модель виробництва. Невід’ємні компоненти заданого вектора Лінійна модель виробництва або Лінійна модель виробництва.

Розв’язок, який має бути знайдений, за змістом також повинний мати тільки невід’ємні компоненти, тобто потрібне виконання нерівностей Лінійна модель виробництва або Лінійна модель виробництва. Можливість одержання невід’ємного розв’язку визначається властивостями матриці Лінійна модель виробництва.

Матриця Лінійна модель виробництва називається продуктивною, якщо існують два вектори Лінійна модель виробництва і Лінійна модель виробництва, такі, що Лінійна модель виробництва.

Продуктивність матриці Лінійна модель виробництва означає, що виробнича система здатна забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всіма продуктами.

Розглянемо умови продуктивності матриці Лінійна модель виробництва:

1) послідовні головні мінори матриці Лінійна модель виробництва позитивні, тобто для кожного Лінійна модель виробництва виконана нерівність


Лінійна модель виробництва;


2) матриця Лінійна модель виробництва невід’ємно зворотна, це означає , що існує зворотна матриця Лінійна модель виробництва й всі її елементи невід’ємні: Лінійна модель виробництва

3) матричний ряд Лінійна модель виробництва збігається, причому


Лінійна модель виробництва.


4) максимальне власне число Лінійна модель виробництва.

Повернемося до системи рівнянь (7). За заданим вектором Лінійна модель виробництва потрібно знайти вектор Лінійна модель виробництва, для якого Лінійна модель виробництва. Перепишемо систему (7) у вигляді Лінійна модель виробництва, де Лінійна модель виробництва – одинична матриця. Якщо матриця Лінійна модель виробництва продуктивна, то відповідно до умови 2) матриця Лінійна модель виробництва існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь (7) існує, єдиний і має вигляд Лінійна модель виробництва. Через те, що Лінійна модель виробництва й Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва.

Особливістю матриці Лінійна модель виробництва в моделі Леонтьєва є те, що всі елементи її невід’ємні. Такі матриці володіють рядом властивостей. Розглянемо їх в наступному підрозділі.


4. Властивості невід’ємних матриць


Нехай Лінійна модель виробництва – квадратна матриця розміром Лінійна модель виробництва з невід’ємними елементами Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва; Лінійна модель виробництвапідмножина множини Лінійна модель виробництва натуральних чисел Лінійна модель виробництва. Говорять, що Лінійна модель виробництва ізольовано (щодо даної матриці Лінійна модель виробництва), якщо в матриці Лінійна модель виробництва Лінійна модель виробництва при Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва.

Мовою моделі Леонтьєва ізольованість множини Лінійна модель виробництва означає, що галузі з номерами Лінійна модель виробництва під час свого функціонування не використовують товари, вироблені галузями з номерами з множин Лінійна модель виробництва. Інакше кажучи, частина економіки, що утвориться галузями з множини Лінійна модель виробництва, може існувати незалежно від інших галузей. Якщо перенумерувати індекси так, щоб Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва, що відповідає одночасній перестановці рядків і стовпців матриці Лінійна модель виробництва, то матриця Лінійна модель виробництва матиме вигляд


Лінійна модель виробництва,(8)


де Лінійна модель виробництва й Лінійна модель виробництва– квадратні підматриці розмірів Лінійна модель виробництва і Лінійна модель виробництва відповідно, Лінійна модель виробництваЛінійна модель виробництва.

Матриця Лінійна модель виробництва називається нерозкладною, якщо в множині Лінійна модель виробництва немає ізольованих підмножин, крім самої Лінійна модель виробництва і порожньої множини.

Інакше кажучи, матриця Лінійна модель виробництва нерозкладна, якщо одночасною перестановкою рядків і стовпців її не можна привести до вигляду (8).

Нерозкладність матриці Лінійна модель виробництва в моделі Леонтьєва означає, що кожна галузь використовує хоча й побічно, продукцію всіх галузей.

Розглянемо деякі властивості нерозкладних матриць:

1. Нерозкладна матриця не має нульових рядків і стовпців; якщо Лінійна модель виробництва-й рядок матриці Лінійна модель виробництва нульовий, то множина Лінійна модель виробництва ізольована.

2. Якщо Лінійна модель виробництва– нерозкладна й Лінійна модель виробництвато Лінійна модель виробництва.

