РЕФЕРАТ
на тему:”Пружні хвилі”
План
Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля
Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль
Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля
Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль.
1. Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
Коливання, які збуджуються в будь-якій точці пружного середовища (твердому, рідкому або газоподібному), передаються від однієї точки середовища до іншої з кінцевою швидкістю, яка залежить від властивостей цього середовища. Чим дальше розташовані частинки середовища від джерела коливань, тим пізніше вони почнуть коливатися. Інакше кажучи, фази коливань частинок середовища і джерела тим більше відрізняються одна від одної, чим більша ця відстань. При вивченні поширення коливань в середовищі не враховується дискретний (молекулярний) характер будови самого середовища. В цьому випадку вважають що частинки середовища мають неперервне заповнення навколишнього простору і проявляють пружні властивості.
Процес поширення коливань у суцільному пружному середовищі називається хвильовим процесом (або хвилею). При поширенні хвилі частинки середовища не рухаються разом із хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Разом із хвилею від частинки до частинки середовища передається лише стан коливального руху і його енергія. Тому основною властивістю усіх хвиль незалежно від їхньої природи є перенос енергії без переносу речовини.
Серед різноманітних хвиль, які зустрічаються в природі й техніці, можна виділити такі їх типи: хвилі на поверхні рідини, пружні і електромагнітні хвилі. Пружні механічні хвилі виникають і поширюються лише в пружному середовищі. Пружні хвилі ще діляться на подовжні й поперечні. У подовжніх хвилях частинки середовища коливаються в напрямку поширення хвилі, у поперечних – у площинах, перпендикулярних до напрямку поширення хвилі.
Подовжні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні сили при деформаціях стиску і розтягу. Це означає, що поздовжні хвилі поширюються у твердих, рідких і газоподібних середовищ.
Поперечні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні сили при деформаціях зсуву, тобто фактично тільки у твердих тілах. У рідинах і газах виникають лише подовжні хвилі, а у твердих тілах — як подовжні, так і поперечні хвилі.
Пружна хвиля називається синусоїдальною (або гармонічною), якщо відповідні їй коливання частинок середовища є гармонічними. На рис. 21 показана синусоїдальна поперечна хвиля, яка поширюється зі швидкістю υ уздовж осі х, тобто показана залежність між зміщенням U(x,t) частинок середовища, у хвильовому процесі, і відстанню х цих частинок від джерела коливань для будь-якого фіксованого моменту часу t.
Приведений графік функції U(x,t) не схожий на графік гармонічного коливання. Графік хвилі (рис.1) показує залежність зміщення всіх частинок середовища від відстані до джерела коливань у даний момент часу, а графік гармонічних коливань — залежність зміщення даної частинки від часу.
Відстань між найближчими частинками, які коливаються в одній фазі, називається довжиною хвилі λ (рис. 1). Довжина хвилі дорівнює відстані, на яку поширюється фаза коливань за час в один період, тобто
(1)
Рис. 1
Якщо розглянути хвильовий процес трохи докладніше, то стане ясно, що в хвильовому русі коливаються не лише частинки, розташовані уздовж осі х, а й сукупність частинок, розташованих у деякому об’ємі, тобто хвиля, поширюючись від джерела коливань, охоплює все нові і нові області простору. Геометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильових поверхонь можна провести безліч. Хвильова поверхня у будь який момент часу називається хвильовим фронтом. Для цього моменту часу хвильовий фронт може бути лише один.
Хвильові поверхні можуть мати довільну форму. В найпростішому випадку хвильові поверхні є сукупністю площин, або сукупністю концентричних сфер. Відповідно хвиля називається плоскою або сферичною.
2. Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля
Якщо хвилі, поширюючись в пружному середовищі з кінцевою швидкістю, переносять енергію, то вони називаються біжучими. Перенос енергії в хвильовому русі кількісно характеризується вектором густини потоку енергії. Вектор потоку енергії вперше для механічних пружних хвиль був введений російським фізиком Умовим і називається вектором Умова. Напрямок вектора Умова збігається з напрямком переносу енергії, а його модуль дорівнює енергії, яка переноситься хвилею через одиничну площадку, розташовану перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, за одиницю часу.
