Сибирский государственный университет путей сообщения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Домашнее задание по дисциплине «Математическое моделирование»

Задачи №1, №2

Разработал: студент гр. М-511

Ревнивцев

2008

Задача№1

 

В тупике железнодорожного пути установлен буфер (рисунок 1), имеющий упругий элемент с нелинейной жесткостью, восстанавливающая сила которого изменяется по закону

.

1 – вагон; 2 – буфер; 3 – демпфер

Рисунок 1 – Схема к решения задачи.

В направлении тупика движется вагон массой m и скоростью X. При столкновении вагона с упругим элементом, последний смещается на величину X1. В задаче также приняты следующие допущения: 1) масса буфера мала по сравнению с массой вагона; 2) после удара контакт между этими объектами сохраняется.

Восстанавливающая сила (закон изменения):

 (1)

В задаче требуется определить:

- максимальное перемещение буфера;

- максимальное значение восстанавливающей силы;

- время, за которое восстанавливающая сила достигнет максимального значения.

На данную систему (рисунок 1) действуют силы: сила инерции движущегося вагона; сила демпфирования (или сила вязкого трения), пропорциональная скорости движения вагона; а также восстанавливающая сила упругого элемента-демпфера.

Сила инерции:

 , (2)

Сила демпфирования:

, (3)

Сила упругости:

 (4)

Для решения поставленной задачи следует решить обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида:

 (5)

Заменим уравнение (5) системой уравнений первого порядка, для этого введем новую неизвестную функцию  и перепишем исходное уравнение, представив его в виде системы из двух уравнений:

 (6)

Решение проводим в системе MathCad с построением графических зависимостей: 1) скорости движения вагона от времени; 2) перемещения буфера от времени; 3) восстанавливающей силы от времени. Неизвестные выше исходные данные записываются непосредственно в программе.

Исходное уравнение имеет вид:

 , (7)

где  - коэффициент демпфирования, ;

 - масса вагона, кг;

- жесткость упругого элемента, Н/м;

 - численный коэффициент, ;

 - скорость вагона при подходе к тупику, м/с;

Начальные условия:

 (8)

Уравнение (8) решается в системе MathCad посредствам встроенной функцией – rkfixed:

Z:= rkfixed (y, 0, t, n. D) (9)

где Z – вектор неизвестных;

y – вектор начальных условий;

0 и t – интервал, на котором ищется решение;

n – количество точек на интервале.