Задание 1
Сгруппируйте 30 совхозов по факторному признаку, образовав 5 – 6 групп с равными интервалами. Сделайте выводы относительно наличия (или отсутствия) связи между группировочным (факторным) и результативным признаком.
Решение
Группировка является основой научной сводки и обработки статистических данных. Группировочный (факторный) признак в нашем примере – среднегодовая стоимость основных фондов сельскохозяйственного назначения, млн. руб., результативный признак – выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб.
Исходные данные представлены в табл. 1.
Таблица 1 - Основные показатели работы совхозов
№ п/п |
Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. | Выручка от реализации всей продук-ции совхоза, млн. руб. |
№ п/п |
Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. | Выручка от реализации всей продук-ции совхоза, млн. руб. |
1 | 7,1 | 24,6 | 16 | 6,6 | 16,3 |
2 | 5,8 | 14,1 | 17 | 6,9 | 22,0 |
3 | 4,2 | 12,2 | 18 | 6,5 | 26,7 |
4 | 7,0 | 13,5 | 19 | 6,8 | 20,9 |
5 | 6,6 | 14,2 | 20 | 7,2 | 23,6 |
6 | 11,0 | 30,9 | 21 | 10,5 | 40,5 |
7 | 6,9 | 21,8 | 22 | 10,6 | 33,6 |
8 | 6,7 | 16,3 | 23 | 6,8 | 23,5 |
9 | 4,6 | 17,0 | 24 | 6,8 | 25,7 |
10 | 6,9 | 24,8 | 25 | 6,5 | 22,5 |
11 | 6,1 | 20,2 | 26 | 7,0 | 20,5 |
12 | 6,6 | 12,5 | 27 | 4,7 | 12,5 |
13 | 6,9 | 17,5 | 28 | 7,9 | 32,3 |
14 | 7,2 | 24,6 | 29 | 4,2 | 13,9 |
15 | 5,8 | 16,2 | 30 | 3,3 | 6,6 |
Количество групп принимаем = 5 групп.
Необходимо определить интервалы группировки и их величины.
Величина интервала определяется по формуле:
i = , (1)
где хmax – максимальное значение группировочного признака;
xmin – минимальное значение группировочного признака;
n – число намечаемых групп.
Величина интервала составит:
i = млн. руб.
После расчета шага интервала распределим все предприятия в рабочей таблице (табл. 2). После построим аналитическую таблицу (табл. 3).
Таблица 2 - Рабочая таблица
Номер группы | Группы совхозов по среднегодовой стоимости основных фондов | Порядковые номера совхозов | Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. | Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. |
1 | 3,3 – 4,84 | 3,9,27,29,30 | 21,0 | 62,2 |
2 | 4,84 – 6,38 | 2,11,15 | 17,7 | 50,5 |
3 | 6,38 – 7,92 |
1,4,5,7,8,10, 12,13,14,16, 17,18,19,20, 23,24,25,26, 28 |
130,9 | 403,8 |
4 | 7,92 – 9,46 | ─ | ─ | ─ |
5 | 9,46 – 11,0 | 6,21,22 | 32,1 | 105,0 |
Таблица 3 - Аналитическая таблица
Номер группы | Группы совхозов по среднегодовой стоимости основных фондов | Число совхозов | Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. | Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. | ||
Всего | На 1 совхоз | Всего | На 1 совхоз | |||
1 | 3,3 – 4,84 | 5 | 21,0 | 4,2 | 62,2 | 12,4 |
2 | 4,84 – 6,38 | 3 | 17,7 | 5,9 | 50,5 | 16,8 |
3 | 6,38 – 7,92 | 19 | 130,9 | 6,9 | 403,8 | 21,2 |
4 | 7,92 – 9,46 | 0 | ─ | ─ | ─ | ─ |
5 | 9,46 – 11,0 | 3 | 32,1 | 10,7 | 105,0 | 35,0 |
ИТОГО: | ─ | 30 | 201,7 | ─ | 621,5 | ─ |
Изучив данные 30-ти совхозов о среднегодовой стоимости основных фондов и величине выручки от реализации всей продукции совхоза, можно сказать, что между этими показателями существует зависимость и она прямая, так как с ростом среднегодовой стоимости основных фондов растет величина выручки от реализации всей продукции совхоза.
