Министерство Образования Российской Федерации

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

«Редуцированные полукольца»

Работу выполнил студент

математического факультета

\Подпись\ ____________

Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

.

\Подпись\ ____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук, профессор

.

\Подпись\ ____________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.

«___»________________

Декан факультета _______________.

«___»________________

Киров, 2003.

План.

Введение.

Основные понятия, леммы и предложения.

Доказательство основной теоремы.

1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и Ч называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

(S, +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

(S, Ч) - полугруппа с нейтральным элементом 1;

умножение дистрибутивно относительно сложения:

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc

для любых a, b, c О S;

0a = 0 = a0 для любого aО S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bОS выполняется a = b, как только a+ b= ab + ba.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

S слабо риккартово;

" a, bОS (D(a)ЗD(b)=ЖЮ =Ж);

все идеалы Op, PОSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

все идеалы OM, MО Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Н M Ю Op=OM для " PО Spec S и MО Max S;

каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

" a, bО S (ab = 0 Ю Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).

2.Основные понятия, леммы и предложения

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, bў, c О S выполняется

abc = abўc Ы acb = acbў.

Определение 4. Элемент aОS называется нильпотентным, если в последовательности a, a, a,…, a, … встретится нуль.

Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.

Доказательство: Пусть ab = abў. Тогда

baba = babўa и bўaba = bўabўa,

откуда

baba + bўabўa = babўa + bўaba

или иначе

(ba)+ (bўa)= babўa + bўaba.

В силу редуцированности ba = bўa, т.е.

ab = abў Ю ba = bўa. (1)

Аналогично доказывается ba = bўa Ю ab = abў.

Пусть ab = abў. Тогда с помощью (1) ba = bўa, откуда bac = bўac и acb = acbў. Значит, имеем:

ab = abў Ю acb = acbў, ba = bўa Ю bca = bўca. (2)

Пусть сейчас abc = abcў. Тогда

abc = abўc Ю acbc = acbўc Ю acbac = acbўac Ю acbacb = acbўacb и

acbacbў = acbўacbў Ю (acb)+ (acbў)= acbўacb + acbacbў Ю acb = acbў.

Таким же образом доказывается другая импликация.

Пусть a+ b= ab + ba влечёт a = b. При b = 0 получаем a= 0 Ю a = 0. Если с= 0 для некоторого натурального n > 2, то c= 0 для k О N с условием n Ј 2. Получаем, что c= 0, и так далее. На некотором шаге получим c= 0, откуда с = 0. Предложение доказано.

Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a, b, 1}, операции в котором заданы следующим образом:

+	a b 1
a b 1	a b 1 b b b 1 b 1
·	a b 1
a b 1	· a b 1 a b 1 a a a b b b a b 1

Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab, но aa № ba. Во-вторых, S – полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.

Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если AB Н P влечёт A Н P или B Н P для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым, если ab = 0 влечёт a О P или b О P для "a, b О S.

Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a, b О S \ P найдётся элемент s О S такой, что asb П P. Если S - коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, b П P влечёт ab П P.

Доказательство: Пусть P первичен и элементы a, b П P. Тогда главные идеалы (a) и (b) не лежат в P, как и их произведение. Значит, некоторый элемент t О aSb не принадлежит P, поскольку t = для некоторых u,v,wО S, то хотя бы для одного i О {1,…,k} a vb П P, ибо в противном случае каждое слагаемое uavbw лежит в P, и следовательно, t О P.

Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P, но A P. Тогда найдётся a О A \ P. Предположим, что B P. Получим, что некоторый элемент b О B \ P и по условию asb П P для подходящего s ОS. Но тогда и AB P, и следовательно, P - первичный идеал.

Утверждение для коммутативного случая очевидно.

Определение 7. Подмножество T полукольца называется m-системой, если 0 ПT, 1 ОT и для любых a, b О T найдётся такой s ОS, что asb О T.

Пример. Рассмотрим множество T = {a,a, a, … , a}, где n О N и a № 0. Оно является подмножеством полукольца Rнеотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0 П T, 1О T и для "a,aО T $с = 1ОS : aсa= aО T. Таким образом, T является m-системой.

Легко увидеть, что если P – первичный идеал, то S \ P является m-системой. И хотя дополнение до m-системы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.

