МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Выполнил

студент 5 курса

математического факультета

Чупраков Дмитрий Вячеславович

_____________________/подпись/

Научный руководитель:

д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов

_____________________/подпись/

Рецензент:

к.ф-м.н., доцент В.В. Чермных

_____________________/подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой ______________________д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов

(подпись) “__” _________

Декан факультета _____________________к.ф-м.н., доцент В.И. Варанкина

(подпись) “__” _________

Киров

2005

Содержание

Содержание

Введение

Глава 1.

1.1. Базовые понятия и факты

1.2. Простое расширение Q+(a)

1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел

Глава 2. Однопорожденные полуполя

2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел

2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом

2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом

2.4. Примеры

Литература

Введение

Теория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа

Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями.

Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей.

В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы.

Основными результатами работы являются:

Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С.

Теорема 2.3.1. Если , то – поле тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле, позволяющая выявлять полуполя вида .

Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.
Последовательность задается следующим образом:

Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.

Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Глава 1.

1.1. Базовые понятия и факты

Определение: Алгебра <P, +, Ч> называется полуполем, если

<Р, +> – коммутативная полугруппа с 0;

<Р, Ч> – группа с 1;

Дистрибутивность

Не сложно показать, что Q+ является полуполем.

Определение: Пусть Р – подполуполе полуполя F, , тогда простым расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество P и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается P(a).

1.2. Простое расширение Q+(a)

Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q+ в качестве полутела.

Доказательство. Предположим, что S – неидемпотентное полутело, т.е. найдется такой ненулевой элемент sОS, что s+s№s. Откуда

.

Рассмотрим суммы единиц. Через обозначим сумму k единиц (при kОN). Так как любое полутело является антикольцом, то . Покажем, что суммы различного числа единиц в S различны. Допустим от противного, что при некоторых натуральных m<n. Положим l=n-mОN. Тогда . Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент , получим

.

Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь

для любого tОN.

По свойству Архимеда, найдется такое tОN, что tl>n. При k=tl имеем и n<k. Тогда

.

Откуда 1=1+1 (). Получили противоречие.

Следовательно, полутело S содержит аддитивную копию N. Но тогда S содержит и частные сумм 1, т.е. содержит копию полуполя Q+, причем, очевидно, операции в Q+ и S согласованы.

■

Теорема 1.2.2. - простое расширение полуполя Q+.

Доказательство. Заметим, что Q+(a) – полуполе. Кроме того, а О Q+(a). Это не сложно увидеть, взяв . Очевидно .

Предположим, что есть полуполе P меньшее Q+(a), содержащее а и Q+. Тогда оно содержит все выражения вида . Так как P – полуполе, то . Таким образом, . Так как P – минимальное полуполе, то . То есть, –простое расширение полуполя Q+.

■

Аналогично доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.2.3. - простое расширение поля Q.

1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел

Пусть а – алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через f многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F, а многочлен g составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда . , тогда .

Покажем, что любое равенство получается из , где . Заметим, что , так как а – корень , а – минимальный многочлен для a. Представим , где составлен из положительных одночленов многочлена h, а    составлен из отрицательных одночленов многочлена h, взятых с противоположным знаком. Таким образом,

Приведем подобные члены в паре , и найдем такой , что

,

не имеют подобных членов.

Аналогично найдем , что

и

не имеют подобных членов.

Получаем

Так как не имеют подобных членов и не имеют подобных членов, то

, или

, .

Найдем значения этих многочленов в точке а.

,.

Итак,

,

.

То есть, тогда и только тогда, когда .

Будем говорить, что Q+(a) порождается минимальным соотношением .

Глава 2. Однопорожденные полуполя

2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел

Для простого расширения справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. Пусть простое расширение , a – алгебраический элемент над . Тогда эквивалентны следующие утверждения:

– поле;

;

;

;

.

Доказательство.

