1. Лінійні моделі виробництва та лінійне програмування
Будь-яке національне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв'язків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, пов'язані з виробництвом шин, і інших комплектуючих частин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін. Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможуть при спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення таких впливів.
Метод міжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді на запитання, пов'язані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основні макроекономічні показники.
Розглянемо діяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху). Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступень виконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічні можливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.
Нехай кількість
всіх видів
ресурсів
позначимо їх
.
Це можуть бути
метал, електроенергія,
різні види
поставок з
інших підприємств.
Припустимо,
що на виробництві
можуть випускатися
типів товарів
.
Технологією
виробництва
товарів
назвемо набір
чисел
,
що показують,
яка кількість
ресурсів
необхідні для
випуску однієї
одиниці товару
.
Так виробництво
товарів
можна подати
як конвеєр,
протягом якого
подаються
ресурси в кількості
а
в кінці конвеєра
виходить готова
одиниця продукту
.
Отже, можна
скласти технологічну
матрицю, яка
повністю описує
технологічні
можливості
виробництва.
Позначаємо
її через
.
Нехай задані
кількості
ресурсів
,
,
які можуть бути
використані
у виробництві,
тоді
–
вектор ресурсів.
Назвемо планом
виробництва
вектор
,
що показує, яка
кількість
товарів
буде вироблена.
Вважатимемо
технологію
виробництва
лінійною, тобто
припустимо,
що всі витрати
ресурсів зростають
прямо пропорційно
обсягу випуску.
Припустимо,
що витрати під
час випуску
одиниць продукту
описуються
вектором
,
причому одночасне
функціонування
декількох
технологічних
процесів приводить
до сумарних
витрат.
Отже, витрати
ресурсів, необхідні
для виконання
плану виробництва
,
описуються
вектором, координати
якого мають
такий вигляд:
або в матричній
формі вектором
.
Умова обмеженості
ресурсів записується
у вигляді
.
Отже, при заданому
векторі ресурсів
розглянутою
виробничою
одиницею може
бути будь-який
випущений набір
товарів
,
який задовольняє
обмеженням
,
.
Як правило,
такий вектор
не єдиний. У
зв'язку з цим
з'являється
можливість
вибору найкращого
в деякому розумінні
плану.
Розглянемо
можливі постановки
оптимізаційної
задачі. Нехай
задані ціни
на продукти
виробництва
.
Потрібно визначити
план виробництва,
що максимізує
вартість продукції.
Формальний
запис цієї
задачі такий:
,
,
.(1)
Така постановка
задачі відповідає
принципу планування
за валом. Випадок,
коли планування
випуску проводиться
за номенклатурою
товарів, можна
змоделювати
інакше. Нехай
заданий вектор
,
що визначає
один комплект
випуску. Потрібно
випустити як
можна більше
таких комплектів.
Нехай
означає кількість
комплектів,
що випускають.
Розглянемо
задачу
,
,
,
.(2)
Тут нерівність
означає, що
вектор
містить не
менше
повних комплектів
продукції, що
випускається.
Моделі
(1), (2), хоча й відбивають
певні риси
реального
виробництва,
є, значно ідеалізованими.
Так, відсутнє
таке важливе
для виробництва
поняття, як
час. Вважається,
що всі необхідні
ресурси
,
доступні. Отже,
такі моделі
абстраговані
від динаміки
виробництва
й не враховують
цілий ряд інших
показників,
які є неодмінним
атрибутом
реального
виробництва.
Незважаючи на розходження змістовних результатів ілюстративні лінійні моделі (1), (2) мають багато спільного, а саме є стандартними задачами лінійного програмування. Основними обчислювальними схемами розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод і його модифікації.
2. Статична схема міжгалузевого балансу. Модель Леонтьєва
Основою
багатьох лінійних
методів виробництва
є схема міжгалузевого
балансу. Нехай
весь виробничий
сектор народного
господарства
розбитий на
чистих галузей,
тобто продукція
кожної з цих
галузей передбачається
однорідною.
Кожна галузь
випускає продукт
тільки одного
типу, і різні
галузі випускають
різні продукти.
В процесі виробництва
свого виду
продукту кожна
галузь потребує
продукцію інших
галузей. Чиста
галузь є економічною
абстракцією
, що не обов'язково
існує реально.