Задание 2
Используя, данные задачи 1, рассчитайте:
1. По факторному признаку – размах вариации и коэффициент вариации;
2. По результативному признаку – коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Решение
Размах вариации (или размах колебаний) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:
R = хmax – xmin (2)
R = 11,0 – 3,3 = 7,7 млн. руб.
Относительным показателем уровня вариации признака является коэффициент вариации. Он представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака и выражается обычно в процентах:
(3)
где δ – среднее квадратическое отклонение;
– средняя величина.
Если коэффициент вариации больше 33%, то совокупность неоднородна и ее средняя нетипична.
Для расчета показателей вариации составим вспомогательную таблицу (табл. 4).
Таблица 4 - Вспомогательная таблица
Группы предприятий по стоимости среднегодовой стоимости основных фондов |
Число совхозов f |
Расчетные показатели | |||
Середина интервала , млн. р. |
, млн.р. |
х-, млн.р. |
(х-)2f, млн. р. |
||
3,3 – 4,84 | 5 | 4,07 | 20,35 | -2,72 | 36,99 |
4,84 – 6,38 | 3 | 5,61 | 16,83 | -1,18 | 4,18 |
6,38 – 7,92 | 19 | 7,15 | 135,85 | 0,36 | 2,46 |
7,92 – 9,46 | 0 | 8,69 | 0 | 1,9 | 0 |
9,46 – 11,0 | 3 | 10,23 | 30,69 | 3,44 | 35,50 |
ИТОГО: |
30 |
− |
203,72 |
− |
79,13 |
Среднюю величину среднегодовой стоимости основных фондов определим по формуле средней арифметической взвешенной:
, (4)
где х – варианта или значение признака;
f – частота повторения индивидуального значения признака (его вес).
Средняя величина составит:
млн. руб.
Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности и определяется в зависимости от характера исходных данных.
Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:
(5)
Среднее квадратическое отклонение составит:
млн. руб.
Коэффициент вариации составит:
Таким образом, коэффициент вариации меньше 33%. Следовательно, рассмотренная совокупность однородна.
Коэффициент детерминации и корреляционное отношение рассчитываются на основании проведенной группировки в задаче 1 по результативному признаку (величине выручки от реализации всей продукции совхоза).
Коэффициент детерминации определяется по следующей формуле:
, (6)
где - межгрупповая дисперсия;
- общая дисперсия.
Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки:
, (7)
Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.
(8)
где ─ среднее значение результативного признака в группе;
fi ─ объем группы (число совхозов в группе);
─ среднее значение результативного признака для всей совокупности.
Оценить тесноту связи можно по величине эмпирического корреляционного отношения, используя формулу
(9)
Эмпирическое корреляционное отношение изменяется , – при отсутствии связи, – при функциональной зависимости.
Средняя величина выручки от реализации всей продукции совхоза составит:
млн. руб.
Составим вспомогательную таблицу 5.
Таблица 5 - Вспомогательная таблица
№ группы | Число совхозов f | Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. |
Среднее значение выручки от реализации всей продукции совхоза |
()2 |
− |
(−)2f |
1 | 5 | 62,2 | 12,4 | 399,9 | -8,32 | 346,1 |
2 | 3 | 50,5 | 16,8 | 64,5 | -3,92 | 46,1 |
3 | 19 | 403,8 | 21,2 | 470,1 | 0,48 | 4,4 |
4 | 0 | ─ | ─ | ─ | ─ | ─ |
5 | 3 | 105,0 | 35,0 | 660,7 | 14,28 | 611,7 |
ИТОГО: |
30 |
621,5 |
─ |
1595,2 |
─ |
1008,3 |
Межгрупповая дисперсия составит:
Общая дисперсия составит:
Коэффициент детерминации составит:
или 10,53%
Коэффициент детерминации показывает, что выручка от реализации продукции совхозов на 10,53% зависит от среднегодовой стоимости основных фондов и на 89,47% от других факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение составит:
Корреляционное отношение показывает, что связь между среднегодовой стоимостью основных фондов и величиной выручки от реализации продукции совхозов не тесная.
Задание 3
С вероятностью 0,997 определите предельную ошибку выборки и интервал, в котором находится генеральная средняя факторного признака. При этом выборочная совокупность (30 совхозов) составляет 2% от объема генеральной, и была получена механическим способом отбора.
Решение
Предельная ошибка выборки определяется по формуле:
, (10)
где t – коэффициент доверия, t=3 при (Р) 0,997.