Предложение 3. Пусть T - m-система, а J - произвольный идеал полукольца S, не пересекающийся с T. Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.

Доказательство: Пусть P К J, P З T = Ж и P - максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb Н P для некоторых a, b П P. Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P, и значит, пересекаются с T. Пусть m О (P + SaS) З T, r О (P + SbS) З T и msr О T для некоторого sОS. Но, с другой стороны,

msr О (P + SaS) Ч (P + SbS) Н P +SaSbS Н P.

Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSb О P неверно, и P - первичный идеал. Предложение доказано.

Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M Н A влечёт M = A или A = S для каждого идеала A.

Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.

Доказательство: Рассмотрим нулевой идеал J и не пересекающуюся с ним m-систему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет первичным.

Определение 9. Для любого a О S множество

Ann aS = {t О S: ("s О S) ast=0} называется аннулятором элемента a.

Ann aS является двусторонним идеалом полукольца S.

Ann a ={s О S: as = 0} - правый идеал и Ann aS Н Ann a.

Определение 10. Для любого идеала P множество Op = {s О S: ($tПP) sSt = 0} = {s О S: Ann sS P} называется O-компонентой идеала P.

Лемма 1. Op является идеалом для любого первичного идеала P.

Доказательство: Пусть a, b О Op. Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t, u П P. В силу первичности P tsu П P для подходящего s О S. Для любого v О S

(a + b)vtsu = (avt)su + b(vts)u = 0.

Далее, (as)vt = a(sv)t = 0, (sa)vt = s(avt) = s0 = 0, поэтому a + b, sa, as О Op, и Op - идеал.

Лемма 2. Пусть P Н M - первичные идеалы полукольца.

Тогда OM Н Op Н P.

Доказательство: Пусть a О OM, тогда aSt = 0 для некоторого t П M. Поскольку t П P, то a О Op, и значит, OM Н Op. Для любого s О S 0 = ast О P. Поскольку P первичен, то a О P или t О P, отсюда a О P, и следовательно, Op Н P.

Лемма 3. Для произвольных первичных идеалов P и Pў симметрического полукольца S верна импликация:

P З Pў не содержит первичных идеалов Ю Op Pў.

Доказательство: Предположим, что Op Н Pў. Полагая A = S \ P и B = S \ Pў, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из A И B. Покажем, что AB З Op = Ж. В самом деле, если s О AB З Op, то sb = 0 для некоторого b О A, т.е. {0} О AB. Поскольку s является произведением элементов из A И B, то в силу первичности идеалов P и Pў и свойства симметрических полуколец uv = 0 для подходящих u О B, v О A. Откуда u О Op Pў - противоречие.

Таким образом, AB является m-системой, и значит, существует первичный идеал Q, не пересекающийся с AB и содержащий Op. А так как A И B Н AB, то P З Pў К Q. Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и Op Pў.

Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и Pў в симметрическом полукольце, если Op Н Pў , то пересечение P и Pў содержит хотя бы один первичный идеал.

Определим множество (a, b) = {s О S: "xОS (axs = bxs)} - идеал полукольца S для "a, b О S.Очевидно, (a, 0) = Ann aS.

Для произвольного идеала A обозначим - пересечение первичных идеалов полукольца S, содержащие идеал A.

Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a, b О S выполняется

= (a, b).

Определение 12. Пересечение rad S всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S.

Определение 13. Полукольцо называется полупервичным, если его первичный радикал равен нулю.

Предложение 5. Полукольцо S полупервично тогда и только тогда, когда = Ann aS для всех a О S.

Доказательство: При a = 1 rad S = = Ann S = 0, т.е. S - полупервично.

Пусть S - полупервичное полукольцо и b О. Для каждого первичного идеала P, либо P содержит Ann aS, либо Ann aS не содержится в P. В первом случае b О P, во втором случае a О Op Н P. Тогда aSb rad S = 0, откуда b О Ann aS. Следовательно, Н Ann aS. Другое включение справедливо всегда.

Следствие 2. Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.

Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.