(1)®(2): Пусть – поле. Так как - простое расширение поля Q элементом a. То . Однако, . Таким образом, .

(2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что

.

Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент не будет обратим. Рассмотрим

и

,

тогда

.

По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит. . Так как , то . То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).

(3)®(4): Пусть , тогда . Так как (f – g)(a) = 0, то h(a) = 0.

(4)®(5): Пусть , покажем, что .

Так как h(a)=0, то . Покажем, что . Рассмотрим

.

Если b0≠0, то

.

Если h0=0, то

.

Так как a≠0, то

.

Тогда

.

Итак, .

(5)®(1): Пусть , покажем, что Q+(a) – поле. Действительно, мы знаем, что Q+(a) – полуполе. Рассмотрим bОQ+(a), тогда . b + ( b)=0. То есть, Q+(a) – поле.

Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■

Доказанный факт влечет следующую теорему.

Теорема 2.1.2. Пусть Q+(a) простое расширение Q+, a – алгебраический элемент над Q+. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

Q+(a) –полуполе;

;

;

;

.

Доказательство. Несложно установить равносильность утверждений (1)   (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5).

Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q+(a) не является полем, а значит Q+(a) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно, согласно условию (3),

("hОQ+[a], h≠0) h(a)≠0.

То есть, если h(a)=0, то h=0. Пусть h(a)=(x+y)(a)=0. Тогда

.

Тогда (xi+yi)=0.

Так как xiОQ+ и yiОQ+, то xi=yi=0. А значит, x=y=0.

Теорема доказана.

■

2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом

Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С.

Доказательство. Пусть , и при a > 0. Тогда находится строго в первой или четвертой четверти комплексной плоскости.

Очевидно, существует натуральное n, что лежит строго во второй или третьей четверти. То есть, , где c < 0, . Значит, и . По теореме 2.1.1, – поле. Очевидно, что . То есть, является полем С.

Аналогично рассматривается случай ■

2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом

Теорема 2.3.1. Если , то – поле тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле.

Доказательство. По теореме 2.1.1 Q+(ai) – поле равносильно существованию

f№0, f(ai)=0.

Так как все степени aiОQ+(ai). Рассмотрим некоторый многочлен

.

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю.

То есть,

Это верно тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле.

Получили, что Q+(ai) – поле тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле. ■

Как следствие получаем более ценные утверждения.

Следствие 1. Если , то Q+(ai) – полуполе тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – полуполе.

Следствие 2. Если и Q+(-b2) – полуполе, aОQ+(-b2), то Q+(a + bi) – полуполе.

Теорема 2.3.2. Пусть – комплексный корень квадратного трехчлена f(x) неприводимого над Q. Тогда – полуполе в том и только том случае, когда f(x) имеет положительный действительный корень.

Доказательство. Пусть удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней. Тогда , где D – дискриминант минимального соотношения.

Рассмотрим минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет вид . Если b, c ≥ 0, то имеем многочлен из . Пусть многочлен имеет два отрицательных корня, тогда , . То есть . Если многочлен не имеет действительных корней, то

(*)

То есть, .

Рассмотрим .

При получаем многочлен из Q+[x]. Пусть . Введем обозначения:

, , ,

, , .

Тогда многочлен примет вид . Умножим его на , получим многочлен . Если , то это искомый многочлен иначе умножим его на .

Докажем, что, проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен из Q+. Докажем, что найдется такие k, что . При этом . Для начала найдем дискриминант уравнения .

То есть, дискриминант Dl+1 имеет тот же знак, что и Dl. Так как D0<0, то пользуясь методом математической индукции заключаем, что любой дискриминант Dl<0.

Рассмотрим неравенство , подставим , . Получим

.

То есть,

.

Зная, что заметим

.

Итак, для доказательства нам достаточно установить, что

.

То есть,

.

Пусть аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать неравенство

.

Тогда

.

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что

.