Для одержання
рівняння біжучої
хвилі ─ залежності
зміщення коливної
точки пружного
середовища
від координати
і часу ─ розглянемо
плоску синусоїдальну
хвилю,
допустивши,
що вісь
х збігається
з напрямком
поширення хвилі
(рис. 21). У даному
випадку хвильові
поверхні, тобто
поверхні однакової
фази, перпендикулярні
до осі х,
а тому
всі точки пружного
середовища
на цих поверхнях
коливаються
однаково. Зміщення
будь якої точки
пружного середовища
від положення
рівноваги в
цьому випадку
залежить лише
від координати
х
і часу t,
а його
величина буде
дорівнювати
Розглянемо
деяку точку
В, яка
перебуває
на відстані
х від
джерела коливань
(рис. 1).
Якщо
коливання точок
пружного середовища,
які лежать у
площині х
= 0, описуються
функцією U(0,t)
= A cos,
то точка В
пружного
середовища
теж буде коливатися
за тим же законом,
але її коливання
будуть відставати
за часом від
коливань джерела
на τ,
тому що для
проходження
хвилею відстані
х потрібен
час τ
=
,
де
– швидкість
поширення
хвилі. Тоді
рівняння коливань
частинок, які
лежать у площині
х, буде
мати вигляд
(2)
де А – максимальне зміщення виділеної коливної точки В від положення рівноваги; ω – циклічна частота генератора коливань джерела.
Рівняння (2) є рівняння біжучої хвилі. Якщо плоска хвиля поширюється в протилежному напрямку, то
В загальному випадку рівняння плоскої синусоїдальної хвилі, яка поширюється без поглинання енергії уздовж позитивного напрямку осі х, має вигляд
(3)
де А
–
амплітуда
хвилі; ω
– циклічна
частота хвилі;
–
початкова фаза
коливань, обумовлена
вибором початкових
значень х
і t;
[ω
(t
- x/υ)
+ φ0]
– фаза плоскої
хвилі.
В рівнянні (3) синусоїдальний характер хвилі характеризують хвильовим числом, яке дорівнює
(4)
З врахуванням (4) рівняння (3) матиме вигляд
(5)
Рівняння хвилі, яка поширюється в сторону менших значень осі х, відрізняється від (5) тільки знаком члена kх.
Розглянемо випадок, коли в процесі хвильового руху, фаза коливань не змінюється з часом, тобто
(4.6)
Диференціюємо вираз (6) за часом, одержимо
,
звідки
Отже, швидкість υ поширення хвилі в рівнянні (6) є не що інше, як швидкість переміщення фази хвилі, а тому її називають фазовою швидкістю.
Сферичні хвилі утворюються в однорідному і ізотропному середовищі від точкових джерел коливань. Якщо повторити хід міркувань для плоскої хвилі, можна показати, що рівняння сферичної синусоїдальної хвилі – хвилі, хвильові поверхні якої мають вигляд концентричних сфер, записується так
(7)
де r – відстань від точкового джерела сферичних хвиль до виділеної точки пружного середовища.
У випадку
сферичної хвилі
навіть у середовищі,
яке не
поглинає енергії,
амплітуда
коливань не
залишається
постійною, а
зменшується
з відстанню
за законом
Рівняння
(7) має місце лише
для великих
r,
які значно
перевищуючі
розміри джерела
коливань (джерело
коливань тут
можна вважати
точковим).
З рівняння (3) можна одержати, що
тобто фазова швидкість синусоїдальних хвиль залежить від їхньої частоти. Це явище називають дисперсією хвиль, а середовище, у якому спостерігається дисперсія хвиль, називається дисперсним середовищем.
3. Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
Рівняння довільної хвилі є розв'язком рівняння, яке називається хвильовим.
Для виведення цього рівняння скористаємось рівняння плоскої хвилі, яка поширюється в напрямку осі х. Розглянемо ділянку пружного середовища, яке характеризується модулем пружності Е (рис. 2). З рисунка видно, що виділений елемент має переріз S і довжину Δх. Під дією зовнішньої сили F виділена ділянка пружного середовища деформується на величину ΔU.
Рис. 2
Оскільки середовище є пружним, то для виділеної ділянки можна застосувати закон Гука
(8)
де Е
─ модуль Юнга;
─ відносна
деформація;
F
─ зовнішня
сила; S
─ площа виділеної
ділянки пружного
середовища
в напрямі осі
х.
В граничному
випадку при
,
рівняння (8)
запишеться
так
(9)
Якщо збуджувати поздовжню хвилю в деякому пружному середовищі, яким є наприклад стержень перерізом S з модулем Юнга Е, то на виділену ділянку будуть діяти дві сили (рис.3). Запишемо для цієї ділянки другий закон Ньютона
(10)
Сили в рівнянні (10) є пружними силами, а тому відповідно до рівняння (9) запишуться так
(11)
Якщо підставити ці сили (11) в другий закон Ньютона (10), то після деяких перетворень одержимо
(12)
де m ─ маса виділеної ділянки пружного середовища.
