ТЕМА

Классические методы безусловной оптимизации

Введение

Как известно, классическая задача безусловной оптимизации имеет вид:

                                                                                     (1)

                                                             (2)

Существуют аналитические и численные методы решения этих задач.

Прежде всего вспомним аналитические методы решения задачи безусловной оптимизации.

Методы безусловной оптимизации занимают значительное место в курсе МО. Это обусловлено непосредственным применением их при решении ряда оптимизационных задач, а также при реализации методов решения значительной части задач условной оптимизации (задач МП).

1. Необходимые условия для точки локального минимума (максимума)

Пусть т.  доставляет минимальные значения функции . Известно, что в этой точке приращение функции неотрицательно, т.е.

.                                                                    (1)

Найдем , используя разложения функции  в окрестности т.  в ряд Тейлора.

,                                                     (2)

где , ,  - сумма членов ряда порядок которых относительно приращений  (двум) и выше.

Из (2) имеем:

                                               (3)

Далее предположим, что изменяется только одна переменная из множества переменных . Например, , тогда (3) преобразуется к виду:

                                                                 (4)

Из (4) с очевидностью следует, что

                                                                                       (5)

Предположим, что , тогда

                                                                            (6)

С учетом (6) имеем: .                                                         (7)

Предположим, что  положительно, т.е. . Выберем при этом , тогда произведение , что противоречит (1).

Поэтому, действительно,  очевиден.

Рассуждая аналогично относительно других переменных  получаем необходимое условие для точек локального минимума функции многих переменных

                                                               (8)

Легко доказать, что для точки локального максимума необходимые условия будут точно такими же, как и для точки локального минимуму, т.е. условиями (8).

Понятно, что итогом доказательства будет неравенство вида:  - условие неположительного приращения функции в окрестности локального максимума.

Полученные необходимые условия не дают ответ на вопрос: является ли стационарная точка  точкой минимума или точкой максимума.

Ответ на этот вопрос можно получить, изучив достаточные условия. Эти условия предполагают исследование матрицы вторых производных целевой функции .

2. Достаточные условия для точки локального минимума (максимума)

Представим разложение функции  в окрестности точки  в ряд Тейлора с точностью до квадратичных по  слагаемых.

                   (1)

Разложение (1) можно представить более кратко, используя понятие: "скалярное произведение векторов" и "векторно-матричное произведение".

                                             (1')

 - матрица двух производных от целевой функции по соответствующим переменным.

,

Приращение функции  на основании (1') можно записать в виде:

                                   (3)

Учитывая необходимые условия:

,                                                                           (4)

Подставим (3) в виде:

                                                                           (4')

                                                        (5)

Квадратичная форма  называется дифференциальной квадратичной формой (ДКФ).

Если ДКФ положительно определена, то  и стационарная точка  является точкой локального минимума.

Если же ДКФ и матрица , ее представляющая, отрицательно определены, то  и стационарная точка  является точкой локального максимума.

Итак, необходимое и достаточное условие для точки локального минимума имеют вид

 (эти же необходимые условия можно записать так:

, , )

 - достаточное условие.

Соответственно, необходимое и достаточное условие локального максимума имеет вид:

,  (), .

Вспомним критерий, позволяющий определить: является ли квадратичная форма и матрица, ее представляющая, положительно определенной, или отрицательно определенной.

3. Критерий Сильвестра

Позволяет ответить на вопрос: является ли квадратичная форма и матрица, ее представляющая, положительно определенной, или отрицательно определенной.

Далее изложение будет относительно ДКФ и матрицы  ее определяющей, т.е. ДКФ вида

.

,  - называется матрицей Гессе.

Главный определитель матрицы Гессе

 и ДКФ, которую оно представляет, будут положительно определенными, если все главные определители матрицы Гессе () положительны (т.е. имеет место следующая схема знаков:

)

Если же имеет место другая схема знаков для главных определителей матрицы Гессе , например, , то матрица  и ДКФ отрицательно определены.

