ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

ОПТИМИЗАЦИИ ОБСЛУЖИВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

 

Реферат

Особый круг задач в теории обслуживания сложных систем составляют задачи, в которых предполагается наличие неполной информации о надежности систем. Эти задачи чаше всего встречаются на практике, особенно на начальном периоде эксплуатации систем. Их специфика потребовала разработки специальных прикладных математичес­ких методов исследования, близких к теории игр и основанных на минимаксных подходах. Эти методы позволяют проследить за количественным улучшением показателей обслуживания по мере уменьшения степени неполноты используемой информации о надежности системы. В данной учебно-исследовательской работе рассматривается нахождение времени плановой предупредительной профилактики и оптимальных значений характеристик на примере чётырёх стратегий обслуживания систем.

Содержание

 

1                   Введение………………………………………………..…….…….4

2                   Основная часть……………………………......................................5

                               Математическая модель………………………....…..…………..5

                               Стратегия A………….………………………….......................…6

2.2  Стратегия В……………………...……………………………......…10

2.3  Стратегия С…………………………………………...……..…...….17

2.3  Стратегия D…………………………………...……………..…...….26

3        Заключение………………………………………………………..…34

4                   Список использованных источников………………..………..…35

Приложения А……………………..……….....………………………....36

Приложения Б …………………..….……................................................42

Приложения В ……………......................................................................46

Введение

В практике эксплуатации технических систем часто возникают ситуации, при которых невозможно собрать достаточно статистических данных об их отказах, неисправностях или предпосылках к появлению отказов или неисправностей. Это, например, имеет место, если эксплуатируется новая система, или в тех случаях, когда существующими методами контроля и диагностики не удается обнаружить возникновение некоторых неисправностей или предпосылок к неисправностям или отказам. Возникает задача такой организации проверок, при которой с заданной уверенностью (вероятностью обнаружения отказа при проверке, если он возник до начала ее проведения) будут обнаружены возникшие в системе отказы, а время пребывания систе­мы в состоянии отказа (неисправности, предпосылки к неисправно­сти или отказу) в среднем наименьшее. При этом естественно предпо­ложить, что такие модели проверок разные в зависимости от имеющей­ся информации о надежности системы и тем лучше (в смысле получения выигрыша по критерию стоимости или готовности, причем готовность характеризуется средним временем пребывания системы в состоянии отказа), чем большая информация имеется о надежности системы.

На практике при большом числе однотипных систем, находящихся в эксплуатации, организация проверок каждой из них в расчетное оптимальное время при ограничениях на средства контроля и количество обслуживающего персонала, что часто имеет место, встречает большие трудности. Поэтому необходимо, с одной стороны, автоматизировать процесс выдачи рекомендаций о проведе­нии проверок, а с другой — организовать процедуру проверок так, чтобы проверки проводились в расчетное время с наименьшими потерями, связанными с простоями персонала и средств обслуживания, пере­мещениями средств обслуживания или их коммутацией и т.д.

2 Основная часть

 

2.1 Математическая модель

 

B создании технических систем возникает проблема разработки некоторой стратегии технического обслуживания, которая позволила бы получить от эксплуатации системы максимально возможный эффект. Поэтому задачи профилактики ставятся как задачи экстремальные и их можно назвать оптимальными задачами, надежности. Обычно при постановке задачи профилактики предполагают заданными характеристики надежности системы: функцию распределения времени безотказной работы системы F(x) или отдельных ее частей и функцию распределения времени самостоятельного проявления отказа Ф(х) и характеристики ремонтопригодности: функции распределения времен различных восстановительных работ, которые можно проводить в системе. Эти характеристики, а также правило (стратегия), в соответствии с которым назначаются сроки проведения восстановительных работ, определяют состояния системы и эволюцию этих состояний во времени.

Будем считать, что множество Е возможных состояний системы является конечным Е = {E₁,E₂,…,E_n}. В таком случае траектории процесса x(t), описывающего эволюцию состояний системы во времени, являются ступенчатыми функциями. На траекториях этого случайного процесса определим функционал, который при фиксированных характеристиках надежности будет ха­рактеризовать стратегию обслуживания исследуемой системы. За конечный отрезок времени [0,t] траектория процесса x(t) задается количеством переходов т, моментами переходов t₀ = 0<t₁<t₂<…<t_m≤t и набором состояний Е = {E₁,E₂,…,E_n} в которых процесс находится между моментами перехода.