σ2 – дисперсия факторного признака;
n – объем выборочной совокупности;
N – объем генеральной совокупности;
– удельный вес объема выборочной совокупности в генеральной.
Так как выборочная совокупность составляет 2% от объема генеральной, то объем генеральной совокупности будет равен 1500 совхозов.
Дисперсия среднегодовой стоимости основных фондов составляет 2,64 млн. руб. (см. задачу 2).
Тогда предельная ошибка выборки составит:
Для определения интервальной оценки генеральной средней используется формула:
, (11)
где – среднее значение факторного признака в генеральной совокупности;
– среднее значение факторного признака выборочной совокупности (средняя по 30 совхозам).
Средняя среднегодовая стоимость основных фондов по 30 совхозам составляет 6,79 млн. руб. (см. задачу 2).
6,79 – 0,44≤≤6,79+0,44
6,35≤≤7,23
Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднегодовая стоимость основных фондов в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 6,35 до 7,23 млн. рублей.
Задание 4
Проведите корреляционно–регрессионный анализ по исходным данным задачи 1 (используете линейную модель).
Решение
При линейной связи регрессионная модель описывается функцией вида:
, (12)
где а0 и а1 – параметры уравнения регрессии, которые рассчитываются из системы нормальных уравнений.
Найдем параметры а0 и а1, решив систему уравнений:
Составим вспомогательную таблицу (табл. 6).
Таблица 6 - Вспомогательная таблица
x | y | x2 | xy | y2 | |
7,1 | 24,6 | 50,41 | 174,66 | 605,16 | 15,05 |
5,8 | 14,1 | 33,64 | 81,78 | 198,81 | 43,82 |
4,2 | 12,2 | 17,64 | 51,24 | 148,84 | 73,79 |
7,0 | 13,5 | 49,0 | 94,5 | 182,25 | 52,13 |
6,6 | 14,2 | 43,56 | 93,72 | 201,64 | 43,43 |
11,0 | 30,9 | 121,0 | 339,9 | 954,81 | 103,63 |
6,9 | 21,8 | 47,61 | 150,42 | 475,24 | 1,17 |
6,7 | 16,3 | 44,89 | 109,21 | 265,69 | 19,54 |
4,6 | 17,0 | 21,16 | 78,2 | 289,0 | 13,84 |
6,9 | 24,8 | 47,61 | 171,12 | 615,04 | 16,65 |
6,1 | 20,2 | 37,21 | 123,22 | 408,04 | 0,27 |
6,6 | 12,5 | 43,56 | 82,5 | 156,25 | 67,57 |
6,9 | 17,5 | 47,61 | 120,75 | 306,25 | 10,37 |
7,2 | 24,6 | 51,84 | 177,12 | 605,16 | 15,05 |
5,8 | 16,2 | 33,64 | 93,96 | 262,44 | 20,43 |
6,6 | 16,3 | 43,56 | 107,58 | 265,69 | 19,54 |
6,9 | 22,0 | 47,61 | 151,8 | 484,0 | 1,64 |
6,5 | 26,7 | 42,25 | 173,55 | 712,89 | 35,76 |
6,8 | 20,9 | 46,24 | 142,12 | 436,81 | 0,03 |
7,2 | 23,6 | 51,84 | 169,92 | 556,96 | 8,29 |
10,5 | 40,5 | 110,25 | 425,25 | 1640,25 | 391,25 |
10,6 | 33,6 | 112,36 | 356,16 | 1128,96 | 165,89 |
6,8 | 23,5 | 46,24 | 159,8 | 552,25 | 7,73 |
6,8 | 25,7 | 46,24 | 174,76 | 660,49 | 4,98 |
6,5 | 22,5 | 42,25 | 146,25 | 506,25 | 3,17 |
7,0 | 20,5 | 49,0 | 143,5 | 420,25 | 0,05 |
4,7 | 12,5 | 22,09 | 58,75 | 156,25 | 67,57 |
7,9 | 32,3 | 62,41 | 255,17 | 1043,29 | 134,10 |
4,2 | 13,9 | 17,64 | 58,38 | 193,21 | 46,51 |
3,3 | 6,6 | 10,89 | 21,78 | 43,56 | 199,37 |
Σ=201,7 |
621,5 |
1441,25 |
4487,07 |
14475,73 |
1582,62 |
Уравнение регрессии принимает следующий вид:
Коэффициент регрессии (а1) имеет положительное значение, значит, между признаками существует прямая корреляционная зависимость. Уравнение показывает, что при снижении среднегодовой стоимости основных фондов величина выручки от реализации продукции в среднем изменяется на 3,62 млн. руб.