4. Метод Эйлера – классический метод решения задач безусловной оптимизации

Этот метод основан на необходимых и достаточных условиях, изученных в 1.1 – 1.3; применим нахождению локальных экстремумов только непрерывных дифференцируемых функций.

Алгоритм этого метода достаточно прост:

1)                   используя необходимые условия формируем систему  в общем случае нелинейных уравнений. Отметим, что решить аналитически эту систему в общем случае невозможно; следует применить численные методы решения систем нелинейных уравнений (НУ) (см. "ЧМ"). По этой причине метод Эйлера будет аналитически-численным методом. Решая указанную систему уравнений находим координаты стационарной точки .;

2)                   исследуем ДКФ и матрицу Гессе , которая ее представляет. С помощью критерия Сильвестра определяем, является ли стационарная точка  точкой минимума или точкой максимума;

3)                   вычисляем значение целевой функции  в экстремальной точке

Методом Эйлера решить следующую задачу безусловной оптимизации: найти 4 стационарные точки функции вида:

Выяснить характер этих точек, являются ли они точками минимума, или Седловыми (см. [3]). Построить графическое отображение этой функции в пространстве и на плоскости (с помощью линий уровня).

Далее эту функцию будем именовать типовой функцией, исследуя ее экстремальные свойства всеми изученными методами.

5. Классическая задача условной оптимизации и методы ее решения: Метод исключения и Метод множителей Лагранжа (ММЛ)

Как известно, классическая задача условной оптимизации имеет вид:

                                                                                (1)

                                                                (2)

График, поясняющий постановку задачи (1), (2) в пространстве .

                                                                          (1')

                                                                              (2')

,

 - уравнения линий уровня

Итак, ОДР  в рассматриваемой задаче представляет собой некоторую кривую, представленную уравнением (2').

Как видно из рисунка, точка  является точкой безусловного глобального максимума; точка  - точкой условного (относительного) локального минимума; точка  - точка условного (относительного) локального максимума.

Задачу (1'), (2') можно решить методом исключения (подстановки), решив уравнение (2') относительно переменной , и подставляя найденное решение (1').

Исходная задача (1'), (2') таким образом преобразована в задачу безусловной оптимизации функции , которую легко решить методом Эйлера.

Метод исключения (подстановки).

Пусть целевая функция зависит от  переменных:

называются зависимыми переменными (или переменными состояния); соответственно можно ввести вектор

Оставшиеся  переменных  называются независимыми переменными решения.

Соответственно можно говорить о вектор-столбце:

 и вектора .

В классической задаче условной оптимизации:

                                                                                (1)

                                                                (2)

Система (2) в соответствии с методом исключения (подстановки) должна быть разрешена относительно зависимых переменных (переменных состояния), т.е. должны быть получены следующие выражения для зависимых переменных:

                                                               (3)

Всегда ли система уравнений (2) разрешима относительно зависимых переменных  - не всегда, это возможно лишь в случае, когда определитель , называемый якобианом, элементы которого имеют вид:

,

не равен нулю (см. соответствующую теорему в курсе МА)

Как видно, функции ,  должны быть непрерывными дифференцируемыми функциями, во-вторых, элементы определителя  должны быть вычислены в стационарной точке целевой функции.

Подставляем  из (3) в целевую функцию (1), имеем:

                    (5)

Исследуемая функция  на экстремум можно произвести методом Эйлера – методом безусловной оптимизации непрерывно дифференцируемой функции.

Итак, метод исключения (подстановки) позволяет использовать задачу классической условной оптимизации преобразовать в задачу безусловной оптимизации функции  - функции  переменных при условии (4), позволяющим получить систему выражений (3).

Недостаток метода исключения: трудности, а иногда и невозможность получения системы выражений (3). Свободный от этого недостатка, но требующий выполнения условия (4)  является ММЛ.