Обычно при постановке задачи выбора оптимальной стратегии обслуживания технической системы предполагают, что полностью известны ее характеристики. Од­нако функция распределения времени безотказной работы F(y), как правило, определяется статистически и известна лишь в отдельных точках. Поэтому при постановке задачи более естественным является предположение о том, что функция F(y) принадлежит классу Ω(n,y,р) функций распределения, которые в заданных точках y = (y₀=0,y₁,y₂,…,y_n) принимают заданные значения р = (р₀=0, р₁, р₂,…, р_n).

Рассмотрим 2 метода определения оптимальных характеристик стратегий обслуживания сложных систем: расчёт характеристик с помощью, заранее известной функции распределения времени безотказной работы системы F(y); расчёт с помощью статистических данных, полученных в результате работы системы в течение некоторого времени.

2.2 Стратегия A.

Стратегия А - полное восстановление системы проводится только после самостоятельного проявления отказа.

Система, новая в момент t =0, работает до отказа в течение времени о, распределенного но закону F(x). Далее от момента t=о до момента проявления отказа t = о+Ј , в течение случайного вре­мени Ј, распределенного по закону Ф(х), простаивает в неработоспособном состоянии (скрытый отказ). В случайный момент проявления отказа начинается внеплановый аварийно-профилактический ремонт, который длится случайное время y(M_y=T_ап) и после которого система полностью обновляется. После окончания ремонта весь процесс функционирования системы и ее обслуживания повторяется.

Постановка задачи. Определим случайный процесс x(t), характеризующий состояние исследуемой системы. Пусть z ≥ 0, тогда

· E₀, если в момент t система работоспособна и до отказа проработает время, большее или равное z;

· E₁, если в момент t система работоспособна и до отказа проработает время, меньшее z;

· E₂, если в момент t в системе имеется скрытый отказ;

· E₃, если в  момент t система ремонтируется (внеплановый аварийно-профилактический ремонт).

Рисунок 1 – Диаграмма переходов процесса x(t) (Стратегия А)

Расчёт по статистическим данным :

Исходные данные для расчета :

·                   вектор y = (y₀=0,y₁,y₂,…,y_n) и вектор р = (р₀=0, р₁, р₂,…, р_n);

·        средняя длительность плановой предупредитель­ной профилактики Т_pp;

·        средняя длительность внепланового аварийно-профилактического ремонта Т_ap;

·        потери за единицу времени при проведении пла­новой предупредительной профилактики С_pp ;

·        потери за единицу времени при проведении вне­планового  аварийно-профилактического  ремонта С_ap;

·        прибыль C0 , получаемая за единицу времени без­отказной работы системы;

·        оперативное время Z работы системы, необходи­мое для выполнения задачи.

·                   Коэффициент готовности.

                                                        (1.1)

·                                                                                                Вероятность выполнения задачи.

                                                      (1.2)

·                   Средние удельные потери.

                                                                   (1.3)

·        Средняя удельная прибыль.

                                      (1.4)

Расчёт по функции распределения времени безотказной работы системы :

·                   Функция распределения времени безотказной работы системы F(t);

·                   средняя длительность плановой предупредительной профилактики Т_pp;

·                   средняя длительность внепланового аварийно-профилактического ремонта Т_ap;

·                   потери за единицу времени при проведении плановой предупредительной профилактики С_pp ;

·                   потери за единицу времени при проведении вне­планового  аварийно-профилактического  ремонта С_ap;

·                   прибыль C0 , получаемая за единицу времени без­отказной работы системы;

·                   оперативное время Z работы системы, необходи­мое для выполнения задачи.

·              Коэффициент готовности :

                                                                                 (1.5)

·                   Средние удельные затраты :

                                                                                    (1.6)

·                   Средняя удельная прибыль :

                                                                                          (1.7)

·                   Вероятность выполнения задачи :

                                                                              (1.8)

Результаты вычислений представлены в таблицах 1.1 и 1.2.

Таблица №1.1 - Расчёт по функции распределения.