Линейный коэффициент корреляции является показателем степени тесноты связи и определяется по формуле:
, (13)
где σх – среднеквадратическое отклонение по факторному признаку;
σу – среднеквадратическое отклонение по результативному признаку.
(14)
Значение коэффициента корреляции изменяется от – 1до 1.
При | r | >0,8 считают, что связь между признаками достаточно тесная.
Среднеквадратическое отклонение по результативному признаку составит:
Линейный коэффициент корреляции составит:
Коэффициент линейной корреляции далек от единицы, значит, связь между признаками не достаточно тесная. Положительный знак указывает на прямую зависимость.
Задание 5
Рассчитайте производительность труда одного рабочего в среднем по заводу.
Номер цеха | Произведено продукции, тыс. руб. | Производительность труда одного рабочего, тыс. руб. |
1 | 57,0 | 1,9 |
2 | 46,0 | 2,0 |
3 | 65,0 | 2,5 |
4 | 70,0 | 2,8 |
Решение
Средняя величина – обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.
Так как в исходной информации задачи статистический вес (частота повторения признака) не задан в явной форме, а входит сомножителем в один из заданных показателей, то для расчета производительности труда одного рабочего в среднем по заводу будем использовать формулу средней гармонической взвешенной:
(15)
Таким образом, производительность труда одного рабочего в среднем по заводу составит:
тыс. руб.
Задание 6
Задание состоит из двух задач. Для его выполнения изучите тему «Индексы».
Задача 1.
По данным своего варианта рассчитайте:
− индекс товарооборота;
− индекс цен;
− индекс физического объема реализации товара;
− экономию (или перерасход) денежных средств населения в результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным.
Вид товара | Базисный период | Отчетный период | ||
Цена за 1 кг, руб. | Реализовано, ц | Цена за 1 кг, руб. | Товарооборот, тыс. руб. | |
А | 2,55 | 500 | 2,60 | 117,0 |
Б | 2,20 | 200 | 2,50 | 50,0 |
В | 3,50 | 1300 | 2,00 | 410,0 |
Решение
1) Индекс товарооборота определяется по формуле:
(16)
Товарооборот в отчетном периоде снизился на 7,9% по сравнению с базисным периодом.
2) Индекс цен определяется по формуле:
(17)
В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на три товара в среднем снизились на 34,15 %.
3) Индекс физического объема реализации товаров определяется по формуле:
(18)
Количество проданного товара было в отчетном периоде больше, чем в базисном периоде на 40,09 % .
4) экономия (или перерасход) денежных средств населения в результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным составит:
∑(р1 – р0)*q1 = (0,260-0,255)*450,0+(0,250-0,220)*200,0+(0,200-0,350)*2050,0 = -299,25 руб.
В результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным наблюдался перерасход денежных средств населения в размере 299,25 рублей.
Задача 2.
По данным своего варианта рассчитайте индексы цен переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов. Объясните, почему различаются индексы переменного и постоянного состава.
Государственная торговля | Рынок | ||||||
Цена за 1 кг, руб. | Реализовано, т | Цена за 1 кг, руб. | Реализовано, т | ||||
август | сентябрь | август | сентябрь | август | сентябрь | август | сентябрь |
1,80 | 1,85 | 200 | 220 | 2,50 | 3,00 | 30 | 70 |
Решение
Индекс цен переменного состава определяется по формуле:
(19)
(↑ 12,49%)
Индекс цен постоянного состава определяется по формуле:
(20)
(↑ 8,05%)
Индекс цен структурных сдвигов определяется по формуле:
(21)
(↑ 4,12%)
Индекс переменного состава – это отношение двух взвешенных средних с меняющимися (переменными) весами, показывающее изменение индексируемой величины. Переменные весы – это количество реализованной продукции базисного и отчетного периода. А индекс постоянного состава – это отношение взвешенных средних с одними и теми же весами. Постоянные весы – это количество реализованной продукции отчетного периода.