Подібна ідеалізація
виправдана
тим, що вона
дозволяє провести
аналіз технологічної
структури
виробництва
та розподілу.
Припустимо
тепер, що в деякий
момент часу,
наприклад, у
році
,
за підсумковими
даними складений
балансовий
звіт по народному
господарству
за фіксований
період часу
за формою, наведеною
в табл. 1.
Таблиця 1
Галузі
|
1 | 2 | … |
|
|
Продукти
|
|||||
1 |
|
|
… |
|
|
2 |
|
|
… |
|
|
… | … | … | … | … | … |
|
|
|
… |
|
|
Валовий випуск |
|
|
… |
|
|
Кінцеве споживання |
|
|
… |
|
Величини
вказують обсяг
продукту з
номером
,
витрачений
галуззю
в процесі виробництва
за звітний
період. Числа
,
дорівнюють
обсягу продукції
(валовому випуску)
-ї
галузі за той
самий період,
а значення
– обсягу продукції
-ї
галузі, що був
спожитий у
невиробничій
сфері. Числа
,
показують
розподіл
-го
продукту на
виробничі
потреби всіх
інших галузей.
Балансовий
характер табл.
1 виражається
в тому, що мають
виконуватися
співвідношення
,
.(3)
Отже, валова продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.
Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.
Якщо всі
елементи
-го
стовпця таблиці
1 розділити на
,
то число
розумітимемо
як обсяг продукції
-ї
галузі, необхідний
для виробництва
однієї одиниці
продукту
-ї
галузі. Числа
,
характеризують
технологію
-ї
галузі у звітний
період і звуться
коефіцієнтами
прямих витрат
-ї
галузі. Під
розумітимемо
частку продукції
-ї
галузі, витрачену
на невиробниче
споживання.
Основним елементом
схеми міжгалузевого
балансу є квадратна
матриця
,
яку називають
матрицею коефіцієнтів
прямих витрат.
Першим допущенням
даної схеми
є те, що сформована
технологія
виробництва
є незмінною
протягом деякого
проміжку часу.
Друге допущення
полягає в тому,
що для виробництва
одиниць продукції
галузі
необхідно
затратити
одиниць галузі
,
тобто передбачається,
що витрати
прямо пропорційні
випуску (є лінійно
однорідною
функцією випуску).
Під час виробництва
набору продукції
витрати продукції
-ї
галузі складуть
у цьому випадку
величину
.(4)
Переходячи
до матричних
позначень,
стверджуємо,
що вектор виробничих
витрат дорівнює
.
Якщо
–
вектор кінцевих
споживань, тоді
валова продукція
-ї
галузі дорівнює
,
(5)
або в матричній формі
.
(6)
Систему
рівнянь (6) називають
моделлю міжгалузевого
балансу або
моделлю Леонтьєва.
Дана модель
пов'язує обсяги
валових випусків
з обсягами
кінцевої продукції
й може бути
використана
для розрахунку
цих величин.
Наприклад, якщо
відомий набір
можливих при
даних ресурсах
випусків
,
то система (6)
дозволить
розрахувати
набір відповідних
значень
.
Якщо спочатку
відомий бажаний
набір кінцевої
продукції, то
за допомогою
моделі (6) можна
визначити
необхідні для
його забезпечення
обсяги валового
випуску по
галузі, тобто
(7)
при заданій
матриці
.
3. Розв’язок моделі Леонтьєва
За економічними
міркуваннями
всі коефіцієнти
матриці
невід’ємні:
,
.
У цьому випадку
говорять, що
матриця
невід’ємна
й записують
.
Невід’ємні
компоненти
заданого вектора
або
.
Розв’язок,
який має бути
знайдений, за
змістом також
повинний мати
тільки невід’ємні
компоненти,
тобто потрібне
виконання
нерівностей
або
.
Можливість
одержання
невід’ємного
розв’язку
визначається
властивостями
матриці
.
Матриця
називається
продуктивною,
якщо існують
два вектори
і
,
такі, що
.
Продуктивність
матриці
означає, що
виробнича
система здатна
забезпечити
деякий позитивний
кінцевий випуск
за всіма продуктами.
Розглянемо
умови продуктивності
матриці
:
1) послідовні
головні мінори
матриці
позитивні,
тобто для кожного
виконана нерівність
;
2) матриця
невід’ємно
зворотна, це
означає , що
існує зворотна
матриця
й всі її елементи
невід’ємні:
3) матричний
ряд
збігається,
причому
.
