IX математический симпозиум.

Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел.

г. Волжский.

05-11 октября 2008 года.

Белотелов В.А.

Нижегородская обл.

г. Заволжье

vbelotelov@mail. ru

Простые числа? – Это просто!?

Узнав о важной роли простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании и о том, что нужна закономерность распределения ПЧ в ряду натуральных чисел, не являясь математиком, всё же рискнул заняться решением этой задачи. Результат ниже.

Для начала выписал ряд ПЧ. Конечно же, это было сделано с целью заметить, хоть какую бы, закономерность. С этой же целью были вычислены разности между соседними числами ряда ПЧ. Было замечено, что иногда появлялась последовательность разностей 6-4-2-4-2-4-6-2. Там, где эта последовательность нарушалась, были введены составныё числа (СЧ). Результат представлен в таблице 1, СЧ в которой подчёркнуты. Числа 2, 3, 5, являясь ПЧ, из рассмотрения всё же были убраны. Это первое исключение из правил. Вторая вольность заключалась введением в рассмотрение числа 1, зная, что единица не является простым числом.

Целью же было найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом уже найти закономерность среди ПЧ. Стратегия поиска закономерности ПЧ заключалась в следующей логической формуле:

(закономерность ПЧ+СЧ) – (закономерность СЧ) = закономерность ПЧ.

Из ПЧ + СЧ, представленных в таблице 1, была составлена система из восьми арифметических прогрессий. Результат представлен в таблице 2.

Разности всех восьми прогрессий равны 30 и их первые члены равны соответственно 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, а сами ряды обозначены через R1, R7,R11, R13, R17, R19, R23, R29. СЧ, как и в таблице 1, подчёркнуты и сверху расписаны в виде произведений двух чисел. Можно сформулировать правило, по которому в любой из восьми арифметических прогрессий распределены СЧ.

Если в арифметической прогрессии, какой – либо член an можно представить в виде двух сомножителей fxp, то последующие члены этой прогрессии an+mf являются произведением fx(p+md), а члены an+kp произведением px(f+kd), где m и k любые натуральные

числа, а d – разность этой прогрессии.

Данное правило не нуждается в доказательстве, т. к. фактически следует из определения арифметической прогрессии. Но для обеспечения закономерности ПЧ имеет большое значение. Во - первых, оно запрещает поиск рядов ПЧ, подчиняющихся одной арифметической прогрессии, т. к. любое простое число an можно представить в виде anх1, и тогда в любом ряде через число членов an, появляется составное число anх(1+d).

Во – вторых, в любой арифметической прогрессии появление дополнительных составных чисел возможно только в сочетании с разностью именно этой прогрессии.

Это правило можно сформулировать для любого числа сомножителей, но в данном случае интерес представляет число сомножителей равное двум.

В качестве примера рассмотрим в ряде R1 четвёртый член равный 91=7х13. Ближайшим членом в ряде R1 кратным семи является число 301, отстоящее от числа 91 на семь номеров, соответственно, число 301 принадлежит ряду СЧ. Число 301 является произведением 7х43 (301=7х43), и с номера этого числа равного 11, каждое сорок третье число, тоже делится на 43 и, соответственно, принадлежит к ряду СЧ. Дальше это можно не описывать, т. к. это хорошо видно в таблице 2.

Расписав таблицу 2 в виде математических символов, удалось получить систему из восьми формул, расписанных в виде разности сумм, см. таблицу 3. Во всех восьми формулах системы, члены с рядами двойных сумм служат фильтрами, удаляющими СЧ из ряда ПЧ+СЧ, и задают работу фильтров в виде матриц.

В таблице 4 изображено распределение номеров СЧ в ряде R1, определяемых вторым членом формулы. Это матрица, в которой и по столбцам и по строкам арифметические прогрессии.

В формулах индексы и обозначают столбцы и строки подобных матриц, сами же и дополнительными индексами не отягощаю. Без и описать работу матриц не смог, а формальная фраза, что в выражениипод суммой произведений подразумеваются всевозможные их комбинации в зависимости от значений a1 и с1, будет неверна. Ибо все члены с номерами при >1 и >1 из формулы выпадают.

