Предельное состояние. Если следить за подвижным температурным полем, связанным с сосредоточенным источником тепла, то можно заметить, что возникающая в начале нагрева область повышенных температур с течением времени увеличивается и достигает определенных предельных размеров. Подвижное температурное поле, как бы насыщенное теплом источника, только перемещается вместе с ним. Такое состояние процесса называется предельным или установившимся.

Таким образом, процесс нагрева источником постоянной мощности делится на два периода;

I период — теплонасыщение, когда размеры связанной с источником нагретой зоны увеличиваются;

II период— предельное или установившееся состояние процесса распространения тепла, когда температурное поле остается постоянным. При неподвижном источнике тепла неподвижное поле предельного состояния называют стационарным. При подвижном источнике связанное с ним температурное поле предельного состояния называют квазистационарным. Процесс распространения тепла стремится к предельному состоянию при неограниченно длительном действии источника постоянной мощности, т. е. при t—> ∞.

Для определения уравнений, описывающих процесс распространения теплоты от движущихся непрерывно действующих источников, используют принцип наложения. С этой целью весь период действия источника теплоты разбивают на бесконечно малые отрезки времени dt. Действие источника теплоты в течение бесконечно малого отрезка времени dt представляют, как действие мгновенного источника теплоты. Суммируя процессы распространения теплоты от действующих друг за другом в разных местах тела мгновенных источников теплоты, получают уравнение температурного поля при непрерывном действии подвижного источника теплоты.

Рис. 7.1 Схема движения непрерывно действующего источника мощностью q, перемещающегося со скоростью v:

а — точечный на поверхности полубесконечного тела; б - линейный в бесконечной пластине; е — плоский в бесконечном стержне

Подвижный точечный источник теплоты на поверхности полубесконечного тела. Точечный источник теплоты постоянной мощности q движется с постоянной скоростью v прямолинейно из точки О0 в направлении оси х (рис. 7.1, а). Допустим, что с момента движения источника прошло время tН и он находится в точке О. Вместе с источником теплоты перемещается подвижная система координат, начало которой совпадает с местоположением источника теплоты, т. е. с точкой О. Требуется определить температуру точки А (х, у,z).

Для этого запишем приращение температуры в точке А от мгновенного точечного источника теплоты, который действовал в течение времени dt в точке О'. С момента выделения теплоты в точке О' прошло время t. Используем уравнение (6.1), полагая Q = qdt, а расстояние :

(7.1)

Суммируем приращения температуры от всех элементарных источников теплоты на линии ОО0. Время распространения теплоты от мгновенного источника в точке О равно нулю, а от мгновенного источника в точке О0 равно tН. Поэтому интеграл берем в пределах от 0 до tН:

(7.2)

После преобразования получим:

(7.3)

где R2=x2+y2+z2

Уравнение (7.3) выражает температурное поле в полубесконечном теле в стадии теплонасыщения, т. е. когда температура отдельных точек непрерывно повышается. После продолжительного действия источника теплоты достигается так называемое предельное состояние, когда температура точек в подвижной системе координат перестает изменяться во времени. Такое состояние достигается при t→∞ и называется квазистационарным.

В этом случае уравнение (7.3) интегрируется после подстановки R2/4at=u2 и принимает вид

(7.4)

Температурное поле предельного состояния симметрично относительно оси Ox (рис. 7.2). Изотермы на поверхности xOy представляют собой овальные кривые, которые сгущены впереди источника теплоты и раздвинуты позади него.

Рис. 7.2 Температурное поле предельного состояния при движении точечного источника теплоты по поверхности полубесконечного тела:

а — изотермы на поверхности хОу; б — изотермы в поперечной плоскости xOz, проходящей через центр источника теплоты; в — распределение температуры по прямым, параллельным оси х и расположенным на поверхности массивного тела; г — распределение температуры по прямым, параллельным оси у и лежащим в поперечной плоскости xOz; д — схема расположения координатных осей

Распределение температуры по поверхности массивного тела на расстоянии у, равном 1, 2, 3 см, представлено соответственно кривыми 1, 2, 3 на рис. 7.2, в. Температура точек при приближении источника теплоты резко возрастает, достигает максимума, а затем убывает. Снижение температуры происходит с меньшей скоростью, чем ее подъем. Максимум температуры в точках, находящихся не на оси Ох, достигается после прохождения источником теплоты плоскости, параллельной yOz, в которой находится рассматриваемая точка. В более удаленных от оси Ох точках максимальная температура достигается позже и имеет меньшее численное значение по сравнению с точками, расположенными ближе к оси Ох. Пунктирной линией на рис. 7.2, а соединены точки с максимальной температурой на плоскости хОу. Поверхность раздела областей нагрева и остывания получается путем вращения пунктирной кривой относительно оси Ох. Область впереди пунктирной кривой нагревается, позади пунктирной кривой — остывает.