4) максимальне
власне число
.
Повернемося
до системи
рівнянь (7). За
заданим вектором
потрібно знайти
вектор
,
для якого
.
Перепишемо
систему (7) у вигляді
,
де
– одинична
матриця. Якщо
матриця
продуктивна,
то відповідно
до умови 2) матриця
існує й невід’ємна.
Тому розв’язок
системи рівнянь
(7) існує, єдиний
і має вигляд
.
Через те, що
й
,
.
Особливістю
матриці
в моделі Леонтьєва
є те, що всі елементи
її невід’ємні.
Такі матриці
володіють рядом
властивостей.
Розглянемо
їх в наступному
підрозділі.
4. Властивості невід’ємних матриць
Нехай
– квадратна
матриця розміром
з невід’ємними
елементами
,
;
підмножина
множини
натуральних
чисел
.
Говорять, що
ізольовано
(щодо даної
матриці
),
якщо в матриці
при
,
.
Мовою
моделі Леонтьєва
ізольованість
множини
означає, що
галузі з номерами
під час свого
функціонування
не використовують
товари, вироблені
галузями з
номерами з
множин
.
Інакше кажучи,
частина економіки,
що утвориться
галузями з
множини
,
може існувати
незалежно від
інших галузей.
Якщо перенумерувати
індекси так,
щоб
,
,
що відповідає
одночасній
перестановці
рядків і стовпців
матриці
,
то матриця
матиме вигляд
,(8)
де
й
–
квадратні
підматриці
розмірів
і
відповідно,
–
.
Матриця
називається
нерозкладною,
якщо в множині
немає ізольованих
підмножин, крім
самої
і порожньої
множини.
Інакше кажучи,
матриця
нерозкладна,
якщо одночасною
перестановкою
рядків і стовпців
її не можна
привести до
вигляду (8).
Нерозкладність
матриці
в моделі Леонтьєва
означає, що
кожна галузь
використовує
хоча й побічно,
продукцію всіх
галузей.
Розглянемо деякі властивості нерозкладних матриць:
1. Нерозкладна
матриця не має
нульових рядків
і стовпців;
якщо
-й
рядок матриці
нульовий, то
множина
ізольована.
2. Якщо
–
нерозкладна
й
то
.
Теорема
Фробеніуса-Перрона:
нерозкладна
матриця
має таке власне
число
,
що й модулі
всіх інших
власних чисел
матриці
не перевищують
;
числу
відповідає
з точністю до
скалярного
множника власний
вектор
,
всі координати
якого ненульові
й одного знака,
тобто можна
вважати
.
4. Лема: нехай
– нерозкладна
матриця,
,
,
,
крім того, у
вектора
є нульові координати
та
,
тоді у вектора
знайдеться
додатна координата
,
причому
.
5. Лема: якщо
матриця
нерозкладна,
,
,
то з нерівності
випливає, що
,
.
5. Зв'язок між коефіцієнтами прямих і повних витрат
Нехай розглядається
матриця коефіцієнтів
прямих витрат
у натуральному
або вартісному
виразі
.
Для виробництва
одиниці продукції
-ї
галузі необхідно
затратити набір
продуктів
,
що описується
-м
стовпцем матриці
.
Але для виробництва
цього набору
необхідно
безпосередньо
затратити набір
продуктів, який
ми позначимо
через
.
Елементи
вектора витрат
називаються
коефіцієнтами
непрямих витрат
першого порядку
відповідних
продуктів на
виробництво
одиниць
-го
продукту
.
Матриця
,
складена зі
стовпців
,
,
називається
матрицею непрямих
витрат першого
порядку й
визначається
відповідно
до формули
.
Непрямими
витратами
другого порядку
називають прямі
витрати, необхідні
для забезпечення
непрямих витрат
першого порядку,
тобто
,
або в матричній
формі
де
–
матриця коефіцієнтів
непрямих витрат
другого порядку.
Продовжуючи
за аналогією,
назвемо непрямими
витратами
порядку
прямі витрати
на забезпечення
непрямих витрат
порядку
.
Очевидно, що
матрицю коефіцієнтів
непрямих витрат
-го
порядку одержимо,
помноживши
на
.