Система формул арифметических прогрессий, позволяющая вычислять ПЧ, получилась достаточно громоздкой, но закономерность обозначена.

Данная статья была подготовлена для публикации в научном журнале с математическим уклоном. Пока шёл поиск данного журнала, путём несложных умозаключений, была составлена система рядов арифметических прогрессий с разностью 10. Результат в таблице 5 и 6. Всё было расписано по образцу и подобию предыдущего материала. В таблице 7 изображена матрица для номеров второго члена формулы 1 таблицы 6.

Не начав переписывать статью заново, в связи с открытием новой системы уравнений, опять же путём размышлений, были расписаны арифметические прогрессии с разностью 2 и 1, т.е. при разности единица ПЧ были напрямую увязаны с натуральным рядом. Результат в таблице 8 и 9.

Всё расписано, как и в случаях с системами уравнений арифметических прогрессий разностей 30 и 10. И после этого наступил момент истины.

Оказалось, что подобных уравнений можно составить бесконечное множество. Навскидку – это арифметические прогрессии с разностью 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60, и т.д. Даже в перечисленном до разности 60 указаны не все.

Обобщающий вывод:

ПЧ можно представить комбинацией арифметических прогрессий. Таких комбинаций бесконечное множество. Но каждая из комбинаций систем арифметических прогрессий позволяет только единственное представление ПЧ при заданной разности прогрессий задающий ряды ПЧ+СЧ.

1		7		11		13		17		19		23		29		31		37		41		43		47		49		53		59
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
61		67		71		73		77		79		83		89		91		97		101		103		107		109		113		119
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
121		127		131		133		137		139		143		149		151		157		161		163		167		169		173		179
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
181		187		191		193		197		199		203		209		211		217		221		223		227		229		233		239
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
241		247		251		253		257		259		263		269		271		277		281		283		287		289		293		299
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
301		307		311		313		317		319		323		329		331		337		341		343		347		349		353		359
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
361		367		371		373		377		379		383		389		391		397		401		403		407		409		413		419
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
421		427		431		433		437		439		443		449		451		457		461		463		467		469		473		479
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
481		487		491		493		497		499		503		509		511		517		521		523		527		529		533		539
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
541		547		551		553		557		559		563		569		571		577		581		583		587		589		593		599
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
601		607		611		613		617		619		623		629		631		637		641		643		647		649		653		659
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
661		667		671		673		677		679		683		689		691		697		701		703		707		709		713		719
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
721		727		731		733		737		739		743		749		751		757		761		763		767		769		773		779
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2

			7х13	11х11						7х43		19х19	17х23		11х41	13х37	7х73
1	31	61	91	121	151	181	211	241	271	301	331	361	391	421	451	481	511	541	571
						11х17	7х31	13х19						7х61			11х47
7	37	67	97	127	157	187	217	247	277	307	337	367	397	427	457	487	517	547	577
					7х23		13х17				11х31	7х53						19х29	7х83
11	41	71	101	131	161	191	221	251	281	311	341	371	401	431	461	491	521	551	581
				7х19				11х23			7х49		13х31			17х29		7х79	11х53
13	43	73	103	133	163	193	223	253	283	313	343	373	403	433	463	493	523	553	583
		7х11							7х41			13х29	11х37	19х23		7х71	17х31
17	47	77	107	137	167	197	227	257	287	317	347	377	407	437	467	497	527	557	587
	7х7				13х13			7х37	17х17	11х29					7х67		23х23	13х43	19х31
19	49	79	109	139	169	199	229	259	289	319	349	379	409	439	469	499	529	559	589
				11х13		7х29				17х19			7х59		11х43		13х41
23	53	83	113	143	173	203	233	263	293	323	353	383	413	443	473	503	533	563	593
			7х17			11х19			13х23	7х47							11х49 7х77
29	59	89	119	149	179	209	239	269	299	329	359	389	419	449	479	509	539	569	599