5.2. Метод множителей Лагранжа. Необходимые условия в классической задаче условной оптимизации. Функция Лагранжа

ММЛ позволяет исходную задачу классической условной оптимизации:

                                                                                (1)

                                                                (2)

Преобразовать в задачу безусловной оптимизации специально сконструированной функции – функции Лагранжа:

,                                           (3)

где ,  - множители Лагранжа;

.

Как видно,  представляет собой сумму, состоящую из исходной целевой функции  и "взвешенной" суммы функций ,  - функции, представляющие их ограничения (2) исходной задачи.

Пусть точка  - точка безусловного экстремума функции , тогда, как известно, , , или  (полный дифференциал функции  в точке ).

Используя концепция зависимых и независимых переменных  - зависимые переменные;  - независимые переменные, тогда представим (5) в развернутом виде:

                                                  (5')

Из (2) с очевидностью следует система уравнений вида:

,                                                                          (6)

Результат вычисления полного дифференциала для каждой из функций

Представим (6) в "развернутом" виде, используя концепцию зависимых и независимых переменных:

,                                      (6')

Заметим, что (6') в отличии от (5') представляет собой систему, состоящую из  уравнений.

Умножим каждое -ое уравнение системы (6') на соответствующий -ый множитель Лагранжа. Сложим их между собой и с уравнением (5') и получим выражение:

       (7)

Распорядимся множителями Лагранжа  таким образом, чтобы выражение в квадратных скобках под знаком первой суммы (иными словами, коэффициенты при дифференциалах независимых переменных , ) равнялось нулю.

Термин "распорядимся" множителями Лагранжа вышеуказанным образом означает, что необходимо решить некоторую систему из  уравнений относительно .

Структуру такой системы уравнений легко получить приравняв выражение в квадратной скобке под знаком первой суммы нулю:

,               (8)

Перепишем (8) в виде

,                  (8')

Система (8') представляет собой систему из  линейных уравнений относительно  известных: . Система разрешима, если  (вот почему, как и в методе исключения в рассматриваемом случае должно выполняться условие ). (9)

Поскольку в ключевом выражении (7) первая сумма равна нулю, то легко понять, что и вторая сумма будет равняться нулю, т.е. имеет место следующая система уравнений:

                        (10)

Система уравнений (8) состоит из  уравнений, а система уравнений (10) состоит из  уравнений; всего  уравнений в двух системах, а неизвестных

: ,

Недостающие  уравнений дает система уравнений ограничений (2):

,

Итак, имеется система из  уравнений для нахождения  неизвестных:

             (11)

Полученный результат – система уравнений (11) составляет основное содержание ММЛ.

Легко понять, что систему уравнений (11) можно получить очень просто, вводя в рассмотрение специально сконструированную функцию Лагранжа (3).

Действительно

,                                                           (12)

,                                                                           (13)

Итак, система уравнений (11) представима в виде (используя (12), (13)):

                                                                              (14)

Система уравнений (14) представляет необходимое условие в классической задаче условной оптимизации.

Найденное в результате решение этой системы значение вектора  называется условно-стационарной точкой.

Для того, чтобы выяснить характер условно-стационарной точки  необходимо воспользоваться достаточными условиями.

5.3 Достаточные условия в классической задаче условной оптимизации. Алгоритм ММЛ

Эти условия позволяют выяснить, является ли условно-стационарная точка  точкой локального условного минимума, или точкой локального условного максимума.

Относительно просто, подобно тому, как были получены достаточные условия в задаче на безусловный экстремум. Можно получить достаточные условия и в задаче классической условной оптимизации.

Результат этого исследования:

где  - точка локального условного минимума.

где  - точка локального условного максимума,  - матрица Гессе с элементами

,

Матрица Гессе  имеет размерность .

Размерность матрицы Гессе  можно уменьшить, используя условие неравенства нулю якобиана: . При этом условии можно зависимые переменные  выразить через независимые переменные , тогда матрица Гессе будет иметь размерность , т.е. необходимо говорить о матрице с элементами

,

тогда достаточные условия будут иметь вид:

,  - точка локального условного минимума.

