Курсовая работа:

Режим переконденсации с компактным распределением размеров капель.

Описание проблемы и постановка задачи.

Классические работы Дж.Гиббса, М.Фольмера, Ф.Беккера, В.Дёринга, Я.Френкеля, Я.Зельдовича по физике фазовых переходов I рода относятся к ранним стадиям зарождения новой фазы.

В данной же работе нас интересует процесс конденсации, переходящий из флуктуационного режима роста зародышей новой фазы в стадию переконденсации, именуемую также коалесценцией, или Оствальдовским созреванием [i], когда рост крупных капель происходит за счёт растворения более мелких (при условии, что все капли далеки друг от друга).

Режим переконденсации может проходить в одном случае под управлением поглощающей способности поверхности (теория Вагнера: [ii]), когда длина свободного пробега молекулы много больше радиуса капли , а в другом случае под управлением диффузии в паре (теория Лифшица-Слёзова: [iii, iv]), когда .

Причиной расхождения эксперимента с теорией Лифшица-Слёзова-Вагнера оказалось допущение неограниченного объёма кластеров новой фазы [v].

Поэтому все дальнейшие теоретические исследования Оствальдовского созревания предполагают компактное основание распределения капель по размерам [vi, vii, viii].

Поэтому задачей данной работы является описание уравнений и параметров режима переконденсации в условиях существования максимального размера капли.

Коалесценция имеет большое практическое значение, например, в образовании и стабильности поверхностей [ix, x, xi].

Оглавление

Описание проблемы и постановка задачи.

Оглавление

1). Переписывание уравнений в терминах максимальной капли.

2). Соотношения интегральных моментов функции распределения.

3). Нахождение автомодельной функции распределения.

4). Нормировка функции распределения.

5). Предельный случай – распределение Лифшица-Слёзова.

6). Графики.

7). Литература.

8) Ссылки

1). Переписывание уравнений в терминах максимальной капли.

Оригинальные уравнения теории переконденсации записываются в терминах отношения безразмерного радиуса капли к её критическому радиусу в зависимости от безразмерного времени: . Наша задача – переписать их в терминах отношения радиуса капли к максимальному радиусу: .

Уравнение роста радиуса капли в режиме коалесценции Лифшица-Слёзова:

52

Тогда уравнение непрерывности для функции распределения по размерам капель:

52

Подставляем сюда асимптотический анзац Лифшица-Слёзова в новых переменных и с явной зависимостью от времени:

52

Преобразуем дифференциальное уравнение (обозначая ):

Введём

52

52

Избавимся от , подставив в уравнение роста радиуса капли Error: Reference source not found:

52

С учётом этого, а также определения в Error: Reference source not found, докажем, что является корнем кубического полинома:

52

Тогда Error: Reference source not found окончательно запишется следующим уравнением на функцию распределения:

52

Зная один корень, найдём делением по схеме Горнера квадратичное выражение в

корень 1
		-1	0
					остаток
		-1

остаток = нулю

Таким образом:

Решим квадратное уравнение, полагая корни существующими:

Тем самым мы разложили на множители , где

52

Каждая скобка в таком виде разложения, как мы увидим далее, будет положительна. Заметим также, что (так что), что, впрочем, сразу следует из теоремы Виета для по отсутствию квадратичного члена.

Итак, уравнение Error: Reference source not found запишется следующим образом:

52

В этой работе мы рассмотрим автомодельную функцию , не зависящую явно от времени, при этом в полученном дифференциальном уравнении опускается член с частной производной по времени от функции распределения.

2). Соотношения интегральных моментов функции распределения.

Соотношения между интегральными моментами функции распределения можно найти, не зная её явного вида. Для этого проинтегрируем от 0 до 1 левую и правую части дифференциального уравнения Error: Reference source not found, опуская член с производной по времени и вводя моменты:

52

Интегрируем по частям левую часть:

52

Это выражение, в сущности, означает, что , а если вспомнить отношение Error: Reference source not found между максимальным и критическим радиусами капли, то получим равенство среднего и критического радиусов:

52

, когда функция распределения нормирована на единицу (см. пункт 4)

3). Нахождение автомодельной функции распределения.