				7х103		11х71		29х29	13х67	17х53	19х49 7х133	31х31				23х47	11х101	7х163
601	631	661	691	721	751	781	811	841	871	901	931	961	991	1021	1051	1081	1111	1141	1171
	13х49 7х91	23х29	17х41				19х43	11х77 7х121						13х79	7х151			31х37	11х107
607	637	667	697	727	757	787	817	847	877	907	937	967	997	1027	1057	1087	1117	1147	1177
13х47		11х61		17х43		7х113		23х37					13х77 11х91 7х143				19х59
611	641	671	701	731	761	791	821	851	881	911	941	971	1001	1031	1061	1091	1121	1151	1181
			19х37		7х109	13х61				11х83	23х41	7х139	17х59						13х91 7х169
613	643	673	703	733	763	793	823	853	883	913	943	973	1003	1033	1063	1093	1123	1153	1183
			7х101	11х67	13х59					7х131			19х53	17х61	11х97		23х49 7х161	13х89
617	647	677	707	737	767	797	827	857	887	917	947	977	1007	1037	1067	1097	1127	1157	1187
	11х59	7х97				17х47			7х127		13х73	11х89				7х157		19х61	29х41
619	649	679	709	739	769	799	829	859	889	919	949	979	1009	1039	1069	1099	1129	1159	1189
7х89			23х31			11х73	17х49 7х119		19х47	13х71				7х149	29х37		11х103
623	653	683	713	743	773	803	833	863	893	923	953	983	1013	1043	1073	1103	1133	1163	1193
17х37		13х53		7х107	19х41			11х79	29х31		7х137	23х43			13х83		17х67	7х167	11х109
629	659	689	719	749	779	809	839	869	899	929	959	989	1019	1049	1079	1109	1139	1169	1199

4	+7	11	+7	18	+7	25	+7	32		39		46		53		60		67	…
+13		+43		+73		+103		+133		+163		+193		+223		+253		+283
17	+37	54	+37	91	+37	128		165		202		239		276		313		350	…
		+43		+73		+103
30	+67	97	+67	164	+67	231		298		365		432		499		566		633	…
+13		+43		+73		+103
43	+97	140	+97	237	+97	334		431		528		625		722		819		916	…
56	+127	183		310		437		564		691		818		945		1072		1199	…
69	+157	226		383		540		697		854		1011		1168		1325		1482	…
82	+187	269		456		643		830		1017		1204		1391		1578		1765	…
95	+217	312		529		746		963		1180		1397		1614		1831		2048	…
108	+247	355		602		849		1096		1343		1590		1837		2084		2331	…
121	+277	398		675		952		1229		1506		1783		2060		2337		2614	…
…		…		…		…		…		…		…		…		…		…

		3х7			3х17			9х9 3х27	7х13		3х37	11х11		3х47		7х23	9х19 3х57			3х67
1	11	21	31	41	51	61	71	81	91	101	111	121	131	141	151	161	171	181	191	201
			3х11			7х9 3х21			3х31			3х41	7х19	11х13	9х17 3х51			3х61		7х29
3	13	23	33	43	53	63	73	83	93	103	113	123	133	143	153	163	173	183	193	203
		3х9			3х19		7х11	3х29			9х13 3х39			7х21 3х49			3х59	11х17		9х23 3х69
7	17	27	37	47	57	67	77	87	97	107	117	127	137	147	157	167	177	187	197	207
3х3			3х13	7х7		3х23			9х11 3х33		7х17	3х43			3х53	13х13		9х21 7х27 3х63		11х19
9	19	29	39	49	59	69	79	89	99	109	119	129	139	149	159	169	179	189	199	209

	13х17	11х21 7х33 3х77			9х29 3х87			3х97	7х43		3х107		11х31	9х39 13х27 3х117	19х19	7х53	3х127	17х23
211	221	231	241	251	261	271	281	291	301	311	321	331	341	351	361	371	381	391
9х27 3х71			9х27 3х81	11х23		7х39 3х91			3х101		17х19	9х37 3х111	7х49		11х33 3х121			3х131
213	223	233	243	253	263	273	283	293	303	313	323	333	343	353	363	373	383	393
9х27 11х27 9х33 7х31		3х79	13х19		3х89		7х41	11х27 9х33 3х99			3х109			17х21 7х51 3х119		13х29	9х43 3х129
217	227	237	247	257	267	277	287	297	307	317	327	337	347	357	367	377	387	397
9х27 3х73			3х83	7х37		9х31 3х93	17х17	13х23	3х103	11х29	7х47	19х21 3х113			9х41 3х123			7х57 3х133
219	229	239	249	259	269	279	289	299	309	319	329	339	349	359	369	379	389	399

