Финансовые ренты. Коэффициенты наращения финансовой ренты
Финансовые операции часто носят продолжительный характер и состоят не из разового платежа, а из их последовательности, т.е. из потока платежей.
Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом [5, с.46].
Основные правила процентных вычислений, рассмотренные нами ранее, остаются неизменными и для совокупности платежей, однако возникает необходимость ввести несколько дополнительных понятий. В финансовом анализе для обозначения денежных потоков в наиболее общем смысле используется термин рента.
Частным случаем ренты является финансовая рента или аннуитет - такой поток платежей, все члены которого равны друг другу, так же как и интервалы времени между ними.
Часто аннуитетом называют финансовый актив, приносящий фиксированный доход ежегодно в течение ряда лет [7, с.28].
В буквальном переводе "аннуитет" подразумевает, что платежи происходят с интервалом в один год, однако встречаются потоки с иной периодичностью выплат.
Очевидно, что рента - это более широкое понятие, чем аннуитет, так как существует множество денежных потоков, члены которых не равны друг другу или распределены неравномерно [7, с.28].
Форму аннуитетов имеют многие финансовые потоки, например выплата доходов по облигациям или платежи по кредиту, страховые взносы. Можно сказать, что финансы тяготеют к упорядочению денежных потоков.
Принцип временной ценности денег делает невозможным прямое суммирование членов ренты. Для учета влияния фактора времени к каждому члену ренты применяются рассмотренные выше правила наращения и дисконтирования только сложных процентов, то есть предполагается, что получатель потока имеет возможность реинвестировать получаемые им суммы.
Если бы размеры рент всегда ограничивались двумя-тремя членами, то необходимость создания специальных способов расчета денежных потоков, возможно, и не возникла.
Ни в теории, ни на практике таких ограничений нет, наоборот, существуют большие, очень большие и даже бесконечные денежные потоки (вечные ренты), поэтому были разработаны специальные методы, позволяющие анализировать ренту не по каждому ее члену в отдельности, а как единую совокупность - рассчитывать ее будущую и приведенную величины, а также определять размеры других важных параметров ренты.
Финансовая рента имеет следующие параметры:
член ренты - величина каждого отдельного платежа;
период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты - время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода;
процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты [3, с.62].
Классификация рент может быть произведена по различным признаками.
В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и p-срочные, где p - число выплат в году.
По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей [5, с.47].
По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты.
Если размеры платежей изменяются по какому - либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.
По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные.
Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.
По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.
В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.
Ренты различают по моменту выплаты платежей.
Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.
Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.
Рассмотрим расчет современной стоимости и наращенной суммы постоянной обычной (постнумерандо) p - срочной ренты [4, с.84].
Ежегодно
сумма R вносится
равными долями
p раз в году
на банковский
счет в течение
n лет. Тогда
имеем поток
из np платежей
величиной
каждый в моменты
.
Примем за единицу измерения времени 1 год.
Пусть i - годовая эффективная процентная ставка начисления сложных процентов на поступающие платежи.
Согласно определению современной стоимости потока платежей, получаем
(1)
Вычисляя
сумму np членов
геометрической
прогрессии,
знаменатель
которой
,
получим:
(2)
современная стоимость постоянной обычной p - срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет.
Отсюда современная стоимость годовой обычной ренты (p = 1) при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году:
.
(3)
Используя соотношения эквивалентности для эффективной процентной ставки
и
,
получим современную стоимость обычной p - срочной ренты при начислении на члены ренты сложных процентов m раз в году по номинальной процентной ставке i (m) и непрерывном начислении процентов при постоянной интенсивности процентов δ в год:
(4)
.
(5)
Формулы для наращенной суммы ренты можно получить непосредственно по определению согласно формуле (3).
Например, для постоянной обычной p - срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет получаем:
.
(6)
Наращенную сумму ренты можно рассчитать, используя формулу связи современной стоимости и наращенной суммы потока платежей.
Например, для годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год:
S = A F
(T) = A (1 + i) n =
(7)
Для
других видов
обычной ренты
из (4) и (5), используя
множители
наращения
и
соответственно,
получим:
(8)
(9)
В частности, при m = p (период начисления процентов равен периоду ренты) из (4) и (8) получаем
(10)
(11)
Если
единицей измерения
времени является
1 год, а R - это
выплата за год
(единицу времени),
то множитель
в формулах
современной
стоимости
ренты, равный
,
называется
коэффициентом
дисконтирования
ренты.
Множитель
в формулах
наращенной
суммы ренты,
равный
,
называется
коэффициентом
наращения
ренты.
Из (1) - (11) можно получить коэффициенты наращения и дисконтирования всех рассмотренных видов обычной ренты.