Масу виділеної ділянки пружного середовища можна виразити через об’єм і густину речовини стержня так
m = ρSΔx. (13)
Рис.3
З урахуванням значення маси (13) і нескладних перетворень рівняння (12) запишеться так
(14)
Розглянувши
граничний
випадок при
якому,
з рівняння (14)
одержуємо
рівняння, яке
називається
хвильовим
рівнянням
(15)
Рівняння (15) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку в частинних змінних. Розв’язком такого рівняння є уже відоме рівняння плоскої хвилі
(16)
Знайдемо другі частинні похідні за часом t і координатою х від рівняння (16)
(17)
Після підстановки похідних (17) в рівняння (15) та необхідних скорочень одержимо
(18)
Але оскільки
,
то хвильове
рівняння (15) буде
мати інший
вигляд
(19)
Таким чином швидкість поширення механічних хвиль у пружному середовищі залежить від пружних властивостей цього середовища і його густини
(20)
Оскільки модуль Юнга характеризує стиснення або розтягування пружного середовища, то одержана швидкість (20) є фазовою швидкістю лише поздовжніх хвиль.
Фазова швидкість поперечних хвиль, які можуть існувати лише в твердому пружному середовищі, визначають заміною модуля Юнга в (20) на модуль зсуву G
(21)
Розрахунки показують, що в твердому середовищі модуль Юнга E майже на порядок перевищує модуль зсуву G, тому фазова швидкість поздовжньої хвилі тут більша за швидкість поперечної хвилі, тобто
(22)
Важливо відмітити, що для механічних хвиль, які мають велику довжину λ рівняння (15) і (19) будуть нелінійними.
Якщо механічна хвиля поширюється в однорідному ізотропному середовищі, то хвильове рівнянням буде мати вигляд:
(23)
Для механічних хвиль властивий принцип суперпозиції. Це означає, що при накладанні механічних хвиль відсутнє їх спотворення.
4. Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль
Нехай в деякому пружному середовищі в напрямі осі х поширюється плоска поздовжня хвиля
.
(24)
Виділимо
в цьому середовищі
елементарний
об’єм ΔV,
настільки
малий, щоб швидкість
хвилі
і швидкість
деформації
у всіх
його точках були однакові.
Повну механічну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі розраховують за формулою
де
-
кінетична
енергія виділеного
об’єму;
-
потенціальна
енергія пружної
деформації
цього об’єму.
Кінетичну енергію, яку має виділений об’єм пружного середовища знаходимо за формулою
,
(25)
де ρ - густина середовища виділеного об’єму.
Першу похідну за часом від (24) підставимо в (25), одержимо
(26)
де
─
хвильове число.
У відповідності з рис. 4 потенціальну енергію пружної деформації виділеного об’єму знаходимо так:
Рис. 4
(27)
де k
– коефіцієнт
пружності
середовища,
який відповідно
до закону Гука
(8) дорівнює
;
─
величина деформації
виділеного
об’єму пружного
середовища.
З урахуванням цих позначень (27) матиме вигляд
.
(28)
Помножимо й поділимо (28) на Δх2, одержимо
(29)
В граничному випадку при Δх=0 одержуємо
(30)
Підставимо
у формулу (30)
значення модуля
Юнга
,
і швидкість
деформації
,
одержимо
(31)
Повну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі пружного середо-вища, одержимо при додаванні кінетичної енергії (26) і потенціальної енергії (31)
(32)
Якщо
врахувати, що
середнє значення
квадрата синуса
за час в один
період дорівнює
,
то одержимо
середнє значення
повної енергії
буде дорівнювати
(33)
де ΔV=SΔx ─ елементарних об’єм пружного середовища.
Середнє значення густини енергії легко одержати, якщо (33) поділити її на величину виділеного об’єму пружного середовища
.
(34)
Нехай через площадку S (рис.4), яка є перпендикулярною до напрямку поширення хвилі, за час Δt переноситься енергія ΔW. Тоді вектор густини енергії буде дорівнювати
,
(35)
де
─ вектор густини
потоку енергії;
─
середня густина
перенесеної
хвилями енергії;
─
вектор швидкості,
модуль якої
дорівнює фазовій
швидкості хвиль
з напрямком
поширення хвиль
і відповідно
переносу енергії.
5. Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
Коливання, які збуджуються в будь-якій точці пружного середовища (твердому, рідкому або газоподібному), передаються від однієї точки середовища до іншої з кінцевою швидкістю, яка залежить від властивостей цього середовища. Чим дальше розташовані частинки середовища від джерела коливань, тим пізніше вони почнуть коливатися. Інакше кажучи, фази коливань частинок середовища і джерела тим більше відрізняються одна від одної, чим більша ця відстань. При вивченні поширення коливань в середовищі не враховується дискретний (молекулярний) характер будови самого середовища. В цьому випадку вважають що частинки середовища мають неперервне заповнення навколишнього простору і проявляють пружні властивості.
Процес поширення коливань у суцільному пружному середовищі називається хвильовим процесом (або хвилею). При поширенні хвилі частинки середовища не рухаються разом із хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Разом із хвилею від частинки до частинки середовища передається лише стан коливального руху і його енергія. Тому основною властивістю усіх хвиль незалежно від їхньої природи є перенос енергії без переносу речовини.
Серед різноманітних хвиль, які зустрічаються в природі й техніці, можна виділити такі їх типи: хвилі на поверхні рідини, пружні і електромагнітні хвилі. Пружні механічні хвилі виникають і поширюються лише в пружному середовищі. Пружні хвилі ще діляться на подовжні й поперечні. У подовжніх хвилях частинки середовища коливаються в напрямку поширення хвилі, у поперечних – у площинах, перпендикулярних до напрямку поширення хвилі.
Подовжні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні сили при деформаціях стиску і розтягу. Це означає, що поздовжні хвилі поширюються у твердих, рідких і газоподібних середовищ.
Поперечні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні сили при деформаціях зсуву, тобто фактично тільки у твердих тілах. У рідинах і газах виникають лише подовжні хвилі, а у твердих тілах — як подовжні, так і поперечні хвилі.
Пружна хвиля називається синусоїдальною (або гармонічною), якщо відповідні їй коливання частинок середовища є гармонічними. На рис. 21 показана синусоїдальна поперечна хвиля, яка поширюється зі швидкістю υ уздовж осі х, тобто показана залежність між зміщенням U(x,t) частинок середовища, у хвильовому процесі, і відстанню х цих частинок від джерела коливань для будь-якого фіксованого моменту часу t.
Приведений графік функції U(x,t) не схожий на графік гармонічного коливання. Графік хвилі (рис.1) показує залежність зміщення всіх частинок середовища від відстані до джерела коливань у даний момент часу, а графік гармонічних коливань — залежність зміщення даної частинки від часу.
Відстань між найближчими частинками, які коливаються в одній фазі, називається довжиною хвилі λ (рис. 1). Довжина хвилі дорівнює відстані, на яку поширюється фаза коливань за час в один період, тобто
(1)
Рис. 1
Якщо розглянути хвильовий процес трохи докладніше, то стане ясно, що в хвильовому русі коливаються не лише частинки, розташовані уздовж осі х, а й сукупність частинок, розташованих у деякому об’ємі, тобто хвиля, поширюючись від джерела коливань, охоплює все нові і нові області простору. Геометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильових поверхонь можна провести безліч. Хвильова поверхня у будь який момент часу називається хвильовим фронтом. Для цього моменту часу хвильовий фронт може бути лише один.
Хвильові поверхні можуть мати довільну форму. В найпростішому випадку хвильові поверхні є сукупністю площин, або сукупністю концентричних сфер. Відповідно хвиля називається плоскою або сферичною.
6. Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля
Якщо хвилі, поширюючись в пружному середовищі з кінцевою швидкістю, переносять енергію, то вони називаються біжучими. Перенос енергії в хвильовому русі кількісно характеризується вектором густини потоку енергії. Вектор потоку енергії вперше для механічних пружних хвиль був введений російським фізиком Умовим і називається вектором Умова. Напрямок вектора Умова збігається з напрямком переносу енергії, а його модуль дорівнює енергії, яка переноситься хвилею через одиничну площадку, розташовану перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, за одиницю часу.
Для одержання
рівняння біжучої
хвилі ─ залежності
зміщення коливної
точки пружного
середовища
від координати
і часу ─ розглянемо
плоску синусоїдальну
хвилю,
допустивши,
що вісь
х збігається
з напрямком
поширення хвилі
(рис. 21). У даному
випадку хвильові
поверхні, тобто
поверхні однакової
фази, перпендикулярні
до осі х,
а тому
всі точки пружного
середовища
на цих поверхнях
коливаються
однаково. Зміщення
будь якої точки
пружного середовища
від положення
рівноваги в
цьому випадку
залежить лише
від координати
х
і часу t,
а його
величина буде
дорівнювати
Розглянемо
деяку точку
В, яка
перебуває
на відстані
х від
джерела коливань
(рис. 1).
