1. Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел)

Задание: Конструкция состоит из двух частей. Установить, при каком способе соединения частей конструкции модуль реакции наименьший, и для этого варианта соединения определить реакции опор, а также соединения С.

Дано: = 9,0 кН; = 12,0 кН; = 26,0 кНм; = 4,0 кН/м.

Схема конструкции представлена на рис.1.

Рис.1. Схема исследуемой конструкции.

Решение:

1) Определение реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис.2.). Составим уравнение моментов сил относительно точки B.

Рис.2.

(1)

где кН.

После подстановки данных и вычислений уравнение (1) получает вид:

кН (1’)

Второе уравнение с неизвестными и получим, рассмотрев систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, расположенной левее шарнира С (рис. 3):

Рис. 3.

.

Отсюда находим, что

кН.

Подставив найденное значение в уравнение (1’) найдем значение :

кН.

Модуль реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С равен:

кН.

2) Расчетная схема при соединении частей конструкции в точке С скользящей заделкой, показанной на рис. 4.

Рис. 4

Системы сил, показанные на рис. 2 и 4, ничем друг от друга не отличаются. Поэтому уравнение (1’) остается в силе. Для получения второго уравнения рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, располоденной левее скользящей заделки С (рис. 5).

Рис. 5

Составим уравнение равновесия:

и из уравнения (1’) находим:

Следовательно, модуль реакции при скользящей заделке в шарнире С равен:

кН.

Итак, при соединении в точке С скользящей заделкой модуль реакции опоры А меньше, чем при шарнирном соединении (≈ 13%). Найдем составляющие реакции опоры В и скользящей заделки.

Для левой от С части (рис. 5а)

,

кН.

Составляющие реакции опоры В и момент в скользящей заделке найдем из уравнений равновесия, составленных для правой от С части конструкции.

кН_*м

кН

; кН

Результаты расчета приведены в таблице 1.

Таблица 1.

	Силы, кН						Момент, кН*м
	XA	YA	RA	XC	XB	YB	MC
Для схемы на рис. 2	-7,5	-18,4	19,9	-	-	-	-
Для схемы на рис. 4	-14,36	-11,09	17,35	-28,8	28,8	12,0	-17,2

2. Определение реакций опор твердого тела

Задание: Найти реакции опор конструкции. Схема конструкции показана на рисунке 1. Необходимые данные для расчета приведены в таблице 1.

Табл. 1

Силы, кН		Размеры, см
		a	b	c	R	r
2	1	15	10	20	20	5

Рис. 1. Здесь: , , , .

Решение: К конструкции приложены сила тяжести , силы и реакции опор шарниров и : (рис. 2)

Рис. 2.

Из этих сил пять неизвестных. Для их определения можно составить пять уравнений равновесия.

Уравнения моментов сил относительно координатных осей:

;

;

; кН.

;

; кН.

;

; кН.

Уравнения проекций сли на оси координат:

;

кН

;

кН.

Результаты измерений сведены в табл. 2.

0,43 кН	1,16 кН	3,13 кН	-0,59 кН	3,6 кН

3. Интегрирование дифференциальных уравнений

Дано

a=45° ; Vв=2Va ; τ=1c; L=3 м ; h=6

Найти ƒ=? d=?

Решение

mX=SXi 1 Fтр=fN

mX=Gsina-Fcoпр N=Gcosa

mX=Gsina-fGcosa

X=gsina-fgcosa

X=(g(sina-fcosa) t+ C₁

X=(g(sina-fcosa)/2) t²+ C₁t+ C₂

При нормальных условиях : t=0 x=0

X=C₁ X= C₂=> C₁=0

X=g(sina-fcosa) t+ 1 X=(g(sina-fcosa)/2) t²

X=Vв X=L

Vв=g(sinα-ƒ*cosα)τ

L=((g(sinα-ƒ*cosα)τ)/2)τ

ƒ=tgα-(2L/τ *g*cosα)=1-0,8=0,2

Vв=2l/τ=6/1=6м/с

Рассмотрим движение тела от точки В до точки С показав силу тяжести действующую на тело , составим дифференциальное уравнение его движения . mx=0 my=0

Начальные условия задачи: при t=0

X0=0 Y0=0

X0=Vв*cosα ; Y0=Vв*sinα

Интегрируем уравнения дважды

Х=C3 Y=gt+C4

X= C3t+ C5

Y=gt /2+C4t+C6, при t=0

X=C3; Y0=C4

X=C5; Y0=C6

Получим уравнения проекций скоростей тела.

