1 Аналітичне моделювання статичного режиму
Рис. 1
Розрахувати статичну модель і побудувати статичну характеристику повітряного ресиверу для випадку ізотермічного розширення газу.
G1=25
G2=25
p0=6
p=2
p1=1,5
Визначимо границі об’єкту моделювання, його виходи і входи. У відповідності з математичною моделю маємо 1 вихідну величину – Р і 2 вхідні та . Виличини Р0 і Р1 будемо вважати постійними. Складемо рівняння математичного балансу.
Де та - коефіцієнти витрати клапанів; та значення щільності газу відповідно для Р0 і Р1
Це рівняння є рівнянням статики, яке зв’язує вихідну величину Р зі вхідними та .
Але в цьому рівняння присутні значення значення щільності газу та , які для ізотермічного процесу повністю визначаються значеннями тиску Р0 і Р1.
І в зв’язку з тим, що Р0, а значить, і являються постійними величинами, тиск слід виразити через значення щільності.
Для ізотермічного процесу, який протікає при постійній температурі з рівнянням стану ідеального газу.
З цієї формули слідує, що при постійній температурі і незмінному значенні маси газу і його молярній масі М добуток тиску газу на його об’єм повинно залишатися постійною.
Відомо, що :
Значення функціональної залежності отримано в загальному вигляді. Перейдемо до чисельного представлення отриманої функціональної залежності. Для цього визначаємо чисельне значення усіх необхідних величин ( основного статичного режиму).
Таблиця 1
Значення параметрів ресивера в номінальному статичному режимі
№ | Назва параметру | Позначення | Розмірність | Дані |
1 | Витрати повітря на вході | G1 | кг/год | 20 |
2 | Витрати повітря на виході | G2 | кг/год | 20 |
3 | Тиск повітря на вході | P0 | кг/см2 | 6 |
4 | Тиск повітря в ресивері | P | кг/см2 | 4 |
5 | Тиск повітря на виході | P1 | кг/см2 | 3 |
6 | Ступінь відкриття вхідного клапану | - | 0.4 | |
7 | Ступінь відкриття вихідного клапану | - | 0.6 | |
8 | Температура повітря | t | оС | 20 |
9 | Щільність повітря | кг/см3 | ||
10 | Щільність повітря в ресивері |
|
кг/см3 |
|
11 | Коефіцієнт витрати вхідного клапана | |||
12 | Коефіцієнт витрати вихідного клапана | |||
13 |
З довідника відомо, що при тиску і температури 200С дорівнює кг/см2
Отримана залежність - статична модель об'єкта в явній формі, що відповідає поставленому завданню. Розрахуємо характеристику
Р кг/см2 | |
0 | 3 |
0,1 | 3,116 |
0,2 | 3,386 |
0,3 | 3,7 |
0,4 | 4 |
0,5 | 4,269 |
0,6 | 4,5 |
0,7 | 4,698 |
0,8 | 4,866 |
0,9 | 5,008 |
1 | 5,128 |
2 Аналітичне моделювання динамічного режиму
Отримати рівняння динаміки двохємкістного ресивера, схематично зображеного на рис.1. Визначальним параметром даного об’єкта є тиск Р3. Необхідно знайти залежність:
, де ступінь відкриття клапану на вхідному потоці; - витрати газу з ресивера, кг/год.
Рис. 2. Розрахункова схема об’єкту моделювання
Основний статичний режим визначається такими значеннями параметрів
Н/см2 ; Н/см2 ; Н/см2 ; кг/год
Ємкості ресивера мають об’єм ;
На основі матеріальних балансів складаємо рівняння статики для кожної із єкостей
Витрати та потрібно виразити через залежності від відповідних значень тиску, та ступеню відкриття клапану на вхідному потоці:
,
де та - коефіцієнти витрати; та - це значення щільності газу відповідно перед вхідним клапоном та у першій ємкості.
Враховуючи акумулюючу здатність кожної з ємкостей, перетворимо рівняння статики на рівняння динаміки:
За умовою, що
та ,
Отримуємл наступну систему диференційних рівнянь:
Зробимо аналіз змінних, що входять у рівняння. Змінними є : . Якщо та будуть змінюватися, то навіть за сталим значенням будуть змінюватися та , а в зв’язку з тим, що - змінна, то змінною буду і . Таким чином, змінними в рівняннях будуть . Рівняння, з врахуванням визначенних змінних, будуть нелінійними. Лінеаризуємо рівняння розкладанням в ряд Тейлора.