Якщо
коливання точок
пружного середовища,
які лежать у
площині х
= 0, описуються
функцією U(0,t)
= A cos,
то точка В
пружного
середовища
теж буде коливатися
за тим же законом,
але її коливання
будуть відставати
за часом від
коливань джерела
на τ,
тому що для
проходження
хвилею відстані
х потрібен
час τ
=
,
де
– швидкість
поширення
хвилі. Тоді
рівняння коливань
частинок, які
лежать у площині
х, буде
мати вигляд
(2)
де А – максимальне зміщення виділеної коливної точки В від положення рівноваги; ω – циклічна частота генератора коливань джерела.
Рівняння (2) є рівняння біжучої хвилі. Якщо плоска хвиля поширюється в протилежному напрямку, то
В загальному випадку рівняння плоскої синусоїдальної хвилі, яка поширюється без поглинання енергії уздовж позитивного напрямку осі х, має вигляд
(3)
де А
–
амплітуда
хвилі; ω
– циклічна
частота хвилі;
–
початкова фаза
коливань, обумовлена
вибором початкових
значень х
і t;
[ω
(t
- x/υ)
+ φ0]
– фаза плоскої
хвилі.
В рівнянні (3) синусоїдальний характер хвилі характеризують хвильовим числом, яке дорівнює
(4)
З врахуванням (4) рівняння (3) матиме вигляд
(5)
Рівняння хвилі, яка поширюється в сторону менших значень осі х, відрізняється від (5) тільки знаком члена kх.
Розглянемо випадок, коли в процесі хвильового руху, фаза коливань не змінюється з часом, тобто
(4.6)
Диференціюємо вираз (6) за часом, одержимо
,
звідки
Отже, швидкість υ поширення хвилі в рівнянні (6) є не що інше, як швидкість переміщення фази хвилі, а тому її називають фазовою швидкістю.
Сферичні хвилі утворюються в однорідному і ізотропному середовищі від точкових джерел коливань. Якщо повторити хід міркувань для плоскої хвилі, можна показати, що рівняння сферичної синусоїдальної хвилі – хвилі, хвильові поверхні якої мають вигляд концентричних сфер, записується так
(7)
де r – відстань від точкового джерела сферичних хвиль до виділеної точки пружного середовища.
У випадку
сферичної хвилі
навіть у середовищі,
яке не
поглинає енергії,
амплітуда
коливань не
залишається
постійною, а
зменшується
з відстанню
за законом
Рівняння
(7) має місце лише
для великих
r,
які значно
перевищуючі
розміри джерела
коливань (джерело
коливань тут
можна вважати
точковим).
З рівняння (3) можна одержати, що
тобто фазова швидкість синусоїдальних хвиль залежить від їхньої частоти. Це явище називають дисперсією хвиль, а середовище, у якому спостерігається дисперсія хвиль, називається дисперсним середовищем.
7. Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
Рівняння довільної хвилі є розв'язком рівняння, яке називається хвильовим.
Для виведення цього рівняння скористаємось рівняння плоскої хвилі, яка поширюється в напрямку осі х. Розглянемо ділянку пружного середовища, яке характеризується модулем пружності Е (рис. 2). З рисунка видно, що виділений елемент має переріз S і довжину Δх. Під дією зовнішньої сили F виділена ділянка пружного середовища деформується на величину ΔU.
Рис. 2
Оскільки середовище є пружним, то для виділеної ділянки можна застосувати закон Гука
(8)
де Е
─ модуль Юнга;
─ відносна
деформація;
F
─ зовнішня
сила; S
─ площа виділеної
ділянки пружного
середовища
в напрямі осі
х.
В граничному
випадку при
,
рівняння (8)
запишеться
так
(9)
Якщо збуджувати поздовжню хвилю в деякому пружному середовищі, яким є наприклад стержень перерізом S з модулем Юнга Е, то на виділену ділянку будуть діяти дві сили (рис.3). Запишемо для цієї ділянки другий закон Ньютона
(10)
Сили в рівнянні (10) є пружними силами, а тому відповідно до рівняння (9) запишуться так
(11)
Якщо підставити ці сили (11) в другий закон Ньютона (10), то після деяких перетворень одержимо
(12)
де m ─ маса виділеної ділянки пружного середовища.
