РЕФЕРАТ
по дисциплине «Культурология»
по теме: «Система счисления»
СОДЕРЖАНИЕ
1. Сущность различных систем счисления
2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
ВВЕДЕНИЕ
В повседневной жизни мы, как правило, пользуемся десятичной системой счисления. Но это лишь одна из многих систем, которая получила свое распространение, вероятно, по той причине, что у человека на руках 10 пальцев. Однако эта система не всегда удобна. Так, в вычислительной технике применяется двоичная система счисления.
В разные исторические периоды развития человечества для подсчетов и вычислений использовались те или иные системы счисления. Например, довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году двенадцать. Двенадцатеричная система счисления сохранилась в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).
В древнем Вавилоне существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Она, как и двенадцатеричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1 час = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам, аналогично в системе измерения углов: 1 градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).
У некоторых африканских племен была распространена пятеричная система счисления, у ацтеков и народов майя, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента, - двадцатеричная система. У некоторых племен Австралии и Полинезии встречалась двоичная система.
В данной работе будут рассмотрены различные системы счисления.
1. СУЩНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
Вначале проанализируем различия между цифрами и числами: число - это абстрагированная от конкретики запись количества (например, число 25 - это двадцать пять предметов чего угодно и не только предметов, а, скажем, лет или килограммов), а цифра - это специальный знак для обозначения количества единиц. Следует обратить внимание, что цифры - это тоже записи чисел, например 8 - это не только цифра, но и число.
Слово «цифра» происходит от позднелатинского слова «cifra», первые цифры появились у египтян и вавилонян, причем интересно, что цифры, как специальные знаки, образовались позже, чем буквы. Так, многие народы (греки, финикияне, евреи, сирийцы) для цифр использовали буквы алфавита, в России аналогичная система применялась вплоть до XVI века. Современные так называемые «арабские цифры» имеют неясное происхождение, например, утверждают, что они принесены в Европу арабами в XIII веке возможно из Индии. Повсеместно их стали использовать с XV века.
Число - это одно из фундаментальных и самых древних понятий математики; оно появилось сначала в связи со счетом отдельных предметов, а затем, абстрагировавшись, стало обозначать количественную меру. Это привело к идее о бесконечности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4... и т. д. Для наших целей такого определения достаточно, но математиками были разработаны и другие числа. В частности, задачи измерения площадей привели к понятию рационального (дробного) числа, затем появились отрицательные числа, необходимость в вычислении отношения диагонали квадрата к его стороне привела к открытию иррациональных чисел, рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел и т. д. И лишь в XIX веке была разработана теория действительных чисел. Новый импульс эта теория получила в связи с развитием компьютерных технологий.
Известно, что числовая ось бесконечна, поскольку к каждому числу можно прибавить еще единицу и получить следующее число, с которым можно поступить так же. При этом понятно, что придумывать какие-либо специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) бесконечной числовой оси нереально.
Поэтому для записи произвольного числа бесконечной числовой оси прибегают к помощи одной или нескольких систем счисления.
Счисление (система счисления) - это способ представления любых чисел с помощью определенного количества знаков (цифр) по позиционному принципу.
В этом определении стоит выделить следующие важные моменты.
Количество знаков, которые обычно именуются «цифрами», всегда ограничено. И с помощью такого, ограниченного количества цифр (обычно мы используем десять цифр) удается записывать произвольные числа, например 23 456 или 1 000 123 456 789.
Чтобы преодолеть это ограничение, используется особый способ записи, который называется «позиционным».
Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, зато позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры на математическом языке называется разрядом.
Другими словами, значение цифры «переменчиво» и зависит от ее позиции в числе. Например, в числе «одиннадцать» («11») две единицы имеют разное значение, это относится и к другим сочетаниям «единиц» - «111», «1111», «11 111» и т. д.
Не всякие числовые системы используют именно такой позиционный способ записи, в истории человечества были и иные эксперименты.