Теорема Фробеніуса-Перрона: нерозкладна матриця Лінійна модель виробництва має таке власне число Лінійна модель виробництва, що й модулі всіх інших власних чисел матриці Лінійна модель виробництва не перевищують Лінійна модель виробництва; числу Лінійна модель виробництва відповідає з точністю до скалярного множника власний вектор Лінійна модель виробництва, всі координати якого ненульові й одного знака, тобто можна вважати Лінійна модель виробництва.

4. Лема: нехай Лінійна модель виробництва – нерозкладна матриця, Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва, крім того, у вектора Лінійна модель виробництва є нульові координати та Лінійна модель виробництва, тоді у вектора Лінійна модель виробництва знайдеться додатна координата Лінійна модель виробництва, причому Лінійна модель виробництва.

5. Лема: якщо матриця Лінійна модель виробництва нерозкладна, Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва, то з нерівності Лінійна модель виробництва випливає, що Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва.


5. Зв'язок між коефіцієнтами прямих і повних витрат


Нехай розглядається матриця коефіцієнтів прямих витрат у натуральному або вартісному виразі Лінійна модель виробництва.

Для виробництва одиниці продукції Лінійна модель виробництва-ї галузі необхідно затратити набір продуктів Лінійна модель виробництва, що описується Лінійна модель виробництва-м стовпцем матриці Лінійна модель виробництва. Але для виробництва цього набору Лінійна модель виробництва необхідно безпосередньо затратити набір продуктів, який ми позначимо через Лінійна модель виробництва.

Елементи вектора витрат Лінійна модель виробництва називаються коефіцієнтами непрямих витрат першого порядку відповідних продуктів на виробництво одиниць Лінійна модель виробництва-го продукту Лінійна модель виробництва.

Матриця Лінійна модель виробництва, складена зі стовпців Лінійна модель виробництва, Лінійна модель виробництва, називається матрицею непрямих витрат першого порядку й визначається відповідно до формули


Лінійна модель виробництва.


Непрямими витратами другого порядку називають прямі витрати, необхідні для забезпечення непрямих витрат першого порядку, тобто Лінійна модель виробництва, або в матричній формі


Лінійна модель виробництва


де Лінійна модель виробництва– матриця коефіцієнтів непрямих витрат другого порядку.

Продовжуючи за аналогією, назвемо непрямими витратами порядку Лінійна модель виробництва прямі витрати на забезпечення непрямих витрат порядку Лінійна модель виробництва. Очевидно, що матрицю коефіцієнтів непрямих витрат Лінійна модель виробництва-го порядку одержимо, помноживши Лінійна модель виробництва на Лінійна модель виробництва


Лінійна модель виробництва. (9)


Визначимо тепер повні витрати як суму прямих і непрямих витрат усіх порядків. Відповідно до цього матриця Лінійна модель виробництва, складена з коефіцієнтів повних витрат, утвориться як сума


Лінійна модель виробництва(10)


або з огляду на те, що Лінійна модель виробництва, маємо


Лінійна модель виробництва(11)


Коефіцієнти прямих і повних матеріальних витрат мають важливе значення для характеристики структури техніко-економічних зв'язків і для аналізу ефективності виробництва з боку витрат упредметненої праці. Суттєва відмінність коефіцієнтів повних витрат від коефіцієнтів прямих витрат полягає в тому, що вони є не галузевими, а народногосподарськими показниками й формуються з урахуванням технологічних зв'язків між галузями.

З'ясуємо такий момент. Чи не виявляться будь-які з коефіцієнтів повних витрат нескінченно великими?

Розглянемо матрицю Лінійна модель виробництва


Лінійна модель виробництва.


Очевидно, що елементи матриці Лінійна модель виробництва скінченні разом з елементами матриці Лінійна модель виробництва тільки в тому випадку, якщо скінченна сума ряду Лінійна модель виробництва. Крім того, відповідно до умови (3) його збіжність є умовою, еквівалентною продуктивності матриці Лінійна модель виробництва, причому Лінійна модель виробництва. Отже, у випадку продуктивності матриці Лінійна модель виробництва й тільки в цьому випадку матриця повних витрат Лінійна модель виробництва скінченна, її визначають відповідно до формули


Лінійна модель виробництва.


Для великих значень Лінійна модель виробництва важко обчислити зворотну матрицю. В цьому випадку матрицю Лінійна модель виробництва, як і матрицю Лінійна модель виробництва, можна обчислити приблизно, користуючись методом ітерацій. На першій ітерації Лінійна модель виробництва, на другій ітерації Лінійна модель виробництва, на третій Лінійна модель виробництва, на Лінійна модель виробництва-й ітерації Лінійна модель виробництва. Часткова сума Лінійна модель виробництва відрізняється від часткової суми Лінійна модель виробництва на величину Лінійна модель виробництва. Через те що ряд збігається, Лінійна модель виробництва при Лінійна модель виробництва. Тому за скінченну кількість кроків можна досягти заданої точності обчислень.