Доказательство: Пусть c П(a, b) для a, b О S. Тогда ac № bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcbc № acbc + bcac. Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac№ bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично ac№ bc, и следовательно, ac№ bc. По индукции ac № bc. Значит, T = {1, c, c,…} - m-система, не пересекающаяся с (a, b), и поэтому найдётся первичный идеал P, содержащий (a, b), при этом c О S \ P. Значит, c П, откуда Н (a, b). Другое включение справедливо всегда.

Получили = (a, b) Ю по определению 12 S - строго полупервично, что и требовалось доказать.

Обозначим через Spec S множество всех первичных идеалов полукольца S. Для любого идеала A полукольца S положим

D(A) = {P О Spec S: A P}.

Множество D({0}) = {P О Spec S: {0}P} = Ж, а Spec S = D(S).

D(A) З D(B) = { P О Spec S: A P Щ B P} = { P О Spec S : AB P} = D(AB).

Spec S является топологическим пространством с семейством открытых множеств вида D(A).

Лемма 4. Для любого идеала A полупервичного полукольца S

= {P О Spec S: Ann A Н P}.

Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если P О D(A), т.е. A P, то Ann A Н P, т.е. P О Y. Откуда Н Y, ибо Y замкнуто.

Обратно, пусть P П. Тогда P лежит в некоторой окрестности D(B), где B - некоторый идеал в S, не пересекающийся с.

D(A) З D(B) = Ж, тогда AB Н rad S = 0, т.е. B Н Ann A.

Тогда P не содержит Ann A , иначе P содержал бы B . Следовательно, P П Y . Получили Y Н .

Лемма 5. Пусть P - первичный идеал редуцированного полукольца S. Тогда P = Op Ы P - минимальный первичный идеал.

Доказательство: Пусть P = Op , P ўО Spec S и P ў Н P. Тогда Op Н OPў Н P ў. Поэтому P ў= P, и P минимален.

Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S. Предположим, что существует a ОP \ Op. Степени элемента a образуют m-систему (0 П{a}, 1О{a} и для "a,aО{ a} $с = 1ОS : aсa= aО{ a}),не пересекающуюся с Op. Действительно, если aО Op , n О N, то ab = 0 для некоторого b ОS \ P. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то есть a О Op ;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ў Op, не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в P З P ў,что противоречит минимальности P. Значит, P Н Op. Также Op Н P (Лемма 2). Тогда P = Op.

Лемма 6. Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.

Доказательство: В самом деле, если a, b О S \ P, то asb П P для подходящего s О S, откуда asb № 0 и ab № 0.

Определение 14. S – слабо риккартово Ы "a О S "b О Ann aS

Ann aS + Ann b = S

Пример. Обозначим через N – полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0О N. Тогда Ann aS = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = N. Теперь возьмём a О N \ {0}. Тогда Ann aS = {0}, а Ann b = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = {0} + N = N . Таким образом, N – слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.

3. Доказательство основной теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

S слабо риккартово;

" a, bОS (D(a)ЗD(b)=ЖЮ =Ж);

все идеалы Op, PОSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

все идеалы OM, MО Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Н M Ю Op=OM для " PО Spec S и MО Max S;

каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

" a, bО S (ab = 0 Ю Ann a + Ann b = S);

Доказательство: Пусть S - редуцированное полукольцо. Такое S - симметрическое (по предложению 1), поэтому S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Ю3)Ю4)Ю5)Ю6)Ю1) и 2)Ы6).

1)Ю3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал Op вполне первичен. Пусть P О Spec S и ab ОOp при a, b О S.

Тогда $ сОS \ P: abSc = 0,т.е. absc = 0 для " s О S.

Возьмём s = 1 Ю abc = 0 Ю bc О Ann aS (по определению Ann aS). Но Ann aS Н Ann a . Тогда bc ОAnn a. По условию 1) S - слабо риккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S для a ОS, bc О Ann aS.

$ e ОAnn aS, f ОAnn bc: e + f = 1 (1ОS).

Предположим, что a ПOp Ю Ann aS Н P (по определению Ann aS) Ю e ОP.

Тогда f ПP, т.к. в противном случае 1ОP. Но P - первичный идеал Ю P - собственный Ю 1ПP.

f ОAnn bc Ю bcf = 0. Т.к. S - симметрическое Ю bScf = 0. Но cf ПP (т.к. c ПP, f ПP , а P - первичный идеал) Ю b О Op .