Способ записи чисел с помощью римских цифр не грешит единообразием: если цифра расположена справа, то ее значение прибавляется к предыдущей, например число «XI» означает «одиннадцать», а если - слева, то значение вычитается, например число «IX», состоящее из тех же цифр, уже означает только «девять». Кроме того, в римской системе счисления в числе вес цифры X в любой позиции равен просто десяти, например число XXXII (тридцать два). И, наконец, цифры разбросаны по оси чисел.
В нашу современную жизнь многое пришло из Рима, в том числе римское право, латынь в медицине и фармакологии. Однако римская система счисления не прижилась, потому что она отличается указанной выше сложностью, которая препятствует технологичности: скажем, римские числа трудно складывать или умножать, не говоря уже о более сложных функциях.
Существует не одно множество цифр, образующих систему счисления. Это множество получило особое название - основание системы счисления.
Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов (цифр), используемых для отображения чисел в данной системе.
Выбор количества цифр диктуется какими-либо потребностями реальной жизни, науки или удобствами обработки. Исторически этот выбор определялся привычками или традициями конкретного народа.
Наиболее привычной для нас является десятичная система счисления. Исторически вначале, видимо, использовалась непозиционная единичная система счета - с помощью камней или палочек. Система счета состояла из двух чисел - один и два, а все, что больше двух, обозначалось, как «много».
Затем, благодаря наличию десяти пальцев рук у человека, возникла десятичная система счета. В этой системе используются специальные графические знаки - арабские цифры, которые можно записать в следующем порядке: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таких знаков десять, и они специально разделены запятыми, чтобы показать, что это отдельные («дискретные») знаки, которые не зависят друг от друга.
Идея позиционной системы счисления выдвигалась еще Архимедом в работе «Исчисление песка».
В разное время и у разных народов использовались системы счисления с различными основаниями:
в Древнем Вавилоне - шестидесятиричная система (используемая и сейчас при измерении времени);
в Германии и Великобритании - двенадцатеричная (при измерении количества, в денежных системах), у древних адыгов - двадцатеричная и т. д.;
неколичественные (качество выступает в роли количества: «много», «мало» и т. д.) способы счета - например, у эскимосов.
Рассмотрим основные системы счисления, помимо десятичной.
В двоичной системе счисления основание равно двум. В этой системе счисления используются всего два знака, две цифры - «0» и «1».
Такая система получила название двоичной системы счисления. Ее еще называют бинарной, от английского слова «binary», что, собственно, и переводится как «двоичный». В таблице 1 представлено соответствие десятичных и двоичных чисел.
Таблица 1. Соответствие десятичных и двоичных чисел
| Десятичное число |
Двоичное число |
Десятичное число |
Двоичное число |
| 0 | 0 | 11 | 1011 |
| 1 | 1 | 12 | 1100 |
| 2 | 10 | 13 | 1101 |
| 3 | 11 | 14 | 1110 |
| 4 | 100 | 15 | 1111 |
| 5 | 101 | 16 | 10000 |
| 6 | 110 | 17 | 10001 |
| 7 | 111 | 18 | 10010 |
| 8 | 1000 | 19 | 10011 |
| 9 | 1001 | 20 | 10100 |
| 10 | 1010 |
В восьмеричной системе счисления основание – цифры 0,1,2,3,4,5,6,7.
Таблица 2. Соответствие десятичных и восьмеричных чисел
| Десятичные числа | Восьмеричные числа | Десятичные числа | Восьмеричные числа |
| 0-7 | 0-7 | 25-63 | 31-77 |
| 8 | 10 | 64 | 100 |
| 9-15 | 11-17 | 128 | 200 |
| 16 | 20 | 256 | 400 |
| 17-23 | 21-27 | 512 | 1000 |
| 24 | 30 | 1024 | 2000 |
Основание шестнадцатеричной системы счисления – цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и буквы A,B,C,D,E,F.
Соединим десятичные и шестна-дцатеричные числа в единую таблицу (табл. 3).