В рівняннях є залежні між собою змінні. Це тиск та щільність , тиск та щільність . Іх однозначана залежність буде визначатися законом розширення газу. Якщо теплообмін з навколішнім середовищем близький до ідеального та не дуже великий перепад тиску, можна прийняти ізотермічний закон розширення газу PV=RT. Тоді можна записати:
,
Введемо умовне позначення .
Де
Виключивши з рівнянь змінни та розділивши всі складові рівняння на коефіцієнт при , отримаємо:
Де
; ; ;
; ; ;
Розмірність всіх додатків рівняння динамікт однакова, що є необхідною, хоч і не достатьньою умовою стверджувати, що рівняння динаміки отримано вірно.
Визначимо із статичних залежностей та з довідників значення величин . Спочатку визначимо . Тиск та щільність для незмінної температури знаходяться у такій залежності:
,
де - атмосферний тиск, Н/см2;
- абсолютне значення тиску відповідно перед ресивером, у першій та другій ємкості, ; ; .
Щільність повітря ддля атмосферного тиску за довідником кг/м3.
Враховуючи викладне вище, із залежності вирахуємо числові значення для основного статичного режиму:
, ,
Визначимо числові значення коефіцієнтів витрати .
.
Знайдемо числове значення виразу , .
Запишимо значення всіх констант та змінних в номінальному (початковому) режимі в табл.2. Користуючись значенням величин, записаних у табл. 2, знайдемо числові значення проміжних коефіцієнтів B, D, C та E.
; ; ; .
Таблиця 2
Значення параметрів ресивера в номінальноу статичному режимі
№ п.п | Назва параметру | Позначення | Розмірність | Числові значення |
1. | Тиск повітря на вході | Н/см2 | 80 | |
2. | Тиск повітря в першій ємкості | Н/см2 | 50 | |
3. | Тиск повітря в другій ємкості | Н/см2 | 16 | |
4. |
Витрати повітря () |
Кг/год | 60 | |
5. | Об'єм першої ємкості | м3 | 3 | |
6. | Об'єм другої ємкості | м3 | 5 | |
7. | Ступінь відкриття клапану | - | 0.5 | |
8. | Щільність повітря на вході | Кг/м3 | 11.9 | |
9. | Щільність повітря в перщій ємкості | Кг/м3 | 7.9 | |
10. | Щільність повітря в другій ємкості. | Кг/м3 | 3.42 | |
11. | Коефіцієнт витрати через клапан |
|
6.35 | |
12. | Коефіцієнт витрати парубка між ємкостями |
|
3.6 | |
13. |
|
0.133 |
Користуючись розрахованими значеннями В, D, C та Е, а також значеннями параметрів із таблиці 1, з використанням залежностей обчислимо значення коефіціентів рівняння динаміки.
год2 ; год; ; ; .
Підставляючи значення коефіцієнтів у рівняння динаміки запишемо його у числовій формі
.
Це рівняння є рівнянням динамікт ресивера відповідно до залежності .
Знайдемо розв'язання рівняння
у вигляді , де - вільна складова; - примусова складова.
Початкові умови приймемо нульовими:
Керуючий вплив визначаємо наступним чином: . Збурюючий вплив та його похідну приймаємо нульовими. Харакеристичне рівняння диференційного рівняння має вид: , ; .
Таким чином вільна складова вирішення має наступний вид:
де, С1 та С2 – сталі інтегрування.
Примусова складова, у урахуванням того, що не залежить від часу, складе:
Н/см2
Для визначення сталих інтегрування С1 та С2 складемо систему равняння з урахуванням початкових умов та того, що похідна від має наступний вид:
Система рівнянь формується наступним чином:
Звідси маємо:
Розв'язання системи рівняння дозволяє отримати такі значення С1 та С2:
, .
Таким чином, остаточно запишемо розв'язання рівняння
За цією формулою проведемо розрахунки , результати яких наведені в таблиці.
|
|
0 | 0 |
1 | 0,174 |
2 | 0,542 |
3 | 0,972 |
4 | 1,399 |
5 | 1,798 |
6 | 2,157 |
7 | 2,474 |
8 | 2,751 |
9 | 2,992 |
10 | 3,201 |