Используя оценку и деля на положительный элемент , получаем

.

Обозначим . Рассмотрим отображение , заданное по правилу . При , . Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку. Найдем ее: . Откуда . Заметим, что . Последовательность стремится к 4. То есть, нам достаточно установить, что , а это следует из (*). Итак, мы доказали, что . То есть, мы нашли такой многочлен, , что . Итак, мы доказали, что если удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней, то – поле. ■

Следствие 1. Если – мнимый корень квадратного трехчлена, то    поле.

Следствие 2. Любое простое расширение является полем , порожденным минимальным соотношением 2 степени.

Доказательство.

Заметим, что . Покажем, что для любого aОQ найдется такой квадратный многочлен , что - его корень многочлена. Для этого достаточно представить . Возьмем такой , что , тогда . Очевидно, . Таким образом, нам удалось найти многочлен из . То есть, - поле. ■

Рассмотрим последовательность действительных чисел :

(**)

Будем говорить, что последовательность задается числами p и q.

Лемма 2.3.3. Существует n, что .

Доказательство. Пусть . Покажем, что последовательность убывающая.

,

то есть .

Пусть , тогда

Так как , то

Пользуясь методом математической индукции, заключаем, что , то есть - убывающая.

Так как - монотонно убывающая и ограничена снизу 0, то существует . Тогда .

То есть, . Но тогда

,

,

что невозможно для . То есть, . ■

Лемма 2.3.4. Если , то существует , что .

Доказательство. Запишем а и b в виде десятичных дробей:

, Так как , то существует k, что и .

Тогда . Рассмотрим число .

То есть, . ■

Теорема 2.3.5. Если и , то

.

Доказательство. По лемме 2.3.3, . Пусть .

Если n=1, то . Рассмотрим .

То есть,

.

Так как . По лемме 2.3.4 . Тогда

.

Рассмотрим n > 1.

Пусть .

Покажем, что

Раскроем скобки и сгруппируем члены при xj.

То есть,

Заметим, что . Для существования , по лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий и , то есть, . Обозначим . Так как , то и . Для существования достаточно доказать существование и . То есть, . Обозначим . Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что . По лемме 2.3.4, существует, если и . Эти условия следуют из того, что и .

Таким образом, доказано существование

■

Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.

Доказательство. Пусть многочлен f-g не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида , где , последовательность (**), заданная числами p и q, содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида существует многочлен , что . Рассмотрим многочлен . так как и . Кроме того , а остальные множители многочлена имеют вид или . То есть, . Таким образом . По теореме 2.1.1, минимальный многочлен порождает поле. ■

Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Доказательство. Пусть a' – положительный корень минимального соотношения. Предположим, что – поле. Тогда существует многочлен f с положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит f(a')=0. Но . Значит a' – не является корнем многочлена f. То есть – полуполе. ■

2.4. Примеры

Рассмотрим . Оно удовлетворяет минимальному соотношению . По теореме 2.3.7, - полуполе. Аналогично доказывается, что – полуполе.

– полуполе. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 2.3.1.

Покажем, что – полуполе. Во-первых, заметим, что . Рассмотрим . По теореме 2.3.7,    полуполе. Тогда, по теореме 2.3.1, – полуполе. . То есть, – полуполе.

, минимальное соотношение которого имеет вид , есть полуполе. Действительно, многочлен имеет положительный корень, а значит - полуполе.

Теперь приведем примеры полей.

является полем, потому что его минимальный многочлен имеет вид .

Пусть удовлетворяет минимальному соотношению . Его минимальный многочлен делит . То есть, – поле. Несложно видеть, что . Итак, .

Пусть удовлетворяет минимальному соотношению . Тогда – поле.

Пусть , если , то – поле. Так как , то Если , то . Рассмотрим последовательность (**), порожденную p и q. . По теореме 2.3.7, – поле.

Литература

Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000

Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. – С. 11-20.

Ряттель А.В. Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.– Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.