Таблица 3. Соответствие десятичных и шестнадцатеричных чисел
| Десятичное число | Шестнадцатеричное число | Десятичное число | Шестнадцатеричное число | ||
| 0-9 | 0-9 | 29 | 1D | ||
| 10 | А | 30 | 1Е | ||
|
11 12 |
В С |
31 32-41 |
1F 20-29 |
||
| 13 | D | 42-47 | 2A-2F | ||
| 14 | Е | 48-255 | 30-FF | ||
| 15 | F | 256 | 100 | ||
| 16 | 10 | 512 | 200 | ||
| 17-25 | 11-19 | 1024 | 400 | ||
| 26 | 1А | 1280 | 500 | ||
| 27 | 1В | 4096 | 1000 | ||
| 28 | 1C |
Шестнадцатеричная система используется, чтобы более компактно записывать двоичную информацию. В самом деле, «шестнадцатеричная тысяча», состоящая из четырех разрядов, в двоичном виде занимает тринадцать разрядов (100016 = 10000000000002).
2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Рассмотрим способы перевода чисел из одной системы счисления в другую.
а) Перевод двоичного числа в десятичное.
Необходимо сложить двойки в степенях, соответствующих позициям, где в двоичном стоят единицы. Например:
Возьмем число 20. В двоичной системе оно имеет следующий вид: 10100.
Итак (считаем слева направо, считая от 4 до 0; число в нулевой степени всегда равно единице)
10100 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 = 20
16+0+4+0+0 = 20.
б) Перевод десятичного числа в двоичное.
Необходимо делить его на два, записывая остаток справа налево:
20/2 = 10, остаток 0
10/2=5, остаток 0
5/2=2, остаток 1
2/2=1, остаток 0
1/2=0, остаток 1
В результате получаем: 10100 = 20
в) Перевод шестнадцатеричного числа в десятичное.
В шестнадцатеричной системе номер позиции цифры в числе соответствует степени, в которую надо возвести число 16:
8A = 8*16 + 10 (0A) = 138
Напоследок приведем алгоритм перевода в двоичную и из двоичной системы, предлагаемый Л. Радюком.
Пусть А(цд) – целое десятичное число. Запишем его в виде суммы степеней основания 2 с двоичными коэффициентами. В его записи в развёрнутой форме будут отсутствовать отрицательные степени основания (числа 2):
A(цд) = a(n–1) • 2^(n–1) + a(n–2) • 2^(n–2) + … + a(1) • 2^1 + a(0) • 2^0.
На первом шаге разделим число А(цд) на основание двоичной системы, то есть на 2. Частное от деления будет равно:
a(n–1) • 2^(n–2) + a(n–2) • 2^(n–3) + … + a(1), а остаток равен a(0).
На втором шаге целое частное опять разделим на 2, остаток от деления будет теперь равен a(1).
Если продолжать этот процесс деления, то после n-го шага получим последовательность остатков:
a(0), a(1),…, a(n–1).
Легко заметить, что их последовательность совпадает с обратной последовательностью цифр целого двоичного числа, записанного в свёрнутой форме:
A(2) = a(n–1)…a(1)a(0).
Таким образом, достаточно записать остатки в обратной последовательности, чтобы получить искомое двоичное число.
Тогда сам алгоритм будет следующим:
1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньше 2.
2. Записать полученные остатки в обратной последовательности, а слева добавить последнее частное.
Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трёх двоичных цифр - триаду, а при преобразовании шестнадцатеричного числа - в группу из четырёх цифр - тетраду.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подводя итоги работы, можно сделать следующие выводы.
Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, зато позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры в числе на математическом языке называется разрядом.
Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов (цифр), используемых для отображения чисел в данной системе.
Для того чтобы двоичные числа, отличающиеся довольно значительной длиной, было легче воспринимать и отображать, их сжимают в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
В компьютерных технологиях все виды информации кодируются только цифрами или, точнее, числами, которые представляются в двоичной системе счисления - способе представления любых чисел с помощью двух знаков (цифр) по позиционному принципу.
ЛИТЕРАТУРА
Фринланд А.Я. Информатика. – М., 2005.
Сидоров В.К. Системы счисления.// Наука и жизнь 2000. №2.
Радюк Л. Алгоритм перевода в двоичную и из двоичной системы счисления.// Наука и жизнь. 2005. №1.