Неподвижный источник теплоты. Если в уравнении (7.4) v= 0, то будем иметь случай стационарного температурного поля в полубесконечном теле

(7.5)

Температура в направлении от источника теплоты убывает обратно пропорционально R, т. е. по закону гиперболы. Температура на данном расстоянии R прямо пропорциональна мощности источника теплоты q и обратно пропорциональна коэффициенту теплопроводности λ. Распределение температуры не зависит от теплоемкости материала сγ.

Подвижный линейный источник в пластине

Линейный источник теплоты мощностью q с равномерным распределением ее по толщине пластины движется с постоянной скоростью v (рис. 7.1, б). Граничные плоскости z = 0 и z=δ отдают теплоту в окружающую среду, температура которой принимается равной нулю. Коэффициент теплоотдачи α.

Уравнение, описывающее температурное поле в пластине, получим аналогично случаю точечного источника теплоты. Приращение температуры в точке А от мгновенного линейного источника теплоты, который действовал в точке О', составит в соответствии с уравнением (6.9)

(7.6)

Интегрируя от 0 до tН и преобразуем

(7.7)

где r2=x2+y2.

Уравнение (7.7) выражает температурное поле в пластине в стадии теплонасыщения. Предельное квазистационарное состояние достигается при t →∞. В этом случае уравнение принимает вид

(7.8)

где К0 – модифицированная функция Бесселя 2-го рода нулевого порядка; b=2α/cγδ.

Рис. 7.3. Температурное поле предельного состояния при движении линейного источника теплоты в бесконечной пластине:

а — изотермы на поверхности пластины, пунктирная кривая — точки с максимальными температурами; б — распределение температуры в сечениях параллельных оси х; г ~ схема координатных осей

Предельное состояние. При нагреве пластины линейным источником теплоты распределение температуры по ее толщине согласно уравнению (7.8) равномерно. Следует, однако, иметь в виду, что в действительности из-за наличия теплоотдачи с поверхности пластины всегда наблюдается некоторая неравномерность распределения температуры по ее толщине.

Картины распределения температуры в пластине (рис. 7.3) и в плоскости хОу массивного тела (см. рис. 7.2) качественно имеют много общего. Отличие заключается в том, что изотермы в пластине еще более вытянуты, чем в полубесконечном теле. Степень вытянутости изотерм зависит не только от условий сварки и теплофизических свойств материала, но и от теплоотдачи в воздух.

Неподвижный источник. Если в уравнении (7.8) принять v = 0, то получим уравнение стационарного температурного поля в пластине:

(7.9)

Температурное поле является осесимметричным. В отличие от полубесконечного тела, где стационарное состояние достигается благодаря значительному теплоотводу в трех направлениях, стационарное состояние в пластине возможно лишь при наличии теплоотдачи в окружающее пространство. Если теплоотдача отсутствует, то температура возрастает беспредельно. Распределение температуры при стационарном процессе в пластине зависит не только от мощности и коэффициента теплопроводности λ, но и от коэффициента теплоотдачи α и толщины пластины δ.

Подвижный плоский источник теплоты в бесконечном стержне

Плоский источник теплоты постоянной мощности q равномерно распределен по поперечному сечению стержня F и перемещается с постоянной скоростью v в направлении вдоль стержня (см. рис. 7.1, в). Боковая поверхность отдает теплоту в окружающую среду при постоянном коэффициенте теплоотдачи α.

Приращение температуры в точке А от мгновенного плоского источника, который действовал в точке О' t секунд назад, составит

(7.10)

Начало координат движется вместе с источником теплоты и находится в точке О.

Интегрируем приращения температуры от всех мгновенных источников теплоты в пределах от 0 до tН:

(7.11)

Уравнение (7.11) описывает температурное поле в стержне в стадии теплонасыщения. Предельное квазистационарное состояние достигается при tH—>∞. В этом случае уравнение (7.11) после введения замены t = u2 и интегрирования принимает вид:

(7.12)

Предельное состояние. При нагреве стержня плоским источником теплоты распределение температуры по поперечному сечению стержня согласно уравнению (7.12) равномерно. В действительности из-за теплоотдачи с поверхности стержня всегда будет наблюдаться некоторая неравномерность распределения температуры по его поперечному сечению.

Распределение температуры вдоль стержня будет характеризоваться быстрым нарастанием температуры впереди источника теплоты и весьма плавным спадом температуры позади источника. Если 4ba/v2=0 т. е. теплоотдача отсутствует, то температура позади источника теплоты будет оставаться постоянной.

Неподвижный источник. Если в уравнении (7.12) v = 0, то получим уравнение стационарного температурного поля в стержне:

(7.13)

Стационарное состояние в стержне возможно лишь при наличии теплоотдачи в окружающую среду. Распределение температуры при стационарном процессе в стержне зависит от λ, b, F и р.