Согласно (1) и (5), коэффициенты дисконтирования и наращения обычной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в году в течение n лет равны соответственно:
(12)
(13)
и
- это соответственно
современная
стоимость и
наращенная
сумма постоянной
обычной p - срочной
ренты с ежегодной
выплатой 1 д.
е. равными долями
p раз в году в
размере
в моменты времени
с начислением
на члены ренты
процентов 1 раз
в году.
Следовательно,
и
связаны
соотношением
(14):
=
(1 + i) n
(14)
Аналогичный смысл имеют коэффициенты дисконтирования и наращения других рассмотренных видов обычной ренты.
Для этих рент имеем соотношения:
- годовая рента
с начислением
процентов 1 раз
в год;
- p - срочная рента
с начислением
процентов m
раз в год;
- p - срочная рента
с непрерывным
начислением
процентов.
Коэффициенты дисконтирования и наращения годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год:
и
(15)
Если
применяется
p - срочная рента
с начислением
процентов p
раз в год (m = p)
по годовой
номинальной
ставке i (p),
то за единицу
измерения
времени можно
принять
часть года.
Тогда
- выплата за
единицу времени
(постнумерандо),
- процентная
ставка за 1 единицу
времени,
срок ренты - np единиц времени.
Коэффициенты дисконтирования и наращения такой ренты равны соответственно
и
.
Из формул (10), (11) имеем
,
(16),
что
позволяет для
этой ренты
использовать
те же таблицы
коэффициентов.
Заметим, что
если единицей
измерения
времени является
1 год, то коэффициенты
дисконтирования
и наращения
этой ренты
определяются
как
=
и
=
и рассчитываются
по формулам,
полученным
из (10), (11):
,
(17). Тогда
=
и
=
(18)
Рассмотрим ренту пренумерандо.
Связь
между коэффициентами
дисконтирования
и наращения
рент пренумерандо
и постнумерандо
следует из их
определения.
Срок дисконтирования
каждого платежа
ренты пренумерандо
уменьшается,
а срок наращения
увеличивается
на один период
ренты по сравнению
с обычной рентой.
По - прежнему
единицей измерения
времени считаем
1 год. Если
и
- коэффициенты
дисконтирования
и наращения
p - срочной ренты
пренумерандо
(платежи поступают
в начале каждого
периода длиной
)
при начислении
на члены ренты
процентов 1 раз
в год, то справедливы
соотношения:
=
=
= (1 + i) n
.
Отсюда при p = 1 получаем соотношения для годовых рент:
=
=
= (1 + i) n
.
При непрерывном начислении процентов для p - срочной ренты имеем соотношения:
=
.
Рассмотрим непрерывную ренту.
Коэффициенты
дисконтирования
и наращения
постоянной
непрерывной
ренты можно
получить из
формул для p
- срочной ренты
при
или по определению
для непрерывного
равномерно
выплачиваемого
потока платежей
с постоянной
годовой интенсивностью
f (t) = 1.
Например,
для постоянной
непрерывной
ренты при непрерывном
начислении
процентов по
постоянной
силе роста
получаем:
,
где
- коэффициент
дисконтирования
обычной p - срочной
ренты при непрерывном
начислении
процентов.
Заметим, что так как
,
где
- коэффициент
дисконтирования
p - срочной ренты
пренумерандо
при непрерывном
начислении
процентов, то
.
Действительно, при непрерывно поступающих платежах различие между рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает.
Коэффициент дисконтирования постоянной непрерывной ренты при начислении процентов 1 раз в год получим по определению:
.
Коэффициенты наращения непрерывных рент можно найти из равенств вида:
=
,
=
.
Соотношения между коэффициентами дисконтирования рассмотренных трех видов рент - обычной, пренумерандо и непрерывной - можно установить из следующих соображений.
Так как
,
где i (p) - эквивалентная годовая номинальная процентная ставка, то
.
С другой стороны,
.
Следовательно
,
(19)
где
,
- коэффициенты
дисконтирования
обычной годовой
ренты с начислением
процентов 1 раз
в год и постоянной
непрерывной
ренты при непрерывном
начислении
процентов.
Равенства (19) можно продолжить для ренты пренумерандо, если учесть соотношения коэффициентов дисконтирования обеих рент:
и
.
Тогда
=
=
.
(20)
где
- эквивалентная
учетная ставка.
Из (19), (20) получаем
,
(21)
где
- эквивалентная
номинальная
учетная ставка.
Каждое выражение в этом равенстве - современная стоимость процентов, выплачиваемых по займу 1 д. е. на протяжении n лет в соответствии с различными способами выплаты процентов.
Аналогичные соотношения можно получить и для коэффициентов наращения рент.
