Задание 1

Предприятию для изготовления наборов елочных украшений необходимо изготовить их составные части - шар, колокольчик, мишура. Эти данные представлены в таблице:

Наименование составных частей	Виды наборов
	1	2	3	4
Шар	5	6	8	10
Колокольчик	3	4	6	0
Мишура	0	3	5	8

В свою очередь для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в г), папье-маше (в г), фольга (в г), потребности в котором отражены в следующей таблице

Вид сырья	Составные элементы
	Шар	Колокольчик	Мишура
Стекло	5	0	0
Папье-маше	0	4	0
Фольга	3	0	75

Требуется:

1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1, x2, x3 и x4 штук;

2) провести подсчеты для значений x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4=200.

Решение: составим условия для определения числа деталей в зависимости от числа и вида наборов. Пусть n1, n2 и n3 - число шаров, колокольчиков и мишуры, соответственно.

Тогда условия будут выглядеть следующим образом:

n1 = 5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4

n2 = 3x1 + 4x2 + 6x3

n3 = 3x2 + 5x3 + 8x4

Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y1, y2 и y3 - потребности в стекле, папье-маше и фольге, соответственно:

y1 = 5n1

y2 = 4n2

y3 = 3n1 + 75n3

Теперь подставим вместо ni - полученные ранее равенства.

y1 = 5· (5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4) = 25x1 + 30x2 + 40x3 + 50x4

y2 = 4· (3x1 + 4x2 + 6x3) = 12x1 + 16x2 + 24x3

y3 = 3· (5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4) + 75· (3x2 + 5x3 + 8x4) = 15x1 + 243x2 + 399x3 + 630x4

Проведем подсчеты для значений

x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4=200.

y1 = 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300 + 50 * 200 = 46500 г.

y2 = 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300 = 19600 г.

y3 = 15 * 500 + 243 * 400 + 399 * 300 + 630 * 200 = 350400 г.

Задание 2

Пусть aij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).

,

Решение:

Составим систему уравнений:

Матричное уравнение выглядит следующим образом:

A · X = B

Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1

A-1 · A · X = A-1 · B; E · X = A-1 · B; X = A-1 · B

Найдем обратную матрицу A-1

Δ = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 * 5 * 11 - 15 * 9 * 8 - 6 * 5 * 1 - 12 * 10 * 11 = - 1017

;

=

X =· = =

Решим систему методом Крамера

Δ = - 1017

Δ1 = = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 * 8 - 238 * 5 * 1 - - 231 * 10 * 11 = - 9153

Δ2 = = 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 * 238 * 8 - 6 * 231 * 1 - 12 * 216 * 11 = - 7119

Δ3 = = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 * 231 - 6 * 5 * 216 - 12 * 10 * 238 = - 11187

x1 = Δ1/Δ = - 9153/ (- 1017) = 9

x2 = Δ2/Δ = - 7119/ (- 1017) = 7

x3 = Δ3/Δ = - 11187/ (- 1017) = 11

Решим систему методом Гаусса

=> => =>

=> => = >

Задание 3

Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:

Решение:

Задание 4

Задана функция спроса , где p1, p2 - цены на первый и второй товары соответственно. Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров. В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.

Решение: эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:

эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.

эластичность положительная, следовательно, второй товар - альтернативный.

Товары являются товарами заменителями, т.к рост цен на альтернативный товар приводит к росту спроса.

Задание 5

В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов.

Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую.

Проанализировав чертеж, сделайте выводы.

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Товарооборот, (тыс. р)	18	5,6	30,5	59,3	59,3	42	96,4	72,6	56,8	52	38,6	33

Решение:

Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.

Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):

По исходным данным рассчитываем Sх, Sу, Sух, Sх2, Sу2.

t	y	x	yx	x2	y2
1	18,0	1	18	1	324,00	33,662
2	5,6	2	11,2	4	31,36	36,089
3	30,5	3	91,5	9	930,25	38,516
4	59,3	4	237,2	16	3516,49	40,943
5	59,3	5	296,5	25	3516,49	43,37
6	42,0	6	252	36	1764,00	45,797
7	96,4	7	674,8	49	9292,96	48,224
8	72,6	8	580,8	64	5270,76	50,651
9	56,8	9	511,2	81	3226,24	53,078
10	52,0	10	520	100	2704,00	55,505
11	38,6	11	424,6	121	1489,96	57,932
12	33,0	12	396	144	1089,00	60,359
Итого	564,1	78	4013,8	650	33155,51	564,13

;

;

;

;

Уравнение регрессии:

= 31,235 + 2,427 · х

Рассчитаем по данному уравнению значения для и запишем их в дополнительный столбец исходных данных.

Найдем прогноз на полгода вперед:

= 31,235 + 2,427 * 18 = 74,921 тыс. руб.

Найдем прогноз на год вперед:

= 31,235 + 2,427 * 24 = 89,483 тыс. руб.

Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.

Задание 6

Исследовать на экстремум следующую функцию:

;

Решение:

Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов.

= 4x3 + 2xy2; 4x3 + 2xy2 = 0; 2x (2x2 + y2);

2x = 0 или (2x2 + y2) = 0; точка (0, 0)

= 4y3 + 2x2y; 4y3 + 2x2y = 0; 2y (x2 + 2y2);

2y = 0 или (x2 + 2y2) = 0; точка (0, 0)

Найдем вторые производные и их значения в точке (0; 0)

= 12x2 + 2y2; 12 * 02 + 2 * 02 = 0 = А

= 2xy; 2 * 0 * 0 = 0 = B

= 12y2 + 2x2; 12 * 02 + 2 * 02 = 0 = C

Δ = AC - B2 = 0

Следовательно, вопрос об экстремуме остается открытым.

Точка (0; 0) возможный экстремум функции.

Задача 7

Пусть функция полезности задана как

где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 21, В = 37.

Решение: полезность максимальна при равенстве первых производных:

= ; = ; = ; =

Ограничение стоимости задается неравенством 21x + 37y ≤ 140

Составим систему.

; ; ;

Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 2,14 ед. А и 2,57 ед.в.

Задание 8

Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q: и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.

и ,

Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:

D (Q) = S (Q); = ; ; - t2 - 6t + 300 = 0

t1 = - 25,12 и t2 = 16,72, t1 - не удовлетворяет условию

; Q = 279,56 ед.

При этом цена составит: Р = 6 * 16,72 = 100,32 ден. ед.

Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:

Sпотр = - 100,32 · 279,56 = - 28045,46 =

= 300 * 279,56 - 5/14 * 279,56 - 28045,46 = 55722,7

Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:

Sпроизв = 100,32 · 279,56 - = 28045,46 - =

= 28045,46 - 4 * 16,723 = 9348,6

Литература

Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

И.А. Зайцев. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1998.

Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.