Масу виділеної ділянки пружного середовища можна виразити через об’єм і густину речовини стержня так
m = ρSΔx. (13)
Рис.3
З урахуванням значення маси (13) і нескладних перетворень рівняння (12) запишеться так
(14)
Розглянувши
граничний
випадок при
якому,
з рівняння (14)
одержуємо
рівняння, яке
називається
хвильовим
рівнянням
(15)
Рівняння (15) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку в частинних змінних. Розв’язком такого рівняння є уже відоме рівняння плоскої хвилі
(16)
Знайдемо другі частинні похідні за часом t і координатою х від рівняння (16)
(17)
Після підстановки похідних (17) в рівняння (15) та необхідних скорочень одержимо
(18)
Але оскільки
,
то хвильове
рівняння (15) буде
мати інший
вигляд
(19)
Таким чином швидкість поширення механічних хвиль у пружному середовищі залежить від пружних властивостей цього середовища і його густини
(20)
Оскільки модуль Юнга характеризує стиснення або розтягування пружного середовища, то одержана швидкість (20) є фазовою швидкістю лише поздовжніх хвиль.
Фазова швидкість поперечних хвиль, які можуть існувати лише в твердому пружному середовищі, визначають заміною модуля Юнга в (20) на модуль зсуву G
(21)
Розрахунки показують, що в твердому середовищі модуль Юнга E майже на порядок перевищує модуль зсуву G, тому фазова швидкість поздовжньої хвилі тут більша за швидкість поперечної хвилі, тобто
(22)
Важливо відмітити, що для механічних хвиль, які мають велику довжину λ рівняння (15) і (19) будуть нелінійними.
Якщо механічна хвиля поширюється в однорідному ізотропному середовищі, то хвильове рівнянням буде мати вигляд:
(23)
Для механічних хвиль властивий принцип суперпозиції. Це означає, що при накладанні механічних хвиль відсутнє їх спотворення.
8. Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль
Нехай в деякому пружному середовищі в напрямі осі х поширюється плоска поздовжня хвиля
.
(24)
Виділимо
в цьому середовищі
елементарний
об’єм ΔV,
настільки
малий, щоб швидкість
хвилі
і швидкість
деформації
у всіх його
точках були
однакові.
Повну механічну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі розраховують за формулою
де
-
кінетична
енергія виділеного
об’єму;
-
потенціальна
енергія пружної
деформації
цього об’єму.
Кінетичну енергію, яку має виділений об’єм пружного середовища знаходимо за формулою
,
(25)
де ρ - густина середовища виділеного об’єму.
Першу похідну за часом від (24) підставимо в (25), одержимо
(26)
де
─
хвильове число.
У відповідності з рис. 4 потенціальну енергію пружної деформації виділеного об’єму знаходимо так:
Рис. 4
(27)
де k
– коефіцієнт
пружності
середовища,
який відповідно
до закону Гука
(8) дорівнює
;
─
величина деформації
виділеного
об’єму пружного
середовища.
З урахуванням цих позначень (27) матиме вигляд
.
(28)
Помножимо й поділимо (28) на Δх2, одержимо
(29)
В граничному випадку при Δх=0 одержуємо
(30)
Підставимо
у формулу (30)
значення модуля
Юнга
,
і швидкість
деформації
,
одержимо
(31)
Повну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі пружного середо-вища, одержимо при додаванні кінетичної енергії (26) і потенціальної енергії (31)
(32)
Якщо
врахувати, що
середнє значення
квадрата синуса
за час в один
період дорівнює
,
то одержимо
середнє значення
повної енергії
буде дорівнювати
(33)
де ΔV=SΔx ─ елементарних об’єм пружного середовища.
Середнє значення густини енергії легко одержати, якщо (33) поділити її на величину виділеного об’єму пружного середовища
.
(34)
Нехай через площадку S (рис.4), яка є перпендикулярною до напрямку поширення хвилі, за час Δt переноситься енергія ΔW. Тоді вектор густини енергії буде дорівнювати
,
(35)
де
─ вектор густини
потоку енергії;
─
середня густина
перенесеної
хвилями енергії;
─
вектор швидкості,
модуль якої
дорівнює фазовій
швидкості хвиль
з напрямком
поширення хвиль
і відповідно
переносу енергії.
Вектор
потоку енергії
вперше одержав
і розглянув
видатний російський
фізик Умов. На
честь цього
фізика він був
названий вектором
Умова.