X=Vв*cosα , Y=gt+Vв*sinα

и уравнения его движения

X=Vв*cosα*t Y=gt /2+Vв*sinα*t

Уравнение траектории тела найдем , исключив параметр t из уравнения движения. Получим уравнение параболы.

Y=gx /2(2Vв*cosα) + xtgα

В момент падения y=h x=d

d=h/tgβ=6/1=6м

Ответ: ƒ=0,2 d=6 м

4. Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел)

Задание: Конструкция состоит из двух частей. Установить, при каком способе соединения частей конструкции модуль реакции наименьший, и для этого варианта соединения определить реакции опор, а также соединения С.

Дано: = 9,0 кН; = 12,0 кН; = 26,0 кНм; = 4,0 кН/м.

Схема конструкции представлена на рис.1.

Рис.1. Схема исследуемой конструкции.

Решение:

1) Определение реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис.2.). Составим уравнение моментов сил относительно точки B.

Рис.2.

(1)

где кН.

После подстановки данных и вычислений уравнение (1) получает вид:

кН (1’)

Второе уравнение с неизвестными и получим, рассмотрев систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, расположенной левее шарнира С (рис. 3):

Рис. 3.

.

Отсюда находим, что

кН.

Подставив найденное значение в уравнение (1’) найдем значение :

кН.

Модуль реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С равен:

кН.

2) Расчетная схема при соединении частей конструкции в точке С скользящей заделкой, показанной на рис. 4.

Рис. 4

Системы сил, показанные на рис. 2 и 4, ничем друг от друга не отличаются. Поэтому уравнение (1’) остается в силе. Для получения второго уравнения рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, располоденной левее скользящей заделки С (рис. 5).

Рис. 5

Составим уравнение равновесия:

и из уравнения (1’) находим:

Следовательно, модуль реакции при скользящей заделке в шарнире С равен:

кН.

Итак, при соединении в точке С скользящей заделкой модуль реакции опоры А меньше, чем при шарнирном соединении (≈ 13%). Найдем составляющие реакции опоры В и скользящей заделки.

Для левой от С части (рис. 5а)

,

кН.

Составляющие реакции опоры В и момент в скользящей заделке найдем из уравнений равновесия, составленных для правой от С части конструкции.

кН_*м

кН

; кН

Результаты расчета приведены в таблице 1.

Таблица 1.

	Силы, кН						Момент, кН*м
	XA	YA	RA	XC	XB	YB	MC
Для схемы на рис. 2	-7,5	-18,4	19,9	-	-	-	-
Для схемы на рис. 4	-14,36	-11,09	17,35	-28,8	28,8	12,0	-17,2

Дано :

R₂=15; r₂=10; R₃=20; r₃=20

X=C₂t²+C₁t+C₀

При t=0 x₀=8 =4

t₂=2 x₂=44 см

X₀=2C₂t+C₁

C₀=8

C₁=4

44=C₂ *2²+4*2+8

4C₂=44-8-8=28

C₂=7

X=7t²+4t+8

=V=14t+4

a==14

V=r₂₂

R₂₂=R₃₃

₃=V*R₂/(r₂*R₃)=(14t+4)*15/10*20=1,05t+0,3

₃=₃=1,05

V_m=r₃*₃=20*(1,05t+0,3)=21t+6

a^t_m=r₃

=1,05t

a^t_m=R₃=20*1,05t=21t

aⁿ_m=R₃²₃=20*(1,05t+0,3)²=20*(1,05(t+0,28)²

a=

5. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Исходные данные.

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Трение скольжения тела 1 и сопротивление качению тела 3 отсутствует. Массой водила пренебречь.