	3х137			9х49 21х21 7х63 3х147	11х41		3х157	13х37		3х167	7х73		9х59 3х177		19х29	11х51 17х33 3х187		7х83
401	411	421	431	441	451	461	471	481	491	501	511	521	531	541	551	561	571	581
	7х59	9х47 3х141			3х151		11х43	7х69 21х23 3х161	17х29		19х27 9х57 3х171			3х181	7х79		3х191	11х53
403	413	423	433	443	453	463	473	483	493	503	513	523	533	543	553	563	573	583
7х81 9х63 11х37	3х139	7х61	19х23	3х149			9х53 3х159		7х71	3х169	11х47	17х31	3х179			7х81 9х63 3х189
407	417	427	437	447	457	467	477	487	497	507	517	527	537	547	557	567	577	587
		11х39 3х143			9х51 17х27 3х153	7х67		3х163			3х173	23х23	11х49 7х77	9х61 3х183			3х193	19х31
409	419	429	439	449	459	469	479	489	499	509	519	529	539	549	559	569	579	589

3	+3	6	+3	9	+3	12	+3	15		18		21		24		27		30	…
+7		+17		+27		+37		+47		+57		+67		+77		+87		+97
10	+13	23	+13	36	+13	49		62		75		88		101		114		127	…
		+17		+27		+37		+47
17	+23	40	+23	63	+23	86		109		132		155		178		201		224	…
+7		+17		+27		+37		+47
24	+33	57	+33	90	+33	123		156		189		222		255		288		321	…
31	+43	74		117		160		203		246		289		332		375		418	…
38	+53	91		144		197		250		303		356		409		462		515	…
45	+63	108		171		234		297		360		423		486		549		612	…
52	+73	125		198		271		344		417		490		563		636		709	…
59	+83	142		225		308		391		474		557		640		723		806	…
66	+93	159		252		345		438		531		624		717		810		903	…
…		…		…		…		…		…		…		…		…		…

3х3

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61 …

5	+3	8	+3	11	+3	14	+3	17	+3	20	+3	23	+3	26	+3	29	…
+3		+5		+7		+9		+11		+13		+15		+17		+19
8	+5	13		18		23		28		33		38		43		48	…
11	+7	18		25		32		39		46		53		60		67	…
+3
14	+9	23		32		41		50		59		68		77		86	…
17	+11	28		39		50		61		72		83		94		105	…
+3
20	+13	33		46		59		72		85		98		111		124	…
+3
23	+15	38		53		68		83		98		113		128		143	…
+3
26	+17	43		60		77		94		111		128		145		162	…
+3
29	+19	48		67		86		105		124		143		162		181	…
…		…		…		…		…		…		…		…		…

2х2

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32,

33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 ,45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56. 57, 58, 59, 60, 61 …

4	+2	6	+2	8	+2	10	+2	12	+2	14	+2	16	+2	18	…
+2		+3		+4		+5		+6		+7		+8		+9
6	+3	9	+3	12	+3	15	+3	18	+3	21	+3	24	+3	27	…
8	+4	12		16		20		24		28		32		36	…
+2
10	+5	15		20		25		30		35		40		45	…
12	+6	18		24		30		36		42		48		54	…
+2
14	+7	21		28		35		42		49		56		63	…
+2
16	+8	24		32		40		48		56		64		72	…
+2
18	+9	27		36		45		54		63		72		81	…
…		…		…		…		…		…		…		…

5х5 7х7 5х11 5х17 7х13 5х23 11х11 7х19 5х29

1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97, 103, 109, 115, 121, 127, 133, 139, 145,

5х7 5х13 7х11 5х19 7х17 5х25

5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71 , 77, 83, 89, 95, 101, 107, 113, 119, 125, 131, 137, 143. 149 …

5	+5	10	+5	15	+5	20	+5	25	…
+5		+11		+17		+23		+29
10	+11	21	+11	32	+11	43	+11	54	…
+5		+11
15	+17	32		49		66		83	…
+5		+11
20	+23	43		66		89		112	…
+5		+11
25	+29	54		83		112		141	…
…		…		…		…		…

Закономерность распределения простых чисел (дополнение).