,  - точка локального условного максимума.

Доказательство: Алгоритм ММЛ:

1)                составляем функцию Лагранжа: ;

2)                используя необходимые условия, формируем систему уравнений:

3)                из решения этой системы находим точку ;

4)                используя достаточные условия, определяем, является ли точка  точкой локального условного минимума или максимума, затем находим

1.5.4. Графо-аналитический метод решения классической задачи условной оптимизации в пространстве  и его модификации при решении простейших задач ИП и АП

Этот метод использует геометрическую интерпретацию классической задачи условной оптимизации и основан на ряде важных фактов, присущих этой задаче.

; ; ;

В  - общая касательная для функции  и функции , представляющей ОДР .

Как видно из рисунка точка  - точка безусловного минимума, точка  точка условного локального минимума, точка  - точка условного локального максимума.

Докажем, что в точках условных локальных экстремумов кривая  и соответствующие линии уровня

; .

Из курса МА известно, что в точке касания выполняется условие

где  - угловой коэффициент касательной, проведенной соответствующей линией уровня;  - угловой коэффициент касательной, проведенной к функции

Известно выражение (МА) для этих коэффициентов:

;

Докажем, что эти коэффициенты равны.

;

потому что об этом "говорят" необходимые условия

.

Вышесказанное позволяет сформулировать алгоритм ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации:

1)       строим семейство линий уровня целевой функции:

; ;

2)       строим ОДР, используя уравнение ограничения

3)       с целью внесения исправления возрастания функции , находим  и выясняем характер экстремальных точек;

4)       исследуем взаимодействие линий уровня и функции , находя при этом из системы уравнений  координаты условно стационарных точек – локальных условных минимумов и локальных условных максимумов.

5)       вычисляем

Следует особо отметить, что основные этапы ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации совпадают с основными этапами ГФА метода решения задач НП и ЛП, отличие лишь в ОДР , а также в нахождении местоположения экстремальных точек в ОДР (например, в задачах ЛП эти точки обязательно находятся в вершинах выпуклого многоугольника, представляющего ОДР ).

5.5. О практическом смысле ММЛ

Представим классическую задачу условной оптимизации в виде:

                                                                                (1)

                                                               (2)

где  - переменные величины, представляющие в прикладных технических и экономических задачах переменные ресурсы.

В пространстве  задача (1), (2) принимает вид:

                                                                                (1')

где  - переменная величина.        (2')

Пусть  - точка условного экстремума:

При изменении  изменяется

, т.е.

Соответственно изменится и значение целевой функции:

Вычислим производную:

.                                                                (3)

                                                            (4)

                                                                                     (5)

Из (3), (4), (5).                                                             (6)

Из (5).                                                                           (5')

Подставим (5') в (3) и получаем:

                                                   (6')

Из (6), что множитель Лагранжа  характеризует "реакцию" значение (ортогональна значению целевой функции) на изменения параметра .

В общем случае (6) принимает вид:

;                                                                             (7)

Из (6), (7), что множитель ,  характеризует изменение  при изменении соответствующего -того ресурса на 1.

Если  - максимальная прибыль или минимальная стоимость, то ,  характеризует изменения этой величины при изменении ,  на 1.

5.6. Классическая задача условной оптимизации, как задача о нахождении седловой точки функции Лагранжа:

Пара  называется седловой точкой, если выполняется неравенство.

                                                            (1)

Очевидно, что из (1).                        (2)

Из (2), что .                                                  (3)

Как видно система (3) содержит  уравнений, подобных тем  уравнениям, которые представляют необходимое условие в классической задаче условной оптимизации:

                                                                               (4)

где  - функция Лагранжа.

В связи с аналогией систем уравнений (3) и (4), классическую задачу условной оптимизации можно рассматривать как задачу о нахождении седловой точки функции Лагранжа.