Коефіцієнти Лінійна модель виробництва матриці Лінійна модель виробництва мають таку економічну інтерпретацію: якщо випуск кінцевого Лінійна модель виробництва-го продукту потрібно збільшити на одиницю, то валовий випуск Лінійна модель виробництва-го продукту має бути збільшений на Лінійна модель виробництва.


6. Коефіцієнти трудових витрат. Баланс трудових ресурсів


Модель Леонтьєва, як відзначалося раніше, відображає лише потенційні можливості, закладені в технології виробничого сектора. У даній моделі передбачається, що процес виробництва відбувається миттєво – всі проміжні продукти вважаються виробленими до того моменту, коли в них з'являється потреба, тобто кожна галузь здатна зробити будь-який обсяг своєї продукції за умови, що їй буде забезпечена сировина в необхідній кількості. Насправді, це не так, оскільки виробничі можливості будь-якої галузі обмежені наявним обсягом основних фондів трудових ресурсів.

Розглянемо проблему розподілу трудових ресурсів, яку можна дослідити за допомогою моделі Леонтьєва.

Зіставимо кожній Лінійна модель виробництва-ї галузі число Лінійна модель виробництва, що виражає необхідні витрати трудових ресурсів при одиничній інтенсивності даного технологічного процесу.

Нехай Лінійна модель виробництва – вектор прямих витрат праці й Лінійна модель виробництва – матриця прямих матеріальних витрат. На виробництво одиниці продукту виду Лінійна модель виробництва необхідно безпосередньо затратити набір продуктів Лінійна модель виробництва і працю в кількості Лінійна модель виробництва. Однак на виробництво даного набору продуктів у свою чергу необхідно затратити Лінійна модель виробництваодиниць праці. Ця величина називається непрямими витратами праці першого порядку на одиницю Лінійна модель виробництва-го продукту й позначається через Лінійна модель виробництва.

Вектор непрямих витрат праці першого порядку Лінійна модель виробництва визначається таким виразом: Лінійна модель виробництва.

Міркуючи аналогічно тому, як це робилося під час побудови коефіцієнтів непрямих матеріальних витрат, дійдемо висновку, що вектор Лінійна модель виробництва непрямих витрат праці порядку Лінійна модель виробництва визначається таким співвідношенням:


Лінійна модель виробництва або Лінійна модель виробництва.


Повні витрати праці Лінійна модель виробництва є сумою прямих і непрямих витрат праці


Лінійна модель виробництва.


У матричному записі, вважаючи, що Лінійна модель виробництва і, з огляду на те, що Лінійна модель виробництва, маємо


Лінійна модель виробництва або Лінійна модель виробництва.


Якщо матриця Лінійна модель виробництва продуктивна, то суму в дужках можна замінити на Лінійна модель виробництва й, отже, Лінійна модель виробництва – матриця повних витрат праці.

Зменшення повних витрат праці на одиницю продукції є узагальнюючим показником збільшення продуктивності праці, ефективності виробництва. Розрахунок коефіцієнтів повних витрат праці важливий для ціноутворення на етапі встановлення об'єктивної основи ціни – вартості. Для обчислення коефіцієнтів повних витрат праці використовують ітераційну процедуру


Лінійна модель виробництва,


що дозволяє з заданою точністю визначити дані коефіцієнти.

Похожие работы:

  1. • Визначення ефективності та опрацювання напрямків поліпшення ...
  2. • Розв"язання задач лінійного програмування
  3. • Економічні задачі лінійного програмування і методи їх ...
  4. • Проста лінійна регресія
  5. • Стандартна задача лінійного програмування
  6. • Статистичний аналіз тенденцій захворюваності в ...
  7. • Волоконно-оптичні системи
  8. • Сигнали цифрового лінійного тракту
  9. • Побудова математичної моделі задачі лінійного ...
  10. • ВОСП магістральних ліній зв"язку
  11. •  ... Якобі для рішення задач лінійного програмування
  12. • Математичне програмування в економіці
  13. • Система передачі "Сопка-4"
  14. • Побудова та реалізація економіко-математичної ...
  15. • Проект волоконно-оптичної лінії зв"язку між пунктами ...
  16. • Моделювання економічних та виробничих процесів
  17. • Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь ...
  18. • Побудова лінійної регресійної моделі
  19. • Теоретичний розрахунок лінійного електричного кола ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com