Задание 7
По приведенным рядам динамики рассчитайте:
− абсолютные приросты (цепные);
− цепные темпы роста и прироста;
− средний абсолютный прирост;
− средний темп роста и прироста;
− абсолютное значение одного процента прироста.
Рассчитанные показатели предоставьте в таблице.
Таблица 7 - Динамика производства нефти в России
Год | Добыча нефти, млн. т |
1985 | 490,8 |
1986 | 519,7 |
1987 | 545,8 |
1988 | 571,5 |
1989 | 585,6 |
1990 | 603,2 |
1991 | 608,8 |
1992 | 612,6 |
1993 | 616,3 |
1994 | 612,7 |
1995 | 595,0 |
1996 | 615,0 |
1997 | 624,0 |
1998 | 624,0 |
1999 | 607,0 |
Решение
1) Абсолютный прирост цепной определяется по формуле:
∆ц =Yi – Yi-1, (22)
где ∆ц − абсолютный прирост цепной;
Yi − уровень сравниваемого периода;
Yi-1− уровень непосредственно предшествующего периода.
∆i 1986 = 519,7 – 490,8 = 28,9 млн. т
∆i 1987 = 545,8 – 519,7 = 26,1 млн. т
∆i 1988 = 571,5 – 545,8 = 25,7 млн. т
Абсолютные приросты цепные за остальные годы рассчитаны в таблице 8.
Цепной темп роста (Тр) определяется по формуле:
Трц =*100 (23)
Цепные темпы роста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.
Цепной темп прироста (Тпр) определяется по формуле:
Тпр = Тр – 100% (24)
Тпр1986 = 105,89 – 100 = 5,89%
Тпр1987 = 105,89 – 100 = 5,89%
Тпр1988 = 105,89 – 100 = 5,89%
Цепные темпы прироста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.
Средний уровень ряда динамики определяется по формуле:
, (25)
где n – число уровней ряда динамики.
Средний абсолютный прирост определяется по формуле:
, (26)
где Уn – последний уровень ряда динамики;
У1 – первый уровень ряда динамики;
∆ц – цепные абсолютные приросты.
Средний темп роста определяется по формуле:
(27)
где Крц1, Крц2, Крцn-1 – цепные коэффициенты роста.
или 101,53%
Средний темп прироста определяется по формуле:
(28)
Абсолютное значение одного процента прироста определяется по формуле:
, (29)
А1986 = 0,01*490,8 = 4,91
А1987 = 0,01*519,7 = 5,20
А1988 = 0,01*545,8 = 5,46
Абсолютные значения одного процента прироста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.
Таблица 8 - Показатели динамики
Годы | Добыча нефти, млн. т | Абсолютный прирост, млн. т | Темп роста, % | Темп прироста, % | Абсолютное значение прироста, % млн. т |
1985 | 490,8 | ─ | ─ | ─ | ─ |
1986 | 519,7 | 28,9 | 105,89 | 5,89 | 4,91 |
1987 | 545,8 | 26,1 | 105,02 | 5,02 | 5,20 |
1988 | 571,5 | 25,7 | 104,71 | 4,71 | 5,46 |
1989 | 585,6 | 14,1 | 102,47 | 2,47 | 5,71 |
1990 | 603,2 | 17,6 | 103,01 | 3,01 | 5,86 |
1991 | 608,8 | 5,6 | 100,93 | 0,93 | 6,03 |
1992 | 612,6 | 3,8 | 100,62 | 0,62 | 6,09 |
1993 | 616,3 | 3,7 | 100,60 | 0,60 | 6,13 |
1994 | 612,7 | -3,6 | 99,41 | -0,59 | 6,16 |
1995 | 595,0 | -17,7 | 97,11 | -2,89 | 6,13 |
1996 | 615,0 | 20,0 | 103,36 | 3,36 | 5,95 |
1997 | 624,0 | 9,0 | 101,46 | 1,46 | 6,15 |
1998 | 624,0 | 0,0 | 100,00 | 0,0 | 6,24 |
1999 | 607,0 | -17,0 | 97,28 | -2,72 | 6,24 |
В среднем | 588,8 | 8,3 | 101,53 | 1,53 | ─ |
Список литературы
1. Гусаров В.М. Теория статистики. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 448 с.
2. Едронова Н.Н. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 648 с.
3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 368 с.
4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. – М.: ИНФРА-М. 2000. – 414 с.
5. Теория статистики / Под редакцией Громыко Г.Л. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 576 с.