Если полагают, что срок ренты n = ∞, то ренту называют вечной. Наращенная сумма вечной ренты бесконечна. Однако современную величину такой ренты можно найти.
Для обычной вечной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в год получаем при n → ∞:
.
Для такой же ренты пренумерандо:
.
Кроме
того,
.
Таким
образом,
,
,
.
(21)
Если вечная рента является годовой (p = 1), то имеем:
,
,
.
(22)
Если начало ренты, т.е. начало ее первого периода, переносится в будущее на t единиц времени относительно текущего момента t = 0, то такую ренту называют отсроченной. Современная стоимость отсроченной ренты At определяется следующим образом. Согласно определению современной стоимости потока платежей,
,
где
,
,
- дисконтные
множители k
- го платежа на
временных
отрезках [0, tk],
[t, tk], [0, t]
соответственно.
Так как
,
то A - стоимость
ренты, рассчитанная
на момент начала
ее первого
периода, т.е.
на момент начала
неотсроченной
ренты.
Следовательно, A - это современная стоимость неотсроченной ренты.
Таким образом, современная стоимость отсроченной ренты определяется путем дисконтирования по процентной ставке ренты в течение времени t современной стоимости A неотсроченной ренты:
,
(23)
Рассмотрим зависимость коэффициентов наращения ренты от срока ренты и процентной ставки.
Поскольку характер зависимости не должен зависеть от числа платежей в году, рассмотрим годовую обычную ренту с начислением процентов 1 раз в год.
Имеем
,
.
Ситуацию можно рассматривать как беспроцентный долг, выданный в сумме n и возвращаемый равными долями в течение n лет.
Установим
зависимость
от i коэффициента
наращения ренты
.
.
Очевидно,
- возрастающая
функция i, что
следует из
свойств наращенной
суммы разового
платежа. Действительно,
так как
и
,
то
- возрастающая
выпуклая функция
аргумента i
(рис.1).
Рис.1.
3) Установим
зависимость
от i коэффициента
дисконтирования
ренты
.
.
Очевидно,
- убывающая
функция i, что
следует из
свойств современной
стоимости
разового платежа.
Действительно,
так как
и
,
то
- убывающая
выпуклая функция
аргумента i
(рис.2).
Рис. 2
Установим
зависимость
от n коэффициента
наращения ренты
.
,
где
.
Так
как
и
,
то
- возрастающая
выпуклая функция
аргумента n
(рис.3).
Рис. 3
Установим
зависимость
от n коэффициента
дисконтирования
ренты
.
,
где
.
Так
как
и
(вечная рента),
то
- возрастающая
вогнутая функция
аргумента n
(рис.4).
Рис.4
Эти свойства используются в задачах на определение параметров ренты.
Задача.
Раскрой материала.
На раскрой (распил) поступает материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными способами. Каждый способ имеет свою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого вида. Определить способ раскроя, при котором суммарная себестоимость минимальна (построить математическую модель в общем виде).
Решение:
Пусть поступает в раскрой m различных материалов.
Требуется изготовить из них k разных комплектующих изделий (комплектов) в количествах, пропорциональных величинам b1, b2,., bk (условия комплектности).
Пусть каждую единицу j-го материала j=1,., m можно раскроить n различными способами, так что при использовании i-го способа раскроя, i=1,., n получим аij единиц k-го изделия.
Нужно определить такой план раскроя материалов, обеспечивающий максимальное количество комплектов, если имеющийся запас j-го материала составляет аj единиц.
Обозначим через xij количество единиц j-го материала, раскраиваемых i-м способом, а через x-общее количество изготавливаемых комплектов.
Математическая модель этой задачи имеет такой вид:
максимизировать x (1)
при условиях
Условие 2 означает ограничение на запас j-го материала, а условие 3 - условие комплектности.
Список используемой литературы
Багриновский К. Матюшок В. Экономико-математические метода и модели: Учебник / К. Багриновский, В. Матюшок. - М.: Экономистъ, 1999. - 185с.
Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: Учебник / П.П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов. - М.: Гардарики, 2002. - 624с.
Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие / Б.Т. Кузнецов. - М.: Экзамен, 2005. - 128с.
Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. - М.: Дело, 1998. - 304с.
Лукашин Ю.П. Финансовая математика: Учебное пособие / Ю.П. Лукашин. - М.: МФПА, 2004. - 81с.
Малыхин В.И. Финансовая математика / В.И. Малыхин. - М.: Юнити - Дана, 2003. - 237с.
Меньшиков С. Рентабельность и рента / С. Меньшиков // Экономическое стратегии. - 2004. - №1. - с.28-31.
Четыркин Е.М. Финансовая математика / Е.М. Четыркин. - 4-е изд. - М.: Дело, 2004. - 400с.