Массы тел - m₁, m₂, m₃, m₄; R₂, R₃, R₄ – радиусы окружностей.

m1, кг	m2, кг	m3, кг	m4, кг	R2, см	R3, см	s, м
m	m/10	m/20	m/10	10	12	0.05π

Найти.

Пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определит скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

Решение.

1. Применим к механической системе теорему об изменении кинетической энергии.

,

где T₀ и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; – сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении из начального положения в конечное; - сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твёрдых тел, соединённых нерастяжимыми нитями и стержнями . Так как в начальном положении система находится в покое, то T₀=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

.

2. Определим угол, на который повернётся водило, когда груз 1 пройдёт расстояние s.

.

То есть когда груз 1 пройдёт путь s, система повернётся на угол 90є.

3. Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4.

T = T₁ + T₂ + T₃ + T₄.

а) Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно равна:

.

б) Кинетическая энергия катка 2, вращающегося вокруг своей оси равна:

,

где - момент инерции катка 2, - угловая скорость катка 2.

Отсюда получаем, что

.

в) Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоско-параллельное движение, равна:

,

где - скорость центра масс катка 3,

-угловая скорость мгновенного центра скоростей катка 3

момент инерции катка 3 относительно мгновенного центра скоростей.

Отсюда получаем, что

г) Кинетическая энергия катка 4, совершающего плоскопараллельное движение, равна:

где - угловая скорость мгновенного центра скоростей,

- скорость центра масс катка 4,

- момент инерции катка 4 относительно мгновенного центра скоростей.

Отсюда получаем, что

Таким образом, кинетическая энергия всей механической системы равна:

4. Найдём работу всех внешних сил, приложенных к системе на заданном перемещении.

а) Работа силы тяжести G₁: A_G1=m₁∙g∙s=m∙980∙5=15386∙m₁.

б) Работа силы тяжести G₂: A_G2=0.

в) Работа силы тяжести G₃: A_G3=-m₃∙g∙(OA)=-0.05∙m∙980∙36=-1764∙m.

г) Работа силы тяжести G₄: A_G4=-m₄∙g∙OC=-0.1∙m∙980∙72=-7056∙m.

Таким образом, работа всех внешних сил, приложенных к системе равна:

= A_G1+A_G3+A_G4=15386∙m-1764∙m-7056∙m=6566∙m.

5. Согласно теореме об изменении кинетической энергии механической системы приравниваем значения T и .

=6566∙m;

=6566.

Отсюда скорость тела 1 равна:

= 0.31 м/с.

Результаты расчётов.

V1, м/c

0.31

Дано: Q=4kH, G=2kH, a=50см, b=30см.

Определить: реакции опор А, В, С.

Решение:

1) ∑F_KX=X_A+X_B-R_C∙cos30°+Q·sin45°=0;

2) ∑F_KY=Y_A=0;

3) ∑F_KZ=Z_A+Z_B+R_C·sin30°-G-Q·cos45°=0;

4) ∑M_KX=Z_B·AB-G·AB/2-Q·cos45°·AB=0;

5) ∑M_KY=G·AC/2·cos30°-R_C·AC·sin60°+Q·AC·sin75°=0;

6) ∑M_KZ=-X_B·АВ-Q·AB·cos45°=0.

Из (6) X_B=(-Q·AB·cos45°)/АВ=-4·50·0,7/50=-2,8кН

Из (5) R_C=(G·AC/2·cos30°+Q·AC·sin75°)/AC·sin60°=

=(2·30/2·0,87+4·30·0,96)/30·0,87=(26,1+115,2)/26,1=5,4кН

Из (4) Z_B=(G·AB/2+Q·cos45°·AB)/AB=(50+141,4)/50=3,8kH

Из (3) Z_A=-Z_B-R_C·sin30°+G+Q·cos45°=-3,8-2,7+2+2,8=-1,7кН

Из (1) X_A=-X_B+R_C∙cos30°-Q·sin45°=2,8+4,7-2,8=4,7кН

Результаты вычислений:

Силы, кН
RC	XA	YA	ZA	XB	ZB
5,4	4,7	0	-1,7	-2,8	3,8