По-прежнему полагая автомодельным и убирая в Error: Reference source not found член с производной по времени, можно явно решить дифференциальное уравнение интегрированием:

52

Для этого разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби и найдём коэффициенты:

При :

При :

Приравнивание коэффициентов при :

Приравнивание коэффициентов при (находим ):

52

Подставляя полученное выражение для , выразим только через и избавимся от иррациональности в знаменателе:

52

Таким образом, найдены все коэффициенты в разложении на простые дроби подынтегрального выражения в Error: Reference source not found, интегрируя их, получаем, помня об области определения переменных:

В значениях (третий корень ) из Error: Reference source not found окончательно запишем:

52

Где в силу физической ограниченности функции распределения на конце интервала, полагаем:

52

Оценим выражение для из Error: Reference source not found:

52

Дифференцированием Error: Reference source not found и грубой оценкой можно увидеть, что монотонно убывает по из бесконечности, как и . При этом величина , фигурирующая в Error: Reference source not found, остаётся ограниченной (не имеет особенности при ), более того почти постоянной в заданном интервале , в чём можно убедиться, вычитая в форме Error: Reference source not found из и выражая всё через :

52

4). Нормировка функции распределения.

Как в пункте 2 проинтегрируем от 0 до 1 левую и правую части Error: Reference source not found (без члена с производной по времени), предварительно разделив их на :

Формально интегрируем по частям левую часть:

Удовлетворяя условию нормировки, подставим из Error: Reference source not found. При сохранится только первый член:

52

Так что функция распределения Error: Reference source not found в нормированном виде равна:

52

Из самого дифференциального уравнения Error: Reference source not found легко выписать производную функции распределения:

52

Приравняв её нулю и решая каноническое кубическое уравнение по формуле Кардано, имеем для максимума функции распределения, изменяющего своё положение с изменением :

52

5). Предельный случай – распределение Лифшица-Слёзова.

Рассмотрим предельный случай при . При этом из Error: Reference source not found , а из Error: Reference source not found . Тогда как их разность , что было показано в Error: Reference source not found. Нам также пригодится асимптотика:

52

Приведём для сравнения функцию Лифшица-Слёзова, записанную в оригинальных переменных :

52

6). Графики.

Здесь нарисованы функции распределения из Error: Reference source not found, охватывающие весь интервал возможных вплоть до функции Лифшица-Слёзова Error: Reference source not found.

Литература.

А.Н.Васильев, А.К.Казанский, Л.Ц.Аджемян: «Переконденсация пересыщенного пара: аналитические теории и численный эксперимент».

П.Губанов, Ю.Желтов, И.Максимов, В.Морозов: «Кинетический кроссовер режимов коалесценции в пересыщенном однородном растворе».

В.Бойко, Х.Могель, В.Сысоев, А.Чалый «Особенности метастабильных состояний при фазовых переходах жидкость-пар»

В.Ф.Разумов: «Курс лекций по синергетике».

Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский: «Физическая кинетика».

B.Giron, B.Meerson, P.V.Sasorov: «Weak selection and stability of localized distributions in Ostwald ripening».

V.M.Burlakov: «Ostwald Ripening on nanoscale».

B.Niethammer, R.L.Pego: «Non-self-similar behavior in the LSW theory of Ostwald ripening».

Перечисленные и многие другие материалы по теме временами доступны по ftp здесь: ftp://rodion.homeftp.net Work =Учёба= Кафедра статфизики =Курсовая= Литература

Ссылки

i W.Z.Ostwald // Phys. Chem. 37, 385 (1901)

ii C.Z.Wagner // Electrochem. 65, 581 (1961)

iii М.Лифшиц, В.Слёзов // ЖЭТФ 35, 479 (1958)

iv M.Lifshitz, V.Slyozov // J.Phys.Chem.Solids 19, 35 (1961)

v J. Alkemper, V.Snyder, N.Akaiwa, P.Voorhees // Phys.Rev.Lett. 82, 2725 (1999)

vi N.Akaiwa, P.Voorhees // Phys.Rev.B 49, 3860 (1994)

vii D.Fan, S.Chen, L.Chen, P.Voorhees // ActaMaterialia 50, 1895 (2002)

viii K.Wang, M.Gliksman, K.Rajan // Comput.Mat.Sci. 34, 235 (2005)

ix S.Kukushkin, A.Osipov // Progress in Surf. Sci. 51, 1 (1996)

x M.Zinke-Allmang, L.Feldman, M.Grabow // Surf. Sci.Rep. 16, 377 (1992)

xi W. Bartelt, C.Theis, M.Tromp // Phys.Rev. B 54, 11741 (1996)

20