Таким образом, получили, что все идеалы Op , P О Spec S, вполне первичны.

3)Ю4). По условию 3 все идеалы Op , где P О Spec S, первичны. Но M О Max S – является первичным идеалом (предложение 4), т.е. M О Spec S. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы OM , где M О Spec S и M О Max S, первичны.

Пусть P Н M. Тогда OM Н Op (лемма 2).

Если a О Op , т.е. ab = 0 при некотором b ОS \ P и s = 1ОS, то a ОOM , ибо b ПOM Н P, а ab = 0 ОOM и OM псевдопрост (доказано выше). Значит и Op Н OM . Тогда Op = OM .

4)Ю5). Пусть P – первичный идеал из S и P Н M. По условию 4) данной теоремы OM – первичный идеал и так как P Н M Ю Op = OM . Также Op Н P (Лемма 2). Докажем, что OM – минимальный первичный идеал в S, лежащий в P. Пусть в P лежит Q - минимальный первичный идеал полукольца S. Но Q Н M Ю OM Н OQ Н Q. По условию 4) данной теоремы OM = OQ. . Так как Q – минимальный первичный идеал Ю OQ = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что Op = OM =Q.

Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P ў - произвольный минимальный первичный идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда OPў = OM (по условию 4)). Также OPў = P ў .

Тогда получили равенство Q = OQ = OM = OPў = P ў . Единственность доказана.

Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M ОMax S, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.

5)Ю6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b № S для некоторых a, b ОS.

Тогда Ann a + Ann b Н M для подходящего M О Max S.

Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P, содержащийся в M. Тогда OM Н P (Лемма 2). Предположим, что $a О P \ OM . Степени элемента a образуют m-систему (0 П{a}, 1О{a} и для "a,aО{ a} $с = 1ОS: aсa= aО{ a}),не пересекающуюся с OM. Действительно, если aО OM, n О N, то ab = 0 для некоторого b ОS \ M. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть a ОOM ; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ў OM, не содержащий a, который будет первичным.

Пусть q, w О S \ P и q, w О S \ P ў. Тогда $s О S: qsw П P Ю qsw П P З P ў Ю P З P ў -первичный идеал, что противоречит минимальности P. Значит P Н OM и P = OM. Первичный идеал OM псевдопрост, поэтому aОOM или b ОOM. Откуда по определению нуль-компонент Ann a M Ъ Ann bM Ю Ann a + Ann b M Ю противоречие Ю Ann a + Ann b = S.

6)Ю1). Возьмём "a, b ОS: ab = 0 Ю b О Ann aS.

Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:

Ann a + Ann b = S. Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a, то Ann aS + Ann b = S. Таким образом, полукольцо S-слабо риккартово, что и требовалось доказать.

2)Ы6). Пусть a, b О S и ab = 0. D(a) З D(b) = {PОSpec S: aПP Щ bПP} = { PОSpec S: ab П P} (в силу первичности) = D(ab) = D(0) = Ж.

Обратно, D(a) З D(b) ={PОSpec S: aПP Щ bПP} ={PОSpec S: ab П P}=D(ab) =Ж Ю ab = 0, так как D(x) = Ж Ы x = 0.

Таким образом, ab = 0 Ы D(a) З D(b) = Ж.

Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы

= {SОSpec S: Ann aНP Щ Ann bНP} = Ж.

Тогда Ann a + Ann b M для " M О Max S Н Spec S Ю Ann a + Ann b = S.

В другую сторону, пусть Ann a + Ann b = S Ю Ann aM Ъ Ann bM для подходящего M О Max S Н Spec S.

Тогда = {S О Spec S: Ann a НP Щ Ann b НP} = Ж. Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.

Теорема доказана полностью.

Cвойство:

Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a, b полукольца S выполняется импликация:

ab = 0 и a + b О A Ю a О A.

Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b, что ab = 0 и a + b ОA. Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Ann a + Ann b = S, то есть c + k = 1 при некоторых c ОAnn a и k ОAnn b.

c О Ann a Ю ac = 0 (по определению аннулятора).

k О Ann b Ю bk = 0.

a = aЧ1 + 0 = aЧ(c + k) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b)Чk = (a + b)Чk ОA.

Получили a ОA, что и нужно было доказать.

Литература.

Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.

В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - 131 с.