(9)
Визначимо
тепер повні
витрати як суму
прямих і непрямих
витрат усіх
порядків. Відповідно
до цього матриця
,
складена з
коефіцієнтів
повних витрат,
утвориться
як сума
(10)
або з огляду
на те, що
,
маємо
(11)
Коефіцієнти прямих і повних матеріальних витрат мають важливе значення для характеристики структури техніко-економічних зв'язків і для аналізу ефективності виробництва з боку витрат упредметненої праці. Суттєва відмінність коефіцієнтів повних витрат від коефіцієнтів прямих витрат полягає в тому, що вони є не галузевими, а народногосподарськими показниками й формуються з урахуванням технологічних зв'язків між галузями.
З'ясуємо такий момент. Чи не виявляться будь-які з коефіцієнтів повних витрат нескінченно великими?
Розглянемо
матрицю
.
Очевидно,
що елементи
матриці
скінченні разом
з елементами
матриці
тільки в тому
випадку, якщо
скінченна сума
ряду
.
Крім того, відповідно
до умови (3) його
збіжність є
умовою, еквівалентною
продуктивності
матриці
,
причому
.
Отже, у випадку
продуктивності
матриці
й тільки в цьому
випадку матриця
повних витрат
скінченна, її
визначають
відповідно
до формули
.
Для великих
значень
важко обчислити
зворотну матрицю.
В цьому випадку
матрицю
,
як і матрицю
,
можна обчислити
приблизно,
користуючись
методом ітерацій.
На першій ітерації
,
на другій ітерації
,
на третій
,
на
-й
ітерації
.
Часткова сума
відрізняється
від часткової
суми
на величину
.
Через те що ряд
збігається,
при
.
Тому за скінченну
кількість
кроків можна
досягти заданої
точності обчислень.
Коефіцієнти
матриці
мають таку
економічну
інтерпретацію:
якщо випуск
кінцевого
-го
продукту потрібно
збільшити на
одиницю, то
валовий випуск
-го
продукту має
бути збільшений
на
.
6. Коефіцієнти трудових витрат. Баланс трудових ресурсів
Модель Леонтьєва, як відзначалося раніше, відображає лише потенційні можливості, закладені в технології виробничого сектора. У даній моделі передбачається, що процес виробництва відбувається миттєво – всі проміжні продукти вважаються виробленими до того моменту, коли в них з'являється потреба, тобто кожна галузь здатна зробити будь-який обсяг своєї продукції за умови, що їй буде забезпечена сировина в необхідній кількості. Насправді, це не так, оскільки виробничі можливості будь-якої галузі обмежені наявним обсягом основних фондів трудових ресурсів.
Розглянемо проблему розподілу трудових ресурсів, яку можна дослідити за допомогою моделі Леонтьєва.
Зіставимо
кожній
-ї
галузі число
,
що виражає
необхідні
витрати трудових
ресурсів при
одиничній
інтенсивності
даного технологічного
процесу.
Нехай
– вектор прямих
витрат праці
й
– матриця прямих
матеріальних
витрат. На
виробництво
одиниці продукту
виду
необхідно
безпосередньо
затратити набір
продуктів
і працю в кількості
.
Однак на виробництво
даного набору
продуктів у
свою чергу
необхідно
затратити
одиниць
праці. Ця величина
називається
непрямими
витратами праці
першого порядку
на одиницю
-го
продукту й
позначається
через
.
Вектор непрямих
витрат праці
першого порядку
визначається
таким виразом:
.
Міркуючи
аналогічно
тому, як це робилося
під час побудови
коефіцієнтів
непрямих матеріальних
витрат, дійдемо
висновку, що
вектор
непрямих витрат
праці порядку
визначається
таким співвідношенням:
або
.
Повні витрати
праці
є сумою прямих
і непрямих
витрат праці
.
У матричному
записі, вважаючи,
що
і, з огляду на
те, що
,
маємо
або
.
Якщо матриця
продуктивна,
то суму в дужках
можна замінити
на
й, отже,
– матриця повних
витрат праці.
Зменшення повних витрат праці на одиницю продукції є узагальнюючим показником збільшення продуктивності праці, ефективності виробництва. Розрахунок коефіцієнтів повних витрат праці важливий для ціноутворення на етапі встановлення об'єктивної основи ціни – вартості. Для обчислення коефіцієнтів повних витрат праці використовують ітераційну процедуру
,
що дозволяє з заданою точністю визначити дані коефіцієнти.