Белотелов В.А.

Нижегородская обл.

г. Заволжье

vbelotelov@mail. ru

Там где даны в качестве примера разности арифметических прогрессий и указан их ряд 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60. На самом деле пропусков в ряду быть не должно. Ряд разностей арифметических прогрессий имеет вид – 1, 2, 3, 4, 5, 6…. ® Ґ.

Я написал предыдущий ряд разностей по принципу личной симпатии. Подстраховался от критики, ежели бы у кого-то не получилось составить систему уравнений, например, с разностью d = 7, ибо для нетренированных рук могут возникнуть трудности.

И ещё. Формулы членов матриц составных чисел (СЧ), которые описываются в системах уравнений двойными суммами. Для этого требуется всего лишь в значения переменных двойных сумм вставить их аналитические выражения через переменные и - столбцы и строки матриц.

Тогда формула любого члена матриц СЧ таблицы 4, примет вид (30I - 17) (30j - 23).

Аналогично для таблицы 7 - (10I - 3) (10 j - 7).

Для таблицы 8, ряда нечётных чисел - (2I + 1) (2 j + 1).

Для таблицы 9, ряда натуральных чисел - (I + 1) ( j + 1).

Заостряю внимание на том факте, что это уже не номера членов СЧ в рядах простых чисел ПЧ + СЧ, а численные значения этих номеров. И подобных уравнений СЧ можно составить по числу систем арифметических прогрессий, и даже значительно больше, т.е. бесконечное множество.

Всё же для наглядности распишу систему уравнений таблицы 3 предыдущей работы.

и - столбцы и строки матриц, индексами не снабжаю.

И уж больно симпатичная система из 2-х уравнений с разностью арифметических прогрессий d=6.

				5х5				7х7	5х11					5х17	7х13
1	7	13	19	25	31	37	43	49	55	61	67	73	79	85	91	97
					5х7					5х13		7х11			5х19
5	11	17	23	29	35	41	47	53	59	65	71	77	83	89	95	101

Напишу только формулы составных чисел

1 – для верхнего ряда (6I - 1) (6 j - 1), (6k + 1) (6e +1).

2 – для нижнего ряда (6I + 1) (6 j - 1).

А написал с единственной целью сравнить формулы разных систем простых чисел.

В системе c d = 30 число 91 – это (30 - 17) (30 - 23), при = 1, = 1.

В системе c d = 10 это же число – (10 - 3) (10 - 7), при = 2, = 1.

В системе c d = 6 ……………… – (6+ 1) (6+ 1), при = 1, = 2.

В системе c d = 4 ……………… – (4 - 1) (4+ 1), при = 2, = 3.

В системе c d = 2 ……………… – (2+ 1) (2+ 1), при = 3, = 6.

В системе c d = 1 ……………… – (+ 1) (+1), при = 6, = 12.

6	+5	11	+5	16	+5	21	+5	26	…
+7		+13		+19		+25		+31
13	+11	24	+11	35	+11	46	+11	57	…
+7		+13		+19
20	+17	37		54		71		88	…
+7		+13
27	+23	50		73		96		119	…
+7		+13
34	+29	63		92		121		150	…
…		…		…		…		…

9	+7	16	+7	23	+7	30	+7	37	…
+7		+13		+19		+25		+31
16	+13	29	+11	42	+11	55	+11	68	…
+7		+11
27	+19	42		61		80		99	…
+7		+11
30	+25	55		80		105		130	…
+7		+11
37	+31	68		99		130		161	…
…		…		…		…		…